陳露，劉輝，封志明，陳熙源，張帆，許寧晏，袁群，高志山

（1 江蘇省計(jì)量科學(xué)研究院（江蘇省能源計(jì)量數(shù)據(jù)中心），南京 210023） （2 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210018） （3 南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，南京 210094）

0 引言

光線追跡是開(kāi)展光學(xué)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)手段?；赟nell 定律的光線追跡計(jì)算既可以獲得光學(xué)系統(tǒng)的焦距、入瞳、F數(shù)等一階參數(shù)，也可以獲得各類型像差分量。相較于描述成像清晰度的像差，畸變最為特殊，它通過(guò)追跡各視場(chǎng)主光線在像面上的高度，計(jì)算與理想投影模型的偏差，描述物像映射的變形量［1-3］。投影模型規(guī)定了光學(xué)系統(tǒng)成像關(guān)系中物方視場(chǎng)角與像高的關(guān)系。常規(guī)的投影模型為等線投影映射，當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)的視場(chǎng)較大時(shí)，演變出了等距投影映射。體視投影映射、等立體角投影映射、正交投影映射也有相應(yīng)復(fù)雜場(chǎng)景的應(yīng)用［4-5］。顯而易見(jiàn)，投影模型中物方視場(chǎng)角和像高由焦距相關(guān)聯(lián)。

焦距是光學(xué)系統(tǒng)最基礎(chǔ)的特性參數(shù)，其本征定義為像方主面與像方焦點(diǎn)之間的距離，通過(guò)追跡零視場(chǎng)小孔徑近軸光線計(jì)算獲取，該計(jì)算方式描述稱為“小孔徑法”。光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中的有效焦距（Effective Focal Length，EFL）即是采用“小孔徑法”追跡計(jì)算獲得的。但“小孔徑法”依托的數(shù)理定義難以指導(dǎo)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)測(cè)量，其原因在于入瞳上高度極小的小孔徑近軸光線過(guò)于理想，是數(shù)學(xué)描述上存在而物理實(shí)踐上難以操控的光線。通常采用“小像高法”實(shí)驗(yàn)測(cè)量光學(xué)系統(tǒng)焦距，即測(cè)量零視場(chǎng)旁極小視場(chǎng)角的旁軸光線對(duì)應(yīng)的像高計(jì)算焦距，該方式在光學(xué)設(shè)計(jì)中亦可通過(guò)光線追跡計(jì)算實(shí)現(xiàn)，在光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中體現(xiàn)為畸變焦距（Distortion Focal Length，DFL）。盡管“小像高法”選定的是極小視場(chǎng)角的旁軸光線，但與“小孔徑法”的焦距本征定義相比，“小像高法”測(cè)得的焦距中因有視場(chǎng)要素，仍不免耦合了成像畸變。如果以“小孔徑法”作為焦距的設(shè)計(jì)描述，以“小像高法”作為焦距的測(cè)量描述，則存在著設(shè)計(jì)指標(biāo)不是檢驗(yàn)指標(biāo)的邏輯矛盾。

光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，一般通過(guò)在評(píng)價(jià)函數(shù)中追跡控制各采樣視場(chǎng)主光線的實(shí)際像高與投影模型規(guī)定的理想像高的偏差量實(shí)現(xiàn)對(duì)畸變的優(yōu)化校正。在光學(xué)系統(tǒng)實(shí)物加工完成后，采用對(duì)標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格板成像的方式可以實(shí)現(xiàn)畸變的測(cè)量。但對(duì)于大視場(chǎng)的光學(xué)系統(tǒng)，比如視場(chǎng)角超過(guò)120°的廣角鏡頭，網(wǎng)格板構(gòu)建困難，通常采用精密測(cè)角法標(biāo)定鏡頭的畸變，確立實(shí)際的物像映射關(guān)系［6-9］。

“小像高法”作為焦距測(cè)量的描述方式，與投影模型的定義高度吻合，是投影模型中視場(chǎng)角極小時(shí)的特殊情況?；兪且晥?chǎng)相關(guān)的參數(shù)，如果將焦距也變成視場(chǎng)相關(guān)的參數(shù)，則可以對(duì)其賦予“小像高法”的定義［10］?？紤]到焦距和畸變共同描述了實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的物像映射關(guān)系，本文將焦距的內(nèi)涵由零視場(chǎng)拓展至全視場(chǎng)，對(duì)非零視場(chǎng)也賦予焦距值，形成局部焦距（Local Focal Length，LFL）的概念。采用“小像高法”的定義方式對(duì)局部焦距進(jìn)行賦值，可以描述各視場(chǎng)處，極小視場(chǎng)角增量光線對(duì)應(yīng)的像高增量。繼而，原本由傳統(tǒng)焦距和畸變共同描述的物像映射關(guān)系，可以由局部焦距這一單一參量表征。局部焦距全面覆蓋了軸上和軸外視場(chǎng)，解決了傳統(tǒng)焦距“小像高法”測(cè)量描述中耦合畸變的問(wèn)題。按照上述思路，可由理想投影模型推導(dǎo)光學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)局部焦距的目標(biāo)值，實(shí)際局部焦距與目標(biāo)值的偏差也等價(jià)于畸變。另一方面，可以基于精密測(cè)角法的原理，按照“小像高法”測(cè)量局部焦距，實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)描述和測(cè)量描述的統(tǒng)一。本文在廣角鏡頭的設(shè)計(jì)中引入局部焦距，開(kāi)展優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究，旨在通過(guò)對(duì)全視場(chǎng)范圍內(nèi)局部焦距的追跡計(jì)算和優(yōu)化控制，滿足各類型復(fù)雜的物像映射關(guān)系。

1 局部焦距的定義

1.1 焦距的“小孔徑法”和“小像高法”描述

光學(xué)系統(tǒng)焦距的本征定義如圖1（a），是像方主面與像方焦點(diǎn)之間的距離。依照“小孔徑法”，追跡平行于光軸、在入瞳上高度值h極小的近軸光線，獲取其經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)與光軸的夾角U′計(jì)算焦距。

圖1 焦距的追跡計(jì)算方法Fig. 1 Principles for focal length calculation utilizing ray tracing

焦距的“小像高法”定義方式如圖1（b），追跡過(guò)入瞳中心、與光軸夾角ω極小的旁軸光線，獲取其在像面（焦面）上的高度y′計(jì)算焦距。

在光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中，無(wú)論是平行于光軸、在入瞳上高度值h極小的近軸光線，還是過(guò)入瞳中心、與光軸夾角ω極小的旁軸光線，均可以通過(guò)設(shè)置合理的光瞳和視場(chǎng)采樣，追跡滿足上述要求的特征光線。

然而，由于實(shí)驗(yàn)采用的測(cè)量光束存在一定的口徑，無(wú)限接近于光軸的細(xì)光路難以物理實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)致準(zhǔn)確測(cè)量會(huì)聚光線與光軸的夾角極其困難。相對(duì)而言，角度和像高的測(cè)量更具有物理實(shí)操的可行性，現(xiàn)有的焦距測(cè)量方法大多采用精密測(cè)角法?！靶∠窀叻ā敝敢私咕嗟膶?shí)驗(yàn)測(cè)量，但軸外視場(chǎng)的像高中不可避免地耦合了畸變。因此，對(duì)于視場(chǎng)較大、畸變像差較為顯著的光學(xué)系統(tǒng)，其有效焦距和畸變焦距通常不一樣。在光學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程中，設(shè)計(jì)時(shí)通常只關(guān)注有效焦距，忽略畸變焦距，造成設(shè)計(jì)指標(biāo)和檢驗(yàn)指標(biāo)的不一致。

1.2 局部焦距的“小像高法”定義

將焦距的內(nèi)涵從軸上視場(chǎng)拓展到軸外視場(chǎng)，則形成局部焦距的概念，局部焦距采用“小像高法”的定義方式全面覆蓋了從軸上零視場(chǎng)到軸外邊緣視場(chǎng)所有各視場(chǎng)角對(duì)應(yīng)的焦距值。如圖2 所示，假定在全視場(chǎng)范圍內(nèi)某個(gè)視場(chǎng)角θ的主光線在焦面上的像高為y′，追跡相對(duì)該視場(chǎng)角有極小視場(chǎng)角增量Δθ的主光線，獲得對(duì)應(yīng)的像高增量Δy′，則視場(chǎng)角θ時(shí)的局部焦距LFL 表示為

圖2 局部焦距的定義Fig. 2 Definitions for local focal length.

上述的視場(chǎng)角增量Δθ按照徑向方向增長(zhǎng)，適用于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)。對(duì)于旋轉(zhuǎn)非對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)，需要在子午和弧矢，甚至更復(fù)雜的方向引入視場(chǎng)角增量，計(jì)算多方向的局部焦距值。

1.3 投影模型的局部焦距

按照式（3）求解等線投影映射、等距投影映射、體視投影映射、等立體角投影映射、正交投影映射的局部焦距，將其表達(dá)式列入表1。等距投影模型的各視場(chǎng)局部焦距值相同。

表1 投影模型的局部焦距Table 1 Local focal length for projection models

2 廣角鏡頭的設(shè)計(jì)

小視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)的物像映射投影關(guān)系較為簡(jiǎn)單，而大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)的物方場(chǎng)景較為復(fù)雜，目標(biāo)映射的需求也不盡相同。因此，本文研究將局部焦距的調(diào)控變換應(yīng)用到廣角鏡頭的設(shè)計(jì)中。

2.1 中央視場(chǎng)等線投影的160°魚(yú)眼鏡頭

魚(yú)眼鏡頭是一種典型的超廣角光學(xué)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是第一片透鏡呈彎月型，可實(shí)現(xiàn)超廣角入射光線的大傾角變化，其視場(chǎng)接近甚至超過(guò)180°。由于魚(yú)眼鏡頭的視場(chǎng)較大，如果按照大多數(shù)成像系統(tǒng)常規(guī)采用的y'=f'tanθ等線投影模型，那么邊緣視場(chǎng)的像高太大。因此，魚(yú)眼鏡頭的設(shè)計(jì)通常滿足y'=f'θ等距投影模型。

以靶面1/4 英寸（1 英寸=2.54 cm）的OV9281 型探測(cè)器作為成像接收器，其像素?cái)?shù)為1 296×816，單個(gè)像素尺寸為3 μm×3 μm。首先設(shè)計(jì)一款全視場(chǎng)160°，F(xiàn)數(shù)為4.2，工作波長(zhǎng)為可見(jiàn)光，滿足y'=f'θ等距投影模型的魚(yú)眼鏡頭，按照探測(cè)器靶面對(duì)角線長(zhǎng)度并留有一定余量，設(shè)置像面為±2.25 mm，則其軸上焦距為1.61 mm。如表1，其各視場(chǎng)的局部焦距LFL 均為1.61 mm。光學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)從軸上至邊緣視場(chǎng)等間隔采樣11 個(gè)視場(chǎng)角，不控制目標(biāo)像高，而是按照“小像高法”追跡計(jì)算各采樣視場(chǎng)的局部焦距值，實(shí)現(xiàn)焦距與投影模型同步優(yōu)化控制的效果。優(yōu)化設(shè)計(jì)的鏡頭結(jié)構(gòu)如圖3（a），采用6 片透鏡，其中1 片塑料非球面，全視場(chǎng)點(diǎn)列圖均方根半徑達(dá)到衍射極限。如圖4（a），全視場(chǎng)局部焦距與目標(biāo)值的相對(duì)偏差≤0.5%，通過(guò)設(shè)計(jì)軟件追跡計(jì)算，實(shí)際像高與y'=f'θ等距投影模型的偏離量≤0.3%。

圖3 采用局部焦距追跡計(jì)算優(yōu)化的160°視場(chǎng)魚(yú)眼鏡頭的光學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)果Fig. 3 Optical layouts of fisheye lens with 160° FOVs utilizing LFL raytracing and controlling

圖4 160°視場(chǎng)魚(yú)眼鏡頭的目標(biāo)局部焦距值和設(shè)計(jì)局部焦距值曲線Fig. 4 Curves of targeted LFL and designed LFL for fisheye lens with 160°FOVs for the design configurations

上述等距投影魚(yú)眼鏡頭對(duì)正方形網(wǎng)格的成像效果如圖5（a），其各個(gè)局域均存在較為明顯的網(wǎng)格畸變。但如前文所述，因?yàn)橐晥?chǎng)角較大，魚(yú)眼鏡頭很難滿足等線投影模型。繼而，參考魚(yú)眼中央凹的特征［11］，考慮對(duì)魚(yú)眼鏡頭的中央視場(chǎng)設(shè)置為等線投影，對(duì)其邊緣視場(chǎng)的物像映射關(guān)系不做限制。符合中央?yún)^(qū)域無(wú)畸變成像，邊緣區(qū)域獲得超大視場(chǎng)的魚(yú)眼鏡頭成像目標(biāo)。

圖5 160°視場(chǎng)魚(yú)眼鏡頭的網(wǎng)格畸變Fig. 5 Grid distortions for fisheye lens with 160° FOVs for the design configurations

仍采用OV9281 型探測(cè)器，設(shè)置±40°視場(chǎng)范圍內(nèi)滿足等線投影，并占據(jù)50%的像面高度，根據(jù)上述要求可計(jì)算出軸上焦距為1.34 mm，局部焦距LFL 按照表1 中等線投影模型的公式計(jì)算，從中央到邊緣各視場(chǎng)局部焦距漸變?cè)黾?。光學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)從軸上至50%視場(chǎng)等間隔采樣6 個(gè)視場(chǎng)角，按照“小像高法”追跡計(jì)算并控制各采樣視場(chǎng)的局部焦距值，對(duì)±40°～±80°的視場(chǎng)的局部焦距不做控制，僅控制80°視場(chǎng)的像高在探測(cè)器范圍內(nèi)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的鏡頭結(jié)構(gòu)如圖3（b），采用8 片透鏡，其中2 片塑料非球面，全視場(chǎng)點(diǎn)列圖均方根半徑達(dá)到衍射極限。如圖4（b），50%中央視場(chǎng)內(nèi)局部焦距與目標(biāo)值的相對(duì)偏差≤1.4%，通過(guò)設(shè)計(jì)軟件追跡計(jì)算發(fā)現(xiàn)實(shí)際像高與等線投影模型的偏離量≤0.9%。對(duì)正方形網(wǎng)格的成像效果如圖5（b），中央近60%的區(qū)域幾乎無(wú)網(wǎng)格畸變，即局部焦距的調(diào)控方法工作效果較好。

2.2 曲面物體等分辨率映射的120°廣角鏡頭

在2.1 節(jié)魚(yú)眼鏡頭的設(shè)計(jì)中，物體被定義在無(wú)限遠(yuǎn)。但在大多數(shù)的成像場(chǎng)景中，物體在有限遠(yuǎn)，且物體也不一定為平面，常有曲面物體存在。例如，對(duì)地偵察相機(jī)的物面為地球表面，可看作對(duì)凸面的成像［12-13］。圖6 為有限遠(yuǎn)曲面物體的物像關(guān)系。完整的成像關(guān)系可以由物面、入瞳、鏡頭、像面共同描述。圖6 中曲面物體可以分為凸面（R＜0）和凹面（R＞0）兩種，平面物體是R=∞的極端情況。圖6 中，L表示物面與入瞳之間的間隔，平面物和曲面物的視場(chǎng)統(tǒng)一用視場(chǎng)角θ表示，α為視場(chǎng)角θ的曲面物的弧角，兩者之間的關(guān)系可以表示為

圖6 曲面物體的成像映射關(guān)系Fig. 6 Mapping relationships for curved object

式中，當(dāng)物面為凹面，即R＞0 時(shí)，取正號(hào)；當(dāng)物面為凸面，即R＜0 時(shí)，取負(fù)號(hào)。

有限共軛的平面物至平面像的成像關(guān)系通常滿足y'=f'tanθ等線投影映射。類似地，當(dāng)曲面物至平面像成像時(shí)，為了滿足物像的相似性，其投影模型為曲面物的等弧長(zhǎng)增量對(duì)應(yīng)平面像的等像高增量。其中，R=L的曲面物體最為特殊的，它的投影模型恰好為等距投影。當(dāng)將平面物體看成R=∞的曲面物體時(shí)，其等線映射則與等弧長(zhǎng)映射等價(jià)。

對(duì)視場(chǎng)120°的廣角鏡頭采用局部焦距追跡計(jì)算控制的方法開(kāi)展曲面物體成像設(shè)計(jì)，工作波長(zhǎng)為可見(jiàn)光，L為1 000 mm，F(xiàn) 數(shù)為2.8，軸上焦距設(shè)置為1 mm。選擇R=800 mm，R=1 000 mm，R=1 200 mm 的凹面，R=-20 000 mm 的凸面，以及R=∞成像物面做設(shè)計(jì)比對(duì)，球面采用等弧長(zhǎng)映射，平面采用等物高映射的成像關(guān)系。為了方便比對(duì)，每種結(jié)構(gòu)均采用8 片透鏡，其中可以使用塑料非球面，全視場(chǎng)點(diǎn)列圖均方根半徑優(yōu)化至衍射極限。

對(duì)于各類型的成像物面，它們的最大視場(chǎng)角統(tǒng)一設(shè)置為60°。同時(shí)，在曲面物體上選擇極小的旁軸弧角δα，其對(duì)應(yīng)的視場(chǎng)角δθ可由式（4）獲得。因?yàn)檩S上視場(chǎng)的局部焦距為f0'=1 mm，則極小的旁軸弧角δα對(duì)應(yīng)的目標(biāo)像高可表示為

相應(yīng)地，對(duì)于弧角為α的曲面物體，其對(duì)應(yīng)的視場(chǎng)角θ可由式（4）獲得。按照等弧長(zhǎng)的物像映射關(guān)系，其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)像高可以表示為

對(duì)于目標(biāo)局部焦距的求解也可以參照以上方法。設(shè)置極小的弧角增量Δα，相應(yīng)的追跡曲面物體上弧角分別為α和α+Δα的主光線，其對(duì)應(yīng)的視場(chǎng)角θ和θ1可由式（4）獲得，其對(duì)應(yīng)的像高y'和y1'可由式（6）獲得，則局部焦距可以表示為

根據(jù)上述等弧長(zhǎng)物像映射關(guān)系公式，可計(jì)算出視場(chǎng)120°的廣角鏡頭的目標(biāo)像高和目標(biāo)局部焦距值，其隨視場(chǎng)角變化的目標(biāo)映射曲線如圖7。為了滿足各種物面的等弧長(zhǎng)映射目標(biāo)，其對(duì)應(yīng)的局部焦距的調(diào)控變換差距較大。

圖7 120°廣角鏡頭對(duì)曲面物體成像的等弧長(zhǎng)目標(biāo)映射曲線Fig. 7 Ideal mapping relationships for curved object utilizing wide angle lens with 120° FOVs

對(duì)4 個(gè)不同曲率半徑的曲面物體和1 個(gè)平面物體，在0°～60°視場(chǎng)范圍內(nèi)等間隔采樣11 個(gè)視場(chǎng)角，不控制目標(biāo)像高，而是按照“小像高法”追跡計(jì)算各采樣視場(chǎng)的局部焦距值，實(shí)現(xiàn)焦距與等弧長(zhǎng)投影模型同步優(yōu)化控制的效果。優(yōu)化設(shè)計(jì)的鏡頭結(jié)構(gòu)如圖8 和9。在R=800 mm，R=1 000 mm，R=1 200 mm 的三個(gè)凹面成像的光學(xué)系統(tǒng)中均僅采用了1 片塑料非球面，全視場(chǎng)局部焦距與目標(biāo)值的相對(duì)偏差≤0.2%，通過(guò)設(shè)計(jì)軟件追跡計(jì)算，實(shí)際像高與等弧長(zhǎng)映射的目標(biāo)像高偏離量≤0.1%。在R=-20 000 mm 的凸面成像以及R=∞的平面成像的光學(xué)系統(tǒng)中，均采用了2 片塑料非球面，全視場(chǎng)局部焦距與目標(biāo)值的相對(duì)偏差≤0.6%，通過(guò)設(shè)計(jì)軟件追跡計(jì)算，實(shí)際像高與等弧長(zhǎng)映射的目標(biāo)像高偏離量≤0.21%。由此，可在120°視場(chǎng)范圍內(nèi)獲得相同的物方分辨率。

圖8 曲面物等弧長(zhǎng)映射的120°廣角鏡頭光學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)果Fig. 8 Optical layouts of wide angel lens with 120° FOVs for curved object with equal arc length mapping

圖9 曲面物等弧長(zhǎng)映射的120°廣角鏡頭的物像映射設(shè)計(jì)結(jié)果Fig. 9 Designed result of wide angel lens with 120° FOVs for curved object with equal arc length mapping

綜合中央視場(chǎng)等線投影的160°魚(yú)眼鏡頭和曲面物體等分辨率映射的120°廣角鏡頭的設(shè)計(jì)效果可知：本文引入局部焦距替代傳統(tǒng)焦距和畸變，結(jié)合常規(guī)的像質(zhì)優(yōu)化共同構(gòu)建評(píng)價(jià)函數(shù)，獲得了達(dá)衍射極限的像質(zhì)和針對(duì)各類型復(fù)雜物像映射優(yōu)于1%的成像畸變；通過(guò)對(duì)有限數(shù)量離散采樣視場(chǎng)點(diǎn)局部焦距的追跡計(jì)算控制，能夠在各類型復(fù)雜物像映射的場(chǎng)景下，優(yōu)化獲得滿足目標(biāo)的局部焦距，且全視場(chǎng)局部焦距呈連續(xù)分布。局部焦距表征了像高增量，將局部焦距做積分則為像高，本文通過(guò)對(duì)局部焦距的優(yōu)化控制，獲得了滿足目標(biāo)的像高。因此，局部焦距的追跡優(yōu)化達(dá)到了系統(tǒng)焦距控制和物像映射控制的雙重目標(biāo)。另一方面，對(duì)于曲面物體的成像，難以構(gòu)建物面網(wǎng)格測(cè)量成像畸變，但局部焦距采用“小像高法”定義，可以在像面放置靶標(biāo)，通過(guò)精密測(cè)角法測(cè)量局部焦距值。因此，通過(guò)局部焦距的引入，達(dá)到了算測(cè)融合的效果。

3 結(jié)論

本文提出了局部焦距的概念，將焦距的內(nèi)涵由零視場(chǎng)拓展至全視場(chǎng)，用來(lái)表征光學(xué)系統(tǒng)各視場(chǎng)處極小視場(chǎng)角增量光線對(duì)應(yīng)的像高增量。并對(duì)其賦予了“小像高法”定義，使得焦距的定義方式和測(cè)量方式相吻合，設(shè)計(jì)參數(shù)和參量參數(shù)一致。應(yīng)用對(duì)局部焦距的追跡計(jì)算，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)焦距和成像畸變的優(yōu)化控制。據(jù)此設(shè)計(jì)了針對(duì)無(wú)限遠(yuǎn)目標(biāo)成像，全視場(chǎng)角160°，50%中央視場(chǎng)滿足f-tanθ等線投影的魚(yú)眼鏡頭，以及針對(duì)有限遠(yuǎn)曲面物體成像，120°全視場(chǎng)范圍物方分辨率相同的廣角鏡頭。局部焦距在復(fù)雜物像映射場(chǎng)景光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中具有較好的應(yīng)用前景，且具有算測(cè)融合的顯著優(yōu)勢(shì)。