文／環(huán)靖

當(dāng)遇到函數(shù)類型的解答題時(shí)，我們?cè)诶砬鍐?wèn)題（條件）后，可先明確問(wèn)題考查的知識(shí)點(diǎn)，再思考解法，充分聯(lián)想，從已知想可知，從未知想需知，尋找解決問(wèn)題的突破口，養(yǎng)成“有思考就寫”的習(xí)慣，最終搭建從已知到未知的橋梁。那么，如何做到規(guī)范解答呢？怎樣才能做到步步得分呢？下面，我們結(jié)合題目具體分析。

例1（9 分）已知二次函數(shù)y=x2+2mx+m2-1（m為常數(shù)）。

（4 分）（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（5 分）（2）若函數(shù)的圖像與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，求m的取值范圍。

【分析】第（1）問(wèn)考查二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，常見(jiàn)的解法是將二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的個(gè)數(shù)；第（2）問(wèn)，對(duì)于與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào)判斷問(wèn)題，可利用數(shù)形結(jié)合思想深入思考。

【規(guī)范解答】

（1）證明：（證法一）當(dāng)y=0 時(shí)，x2+2mx+m2-1=0。（1分）

∵b2-4ac=4m2-4（m2-1）=4＞0，（2分）

∴方程x2+2mx+m2-1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（3分）

∴該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。（4分）

（證法二）當(dāng)y=0 時(shí)，x2+2mx+m2-1=0。（1分）

解得x1=-m+1，x2=-m-1。（2分）

∵-m+1≠-m-1，

∴方程x2+2mx+m2-1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（3分）

∴該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。（4分）

（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，x2+2mx+m2-1=0。

解得x1=-m+1，x2=-m-1。（5分）

∴函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-m+1，0），（-m-1，0）。（6分）

∵函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，且-m+1＞-m-1，（7分）

∴-m+1＞0且-m-1＜0。（8分）

解得-1＜m＜1。（9分）

【點(diǎn)評(píng)】第（1）問(wèn)難度較小，是絕大多數(shù)同學(xué)都能解決的基礎(chǔ)題，在解題時(shí)要注意書寫“當(dāng)y=0 時(shí)”；第（2）問(wèn)要注意“與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)”，表示公共點(diǎn)橫坐標(biāo)異號(hào)。

例2（9 分）南京、上海相距約300km，快車與慢車的速度分別為100km/h 和50km/h，兩車同時(shí)從南京出發(fā)，勻速行駛，快車到達(dá)上海后，原路返回南京，慢車到達(dá)上海后停止。設(shè)兩車出發(fā)后的時(shí)間為xh，快車、慢車行駛過(guò)程中離南京的路程為y1、y2km。

（4分）（1）求y1、y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并在圖1 的平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖像；

圖1

（2 分）（2）若鎮(zhèn)江、南京相距約80km，求兩車經(jīng)過(guò)鎮(zhèn)江的時(shí)間間隔；

（3 分）（3）直接寫出出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后，兩車相距100km。

【分析】第（1）問(wèn)考查用等量關(guān)系求函數(shù)表達(dá)式并畫出函數(shù)圖像；第（2）問(wèn)可將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題；第（3）問(wèn)可以從數(shù)與形兩個(gè)方面解決兩車相距問(wèn)題。

【規(guī)范解答】

解：（1）當(dāng)0≤x≤3 時(shí)，y1=100x；當(dāng)3≤x≤6時(shí)，y1=600-100x；（1分）

當(dāng)0≤x≤6時(shí)，y2=50x。（2分）

y1、y2與x的函數(shù)圖像如圖2。（4分）

（2）當(dāng)y1=80 時(shí)，100x=80 或600-100x=80，解得x=0.8或5.2；

當(dāng)y2=80時(shí)，50x=80，解得x=1.6。（5分）

所以1.6-0.8=0.8，5.2-1.6=3.6。（6分）

兩車經(jīng)過(guò)鎮(zhèn)江的時(shí)間間隔為0.8h或3.6h。

【點(diǎn)評(píng)】解答第（1）問(wèn)時(shí)容易忽略原路返回的過(guò)程，畫圖時(shí)要注意關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；第（2）（3）問(wèn)不要遺漏原路返回時(shí)快車與慢車之間的狀態(tài)，同時(shí)要注意分類討論。