胡松華，楊竣皓，孫利雄，李樹東

(云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司保山供電局，云南保山678000)

0 前言

重力平衡又稱重力補(bǔ)償，是指在一定的重力補(bǔ)償器作用下，某一機(jī)構(gòu)能夠在重力環(huán)境中保持靜態(tài)平衡。重力補(bǔ)償機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于機(jī)器人中，作為產(chǎn)生反重力和節(jié)省能量的被動(dòng)部件[1]。雖然重力補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展，但通常假定重力補(bǔ)償器的軸線與平衡連桿的軸完全對(duì)齊的嚴(yán)格條件，往往在實(shí)踐中是難以實(shí)現(xiàn)的[2]。

在重力補(bǔ)償機(jī)構(gòu)相關(guān)研究中，馬保平等[3]研究了手術(shù)機(jī)器人操作手的定位精度，提出了構(gòu)件的等效質(zhì)心位置以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的重力補(bǔ)償，通過有限元對(duì)比分析了重力補(bǔ)償前后的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，驗(yàn)證了重力補(bǔ)償?shù)挠行?。王攀峰等[4]針對(duì)絲桿傳動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，根據(jù)虛功原理提出了含有重力補(bǔ)償?shù)挠?jì)算方法，通過反饋力的控制實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了重力補(bǔ)償設(shè)計(jì)算法的有效性。蔣君俠等[5]針對(duì)倒掛式遙控機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，提出了重力補(bǔ)償方法，建立了機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力模型，對(duì)比分析了各個(gè)位姿下的關(guān)節(jié)軸扭矩情況，表明所提重力補(bǔ)償算法具有較高的補(bǔ)償精度。劉巖等人[6]針對(duì)機(jī)械手負(fù)載過程中力傳感器的測(cè)量，提出了機(jī)械手負(fù)載端重力補(bǔ)償策略，建立了重力補(bǔ)償系統(tǒng)模型，通過MATLAB和有限元聯(lián)合仿真，分析了所提重力補(bǔ)償策略的合理性。喬丹等人[7]針對(duì)用于人機(jī)交互的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上提出了重力補(bǔ)償控制器，分析結(jié)果表明該機(jī)構(gòu)通過重力補(bǔ)償后，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制精度得到了有效提高。段宇飛等[8]在機(jī)器人末端安裝了力傳感器，在牽引力作用下提出了機(jī)器人重力補(bǔ)償策略，該策略能有效控制誤差波動(dòng)，能夠?qū)崿F(xiàn)力和位移的階段性變化，提高機(jī)器人的控制精度。

使用上述重力平衡機(jī)構(gòu)的機(jī)器人，由于重力補(bǔ)償器的軸線與平衡連桿的軸完全對(duì)齊的條件比較苛刻，會(huì)導(dǎo)致人機(jī)系統(tǒng)過度約束，且容易產(chǎn)生較大的接觸力或扭矩，往往在實(shí)踐中難以實(shí)現(xiàn)。本文作者提出一種對(duì)被平衡機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)中心滑動(dòng)不敏感的可穿戴式空間重力補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)方法。該方法不需要將人體關(guān)節(jié)與補(bǔ)償器的關(guān)節(jié)精確對(duì)齊，能夠兼容因佩戴誤差和個(gè)體間形態(tài)不同而導(dǎo)致的人機(jī)關(guān)節(jié)錯(cuò)位。

1 空間串聯(lián)連桿的重力等效子系統(tǒng)

圖1所示為具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的連桿空間串聯(lián)機(jī)構(gòu)示意，其勢(shì)能Ug[9]可表示為

(1)

圖1 空間串聯(lián)連桿示意

其中：mi表示連桿i的質(zhì)量；g表示重力加速度；rmi表示連桿i的質(zhì)心在全局坐標(biāo)系o-xyz中的坐標(biāo)。

rmi表示為

(2.1)

(2.2)

(2.3)

將式(2.1)—(2.3)代入式(1)，得到：

(3)

式(3)表示空間串聯(lián)機(jī)構(gòu)的重力勢(shì)能等于n個(gè)解耦子系統(tǒng)的重力勢(shì)能之和，第一項(xiàng)為第n-1個(gè)重力等效子系統(tǒng)，第二項(xiàng)為第n個(gè)重力等效子系統(tǒng)。重力等效子系統(tǒng)i由連桿i組成，其旋轉(zhuǎn)中心移到全局坐標(biāo)系o-xyz的原點(diǎn)o，并將從連桿i+1到連桿n的質(zhì)量之和添加到連桿i的遠(yuǎn)端，如圖2所示。如果每個(gè)子系統(tǒng)都是平衡的，即每個(gè)子系統(tǒng)的勢(shì)能保持不變，而不考慮關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)，則串聯(lián)機(jī)構(gòu)的總勢(shì)能也保持不變，整個(gè)系統(tǒng)是平衡的。而且這些子系統(tǒng)的重力公式是相似的，即它們可以由同一個(gè)重力補(bǔ)償器進(jìn)行平衡。近端連桿的旋轉(zhuǎn)會(huì)影響遠(yuǎn)端連桿的方向，隨著連桿數(shù)量的增加，遠(yuǎn)端連桿的旋轉(zhuǎn)會(huì)變得非常復(fù)雜。每個(gè)子系統(tǒng)都可以看作是一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，通過分析單連桿定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的重力平衡方法，可以解決各子系統(tǒng)的平衡問題。

圖2 重力等效子系統(tǒng)示意

2 偏航平面單連桿重力補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)

2.1 單自由度剛體旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)分析

單自由度剛體旋轉(zhuǎn)可分解為耦合的三軸旋轉(zhuǎn)。在確定了連桿的方向后，可以通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解出對(duì)應(yīng)的三軸旋轉(zhuǎn)角[10]，即沿y軸方向的偏航角α、偏航平面中的傾角β和沿連桿縱軸方向的跨度角γ，如圖3所示，xy平面為垂直平面，xz平面為水平面，yST平面為偏航平面。如果采用球形關(guān)節(jié)S連接到基座上的單連桿機(jī)構(gòu)可以平衡，那么其他類型的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)也可以平衡。

圖3 固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)分解

作者認(rèn)為只有傾斜角β影響系統(tǒng)的重力勢(shì)能，忽略角α和γ的影響，分析偏航平面內(nèi)的平衡條件。系統(tǒng)的重力勢(shì)能為

Eg=-mglcosβ

(4)

其中：m是平衡連桿的質(zhì)量；l是旋轉(zhuǎn)中心O到平衡連桿的質(zhì)心的距離。通過彈簧來平衡系統(tǒng)的重力，彈簧的彈性勢(shì)能為

Es=1/2kΔx2

(5)

式中：k為彈簧剛度；Δx為彈簧變形。

重力平衡的理想條件是，在任何構(gòu)型中，重力力矩τg和由關(guān)節(jié)S處的彈簧力引起的力矩τs之和總是等于零[11]，即：

(6)

式(6)要求Eg和Es與傾角β無關(guān)，即Es必須包含cos項(xiàng)來消去Eg的cos項(xiàng)。式(6)成立的充分條件是彈簧變形Δx與傾斜角β之間存在約束，即：

Δx2=c0+c1cosβ

(7)

其中：c0和c1是待定系數(shù)。將式(7)代入式(5)，并將得到的Es和式(4)代入式(6)，則有：

c1=2mgl/k

(8)

將式(8)代入式(7)，得到：

Δx2=c0+2mgl/kcosβ

(9)

其中：待定系數(shù)c0沒有其他約束。實(shí)現(xiàn)完美重力平衡的關(guān)鍵是如何物理實(shí)現(xiàn)約束方程(9)。

(1)基于余弦公式

根據(jù)式(9)，可以通過三角形的余弦定律來實(shí)現(xiàn)，即：

Δx2=a2+b2-2abcosβ

(10)

式中：a和b為三角形中偏航角β的相鄰邊長(zhǎng)度；彈簧伸長(zhǎng)Δx為偏航角β的對(duì)邊長(zhǎng)度。式(10)的形式與式(9)相同，則有：

c0=a2+b2

(11.1)

k=-mgl/(ab)

(11.2)

(2)基于雙角公式

如果將式(9)右側(cè)的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為平方函數(shù)，則可以簡(jiǎn)化約束式(9)。cosβ可以通過倍角公式轉(zhuǎn)化為二次型，即：

cosβ=1-2sin2(β/2)

(12)

將式(12)代入式(9)，調(diào)整待定系數(shù)c0以消除所得方程的常數(shù)項(xiàng)，得到：

(13)

(14.1)

k=-4mgl/r2

(14.2)

2.2 偏航面上連桿的平面重力補(bǔ)償

基于雙角公式的重力補(bǔ)償器由兩個(gè)傳動(dòng)子系統(tǒng)組成，即齒輪傳動(dòng)和諧波位移發(fā)生器。齒輪傳動(dòng)包括大齒輪(BG)、小齒輪(SG)和耦合器(CP)。BG的節(jié)距半徑是SG的節(jié)距半徑的2倍，可知BG始終是齒輪傳動(dòng)的輸出環(huán)節(jié)，它將與諧波位移發(fā)生器相連。SG和CP中的一個(gè)固定連接到平衡連桿作為輸入環(huán)節(jié)，另一個(gè)固定作為底座，由此推導(dǎo)出如圖4所示的兩種構(gòu)型。對(duì)于串聯(lián)連桿的重力平衡，構(gòu)型2更優(yōu)，因?yàn)橛凶銐虻妮S向空間安裝諧波位移發(fā)生器[12]，并將用作重力補(bǔ)償器的部件。

圖4 齒輪機(jī)構(gòu)的兩種構(gòu)型

互補(bǔ)諧波位移發(fā)生器由兩個(gè)雙滑塊機(jī)構(gòu)(DSM)組成，即DSM 1和DSM 2，如圖5所示。在每個(gè)DSM中，滑塊1和滑塊2的滑動(dòng)方向是正交的。在滑塊1和滑塊2之間設(shè)置了一個(gè)自由長(zhǎng)度為l0的壓縮彈簧?；パa(bǔ)性是指當(dāng)一個(gè)DSM的壓縮彈簧不被壓縮時(shí)，另一個(gè)DSM中的彈簧始終處于壓縮狀態(tài)，這就保證了平衡連桿可以用任何旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行平衡。在實(shí)際應(yīng)用中，只要BG相對(duì)于原始位置的旋轉(zhuǎn)角度ε在一個(gè)區(qū)間(0，180°)內(nèi)，即ε∈(0，180°)，則只有DSM 1工作。在接下來的分析和設(shè)計(jì)中，諧波位移發(fā)生器只包含了DSM 1。

圖5 互補(bǔ)諧波位移發(fā)生器

齒輪傳動(dòng)裝置與僅包含DSM1的諧波位移發(fā)生器組成平面重力補(bǔ)償單元，如圖6所示。為了使平面重力補(bǔ)償單元中的彈簧保持壓縮狀態(tài)，即ε∈(0，180°)，CP (平衡連桿)的傾角β應(yīng)滿足約束β∈(0，360°)，即平衡連桿不穿過垂直向上的構(gòu)型。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)平面重力補(bǔ)償單元的質(zhì)心始終在平衡連桿的縱軸上，從旋轉(zhuǎn)中心o到平面重力補(bǔ)償單元質(zhì)心的距離lc是恒定的。為了保證完全的重力平衡，包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能在內(nèi)的勢(shì)能應(yīng)該與傾角β無關(guān)。根據(jù)式(14.2)確定彈簧剛度為

(15)

圖6 平面重力補(bǔ)償單元結(jié)構(gòu)示意

其中：lc為旋轉(zhuǎn)中心o到平面重力補(bǔ)償單元質(zhì)心的距離；lm為旋轉(zhuǎn)中心o到平衡連桿質(zhì)心的距離；mc為平面重力補(bǔ)償單元的質(zhì)量；m為平衡連桿的質(zhì)量；r為平面重力補(bǔ)償單元中的曲柄半徑。

3 平面串聯(lián)機(jī)構(gòu)的重力平衡

為實(shí)現(xiàn)n連桿串聯(lián)平面機(jī)構(gòu)在偏航平面上的完全重力平衡，將同步機(jī)構(gòu)(TBMs)與平面重力補(bǔ)償單元按傳遞垂直方向的順序串聯(lián)，如圖7所示，其中叉(×)表示各部件剛性連接。具體來說，TBMi(i=1,2,…,n-1)由左同步滑輪i(LTPi)、右同步滑輪i(RTPi)和同步帶i(TBi)組成，LTPi的角度通過同步帶TBi傳遞給RTPi，LTPi與平衡連桿i的關(guān)節(jié)Si以及SGi的旋轉(zhuǎn)軸同軸，與SGi固定，RTPi與SGi+1同軸并固定連接。使用Si表示圖7中的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i，表示第5節(jié)中球形關(guān)節(jié)i。

圖7 平面串聯(lián)連桿機(jī)構(gòu)的平面重力補(bǔ)償機(jī)構(gòu)

由于n個(gè)連桿串聯(lián)機(jī)構(gòu)可視為n個(gè)解耦子系統(tǒng)，如果每個(gè)子系統(tǒng)都是重力平衡的，那么整個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能將是恒定的，即整個(gè)系統(tǒng)的重力平衡就會(huì)實(shí)現(xiàn)。根據(jù)式(3)(15)，平衡子系統(tǒng)i的平面重力補(bǔ)償單元i的彈簧剛度ki可以確定為

(16)

其中：mi表示平衡連桿i的質(zhì)量；mci表示平面重力補(bǔ)償單元i的質(zhì)量；lmi表示平衡連桿i相對(duì)于關(guān)節(jié)Si的旋轉(zhuǎn)軸的質(zhì)心；lci表示平面重力補(bǔ)償單元i相對(duì)于關(guān)節(jié)Si的旋轉(zhuǎn)軸的質(zhì)心；li表示關(guān)節(jié)Si軸線到關(guān)節(jié)Si+1軸線的距離；ri表示平面重力補(bǔ)償單元i的曲柄半徑。

對(duì)于一組特殊的空間機(jī)構(gòu)，其近端第一個(gè)關(guān)節(jié)α的旋轉(zhuǎn)軸與重力方向平行，其他所有關(guān)節(jié)Si垂直于同一偏航面，由于第一關(guān)節(jié)α不受重力力矩的影響，可以根據(jù)所提的平面重力補(bǔ)償器進(jìn)行平衡。

4 空間串聯(lián)連桿的重力平衡

4.1 空間重力補(bǔ)償單元

具有定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的單連桿機(jī)構(gòu)的空間重力補(bǔ)償單元如圖8所示。當(dāng)平面重力補(bǔ)償單元以γ角繞其縱軸旋轉(zhuǎn)，且連桿1所在的垂直面可能以相對(duì)于原垂直面o-xy的偏航角α轉(zhuǎn)向偏航面時(shí)，需對(duì)其修改以適應(yīng)空間固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

圖8 空間重力補(bǔ)償單元等效原理

對(duì)于旋角γ，它對(duì)平衡連桿的重力勢(shì)能沒有影響，即自旋運(yùn)動(dòng)不應(yīng)傳遞到空間重力補(bǔ)償單元，因此在連桿1與平面重力補(bǔ)償單元之間的連接處增加了旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)R1。對(duì)于偏航角α，轉(zhuǎn)動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)-圓柱鏈(R4R3C)替換平面重力補(bǔ)償單元中SG與底座之間的固定連接，連桿3固定在SG上。R4R3C鏈限制SG的兩次旋轉(zhuǎn)，使SG軸保持在一定的水平面內(nèi)，并阻止SG繞其軸旋轉(zhuǎn)，以傳遞垂直方向運(yùn)動(dòng)或力。在平面重力補(bǔ)償單元中，SG與底座固定連接，不能繞自身軸旋轉(zhuǎn)。而在空間重力補(bǔ)償單元中，R4R3C模擬了這種連接，即SG不能繞關(guān)節(jié)R2旋轉(zhuǎn)，但關(guān)節(jié)R2可繞垂直方向進(jìn)行空間平移和旋轉(zhuǎn)，以適應(yīng)連桿1的偏航運(yùn)動(dòng)。平面重力補(bǔ)償單元替換為關(guān)節(jié)R2，其軸線與SG的軸線對(duì)齊，且有一個(gè)等效的扭矩τc由作用在連桿2上的平面重力補(bǔ)償單元提供，它將最終平衡空間重力補(bǔ)償單元和平衡連桿的重力。顯然，存在一個(gè)反力矩-τc作用在連桿3上，連桿1和空間重力補(bǔ)償單元形成一個(gè)由6個(gè)關(guān)節(jié)組成的閉環(huán)R4R3CR2R1S。在確定連桿1的方向后，即鎖住關(guān)節(jié)S，空間重力補(bǔ)償單元應(yīng)成為具有零自由度的正則構(gòu)型，即：

(17)

式中：f表示循環(huán)的自由度；ci表示關(guān)節(jié)i的連接數(shù)量；d為機(jī)構(gòu)所在空間的維數(shù)；l為閉環(huán)的個(gè)數(shù)。

空間重力補(bǔ)償單元在關(guān)節(jié)R2處被拆卸分為上、下兩部分，如圖9所示。下半部分中，R4R3C的3個(gè)關(guān)節(jié)軸是豎直且非共面的，R2的軸線垂直于由連桿3的形狀所確定的C軸。這個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈?zhǔn)惯B桿3能夠在空間中自由平移，并繞垂直軸旋轉(zhuǎn)。關(guān)節(jié)R2軸線被約束在某個(gè)平面1上。上半部分中，關(guān)節(jié)R1軸線與連桿1的方向HJ重合，經(jīng)過關(guān)節(jié)S。關(guān)節(jié)R2軸線與線HJ垂直，顯然四邊形IJKL總是一個(gè)矩形[13]。關(guān)節(jié)R2下半部分和上半部分是同一個(gè)關(guān)節(jié)，連接時(shí)重疊。關(guān)節(jié)R2軸線的兩個(gè)約束，即關(guān)節(jié)R2軸線在平面1和平面2上，需要同時(shí)滿足。因此關(guān)節(jié)R2軸線與連桿1為相互垂直。根據(jù)上述幾何關(guān)系，連桿2與y軸的夾角等于連桿1與y軸的傾角β。

圖9 空間重力補(bǔ)償單元的分解

4.2 空間串聯(lián)連桿的重力平衡方法

當(dāng)連桿旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)中心往往會(huì)漂移[14]，當(dāng)關(guān)節(jié)S的中心漂移時(shí)，機(jī)構(gòu)不阻止平衡連桿的運(yùn)動(dòng)。圖10中3種類型關(guān)節(jié)的不同排列方式導(dǎo)致了不同的重力平衡性能。

圖10 空間重力補(bǔ)償單元3種類型的靜力特性

圖10(a)中，關(guān)節(jié)R2的軸LI不一定要經(jīng)過關(guān)節(jié)S的中心H，即機(jī)械關(guān)節(jié)不一定與解剖關(guān)節(jié)對(duì)齊。在連桿1的旋轉(zhuǎn)過程中，始終保留了第4.1節(jié)中的運(yùn)動(dòng)特性，矩形IJKL的形狀沒有改變，這使得在按照式(15)確定彈簧剛度時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能保持不變。這樣，就實(shí)現(xiàn)了完全的引力平衡[15]。當(dāng)關(guān)節(jié)S的旋轉(zhuǎn)中心H因人體關(guān)節(jié)的解剖特征而漂移時(shí)，整個(gè)機(jī)構(gòu)可視為一個(gè)等效系統(tǒng)：關(guān)節(jié)S的旋轉(zhuǎn)中心H保持靜止，但關(guān)節(jié)R4的旋轉(zhuǎn)中心N沿某一方向具有三維位移。R4R3C鏈可以完全自行補(bǔ)償點(diǎn)N的三維位移而不影響其他部位，即關(guān)節(jié)C以上部位的位姿保持靜止，平衡條件成立。R4R3C鏈的姿態(tài)因點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)而改變，但對(duì)機(jī)構(gòu)的平衡性能沒有影響。當(dāng)關(guān)節(jié)S的旋轉(zhuǎn)中心H移動(dòng)時(shí)，空間重力補(bǔ)償單元仍然可以保持完全的重力平衡。

圖10(b)中的類型要求關(guān)節(jié)R2的LI軸精確地通過關(guān)節(jié)S的中心H，否則當(dāng)連桿1旋轉(zhuǎn)時(shí)，矩形IJKL將不再成立，直線LK與y軸的夾角將不再等于傾斜角β，從而無法實(shí)現(xiàn)完全的重力平衡。顯然，當(dāng)關(guān)節(jié)S的中心H漂移時(shí)，就不能滿足上述要求，從而無法實(shí)現(xiàn)完全的重力平衡。

圖10(c)中的類型也需要R2的LI軸通過中心H。其他分析與圖10(b)相似。當(dāng)關(guān)節(jié)S的中心H漂移時(shí)，無法實(shí)現(xiàn)完全的重力平衡。

由于篇幅所限，本文作者僅討論基于空間重力補(bǔ)償單元型的R4R3CR2R1空間串聯(lián)連桿的重力平衡方法，重力平衡機(jī)構(gòu)可以通過如圖11所示的方法構(gòu)建。

圖11 空間補(bǔ)償?shù)臉?gòu)建方法

在實(shí)際實(shí)施中，通過TBM傳遞垂直方向的方法，關(guān)節(jié)被平衡地串聯(lián)在連桿運(yùn)動(dòng)過程中，氣缸體積較小，不需要較大的空間，且空間重力補(bǔ)償單元與串聯(lián)連桿之間能夠避免干擾。關(guān)節(jié)1R4 與底座固定連接，SG1、LTP1和連桿1L3固定連接，RTP1與連桿2L0固定連接。連桿2L3、LTP2和SG2固定連接。

5 機(jī)器人重力補(bǔ)償仿真分析

5.1 仿真設(shè)置

文中進(jìn)行了兩次仿真，以驗(yàn)證機(jī)器人的重力補(bǔ)償性能。假設(shè)一個(gè)人的質(zhì)量和身高分別為m=70 kg和H=170 cm。根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，上臂(平衡連桿1)和前臂(平衡連桿2)的長(zhǎng)度分別為l1=0.186H=0.316 2 m和l2=0.146H=0.248 2 m，對(duì)應(yīng)質(zhì)量m1=0.028m=1.96 kg和m2=0.016m=1.12 kg。上臂質(zhì)心與肩關(guān)節(jié)S1之間的距離為lm1=0.436l1=0.137 9 m，上臂質(zhì)心與肘關(guān)節(jié)S2之間的距離為lm2=0.43l2=0.106 7 m，手被簡(jiǎn)化為位于前臂遠(yuǎn)端S3的點(diǎn)質(zhì)量m3=0.006m=0.42 kg?？臻g重力補(bǔ)償單元i的質(zhì)量為mci(mc1=mc2=1 kg)，空間重力補(bǔ)償單元i的質(zhì)心與關(guān)節(jié)Si軸線之間沿x軸的距離為lci(lc1=lc2=0.06 m)，空間重力補(bǔ)償單元i的質(zhì)心相對(duì)于肢體o-xy平面的偏移量為loi(lo1=lo2=0.065 m)，空間重力補(bǔ)償單元i具有半徑為ri的曲柄(r1=0.048 m，r2=0.045 m)，根據(jù)式(16)確定空間重力補(bǔ)償單元i的彈簧剛度ki(k1=19 284 N/m，k2= 5 492.8 N/m)。盂肱關(guān)節(jié)相當(dāng)于3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)α、β、γ，肘關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化為關(guān)節(jié)δ。在后續(xù)的兩次仿真中，上肢在初始構(gòu)型中沿x軸的正方向姿勢(shì)，即點(diǎn)E的初始坐標(biāo)為rE(0)=(l1+l20 0]T。

(1) 上臂運(yùn)動(dòng)的仿真

仿真如圖12所示，關(guān)節(jié)γ、δ被鎖定，上肢點(diǎn)E的遠(yuǎn)端由關(guān)節(jié)α、β驅(qū)動(dòng)，并在橢球面上做螺旋運(yùn)動(dòng)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)在o-zy平面上的投影是一個(gè)半徑逐漸增大的螺旋，由一個(gè)帶半軸a和b的橢圓包圍，其軌跡表示如下：

(18)

圖12 上臂運(yùn)動(dòng)的仿真

其中：T為運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，T∈[0，T]為當(dāng)前時(shí)間；n為T中螺旋的圈數(shù)。

從逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析關(guān)節(jié)的動(dòng)作模式，即α(t)和β(t)可以得到解決。在仿真中，T=20 s，n=2，A=(l1+l2)sin80°，B=(l1+l2)sin60°。因此，在仿真過程中，α∈[-80°，80°]，β∈[-60°，60°]。

(2)前臂運(yùn)動(dòng)的仿真

仿真如圖13所示，在此仿真中，關(guān)節(jié)α和β始終處于鎖定狀態(tài)。該仿真由兩個(gè)階段組成，其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T1和T2。第一階段，前臂由關(guān)節(jié)δ驅(qū)動(dòng)，使遠(yuǎn)端按五階多項(xiàng)式定律沿關(guān)節(jié)E旋轉(zhuǎn)δT1=90°。

(19)

圖13 前臂運(yùn)動(dòng)的仿真

其中：t∈[0,T1]，五階多項(xiàng)式施加了約束：δ(0)=δ′(0)=δ′(T1)=δ″(0)=δ″(T1)=0和δ(T1)=δT1。

第二階段，點(diǎn)E在關(guān)節(jié)γ和δ的驅(qū)動(dòng)下在橢球面上做螺旋運(yùn)動(dòng)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)在o-xy平面上的投影是一個(gè)半徑逐漸增大的螺旋，被具有半軸a和b的橢圓所限定，軌跡表示為

(20)

其中：t∈[T1,T1+T2]。

從逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，在關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)模中式，當(dāng)t∈[T1,T1+T2]，可以求解γ(t)和δ(t)，在仿真中，T1=5 s，T2=15 s，n=2，A=(l1+l2)sin10°，B=(l1+l2)sin80°。

5.2 仿真結(jié)果

在運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真中，外骨骼與上肢之間未發(fā)現(xiàn)干擾。仿真1和仿真2的4個(gè)關(guān)節(jié)α、β、γ和δ的扭矩分別如圖14和圖15所示，比較了上肢佩戴帶彈簧(平衡)和不帶彈簧(不平衡)的外骨骼時(shí)每個(gè)關(guān)節(jié)的期望扭矩，期望扭矩由逆動(dòng)力學(xué)得到。在仿真1中，如圖14所示，平衡后β關(guān)節(jié)內(nèi)的扭矩降低到非常低的水平(-0.075～0.1 N·m)，平衡前的扭矩為6～14 N·m。由于動(dòng)作運(yùn)動(dòng)較慢，關(guān)節(jié)α、γ和δ中的扭矩相對(duì)較小。

圖14 上臂運(yùn)動(dòng)平衡前后的關(guān)節(jié)力矩

圖15 前臂運(yùn)動(dòng)平衡前后的關(guān)節(jié)力矩

在仿真2中，如圖15所示，平衡后關(guān)節(jié)β和γ中的扭矩降低到非常低的水平，分別為0～0.05 N·m和-0.04～0.07 N·m，無彈簧的扭矩分別為10.4～13.8 N·m和0～2.7 N·m。由于動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)，關(guān)節(jié)α和δ中的扭矩相對(duì)較小。兩次仿真的力矩曲線表明：該機(jī)構(gòu)能夠很好地平衡自身重力和上肢重力，而不會(huì)對(duì)其他關(guān)節(jié)施加其他的力矩，驗(yàn)證了所提機(jī)構(gòu)的重力平衡性能和所提設(shè)計(jì)方法的有效性。

6 結(jié)論

本文作者介紹了一種可穿戴式機(jī)器人空間重力平衡機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，可有效避免平衡連桿旋轉(zhuǎn)中心與補(bǔ)償器軸線不對(duì)中的問題?？偨Y(jié)如下：

(1)將空間多連桿串聯(lián)機(jī)構(gòu)的重力勢(shì)能視為多個(gè)子系統(tǒng)的重力勢(shì)能之和，在平衡連桿的偏航面旋轉(zhuǎn)中，設(shè)計(jì)了平面重力補(bǔ)償單元，然后將補(bǔ)償單元改裝成空間重力補(bǔ)償單元，以適應(yīng)平衡連桿的一般性旋轉(zhuǎn)。

(2)為平面單連桿設(shè)計(jì)了重力補(bǔ)償單元，并推廣到通過按順序組合重力補(bǔ)償單元和同步帶結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)平面串聯(lián)連桿的重力補(bǔ)償。將RRC和R關(guān)節(jié)添加到平面重力補(bǔ)償單元中，從而實(shí)現(xiàn)單連桿與空間固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相平衡。

(3)通過對(duì)空間重力補(bǔ)償?shù)姆抡娣治?，?yàn)證了重力平衡性能和所提設(shè)計(jì)方法的有效性。由于其符合人機(jī)耦合系統(tǒng)和重力平衡性能，能在可穿戴式機(jī)器人的重力平衡機(jī)構(gòu)中得到有效利用。