靳雁霞，劉亞變，楊 晶，史志儒，張 翎，喬星宇

(中北大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù) 大數(shù)據(jù)學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

布料模擬在動畫、虛擬游戲、電影3D角色設(shè)計等領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用。然而，物理模擬成本會隨著分辨率和對象數(shù)量的增加而增加，不管物體是否從屏幕中可見，都需要進行模擬。近年來，深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNNs)已經(jīng)成為許多領(lǐng)域的寶貴工具，它在物理模擬中的應(yīng)用顯著增加。但是，限制其使用的一個主要問題是，最常見的二維CNN在圖像領(lǐng)域成功的基礎(chǔ)是圖像固有的規(guī)則和層次結(jié)構(gòu)，這允許CNN通過下采樣和上采樣探索不同大小的特征，而大多數(shù)布料和可變形物體組成是不規(guī)則的，并且缺乏圖像中像素的排列，這使得很難定義一個標準的二維卷積。因此，將布料三維網(wǎng)格轉(zhuǎn)換成二維圖像，再針對二維圖像運用深度學(xué)習(xí)進行超分辨率的方法被相繼提出，但這種方法在轉(zhuǎn)換過程中不僅會丟失網(wǎng)格細節(jié)而且有成本高、耗時長等缺陷。在本文中，我們考慮了使用網(wǎng)格表示的三維幾何學(xué)習(xí)進行布料模擬。與體素[1]相比，網(wǎng)格更有效的表示幾何上下文，因為它只表示對象的邊界而不表示對象內(nèi)部的冗余元素；與點云[2]相比，網(wǎng)格具有拓撲信息，適合施加幾何約束。最近，基于網(wǎng)格的CNN已經(jīng)開始在這一領(lǐng)域找到應(yīng)用，但它被設(shè)計用于剛體分類、分割，而不是在可變形的流形三角形上工作。針對上述布料模擬成本高且耗時長的問題，提出了一種基于三角形網(wǎng)格的CNN，該網(wǎng)絡(luò)提供了一種有效的、不均勻的形狀表示。一方面，只需少量的三角形來捕獲大的、簡單的曲面，減少成本；另一方面，允許對幾何上復(fù)雜的突出形狀特征進行重建或描繪，保留細節(jié)。由于充分利用了網(wǎng)格間的拓撲信息，故能夠提高布料模擬的視覺效果。

1 相關(guān)工作

近年來，針對布料模擬的物理技術(shù)已日趨成熟，能夠生成逼真且具有豐富褶皺細節(jié)的布料模擬結(jié)果。但是，這些褶皺細節(jié)需要高分辨率表示出來，因此需要大量時間來計算求解復(fù)雜方程，需要巨大工作量來調(diào)整參數(shù)。后來，數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法[3，4]通過預(yù)計算數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)驅(qū)動技術(shù)提供了快速生產(chǎn)，同時生產(chǎn)了與訓(xùn)練數(shù)據(jù)高度相似的褶皺效果，高分辨率可以直接合成，也可以從物理模擬的低分辨率網(wǎng)格進行超分辨率。然而，現(xiàn)在的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法要么依賴于人體姿態(tài)，要么缺乏對運動中布料產(chǎn)生一般褶皺行為的動態(tài)建模。因此，本文通過引入深度學(xué)習(xí)的方法來進行布料建模。

在布料仿真領(lǐng)域中，深度超分辨率網(wǎng)絡(luò)已被驗證是圖像細節(jié)增強的強大而快速的機器學(xué)習(xí)工具，Chen等[5]提出的多特征超分辨率(MFSR)方法將LR和HR編碼的位移、法線和速度等3個特征作為卷積輸入，學(xué)習(xí)其服裝形狀的共享表示和特定任務(wù)表示，最后生成動態(tài)褶皺和一致的網(wǎng)格序列；賈瑤等[6]將真實布料運動中的幀數(shù)據(jù)信息轉(zhuǎn)換成圖像做為卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，再結(jié)合縮小網(wǎng)格得到高分辨率圖像，將圖像轉(zhuǎn)化成高分辨率布料網(wǎng)格；Zhang等[7]將服裝參數(shù)化表述為相關(guān)法線貼圖，通過匹配基于Gram矩陣的風(fēng)格損失來產(chǎn)生高分辨率細節(jié)，再通過法線貼圖引導(dǎo)變形生成褶皺豐富的布料模擬。以上方法都是對處理好的圖像進行操作，這種將三維網(wǎng)格轉(zhuǎn)換成二維圖像的方式會丟失掉很多網(wǎng)格細節(jié)，還會在轉(zhuǎn)換過程中耗費大量時間。因此，本文采用直接對三維網(wǎng)格卷積的方法實現(xiàn)布料模擬。

近幾年剛提出的將卷積直接運用在三維網(wǎng)格上的方法主要用在圖形分類、分割等領(lǐng)域。Rana等[8]提出的MeshCNN對三角形網(wǎng)格采用以一條邊為中心、相鄰四條邊或兩條邊為一環(huán)鄰域的無變量卷積，創(chuàng)建任務(wù)感知流程確定池化折疊邊的優(yōu)先級，將上池化和卷積結(jié)合來恢復(fù)池化操作中丟失的原始分辨率，該方法較好保留了圖形的明顯特征，對圖形分類效果顯著；Hu等[9]提出的SubdivNet框架對三維網(wǎng)格預(yù)處理成相等的三角形面，以三角形面為中心，基于每個面都恰好相鄰于3個面的特性構(gòu)建卷積算子，其卷積模式和二維像素卷積的內(nèi)核、步長設(shè)定方式相似，池化和上采樣操作采用Loop細分和逆Loop細分算法，該方法對形狀對應(yīng)關(guān)系和形狀檢索等各種應(yīng)用程序提供了良好的結(jié)果；Milano等[10]將圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中提出的原始-對偶框架擴展到三角形網(wǎng)格，以三維網(wǎng)格的邊和面特征作為輸入，并利用注意機制進行動態(tài)聚合，引入一個具有精確幾何解釋的池化操作折疊邊，在形狀分類和形狀分割任務(wù)中具有優(yōu)越的性能。以上三維網(wǎng)格卷積方法都用在形狀分類、分割領(lǐng)域，對于布料模擬研究不能保留真實的褶皺細節(jié)。因此，本文提出針對布料模擬的三維卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

2 三維卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建及分析

本文針對當前布料仿真模擬方法中成本高且耗時長的問題，提出了直接對三維網(wǎng)格卷積的布料模擬方法(以下簡稱三維卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))，使得大的平面區(qū)域用少量大三角形表示，褶皺豐富的區(qū)域用大量小三角形表示，在低耗時情況下得到逼真的布料仿真效果。本文將三維卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分為卷積、池化和上采樣等模塊，具體流程如圖1所示。首先，對輸入布料的三角形頂點螺旋卷積，使用點填充方法對卷積序列增加采樣點減小誤差，存儲卷積序列作為局部域；其次，運用Gauss-Bonnet定理計算局部域的曲率K值作為頂點抽取的懲罰因子，抽取K值較小的局部域直至剩余頂點數(shù)低于初始頂點數(shù)的60%；最后，用布料模型訓(xùn)練神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)，通過記錄4次迭代中初始化模塊I、頂點模塊v和邊模塊ε的L2損失函數(shù)優(yōu)化權(quán)重幾何集，將池化后的網(wǎng)格輸入神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)進行上采樣，輸出布料模擬結(jié)果。

圖1 基于三維網(wǎng)格卷積的布料模擬流程

2.1 卷積層

雖然布料在外力作用下變形程度復(fù)雜，但每幀網(wǎng)格數(shù)量和序列還是保持不變的，對不規(guī)則三角形網(wǎng)格卷積的側(cè)重點在于如何構(gòu)建一個可以與每個點相關(guān)聯(lián)的全局坐標系。本文采用螺旋卷積算子[11]強制對網(wǎng)格上每個頂點的鄰居進行顯式排序，允許在鄰居和可學(xué)習(xí)局部濾波器的參數(shù)之間進行“1-1”映射，對螺旋卷積算子點填充降低采樣誤差。

(1)

其中，r為卷積算子半徑，與經(jīng)典CNN中核的大小相似。那么，螺旋卷積為

(2)

其中，f類似于圖像中的像素強度，g為濾波權(quán)值，L為卷積算子長度。

(3)

其中，dM是網(wǎng)格M上兩個頂點之間的測地線距離。為了允許固定大小的螺旋，選擇一個固定長度的L作為超參數(shù)，然后根據(jù)其大小截斷或零填充每個螺旋，結(jié)果如圖1所示。

雖然螺旋卷積算子能夠針對頂點顯示排序，但對于頂點數(shù)量少的非流形三角形布料依然存在較大誤差，會丟失大量褶皺細節(jié)，導(dǎo)致模擬布料結(jié)果失真。本文采用點填充方法增加螺旋采樣點，設(shè)螺旋中心頂點為p，其鄰居為p0p1…pn-1， 首先計算

(4)

然后沿著間隔為l/(L-1) 的分段線性曲線創(chuàng)建均勻采樣點，將采樣后的螺旋作為局部域存儲在表Rs中，采樣點示例如圖1空心圓圈所示。點填充方法只需在卷積層處理一次，并且不會給下一節(jié)討論的池化層和上采樣層增加很大成本。

2.2 池化層

運用二次誤差最小化技術(shù)[12]作為池化方法雖然能在均勻網(wǎng)格表面上產(chǎn)生非常好的結(jié)果，但它無法檢測網(wǎng)格中細節(jié)的存在，為了充分保留布料褶皺區(qū)域，本文對表Rs中每個局部域的中心頂點p增加懲罰因子來懲罰較小曲率絕對值的頂點。根據(jù)懲罰因子大小利用頂點抽取的網(wǎng)格簡化算法對三角形網(wǎng)格池化，用少量大三角形表示網(wǎng)格較稀疏區(qū)域，池化效果如圖2所示。

圖2 池化效果

在微分幾何中，Gauss-Bonnet定理是曲面微分幾何中最深刻的定理，它是關(guān)于曲面的圖形(由曲率表征)和拓撲(由歐拉示性數(shù)表征)間聯(lián)系的一項重要表述。對于平面上的三角形，其內(nèi)角和為180°，那么對于推廣到任意一個光滑曲面上的內(nèi)角和可用Gauss-Bonnet定理表示：在曲面S上給出一個由k條光滑曲線所圍成的曲線多邊形，它圍成了一個單連通曲面域G多邊形為曲面的邊緣，記為?G。設(shè)曲面S的高斯曲率和測地曲率分別為K和kg，曲面的微元和弧長微元分別記為dσ和ds。則曲線多邊形的Gauss-Bonnet定理可以表示為

(5)

圖3 局部域曲率計算

(6)

在多邊形情況下，Gauss-Bonnet定理(5)可以簡化為

(7)

由式(6)可知

(8)

(9)

假設(shè)K在局部鄰域內(nèi)為常數(shù)，式(8)可以改寫為

(10)

由于考慮了曲面的高斯曲率，可以懲罰較小的高斯曲率絕對值的局部域，增加局部域的代價，從而使它們比更平坦和有更少細節(jié)區(qū)域的局部域處理的更晚。對于平坦局部域，K值接近0；對于褶皺豐富局部域，K值接近1，根據(jù)懲罰因子K值由小到大的順序?qū)植坑蝽旤c抽取，終止標準指定為局部域網(wǎng)格的中心頂點數(shù)量小于開始時中心頂點數(shù)量的60%。

對抽取后的不規(guī)則孔洞用累加和求重心坐標的方式得到新的中心頂點

(11)

如圖1所示，根據(jù)頂點位置構(gòu)成新的三角形網(wǎng)格。整合表Rs中的局部域網(wǎng)格，形成對原始模型的新近似。

2.3 上采樣層

為了學(xué)習(xí)布料復(fù)雜的非線性細分，而非傳統(tǒng)技術(shù)中使用的簡單線性平均(如Loop細分法、蝶形細分法、√3細分法等)，本文希望使用機器學(xué)習(xí)的方法學(xué)習(xí)布料網(wǎng)格權(quán)重來細分池化后的網(wǎng)格，神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)[13]的出現(xiàn)很好的滿足了本文的上采樣需求。神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)是一種新穎的自我監(jiān)督訓(xùn)練框架，只需要一組高分辨率網(wǎng)格來學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重。對于任何訓(xùn)練形狀，隨機生成不同低分辨率網(wǎng)格與其對應(yīng)，同時保持雙射映射來規(guī)定細分過程中每個新頂點的精確目標位置(如圖1中層次1、層次2…層次m所示)，該方法對本文上采樣模塊具有重大意義。由于文獻[13]主要是訓(xùn)練剛體進行分類、分割，本文將用布料模型訓(xùn)練該網(wǎng)絡(luò)，通過記錄4次迭代中初始化模塊I、頂點模塊v和邊模塊ε的L2損失函數(shù)優(yōu)化權(quán)重幾何集以達到本文上采樣目的，具體訓(xùn)練流程如圖1所示，訓(xùn)練數(shù)據(jù)等將在3.1.2中介紹。

在神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，本文使用改進的蝶形細分算法[14]對三角形網(wǎng)格進行拓撲更新，與文獻[13]中的Loop細分算法相比，可以緩解數(shù)據(jù)量與平滑性之間的矛盾，能獲得更好的適應(yīng)度，并能很好處理三維網(wǎng)格在網(wǎng)絡(luò)中的平穩(wěn)細分。改進的蝶形細分算法生成新頂點具有以下情況：

(1)邊兩端頂點的相鄰點數(shù)為6時，具體表示如圖4(a)所示，不同位置頂點的權(quán)值如下

圖4 蝶形細分算法生成新頂點3種情況

(12)

(2)側(cè)邊的一端頂點為奇異點時，具體表示如圖4(b)所示，新頂點產(chǎn)生的位置奇異點與相鄰頂點的數(shù)量有關(guān)。不同位置的頂點權(quán)值設(shè)置如下(N表示相鄰點的數(shù)量)

(13)

邊兩端的頂點均為奇異點時，必須對每個奇異點執(zhí)行方程(12)中的操作才能得到兩個頂點。新的頂點是根據(jù)在上一步中獲得的兩個頂點的平均值生成的。

(3)邊緣為邊界時，具體表示如圖4(c)所示，圖中的數(shù)字是不同位置的權(quán)重。

在神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)中使用改進的蝶形細分算法能夠產(chǎn)生高質(zhì)量的擁有原模型特征的布料細分結(jié)果。下面對比了上采樣前后的布料模擬網(wǎng)格，模擬效果如圖5所示，可以看出改進的神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)能夠適應(yīng)布料的變形趨勢，提高布料平滑度。

圖5 上采樣前后的布料網(wǎng)格

2.4 損失函數(shù)

為了提高視覺質(zhì)量，本文使用L1、L2損失函數(shù)來訓(xùn)練誤差網(wǎng)絡(luò)以回歸重構(gòu)誤差、Ln損失函數(shù)來衡量生成的網(wǎng)格與地面真實值之間的法向一致性。

在本節(jié)中，N表示頂點個數(shù)，上標t表示地面真實值，上標o表示輸出值。設(shè)xi是第i個頂點的頂點位置，nj是第j個面的法線，第j面由頂點x0、x1、x2按逆時針順序組成，則

nj=normalize((x1-x0)×(x2-x0))

(14)

L1頂點位置誤差為

(15)

L2頂點位置誤差為

(16)

L1法向誤差Ln為

(17)

總損失函數(shù)為

Ltotal=aL1+bL2+cLn

(18)

其中，a、b、c為L1、L2、Ln損失函數(shù)的權(quán)重。

3 實驗設(shè)置與結(jié)果分析

針對提出的基于三維卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬真實布料褶皺的仿真框架，本文對影響仿真效果的各個因素進行了對比和探究。本實驗在Linux系統(tǒng)下使用python語言實現(xiàn)，硬件為2.4 GHz的Intel Core i7 9700CPU，8*2 GB雙通道內(nèi)存，顯卡型號是NVIDIA GeForce RTX 2070 Super。

3.1 數(shù)據(jù)處理

3.1.1 數(shù)據(jù)集構(gòu)建與參數(shù)設(shè)置

本文使用開源的ARCSim[15]系統(tǒng)完成物理模擬，對于ARCSim提供的網(wǎng)格，選擇風(fēng)中的旗子、茶壺上不同位置的布以及懸掛的布等3種布料模型進行實驗。對于風(fēng)中的旗子，固定旗桿一側(cè)并施加風(fēng)力和重力使其在空中飄揚，通過改變風(fēng)力大小，共形成了10個序列，每個序列600幀，每幀5972個頂點數(shù)；對于茶壺上的布，固定茶壺剛體不動，將只受重力的布料自由落下覆蓋茶壺，通過改變覆蓋位置(壺嘴、壺把和壺身等)及布料大小(頂點數(shù)不變)，共形成了16個序列，每個序列400幀，每幀3020個布料頂點數(shù)；對于懸掛的布，固定布料一點使其自由垂下，通過改變固定點數(shù)和布料大小，共形成了18個序列，每個序列1200幀，每幀6570個頂點數(shù)。對于3個數(shù)據(jù)集分別進行訓(xùn)練，每個訓(xùn)練集中70%作為訓(xùn)練集，30%作為測試集，實驗中使用的網(wǎng)格邊界框長度均在0.6～1.5個單位之間，重力-9.8 N/Kg，UV彎曲單位各0.5，UV拉伸和壓縮變形單位均為50，密度為0.005，厚度為0。在螺旋卷積中，設(shè)定固定長度的L為100個頂點作為超參數(shù)，存儲表Rs大小設(shè)置為50 MB，其存儲形式為順序存儲。為了提高計算效率，在池化操作中，對每個局部域只進行一次K值計算。本文池化與CNN圖像的初始調(diào)整大小相似，幾何網(wǎng)格抽取有助于降低分辨率，并由此降低訓(xùn)練所需的網(wǎng)絡(luò)容量，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)上采樣時能減少大量運行時間，但是為了保留布料細節(jié)，只對最小K值局部域頂點抽取，直到頂點數(shù)小于原始頂點數(shù)的60%。對于大多數(shù)實驗來說，僅使用L1誤差就可以產(chǎn)生視覺上光滑的表面，但在某些情況下，表面可能會有輕微的凹凸不平，因此考慮法向誤差Ln提高表面平滑度，在極少數(shù)情況下，網(wǎng)絡(luò)在大多數(shù)頂點上產(chǎn)生較小誤差，但在少數(shù)頂點上產(chǎn)生較大的誤差，增加L2誤差可以消除這些影響因素，當a=1，b=1，c= 0.02時視覺效果最好。

3.1.2 神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集構(gòu)建

文獻[13]中的神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練對象皆是剛體，主要用于分類分割，本文使用多種布料類型重新訓(xùn)練雙射映射。雖然這種新穎的自我監(jiān)督訓(xùn)練只需要一組高分辨率網(wǎng)格來學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重，但是為了保證布料形態(tài)的準確性，本文使用3組模型進行訓(xùn)練，布料網(wǎng)格來自ARCSim系統(tǒng)，布料分別覆蓋在球體、圓柱體和斷開的雙圓柱體上，通過改變覆蓋在幾何體上的布料大小分別生成10個序列，每個序列200幀，每幀2830個頂點數(shù)。損失函數(shù)設(shè)置a=0，b=1，c=0進行訓(xùn)練，目的是最小化L2誤差。

3.2 定量實驗對比

數(shù)值實驗比較與其它方法的泛化能力差異，比較的方法包括文獻[16]、文獻[5]和文獻[12]等。

本文對比了文獻[16]的物理模擬方法、文獻[5]的MFSR方法和文獻[12]的三維網(wǎng)格卷積方法在模擬結(jié)果中的不同，其中包括用于度量模擬頂點與每幀初始頂點的豪斯多夫距離(本文用H代替)和平均每幀耗時(本文用T代替)，豪斯多夫距離用于描述兩組點集之間的相似程度，設(shè)點集X′={x′1，…，x′n}，Y′={y′1，…，y′n}， 則這兩個點集合之間的豪斯多夫距離定義為

H(X′，Y′)=max(h(X′，Y′)，h(X′，Y′))

(19)

其中

(20)

(21)

對比結(jié)果見表1，文獻[16]對截取的布料幀計算法向量夾角，根據(jù)曲率大小進行布料變形，在各種情況下都能精準的衡量曲面彎曲程度，具有較小的誤差距離和較強的魯棒性，但該方法本質(zhì)上仍然使用物理模擬方法，耗時依舊很高。文獻[5]使用深度學(xué)習(xí)進行布料模擬，時間上比文獻[16]快12～14倍，但是該方法將一對高分辨率和低分辨率網(wǎng)格轉(zhuǎn)換成相對應(yīng)的圖像再進行模擬，轉(zhuǎn)換過程中不僅會丟失大量網(wǎng)格細節(jié)，導(dǎo)致在幀運動時出現(xiàn)失真現(xiàn)象，而且預(yù)處理時間過長，仍然會增加耗時。文獻[12]雖然也使用基于三角形網(wǎng)格的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，但是由于卷積和池化階段未考慮時間成本和模擬成本，其重建誤差和耗時仍高于本文方法。使用本文方法雖然在風(fēng)中的旗子數(shù)據(jù)集中H略大于文獻[16]，但基本上是一個較好的模擬精度，其余數(shù)據(jù)表明本文方法均取得了最好結(jié)果。

表1 不同數(shù)據(jù)集上測試集重建誤差和耗時的對比

本文方法與文獻[12]方法的模擬頂點數(shù)進行對比。對比結(jié)果如圖6所示，兩種方法的模擬頂點個數(shù)均比初始頂點個數(shù)少，文獻[12]池化操作采用二次誤差對邊設(shè)定優(yōu)先級進行邊折疊，能根據(jù)拓撲信息產(chǎn)生接近真實場景的結(jié)果，但剩余頂點個數(shù)依然很多，最后模擬成本仍然很高。本文使用Gauss-Bonnet定理計算K值，再對K值小的局部域頂點抽取的池化方法，不僅能極大地減少頂點數(shù)量，而且能產(chǎn)生良好的模擬效果(模擬效果見3.3節(jié))，這對降低模擬成本具有重大意義。

圖6 模擬頂點個數(shù)對比

本文優(yōu)越性還展現(xiàn)在上采樣過程使用基于布料的神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)，其拓撲細分方法為改進的蝶形細分法，這種細分網(wǎng)絡(luò)能夠遵循布料變形趨勢，提升布料平滑度?；谌S網(wǎng)格的卷積方法上采樣大多來自池化操作時(如最大值、平均值等)的歷史記錄，如MeshCNN方法[8]、SubdivNet方法[9]和PD-MeshNet方法[10]的池化層等。為了驗證神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)越性，本文方法與Loop細分法、蝶形細分法和√3細分法進行細分對比，采用歐幾里德距離作為測量標準，對比結(jié)果見表2。從表中可以看出，無論哪種布料模型，本文細分方法的歐幾里德距離均小于其它細分方法。

表2 不同網(wǎng)格細分方法的歐幾里德距離對比

3.3 仿真結(jié)果對比

3.3.1 二維布料模擬方法效果對比

本實驗對3種布料模型進行訓(xùn)練，圖7(a)～圖7(c)分別展示了布料模型的物理模擬、MFSR方法和本文方法的仿真效果。第一行為風(fēng)中的旗子模型，布料受風(fēng)力和重力作用，吹動方向為右下，布料變形主要集中在中部；第二行為茶壺上的布模型，布料受重力落于壺身和壺嘴區(qū)域，布料變形主要集中在交界處及下垂區(qū)域；第三行為懸掛的布模型，布料受拉力和重力懸停在空中，布料變形主要集中在中部碰撞區(qū)域?？梢杂^察到：圖7(b)MFSR方法與圖7(a)物理模擬相比，布料均丟失了明顯的褶皺細節(jié)，尤其在壺身和壺嘴連接處布料較為平坦，不能展現(xiàn)良好的模擬效果；圖7(c)本文方法與圖7(a)物理模擬相比，能夠保留物理模擬的實際褶皺，對于拉力、風(fēng)力和重力作用下產(chǎn)生的變形，具有逼真的效果，對于本文用大三角形網(wǎng)格表示的平坦區(qū)域(圖7(c)黑色圓圈標注的地方)也和物理模擬結(jié)果相似；圖7(c)本文方法與圖7(b)MFSR方法相比，在布料模型的各個變形部位均能展現(xiàn)細微褶皺。因此，本文方法在模擬過程中耗時比二者少的情況下，能大量減少網(wǎng)格頂點數(shù)量，并且能保留布料模擬細節(jié)，呈現(xiàn)良好的視覺效果。

圖7 布料模擬結(jié)果

3.3.2 三維布料模擬方法效果對比

本實驗對風(fēng)中的旗子模型進行訓(xùn)練，物理模擬、文獻[12]方法和本文方法的模擬效果和對應(yīng)網(wǎng)格如圖7(d)、圖7(e)所示?？梢杂^察到，本文方法在旗子平坦區(qū)域用少量大三角形網(wǎng)格表示，褶皺細節(jié)區(qū)域用大量小三角形網(wǎng)格表示，能產(chǎn)生與文獻[12]相似的模擬結(jié)果，但頂點數(shù)量卻大大減少。本文使用Gauss-Bonnet定理計算懲罰因子K值再頂點抽取的池化方法比文獻[12]對整體采用二次誤差最小化的池化方法更能在保留網(wǎng)格細節(jié)的同時減少頂點個數(shù)，二次誤差池化方法需要設(shè)置大量全局參數(shù)來指導(dǎo)整個簡化過程，而不考慮模型不同位置存在的特征差異，因此文獻[12]在保留細節(jié)的同時也需大量網(wǎng)格填補平坦區(qū)域。由于神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中對所有局部網(wǎng)格相同權(quán)值集進行了優(yōu)化，所以對池化后的網(wǎng)格進行神經(jīng)細分也不會破環(huán)整體網(wǎng)格布局，能夠呈現(xiàn)逼真的視覺效果。

3.4 消融研究

3.4.1 池化網(wǎng)格數(shù)量

本文比較了風(fēng)中旗子的布料模型中池化頂點數(shù)量在剩余初始頂點數(shù)量的50%、60%和70%時對神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)的影響，比較結(jié)果如表3和圖8所示，結(jié)果顯示網(wǎng)格剩余60%時能夠在滿足保留布料褶皺細節(jié)的情況下盡量減小網(wǎng)格參數(shù)量。更少的網(wǎng)格剩余量因不能捕捉足夠的褶皺信息而導(dǎo)致失真現(xiàn)象，更多的網(wǎng)格剩余量因過擬合的原因?qū)е戮忍嵘邢奚踔料陆?，還會大大增加模擬成本和時間消耗。因此，保留初始頂點數(shù)量的60%是最佳選擇。

表3 不同剩余池化頂點數(shù)量的網(wǎng)格參數(shù)量和用時對比

圖8 池化頂點數(shù)量占初始頂點數(shù)量的50%、60%和70%時(從左至右)的布料模型

3.4.2 神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)迭代次數(shù)

本文設(shè)定神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)迭代次數(shù)為4，實驗結(jié)果表明，在一定范圍內(nèi)，神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)迭代次數(shù)越多，頂點個數(shù)越多，誤差越小，耗費時間越長，頂點個數(shù)超過初始頂點個數(shù)140%以后，誤差值趨于平緩。以圖1長方體上的布料模型為例，頂點個數(shù)取到4000左右時誤差可以達到最小，此時迭代次數(shù)為4，具體數(shù)據(jù)結(jié)果如圖9所示。

圖9 迭代次數(shù)對誤差的影響

4 結(jié)束語

本文為平衡布料仿真中的模擬成本、逼真度和效率，提出一種直接對三維布料網(wǎng)格卷積的布料模擬方法。本文實現(xiàn)了在網(wǎng)格上進行布料模擬的深度學(xué)習(xí)算法，為提高布料模擬效率，提供了新思路。實驗結(jié)果表明，本文方法通過對布料網(wǎng)格螺旋卷積和點填充、采用Gauss-Bonnet定理計算K值進行頂點抽取和訓(xùn)練神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的三維卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其模擬的布料不僅能夠產(chǎn)生逼真的效果，而且模擬效率比其它方法提升了15.6%～23.1%。

本文只針對簡單布料模型進行了模擬，并且在上采樣中神經(jīng)細分網(wǎng)絡(luò)層次數(shù)較少，未來可以針對復(fù)雜布料(如服裝等)進行模擬，上采樣可采用更適合序列預(yù)測的架構(gòu)(如遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))以獲得更廣泛的鄰域信息并深入到更深的細分層次，提高該方法的靈活性和準確性。