段虹州 韓光信 高興泉

摘 要：【目的】針對(duì)考慮擾動(dòng)及攝動(dòng)情況下的控制輸入約束的不確定離散系統(tǒng)，提出了非脆弱保性能的控制方法?！痉椒ā渴紫?，以最小化目標(biāo)函數(shù)為性能指標(biāo)、控制輸入飽和范圍為約束條件，從而推導(dǎo)出約束狀態(tài)下的非脆弱保性能控制律。其次，使用李雅普諾夫方程來構(gòu)造非線性矩陣不等式。再次，結(jié)合Schur補(bǔ)定理和布谷鳥群智能優(yōu)化算法對(duì)不等式進(jìn)行求解，得到控制輸入約束下的非脆弱保性能控制律的參數(shù)。最后，通過Quanser三自由度陀螺儀平臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證?！窘Y(jié)果】試驗(yàn)結(jié)果表明，本研究所提出方法的穩(wěn)態(tài)誤差浮動(dòng)不超過0.07、跟蹤誤差不超過0.15?！窘Y(jié)論】該方法在面對(duì)擾動(dòng)及攝動(dòng)情況時(shí)具有更高的魯棒性，對(duì)提升三自由度陀螺儀的穩(wěn)定性及控制精度具有重要意義。

關(guān)鍵詞：不確定性離散系統(tǒng)；控制輸入約束；非脆弱性；保性能控制

中圖分類號(hào)：TP273? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1003-5168（2024）03-0004-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.03.001

Non-Fragile Guaranteed Cost Control for Uncertain Discrete

System with Control input Constraints

DUAN Hongzhou1 HAN Guangxin1 GAO Xingquan1，2

（1.Jilin Institute of Chemical Technology， Jilin 132022，China;

2.Jilin Industrial Vocational and Technical College， Jilin 132013，China）

Abstract： [Purposes] In this paper， a non-fragile guaranteed performance control method is proposed for uncertain discrete systems with input constraints under perturbation. [Methods] In this method， By taking the minimum objective function as the performance index and taking the saturation range of the control input as the constraint condition， the non-fragile guaranteed performance control law under the constraint state is derived. Secondly ， the nonlinear matrix inequality is constructed by Lyapunov equation.? Then， Schur's complement theorem and Cuckoo bird intelligent optimization algorithm are used to solve the inequality， and the non-fragile guaranteed performance control law parameters under the control input constraints are obtained. Finally， the experiment is verified by Quanser-3-DOF gyroscope platform. [Findings] The results show that the steady-state error of the proposed method is less than 0.07 and the tracking error is less than 0.15. [Conclusions] The method proposed in this paper has higher robustness in the face of disturbance and perturbation， and is of great significance for improving the stability and control accuracy of the 3-DOF gyroscope.

Keywords： uncertain discrete system; control input constraint; non-fragile; guaranteed performance control

0 引言

非脆弱保性能控制［1］是指在控制系統(tǒng)中考慮輸入約束和性能指標(biāo)的前提下來設(shè)計(jì)控制律，從而使系統(tǒng)具有優(yōu)異的性能，在面對(duì)不確定性或擾動(dòng)時(shí)能保持強(qiáng)魯棒性。該方法被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)［2］、機(jī)器人控制［3］、航空航天［4］等領(lǐng)域。

保性能控制起源于20世紀(jì)末，在21世紀(jì)得到進(jìn)一步發(fā)展，學(xué)者們經(jīng)過研究相繼取得了諸多成果。Yu等［5］提出關(guān)于不確定離散系統(tǒng)的保性能控制方法；Chen等［6］提出不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制方法；Fan等［7］提出連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的保性能控制方法；He等［8］提出不確定T-S模糊系統(tǒng)的保性能控制方法；Yang等［9］對(duì)離散線性系統(tǒng)的保性能控制進(jìn)行深入研究。

Makila等［10］研究發(fā)現(xiàn)，若某些控制器的參數(shù)發(fā)生極其微小的波動(dòng)，閉環(huán)系統(tǒng)的性能有可能會(huì)大幅度下降，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)苯訉?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，對(duì)自身參數(shù)攝動(dòng)具有較強(qiáng)抵制能力的控制器被稱為非脆弱控制器［11］。Jiang等［12］提出將H∞控制和非脆弱控制融合的辦法，并進(jìn)行了實(shí)踐驗(yàn)證；Gao等［13］對(duì)非脆弱、保性能和H∞控制的融合進(jìn)行研究。

上述研究成果并未考慮控制輸入約束，獲得的控制器參數(shù)通常具有較高的增益，易導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定或設(shè)備損壞。因此，本研究考慮最小化性能函數(shù)、系統(tǒng)不確定性、控制輸入約束及控制器增益攝動(dòng)，提出了一種控制輸入約束下的非脆弱保性能控制器設(shè)計(jì)方法，在保證系統(tǒng)運(yùn)行能滿足控制輸入約束的同時(shí)，還具有良好的性能，并在三自由度陀螺儀上驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 問題描述

考慮不確定的離散系統(tǒng)表示見式（1）。

[x（k+1）=A+ΔAx（k）+B+ΔBu（k）x（0）=x0] （1）

式中：[x（k）∈Rn]為系統(tǒng)狀態(tài)向量；[u（k）∈Rm]為控制輸入向量；[ΔA]、[ΔB]為反映系統(tǒng)模型中參數(shù)不確定性的未知實(shí)矩陣。

本研究考慮參數(shù)不確定性時(shí)假設(shè)為范數(shù)有界，見式（2）。

[ΔAΔB=HFE1E2] （2）

式中：[H]、[Ei]（[i=1，2]）為具有合適維數(shù)的確定矩陣；[F]可測(cè)，且滿足[FTF≤I]；[I]為具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。上述參數(shù)反映出不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)信息。

由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和因素，控制輸入必須滿足約束條件，見式（3）。

[uν（k）=eTvu（k）≤uν，max，ν=1，2，…，m，t>0] （3）

式中：uv為向量u的第[ν]個(gè)分量；[ev]為引入的空間[Rm]第[ν]個(gè)標(biāo)準(zhǔn)向量基。

考慮控制輸入約束的非脆弱保代價(jià)控制問題描述如下。設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器見式（4）。

[u（k）=（K+ΔK）x（k）=Kx（k）] （4）

為使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，最小化目標(biāo)函數(shù)見式（5）。

[J=k=0∞xT（k）Qx（k）+uT（k）Ru（k）] （5）

同時(shí)，為滿足控制輸入約束，[Q]和[R]為給定的正定對(duì)稱矩陣，[K]為設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器增益，[ΔK]為控制增益加性攝動(dòng)，[M]和[N]為具有合適維數(shù)的確定矩陣，[Fk]可測(cè)且滿足[FTkFk≤I]，[I]為具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。

引理1：取[M=MT]，[H]和[E]為具有相應(yīng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣，[F]滿足[FTF≤I]，則以下條件等價(jià)［14］。

[M+HF（t）E+ETFTHT<0] （6）

存在標(biāo)量[ε>0]，使得[M+εHHT+ε-1ETE<0]。

根據(jù)引理1，可推導(dǎo)出以下結(jié)論。

推論1：取[M=MT]，[H]和[E]為具有相應(yīng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣，[Fi（t）]滿足[FT（t）F（t）≤I]引理以下條件等價(jià)。

[M+HFE+ETFTHT>0] （7）

存在標(biāo)量[ε>0]，使得[M-εHHT-ε-1ETE>0]。

若不等式[M+HF（t）E+ETFTHT>0]成立，則有[-M-HF（t）E-ETFTHT<0]，即[-M+（-H）F（t）E+ETFT（-H）T<0]，也即[M-εHHT-ε-1ETE>0]。

2 非脆弱保性能控制器設(shè)計(jì)

將控制器（4）代入到系統(tǒng)（1）中，并考慮系統(tǒng)模型的不確定性（2），得到的閉環(huán)系統(tǒng)見式（8）。

[x（k+1）=Aclx（k）x（0）=x0] （8）

式中：[Acl=A+HFE1+（B+HFE2）K]。

對(duì)于系統(tǒng)（8），若存在對(duì)稱正定矩陣[P]使得[K]滿足式（9）。

[ATclPAcl-P+Q+KTRK<0] （9）

則狀態(tài)反饋控制律[u（k）=Kx（k）]是系統(tǒng)的一個(gè)具有性能矩陣[P]的保性能控制律。其中，[K=K+ΔK]，控制性能目標(biāo)函數(shù)（5）的一個(gè)上界為[J*=xT0Px0]，即對(duì)所有的[k>0]，都有[xT（k）Px（k）≤xT0Px0]。

為消除不等式條件（7）中含有的模型不確定性，獲得易檢驗(yàn)條件，根據(jù)推導(dǎo)，得到保證式（4）成立且保證目標(biāo)函數(shù)[J≤α]的充分條件，即存在標(biāo)量[ε1>0]，對(duì)稱正定矩陣[X=P-1]，使得以下矩陣不等式成立，見式（10）、式（11）。

該不等式雖消除了模型的不確定性，但還包含控制器的增益攝動(dòng)，下面尋找一個(gè)滿足式（10）的充分條件。

定義[Y=KX]，根據(jù)Schur補(bǔ)定理有式（12）。

考慮控制輸入約束（3），閉環(huán)系統(tǒng)滿足控制約束意味著應(yīng)有式（13）。

[uTv（k）uv（k）≤u2v，max， t≥0， v=1，2，…，m] （13）

根據(jù)[uv（k）=eTv（Kx（k））]，可得式（14）。

[xT（k）KTeveTvKx（k）≤u2v，max] （14）

式中：[ev]為引入的空間Rm第[ν]個(gè)標(biāo)準(zhǔn)向量基。

根據(jù)前面的討論，若式（8）、式（9）成立，則對(duì)任意的[k>0]，均有[xT（k）Px（k）≤xT0Px0=α]，即式（8）成立的一個(gè)充分條件是對(duì)所有的[x（k）]均滿足式（15）。

[xT（k）KTeveTvKu2v，maxx（k）≤xT（k）Px（k）α] （15）

將[K=K+ΔK=K+MFkN]代入，則有式（16）。

[u2v，maxeTvKKTevPα+eTvM0Fk（t）0N+0NTFTk（t）MTev0≥0] （16）

根據(jù)推論1，上式成立的一個(gè)充要條件是存在標(biāo)量[ε3>0]使得式（17）成立。

[u2v，maxeTvKKTevPα-ε3eTvM0eTvM0T-ε-130NT0NTT≥0] （17）

左右兩邊同時(shí)乘以[diagIαP-1I]，定義[Y=KX]，見式（18）。

[u2v，max-ε3eTvMMTeναeTvY0αYTevXαXNT0αNXε3I≥0] （18）

假設(shè)初始狀態(tài)范數(shù)[x0]有界，即[x0≤ψ]，則式（11）成立的一個(gè)充分條件見式（19）。

[1ΨIIαX≥0] （19）

3 基于布谷鳥算法的控制器參數(shù)整定

最小化矩陣不等式（19）求出性能指標(biāo)的一個(gè)上界[?min=α]、滿足控制輸入約束（18）、存在一個(gè)P使（12）成立，并求出盡可能大的控制器參數(shù)[K1K2K3K4]。適應(yīng)度函數(shù)的選擇應(yīng)以快速、準(zhǔn)確為目標(biāo)，使用ITAE誤差為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，見式（20）。

[?=0tτ·|e（τ）|dτ] （20）

式中：積分區(qū)間為系統(tǒng)仿真時(shí)間；[e]為實(shí)際輸出和期望輸出的差值。

布谷鳥算法流程為初始化、循環(huán)、最優(yōu)解輸出。

①初始化。設(shè)巢穴個(gè)數(shù)[N=4]、種群規(guī)模[D=25]，初始化巢穴的位置見式（21）。

[P0=x1（0）x2（0）x3（0）x4（0）T] （21）

②循環(huán)。在初始化及每次循環(huán)體結(jié)束后進(jìn)行位置更新，保留上一次最優(yōu)巢穴的位置[Pb（t-1）]對(duì)巢穴位置的更新見式（22）。

[xm（t+1）=xm（t）+σ?Levy，m=1，2，3，4] （22）

式中：[Levy?u=t-1-β（0<β≤2）]。

選取[0.25]作為巢穴主人發(fā)現(xiàn)寄生鳥蛋的可能性，并與[Pa]進(jìn)行比較，并隨機(jī)更新被發(fā)現(xiàn)概率較高的巢穴位置，得到一組新的巢穴位置，用新的、較好的巢穴代替原來較差的，得到一組新的巢穴位置，見式（23）。

[Pt=x1tx2tx3tx4tT] （23）

③最優(yōu)解輸出。找到前面環(huán)節(jié)得到的最優(yōu)巢穴位置和最優(yōu)解，若達(dá)到循環(huán)條件則停止迭代，此時(shí)輸出最優(yōu)解，見式（24）。

[K1K2K3K4=Pb=x1tx2tx3tx4tT] （24）

反之，程序跳轉(zhuǎn)循環(huán)體繼續(xù)進(jìn)行迭代。

4 仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

本研究使用三自由度陀螺儀平臺(tái)來驗(yàn)證文中所提方法的有效性。其動(dòng)力學(xué)模型［15］見式（25）。

[J3q2 + P1cosq2q3 -Jαsinq2cosq2q23 = τ2]

[J2+Jasin2q2q3-P1cosq2q2+2Jasinq2cosq2q2q3][=0] （25）

利用前向差分定理將其離散化，得到不確定性離散系統(tǒng)，見式（26）。

[x（k+1）=AC+ΔAx（k）+BC+ΔBu（k）x（0）=x0]

（26）

式中：[AC=10-0.004hJy001000.004hJz0100001 ]；[BC=0.004Jy000]；[ΔA=r1A1]；[ΔB=r2B2]。

取[|r1|≤1]、[|r2|≤1]，取值通過放大轉(zhuǎn)子質(zhì)量至原來的1.1倍得到?？刂戚斎爰s束為[|u（t）|≤5]。系統(tǒng)描述見式（27）。

[x（k+1）=AC+HFE1x（k）+BC+HFE2u（k）] （27）

對(duì)性能指標(biāo)式（5），取[Q=200001600000.0100000.000 1]、[R=5]，經(jīng)布谷鳥算法迭代200次，得到相對(duì)最小化。

性能指標(biāo)[α=3.107 5]，此時(shí)對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)為K1=0.505 183 3，K2=1.172 301 764，K3=0.046 237 9，K4=0.000 084。

通過仿真試驗(yàn)來驗(yàn)證控制參數(shù)的準(zhǔn)確性及控制效果。階躍信號(hào)下輸出曲線、輸入電壓如圖1、圖2所示，階躍輸入仿真控制精度見表1。

由表1可知，LQR控制方法的跟蹤誤差為0.392 2，優(yōu)于非脆弱控制下的跟蹤誤差。LQR控制方法的穩(wěn)態(tài)誤差為0.32，遠(yuǎn)大于非脆弱控制下的跟蹤誤差。達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，非脆弱控制器可穩(wěn)定控制系統(tǒng)運(yùn)行，效果遠(yuǎn)強(qiáng)于LQR控制器。符合控制器設(shè)計(jì)思路，可進(jìn)行實(shí)物驗(yàn)證。

考慮到模型內(nèi)部干擾，將電機(jī)效率調(diào)至95%作為內(nèi)部擾動(dòng)，模擬電路老化導(dǎo)致的性能下降?？紤]內(nèi)部擾動(dòng)的階躍信號(hào)情況下輸出電壓、控制輸入電壓如圖3、圖4所示。

非脆弱保性能控制下的輸出曲線響應(yīng)速度較慢，穩(wěn)態(tài)后，精度比LQR控制下要高。在設(shè)備運(yùn)行時(shí)，非脆弱保性能控制始終未達(dá)到設(shè)定的電壓上界，但LQR控制在每一次設(shè)備進(jìn)行姿態(tài)變換時(shí)都超過臨界值（5 V），有可能對(duì)設(shè)備造成損害。

將陀螺儀外部銀色框架擰至輕微松動(dòng)作為震動(dòng)干擾，階躍信號(hào)下輸出電壓如圖5所示。

在同樣的外部擾動(dòng)情況下，非脆弱保性能控制的魯棒性能相對(duì)突出，穩(wěn)態(tài)誤差為0.087 1。在外部擾動(dòng)情況下，非脆弱保性能控制器的魯棒性能要優(yōu)于LQR控制器的魯棒性能。

考慮控制器增益攝動(dòng)，設(shè)非脆弱控制器為[K]，但實(shí)際上執(zhí)行的控制見式（28）。

[K=s1ΔK1+s2ΔK2] （28）

式中：[ΔK1=10]；[ΔK2=01]；[-1≤s1（t）≤1]；[-1≤s2（t）≤1]。

定義矩陣[Fk=diags1（t）s2（t）]，則控制器增益的描述見式（29）。

[ΔK=MF（t）N] （29）

式中：[M=11]；[N=1001]，取[Ψ=π24]代入式（23）。

考慮控制器攝動(dòng)的階躍信號(hào)情況下輸入電壓、控制輸出電壓如圖6、圖7所示。

5 結(jié)語

本研究基于最小化性能函數(shù)、控制輸入約束、保性能控制等需求來設(shè)計(jì)控制器，通過李雅普諾夫方程推導(dǎo)將其轉(zhuǎn)化為成立的充分條件，進(jìn)而推導(dǎo)出非線性矩陣不等式，再使用布谷鳥群智能優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行求解優(yōu)化。通過仿真試驗(yàn)來驗(yàn)證其可行性，再將求得的控制器帶入三自由度陀螺儀平臺(tái)中。試驗(yàn)結(jié)果表明，約束狀態(tài)下存在允許范圍內(nèi)的擾動(dòng)或攝動(dòng)，本研究所提出的非脆弱保性能控制器具有更好的魯棒性及控制精度。

參考文獻(xiàn)：

［1］WU M，LAN Y H，SHE J H，et al. Design of non-fragile guaranteed-cost repetitive-control system based on two-dimensional model［J］.Asian Journal of Control： Affiliated with ACPA，the Asian Control Professors' Association，2012（1）：109-124.

［2］KONG Y S，ZHAO D X，YANG B，et al.Robust non-fragile H-infinity/L-2-L-infinity control of uncertain linear system with time-delay and application to vehicle active suspension［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2015（13）：2122-2141.

［3］SUN P，WANG S Y.Guaranteed cost non-fragile tracking control for omnidirectional rehabilitative training walker with velocity constraints［J］.International Journal of Control，Automation and Systems，2016（5）：1340-1351.

［4］WANG Y F，JIANG C S，WU Q X.Multi-model soft-switching cost-guaranteed non-fragile control for near-space vehicle［J］.Control Theory & Applications，2012（4）：440-446.

［5］YU L ，GAO F R.Optimal guaranteed cost control of discrete-time uncertain systems with both state and input delays［J］.Journal of the Franklin Institute，2001（1）：101-110.

［6］CHEN W H，GUAN Z H，LU X .Delay-dependent guaranteed cost control for uncertain discrete-time systems with delay［J］.IEE Proceedings - Control Theory and Applications，2003（4）：412-416.

［7］FAN Q Y，YANG G H.Adaptive nearly optimal control for a class of continuous-time nonaffine nonlinear systems with inequality constraints［J］.Isa Trans，2017，66：122-133.

［8］HE M，LI J M .Robust nonfragile guaranteed cost control for uncertain T-S fuzzy Markov jump systems with mode-dependent average dwell time and input constraint［J］.International Journal Of Systems Science，2018（13-16）：3146-3168.

［9］YANG X，LIU S J.Optimal control of unknown discrete-time linear systems with additive noise［J］.Journal of Systems Science and Complexity，2023（2）：591-612.

［10］MAKILA P M，KEEL L H，BHATTACHARYYA S P.Comments on Robust，fragile，or optimal？ ［with reply］［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1998（9）：1265-1268.

［11］FATEME B，VALIOLLAH G，MANUEL S.Non-fragile robust model predictive controller design for uncertain time-delay systems with input constraints［J］.2023（6）：1259-1274.

［12］JIANG X L，XIA G H，F(xiàn)ENG Z G，et al.Non-fragile guaranteed-performance H ∞ leader-following consensus of Lipschitz nonlinear multi-agent systems with switching topologies［J］.Nonlinear Analysis Hybrid Systems，2020（3）：100913.

［13］GAO X Y，TEO K L，DUAN G R.Non-fragile robust H∞ control for uncertain spacecraft rendezvous system with pole and input constraints［J］.International Journal of Control，2012（7）：933-941.

［14］XIE L H.Output feedback H∞ control of systems with parameter uncertainty［J］.International? Journal of Control，1996（4）：741-750.

［15］劉志成.基于三步法的三自由度陀螺儀軌跡跟蹤控制［D］.吉林：吉林化工學(xué)院，2022.