張曉暉，張嘉穎，劉青，李金童，楊啟航，呂佳銘，尚婷，成鵬飛

（西安理工大學 自動化與信息工程學院， 西安 710048）

0 引言

大尺寸測量技術廣泛應用于航空航天設備裝配、幾何量精密測量、移動機器人定位與導航等工業(yè)制造領域［1-3］。隨著測量對象向著復雜化，精細化，大型化，多目標方向發(fā)展，單站測量模式已經難以完成相應的測量任務。分布式測量系統(tǒng)相比于單站系統(tǒng)，具有更高的精度和更遠的測量范圍［4-6］。分布式測量系統(tǒng)通過測量單元之間組網(wǎng)的方式平衡了測量精度、效率和測量范圍之間的矛盾，充分發(fā)揮了各個測量單元的優(yōu)勢。此外，分布式測量系統(tǒng)可以通過增減測量單元控制測量范圍，并根據(jù)測量任務的需求靈活調整測量方案。

面向大尺寸測量領域的精密激光定位系統(tǒng)（Accurate Laser Positioning System， ALPS）是一種典型的分布式計量系統(tǒng)。在測量時，ALPS 的各測量單元在其獨立的局部坐標系下獲得測量數(shù)據(jù)。為實現(xiàn)多臺測量單元的組網(wǎng)測量，需要提前標定各個測量單元的局部坐標系。測量單元的坐標系標定精度很大程度上決定了組網(wǎng)測量的精度［7-8］。傳統(tǒng)的坐標系標定方法是在測量空間內部署多個已知坐標的轉站控制點，各測量單元通過公共點坐標建立約束［9］，從而解算出各測量單元局部坐標系之間的轉換關系。一方面，公共點的布置是隨機的且繁瑣的。另一方面，公共點彼此之間并無關聯(lián)，因此容易出現(xiàn)點位配對錯誤導致解算失敗的問題。另一種常用的坐標系標定方法是基于標準器的方法［10-13］。通過將控制點集成在標準器上，利用高精度的三維坐標測量機提前標定標準器上目標點之間的距離信息或角度信息，在現(xiàn)場標定中作為固定參數(shù)使用。由于標準器尺寸的局限性，需要人為將標準器擺放在測量空間內多個不同位置以完成整個區(qū)域的標定。該方法相比于公共點法更為靈活，但是應用于大空間測量時的效率極為低下。另外，當測量網(wǎng)絡中原有測量單元移站或者增加測量單元時，這些方法往往需要重新對整個區(qū)域標定。

傳統(tǒng)的坐標系統(tǒng)一方法存在著精度和效率之間的矛盾，且限制了分布式測量系統(tǒng)增加測量單元或移站的靈活性。為了提高標定效率，吳軍等提出了一種在測量單元上安裝三個測量節(jié)點和一個超聲波測距系統(tǒng)形成互掃描靶的自校準方法［14］。該方法所需的互掃描靶制作復雜，且當測量網(wǎng)絡中增加新的測量單元時，該方法并不具備自動組網(wǎng)的功能。本文提出了一種新的分布式測量系統(tǒng)自動標定方法。該方法在每個測量單元局部坐標系上固定已知坐標的兩個測量點形成標記靶，測量單元之間通過相互測量標記靶自動標定了測量單元之間的坐標系。相比于傳統(tǒng)的方法，該方法無需花費大量時間成本去布置控制點或在多個位置擺放標準器，大大提高了分布式測量系統(tǒng)的應用效率，本文方法降低了現(xiàn)有自動標定模型復雜的安裝工藝，且能在測量網(wǎng)絡中測量單元移站或者增加測量單元時，使得所有測量單元自動組網(wǎng)。

1 自動標定方法

基于標準器的標定方法是一種常用的坐標統(tǒng)一化方法。標準器由碳纖維等溫度系數(shù)較小且?guī)缀谓Y構穩(wěn)定的材料制成。在標準器上布置目標點，并利用高精度的方法標定出各目標點之間的幾何關系，包括距離信息和角度信息。將這些幾何關系作為現(xiàn)場測量的約定真值?，F(xiàn)場標定時，由測量儀器測量標準器上目標點坐標。根據(jù)目標點的幾何關系建立約束，以統(tǒng)一測量儀器的坐標系。

在標準器上布置的目標點越多，結構越穩(wěn)定，測量越準確。但是過多的約束點會降低測量效率，增大加工難度。為了不產生形變，通常標準器的尺寸不能設計的過大。標準器上目標點之間的最大距離通常在幾百毫米內。以這樣的方式建立約束，只能保證標準器周圍測量空間的準確性。因此，需要在測量空間內人為移動標準器到不同位置進行測量，以覆蓋整個測量空間。大空間定位系統(tǒng)的應用場合通常測量范圍大，精度要求高，且測量環(huán)境復雜。為了適應測量任務，標準器移動的位置越多，標定的精度越高。而每一次移動標準器必定增加標定的時間成本，以犧牲效率為代價來獲取較高的精度。

為提高標定效率，在每個測量單元的自身坐標系上固定兩個測量節(jié)點作為標記靶。每個標記靶上測量點的坐標值在測量單元自身坐標系下固定不變。在實際使用時，測量單元之間通過相互測量彼此的標記靶獲得測量點在不同坐標系下的坐標值，利用這些測量點在不同坐標系下的坐標值建立三維約束，從而自動的標定了不同坐標系之間的坐標轉換關系。為清晰的闡述這一自動標定的過程，將第i號測量單元的坐標系定義為CS-i。同時，將第i號測量單元標記靶上的第k（k=1，2）個標記點在CS-i中表示為而第j號測量單元測量該標記點在坐標系CS-j的坐標為，如圖1 所示。

圖1 測量單元相互測量示意圖Fig.1 Schematic diagram of measurement units measuring each other

測量網(wǎng)絡中4 個標記點的三維坐標在CS-i和CS-j坐標系建立線性關系

式中，Rij、Tij為CS-i到CS-j的旋轉平移矩陣，包含12 個待求解的未知參數(shù)。將式（1）在X、Y、Z三個方向上分解為關于Rij和Tij的n×3 個線性方程，并將式（1）變化為

在實際應用中，如果式（3）中的ATA矩陣接近奇異矩陣，那么會出現(xiàn)系數(shù)矩陣病態(tài)問題［15］，從而導致式（3）中解得的X較大程度的偏離實際值。而保證ATA矩陣不奇異的前提條件是組成A矩陣的四個點在空間中不共面。令兩個標記靶上的四個點在空間中不共面后，那么該方法將能通過測量單元之間相互測量彼此的標記靶從而自動標定不同測量單元之間的坐標系。

與傳統(tǒng)的控制點和標準器的標定方法相比，該方法無需花費人工成本去布置控制點或擺放標準器，極大的縮減了標定時間。并且在測量單元移站或者在原有的測量網(wǎng)絡中添加新的測量單元時，該方法天然的可以實現(xiàn)測量單元的自動組網(wǎng)，無需對測量場重新進行標定，提高了分布式測量系統(tǒng)的應用效率。

2 基于ALPS 的全自動標定方法

2.1 ALPS 測量原理

精密激光定位系統(tǒng)ALPS 是一種典型的分布式測量系統(tǒng)，主要由激光發(fā)射站、光電接收器、信號處理器、以及上位機組成，如圖2 所示。工作時，發(fā)射站向測量區(qū)域發(fā)出兩束掃描激光平面，多個發(fā)射站的激光平面交會于接收器，經過信號處理和計算實現(xiàn)三維坐標測量［16］。

圖2 ALPS 系統(tǒng)的組成Fig.2 The composition of the ALPS system

ALPS 中單臺激光發(fā)射站可以抽象成兩個互成一定角度的光平面和一個轉軸的數(shù)學模型。在初始時刻，掃描光平面的單位法向量可以用[a1b1c1d1]T和[a2b2c2d2]T表示。這些參數(shù)在激光器安裝好后就固定不變，稱為發(fā)射站的內參數(shù)，可通過標定獲得［17-19］。

假設初始時刻的掃描光平面[ai bi ci di]T在發(fā)射站旋轉過角度θi時掃過測量節(jié)點，則掃描光平面此時的平面方程可通過初始時刻的單位法向量繞Z軸旋轉得到，即

單臺發(fā)射站可以確定兩個方程，若測量空間中發(fā)射站數(shù)量多于一個時，根據(jù)交匯測量原理，就可實現(xiàn)坐標值的測量，如圖3 所示，兩個發(fā)射站的掃描光光平面在空間中交匯于一點。

圖3 雙站交匯測量示意圖Fig.3 Two-station intersection measurement diagram

而在有多個激光發(fā)射站的測量場中，以n表示發(fā)射站的總數(shù)，將所有掃描光平面統(tǒng)一到公共坐標系，根據(jù)式（5），測量節(jié)點的坐標與這些平面方程的聯(lián)立約束可以表示為

當光平面方程數(shù)大于未知參數(shù)個數(shù)時（n＞1 時），方程有解；此方程組可以寫為AX=B的形式，其最小二乘解為

2.2 標記靶的標定

第1 節(jié)闡述的分布式測量系統(tǒng)自動標定方法的基礎是標記靶在其測量單元自身坐標系下的坐標標定，本節(jié)以Q111的獲取為例闡述標記靶上的傳感器在測量單元自身坐標系下坐標標定的整個過程。首先在實驗室中布置三臺及以上的發(fā)射站并在每臺發(fā)射站上固定好標記靶后，通過現(xiàn)有的高精度標定方法（如標準尺法）求解這些發(fā)射站坐標系之間的轉換關系［10，15］。如圖4 所示，定義發(fā)射站i到發(fā)射站k的旋轉平移矩陣分別為Rik、Tik。

圖4 標記靶標定示意圖Fig.4 Schematic for calibrating the mark targets

式中，m=1，2，表示激光平面的序號；分別為發(fā)射站2、發(fā)射站3 的激光平面m繞自身坐標系z軸旋轉掃描到時的旋轉矩陣；n2m，n3m分別表示發(fā)射站2，3 的激光平面m在初始時刻的光平面系數(shù)；表示在發(fā)射站j坐標系下的坐標；同時與滿足

聯(lián)立式（8）、（9）即可推出

式（10）由4 個平面方程組成（m=1，2），Rij，Tij分別為利用標準尺法事先標定的發(fā)射站i坐標系到發(fā)射站j坐標系的旋轉矩陣和平移矩陣，式中未知數(shù)只包含的坐標值。解得后同理可解得其他標記靶在其基發(fā)射站下的坐標

2.3 ALPS 標定模型

本節(jié)以求取j號激光發(fā)射站標記靶上的測量點和

在i號激光發(fā)射站坐標系下的坐標為例，闡述兩個發(fā)射站坐標系之間的標定過程。記在CS-i（i號激光發(fā)射站坐標系）的坐標分別為和i號激光發(fā)射站測量和時，兩個激光扇面分別交匯成一條由CS-i坐標原點指向和的射線r1、r2。通過r1、r2的射線方程可得兩射線的俯仰角分別為β1、β2，射線之間的夾角為在CS-i的XOY面投影點記為Pk。點的延長線與CS-i的XOY面相交于點P3，該延長線與CS-i的XOY面的夾角為β4。如圖5 所示。

上述幾何關系中P1、P2和P3位于同一直線，則和相似，滿足幾何關系

綜上，聯(lián)立式（11）、（12）、（13）、（14）得到

通過式（15）解得

式中a=(sinβ1-sinβ2)2，b=2Lsinβ1sinβ4(sinβ2cosβ3-sinβ1)，c=L2sin2β1(sin2β4-sin2β2)；L是兩點之間的歐式距離。另外，為保證ALPS 中激光發(fā)射機平穩(wěn)運行，發(fā)射機在制造時會借助現(xiàn)場動平衡儀進行嚴格的調平。并且在掃描激光面的參數(shù)標定時，會以平行于地面的平面建立發(fā)射站自身坐標系的XOY面，因此CS-i和CS-j的XOY面幾乎都與地面平行。這一特性使得β4（點所在的直線與CS-i的XOY面的夾角）等于直線與CS-j中XOY面的夾角。即β4可以通過提前標定的坐標求得，從而利用式（16）解得了兩組再將射線rk(k=1，2)寫成參數(shù)方程的形式

2.4 ALPS 標定參數(shù)的優(yōu)化

在獲得ALPS 中發(fā)射站坐標系統(tǒng)一關系的估計值后，為進一步獲得更高精度的坐標統(tǒng)一關系，引入發(fā)射站相互掃描的點面約束、旋轉矩陣的正交約束以及標記靶上光電接收器之間的距離約束建立優(yōu)化模型。總體示意圖如圖6 所示。

圖6 發(fā)射站互掃描測量示意圖Fig.6 Schematic diagram of mutual scan measurement at transmitter station

當?shù)趇號發(fā)射站標記靶上的k號光電接收器接收到j號發(fā)射站的掃描激光時，根據(jù)式（6），相關激光平面約束方程為

式中，Rij，Tij分別表示CS-i到CS-j的旋轉矩陣和平移矩陣，為待優(yōu)化參數(shù)，m代表了發(fā)射機掃描激光面的編號。另外，利用事先標定的與兩臺激光發(fā)射站互掃描得到的利用它們之間的差值構建距離約束

此外，當旋轉矩陣表示為式（20）的形式，其正交約束如式（21）

式中，s（s=1，2，…，6）代表了相應方程的編號，c代表了不同矩陣的編號；將以上約束聯(lián)立，得到非線性最小二乘法表示的目標函數(shù)

式中，N為發(fā)射站的總臺數(shù)；i、j為發(fā)射站的序號，發(fā)射站不能掃描到自身的標記靶，故i≠j；c表示旋轉矩陣的序號；fsc表示第c個旋轉矩陣滿足的正交約束方程；M1，M2為懲罰因子。式（22）是一個經典的非線性最小二乘方程組的優(yōu)化問題，針對這類問題目前常用的方法包括梯度法，高斯牛頓法以及Levenberg-Marquardt（LM）算法［20-21］等。LM 算法可以自適應的調整步長，兼具高斯牛頓法和梯度法的優(yōu)點，可以有效減少函數(shù)陷入局部極值的幾率，被廣泛應用于大尺寸測量系統(tǒng)的標定［10-14］。因此，將2.2 節(jié)的結果作為LM 迭代初值，式（22）作為目標函數(shù)即可解得更精確的坐標統(tǒng)一化參數(shù)。

3 實驗驗證

本文提出的標定方法依托于ALPS 進行原理驗證。首先在5.5 m×5.5 m 的空間中布置兩臺相互可以測量到標記點的激光發(fā)射站。然后將標記靶固定在激光發(fā)射站周圍，如圖7 所示。發(fā)射站距離地面高度約為1.5 m。算法涉及的激光平面參數(shù)預先標定，結果如表1 所示。標記靶上的測量點在基發(fā)射站坐標系下的坐標利用標準尺法標定［10，14］，結果如表2 所示。

表1 激光發(fā)射站的內參數(shù)Table 1 Internal parameters of laser transmitters

表2 發(fā)射站上掃描靶坐標Table 2 Scan the target coordinates at the laser transmitters

圖7 實驗場景Fig.7 Experimental scene

3.1 測距實驗

為了評估該方法的標定精度，分別使用基于標準尺的標定方法和本文提出的方法對測量場標定。在距離發(fā)射站布站區(qū)域約2 m，大小為5 000 mm×5 000 mm×500 mm 的測量空間中12 個不同位置，依次測量標準尺（1 156.704 mm）。記錄測量結果相對于其基準長度的偏差，如圖8 所示。此外，本節(jié)分別利用LM 算法與高斯牛頓迭代法對同一標定初值進行了優(yōu)化。并基于標定初值以及兩種算法優(yōu)化后的標定結果，計算了空間中12 個不同位置上的標準尺的測距誤差，突出了LM 優(yōu)化算法在大尺寸測量系統(tǒng)標定問題上的優(yōu)越性，結果如圖9 所示。

圖8 與標準器法相比的長度測量誤差比較Fig.8 Comparison diagram of length measurement error compared with standard method

圖9 LM 優(yōu)化法與高斯牛頓優(yōu)化法比較Fig.9 Comparison diagram of LM optimization method and Gaussian Newton optimization method

圖8 表明，利用本文方法對測量場標定后，1 156.704 mm 的標準桿其距離測量誤差在0.46 mm/m 之內。該方法雖然比標準器法的精度略有下降，但將標準器法繁瑣的標定過程變?yōu)榱俗詣訕硕?，降低了人工成本，其測量精度仍能滿足大部分工業(yè)測量的需求［22］。尤其面對測量網(wǎng)絡中原有測量單元移站或者增加測量單元的情況時，該方法天然的可以實現(xiàn)測量單元的自動組網(wǎng)，無需對測量場重新進行標定，提高了大尺寸測量系統(tǒng)的應用效率。此外，圖9 表明，LM 算法以及高斯牛頓迭代法都可以優(yōu)化標定初值，提高大尺寸測量系統(tǒng)的標定精度。但是LM 算法自適應步長的特點使得其比高斯牛頓法的優(yōu)化效果更好，在大尺寸測量系統(tǒng)的標定問題上得到了普遍的應用［10-14］。

3.2 測點實驗

為了進行更全面的驗證，本節(jié)實驗借助如圖10 所示的靶球完成了ALPS 與激光跟蹤儀系統(tǒng)的測點對比試驗。實驗中所用靶球通過機械設計，使得激光跟蹤儀與ALPS 測量的物理中心點重合，即靶球可以作為激光跟蹤儀與ALPS 測量的公共點。在實驗之前通過ALPS 與激光跟蹤儀分別測量靶球在30 個不同位置的坐標，然后通過這30 個公共點分別在ALPS 與激光跟蹤儀坐標系下的坐標值，借助式（2）、式（3）完成激光跟蹤儀與ALPS 坐標系的統(tǒng)一。

圖10 靶球實物Fig.10 Illustration of the target ball

獲得激光跟蹤儀與ALPS 的坐標系統(tǒng)一參數(shù)之后，在5 000 mm×5 000 mm×400 mm 的空間內隨機分布10 個靶球作為測量點，如圖11 所示。利用ALPS系統(tǒng)對每個點的坐標重復測量500 次，計算不同點坐標重復測量的標準偏差，結果如圖12 所示。然后利用激光跟蹤儀設備測量這些點的三維坐標。由于跟蹤儀具有極高的測量精度，因此將激光跟蹤儀對每個點的坐標測量值作為真實值。將每個點的坐標500 次重復測量的平均值作為測量值，比較測量值與真實值之間的偏差，結果如圖13 所示。

圖11 測量點分布Fig.11 Test point distribution map

圖12 重復測點標準差Fig.12 Repeat point standard deviation

圖13 與激光跟蹤儀相比的測量誤差Fig.13 Measurement error compared with laser tracker

實驗結果表明，利用本文方法對測量場完成坐標統(tǒng)一化后。坐標測量在x、y、z的標準差分別在0.026 mm、0.024 mm、0.023 mm 之內。與激光跟蹤儀相比，坐標測量在x、y、z方向的最大誤差分別為0.5 mm、0.55 mm、0.5 mm。總體而言，利用本文方法標定后的測量場具有良好的穩(wěn)定性。絕大部分工業(yè)測量的精度一般為±2 mm［22］，本文方法在坐標測量時最大誤差也可以滿足大部分工業(yè)測量的需求。

3.3 分析與討論

基于標準器的標定方法廣泛應用于大尺寸測量系統(tǒng)的坐標系標定問題［13-14］，標準器一般由碳纖維等溫度系數(shù)較小且?guī)缀谓Y構穩(wěn)定的材料制成。在標準器上布置目標點，并利用高精度的儀器測量出各目標點之間的幾何關系，包括距離信息和角度信息。將這些幾何關系作為現(xiàn)場測量的約定真值?，F(xiàn)場標定時，由待標定測量單元測量標準器上目標點坐標，根據(jù)目標點的幾何關系建立約束，以統(tǒng)一各個測量單元的坐標系。文獻［10］提出的標準器標定方法盡管它可以使得大尺寸測量系統(tǒng)實現(xiàn)令人滿意的精度，但校準過程必須至少捕獲標準尺的六個垂直姿態(tài)，才能計算標定算法的初始值，再利用LM 算法迭代求解。而每一次移動標準器且調整垂直必定增加標定的時間成本。本文方法通過兩個測量單元相互測量標記靶，即可自動獲取坐標系統(tǒng)一的初值，最后利用LM 算法迭代求解即可獲得更為準確的坐標系標定參數(shù)。本文提出的標定方法的時間成本主要來源于LM 算法的運行時間，避免了在測量現(xiàn)場人為移動調整標準尺的工作，從而大大減小了標定過程的時間成本。兩種方法的標定效率對比如表3 所示。

表3 標準尺法和本文的方法的比較Table 3 Comparison of the standard ruler method and the method in this paper

表3 表明，利用本文提出的標定方法對測量場標定后，長度測量誤差在0.46 mm/m 內，與基于標準尺的標定方法相比測距誤差略有下降。與之不同的是使用標準尺的傳統(tǒng)標定過程大約需要一個小時，而使用本文提出的方法在五分鐘內即可完成。因此，該方法顯著提高了標定效率，且仍可以滿足大部分工業(yè)測量±2 mm的精度需求［22］。

為了提高大尺寸測量系統(tǒng)的坐標系標定效率，吳軍等［14］創(chuàng)造性的提出了一種自標定方法。該方法需要在測量單元上安裝三個測量節(jié)點和一個超聲波測距模塊形成互掃描靶，如圖14 所示。

圖14 基于超聲波測距的互掃描自動標定方法示意圖Fig.14 Self-calibration method using inter-scanning technique and ultrasonic ranging

基于超聲波測距的自標定方法在工作時首先需要1 號發(fā)射站掃描靶中的超聲波發(fā)送模塊發(fā)出聲波信號，2 號發(fā)射站掃描靶的超聲波接收模塊獲得聲波信號后根據(jù)時間差以及聲音的傳播速度計算兩個掃描靶之間的距離。最后借助該距離以及兩臺發(fā)射站相互測量掃描靶的信息獲取坐標系標定算法的初始值。為了更大的測量范圍以及更高的測量精度，在實際的測量場中發(fā)射站的數(shù)量往往多于兩臺。文獻［14］提出的自標定方法在應對多臺發(fā)射站需要標定時，選擇哪些發(fā)射站發(fā)射超聲波哪些發(fā)射站接收超聲波是一個需要研究解決的問題。即使每臺發(fā)射站都裝有超聲波發(fā)送接收模塊，在多個聲波源同時工作時，超聲波的接收模塊甄別出聲波的來源是計算任意兩個掃描靶之間的距離的前提，這一前提仍是文獻［14］提出的自標定方法在實際應用中的重要制約因素之一。而本文提出的方法，天然的可以實現(xiàn)任意兩臺發(fā)射站的自動標定，且標記靶制造工藝簡單，有望實現(xiàn)具有自標定功能的大尺寸測量系統(tǒng)的產品化。

4 結論

為了提高分布式測量系統(tǒng)的坐標統(tǒng)一化效率，本文提出了一種基于測量單元相互測量的坐標統(tǒng)一化方法。該方法通過固定兩個在測量單元局部坐標系已知坐標的測量節(jié)點作為標記靶，測量單元之間相互測量標記靶，結合提前標定的標記靶在自身測量單元坐標系下的坐標，即可自動的標定任意兩臺測量單元的局部坐標系。本文方法顯著提高了校準效率，與現(xiàn)有的自動標定模型相比，本文方法降低了掃描靶復雜的安裝工藝，有望為具有自動標定功能的分布式測量設備的產品化提供新的理論基礎；另一方面，當測量單元移站或者原有的測量網(wǎng)絡中添加新的測量單元時，本文方法可以實現(xiàn)測量單元之間的自動組網(wǎng)，無需對測量場重新進行標定，提高了分布式測量系統(tǒng)的應用效率。