毛廷鎏 趙建印 耿 東 吳一喬 雷 瑤

（海軍航空大學(xué) 煙臺 264001）

1 引言

在產(chǎn)品的測試過程中，有靜態(tài)測試和動態(tài)測試兩種方式，由于兩種測試方式側(cè)重的測試數(shù)據(jù)不同，導(dǎo)致產(chǎn)生的誤差也具備不同的特點，因此在測量誤差分析上所釆用的方法也有很大區(qū)別。從目前我國誤差修正方法的研究來看，普遍適用于靜態(tài)測量誤差分析，比如最小二乘法［1～2］、分段直線擬合法［3～4］等等，這些方法理論已經(jīng)非常成熟，應(yīng)用也比較廣泛，在處理靜態(tài)測量誤差上，具有較好的效果，但對于具有動態(tài)特點的測量誤差，其效果往往不夠理想。因此對于動態(tài)測量誤差的分析，需要進(jìn)一步改進(jìn)誤差修正方法。針對這一問題，當(dāng)前已經(jīng)有了一些研究成果［5～7］，但還有許多的研究空間。例如將貝葉斯［8～9］、灰色模型［10～11］以及卡爾曼濾波方法［12～13］等具有預(yù)測和學(xué)習(xí)的方法運用到誤差修正上，彌補傳統(tǒng)誤差修正方法不適用于動態(tài)誤差修正的缺點，結(jié)合某型航空發(fā)動機的動態(tài)測試數(shù)據(jù)誤差修正，分析幾種方法的優(yōu)缺點，為選擇合理的動態(tài)測量數(shù)據(jù)誤差修正模型提供思路。

在某型航空發(fā)動機的性能參數(shù)測試中，很大一部分參數(shù)都具有隨時間動態(tài)變化的特點，從中選取兩個參數(shù)，一個是具有線性變化特點的參數(shù)，一個是具有非穩(wěn)定性變化特點的參數(shù)。同時從測試數(shù)據(jù)中分別截取兩個參數(shù)的10 組時間序列數(shù)據(jù)，并與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較，得到誤差數(shù)據(jù)如表1、表2 所示。

表1 參數(shù)1測試誤差數(shù)據(jù)

表2 參數(shù)2測試誤差數(shù)據(jù)

2 基于貝葉斯模型的動態(tài)誤差修正方法

貝葉斯預(yù)測修正模型的建立是利用客觀信息和主觀信息相結(jié)合的方法，具有較好的適用性，可以對復(fù)雜的變化規(guī)律進(jìn)行描述，也可以對發(fā)生的異常情況進(jìn)行處理［9，14］。

針對某型航空發(fā)動機動態(tài)測試誤差數(shù)據(jù)，設(shè)yt為參數(shù)的測試值，θt為模型的隨機狀態(tài)變量，反映參數(shù)的誤差趨勢，F(xiàn)′t、Gt為模型函數(shù)，建立觀測方程（反映測試值在隨機狀態(tài)變量下的趨勢）和狀態(tài)方程（反映所取狀態(tài)變量的隨機變動）如下：

為了更好描述發(fā)動機動態(tài)測量中數(shù)據(jù)誤差的多種規(guī)律，利用線性疊加方法將貝葉斯三種基本模型（趨勢模型、季節(jié)模型、回歸模型）融合建立貝葉斯混合模型［15］，基本形式如下：

設(shè)混合模型的狀態(tài)向量為θit,i=1,2,3，代入式（1）、式（2），則有：

設(shè)D0為包含過去時間序列信息的原始數(shù)據(jù)樣本，則各模型的先驗信息分布如式（7）所示，總模型的先驗分布表示為式（8）和（9）。

取t時刻的狀態(tài)向量為θt，設(shè)p=(θt|Dt-1) 為參數(shù)的先驗分布模型，p=(θt|Dt)為后驗分布模型，t時刻之前所有的有效信息為Dt，記為

針對發(fā)動機參數(shù)動態(tài)測試得到的原始信號進(jìn)行誤差分離，得到n個動態(tài)誤差序列：

根據(jù)動態(tài)誤差序列和發(fā)動機參數(shù)的動態(tài)特點，建立發(fā)動機測試數(shù)據(jù)誤差的貝葉斯動態(tài)模型，其分布如下：

得到其第t+r項前的分布為

當(dāng)t=n時，通過r步向前預(yù)測，就可以得到t+r時刻的參數(shù)動態(tài)預(yù)報值yt+r，由此可以實現(xiàn)發(fā)動機參數(shù)動態(tài)測量誤差的實時修正。

3 基于灰色模型的動態(tài)誤差修正方法

灰色模型本身就包含了一般線性回歸和幕函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，使得模型的趨勢性比較強，且具有較快的建模速度和計算速度［16～17］。

基于灰色模型解決某型航空發(fā)動機動態(tài)測量中的誤差問題時，可以采用GM(1 ,1) 模型。其中G表示Grey（灰色），M表示Mode（模型），GM(1 ,1)表示1階的、1個變量的灰色模型［18］。

設(shè)測得發(fā)動機參數(shù)的原始序列為

設(shè)X(1)為X(0)的一次累加序列：

即：

利用X()1計算GM( )1,1 模型中的參數(shù)a、u。令：。

式中：，則有：

由此獲得GM(1 ,1) 模型如下：

采用相對誤差檢驗法和后驗差檢驗法這兩種方法對模型的精度進(jìn)行檢驗［19］。

1）相對誤差檢驗方法

設(shè)殘差序列為

相對誤差序列為

通過殘差的大小來判斷模型的好壞。殘差大，說明精度低；殘差小，說明精度高。對于k≤n，稱為k點模擬相對誤差，稱為平均相對誤差。給定α，當(dāng)<α且Δk<α成立時，稱模型為殘差合格模型。精度等級參照表3。

表3 相對誤差精度檢驗對照表

2）后驗差檢驗方法

要確定所建立的模型是否合格，必須用后驗差檢驗［20］。設(shè)X(0)為原始序列，(0)為相應(yīng)的模擬序列，ε(0)為X(0)與(0)的殘差序列，則求得X(0)的均值和方差如式（24）所示。殘差的均值和方差如式（25）所示。

C=S2/S1稱為均方差的比值，假如給定的C0>0 并且當(dāng)C

式（26）為模型的小誤差概率精度，假如給定的p0>0，并且當(dāng)p>p0時，認(rèn)為模型誤差較小。具體分級見表4。

表4 小誤差概率和方差比精度檢驗對照表

經(jīng)過檢驗后，獲得預(yù)測值如下：

以上得到的預(yù)測值即為經(jīng)過誤差修正的各時間序列點的發(fā)動機參數(shù)預(yù)測值。

4 基于卡爾曼濾波的動態(tài)測試誤差修正方法

卡爾曼濾波通過對先驗估計以及新的變量輸入進(jìn)行不斷的迭代和遞歸，從而更新狀態(tài)變量的估計，下步計算中將其作為先驗估計，所以僅需存儲前一步的先驗狀態(tài)估計數(shù)據(jù)［21～22］，這種特性使卡爾曼濾波在非線性系統(tǒng)隨機誤差的預(yù)估修正中具有很好的效果。

針對發(fā)動機動態(tài)測量數(shù)據(jù)誤差，設(shè)狀態(tài)變量xt是一組可以描述所測參數(shù)動態(tài)變化的最小數(shù)組，ut為測量系統(tǒng)的實際輸入值，wt為預(yù)估噪聲模型參數(shù)，一般為常量，yt為量測值；′t為狀態(tài)先驗估計值，′t為觀測先驗估計值，t為狀態(tài)后驗估計值。

確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)后，參數(shù)下一時刻的狀態(tài)預(yù)測值可根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得到，yt預(yù)估值由狀態(tài)預(yù)測值經(jīng)過觀測方程處理后得到；式（28）（狀態(tài)時間更新方程）與式（29）（輸出測量更新方程）構(gòu)成了線性卡爾曼濾波基本模型。

其中mt為測試系統(tǒng)的輸入過程噪聲，et為系統(tǒng)的觀察噪聲，假設(shè)它們是正態(tài)分布的白噪聲且相互獨立，即p(ε)～N(0,Qt)，p(μ)～N(0,Rt)；Qt為觀測噪聲協(xié)方差矩陣，Rt為輸入噪聲協(xié)方差矩陣。

假設(shè)給定參數(shù)的觀測值yt并知道t 時刻之前的過程，設(shè)t 時刻先驗狀態(tài)估計為′t、后驗狀態(tài)估計為t，先驗估計誤差可以定義為，后驗估計誤差可以定義為，則為先驗誤差協(xié)方差，為后驗估計協(xié)方差。

式中Kt(yt-′t)為誤差值，反應(yīng)的是實際觀測值yt和觀測估計Ht′t之間的誤差關(guān)系；矩陣Kt代表的是卡爾曼增益，式（32）～（34）為計算該增益的方程。

經(jīng)過以上分析，可以推導(dǎo)出發(fā)動機測試參數(shù)誤差修正卡爾曼濾波器的基本算法如下：

其狀態(tài)預(yù)測方程如式（35）：

協(xié)方差預(yù)測方程如式（36）：

利用式（32）～（34）可以計算參數(shù)預(yù)估的卡爾曼增益，式（30）可計算觀測估計值，式（31）可進(jìn)行狀態(tài)更新。

利用式（37）進(jìn)行協(xié)方差更新：

利用上述卡爾曼濾波算法進(jìn)行遞歸計算，可以實現(xiàn)發(fā)動機參數(shù)測試誤差的修正。

5 幾種動態(tài)誤差修正方法的比較

針對引言中某型航空發(fā)動機性能測試中的兩個動態(tài)變化類參數(shù)的測試數(shù)據(jù)。本節(jié)利用上述方法分別對其誤差進(jìn)行了修正，圖1、圖2分別給出了兩個參數(shù)的動態(tài)預(yù)估修正結(jié)果，表5、表6為針對兩個參數(shù)分別截取的10 個序列數(shù)據(jù)以及各修正方法的修正結(jié)果數(shù)據(jù)對比。

圖1 參數(shù)1動態(tài)誤差預(yù)估修正對比圖

圖2 參數(shù)2動態(tài)誤差預(yù)估修正對比圖

表5 參數(shù)1誤差修正數(shù)據(jù)對比

表6 參數(shù)2誤差修正數(shù)據(jù)對比

從圖3 和表5 可以看出，在參數(shù)1 動態(tài)測試的中段，幾種方法的誤差修正效果都比較理想，但在開始階段和結(jié)尾階段，貝葉斯方法、灰色模型方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法波動較大，而基于卡爾曼濾波的修正方法在參數(shù)1 的修正上表現(xiàn)出了更好的性能，尤其是第7 組數(shù)據(jù)可以看出，在測試誤差較大時，前三種方法的修正效果明顯不如第四種方法好。

從圖4 以及表6 可以看出，貝葉斯方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在針對參數(shù)2 進(jìn)行誤差修正時，達(dá)不到誤差實吋修正的效果；灰色模型的修正效果較前兩種方法要好，但其波動性仍然較大；卡爾曼濾波方法依然比其他幾種方法的修正效果更好，說明卡爾曼濾波方法也適用于類似參數(shù)2 的動態(tài)誤差數(shù)據(jù)修正［23］。

6 結(jié)語

本文研究了四種常用的動態(tài)誤差修正方法，選取某型航空發(fā)動機動態(tài)測試中兩個參數(shù)的誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行修正對比，第一個參數(shù)具有線性變化特點，第二個參數(shù)具有周期性和非穩(wěn)定性特點。在針對第一個參數(shù)誤差數(shù)據(jù)的修正中，四種動態(tài)誤差修正方法在時間序列的中段均表現(xiàn)出了較好的修正效果；但在時間序列的兩端，貝葉斯、灰色模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)三種方法的修正結(jié)果波動較大，說明前三種方法在處理開始階段參數(shù)誤差的滯后性和結(jié)尾階段系統(tǒng)的不穩(wěn)定性方面不如卡爾曼濾波。在針對第二個參數(shù)誤差數(shù)據(jù)的修正中，貝葉斯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)兩種方法產(chǎn)生了局部誤差修正的問題，沒有實現(xiàn)誤差的實時修正，有待進(jìn)一步改進(jìn)；而灰色模型和卡爾曼濾波兩種方法，均展現(xiàn)出了較好的修正效果，但前者誤差實時修正效果不如后者理想。綜上可知，基于卡爾曼濾波的動態(tài)誤差修正方法在針對兩個參數(shù)的誤差修正中，修正效果沒有因為參數(shù)特點的不同而受到太大的影響，說明該方法適應(yīng)性強，可以做進(jìn)一步研究。