孟彩茹,郭 巖,姚聰聰

(河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院,邯鄲 056038)

0 引言

近年來,機(jī)械臂在制造、航天、醫(yī)療等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。機(jī)械臂在作業(yè)過程中,關(guān)節(jié)處的柔性元件會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂在運(yùn)行過程中產(chǎn)生彈性振動(dòng)。提高機(jī)械臂的控制精度及穩(wěn)定性,抑制機(jī)械臂在運(yùn)行過程中產(chǎn)生的彈性振動(dòng)在機(jī)械臂控制領(lǐng)域具有重要研究意義。

機(jī)械臂振動(dòng)控制方法主要有反饋控制技術(shù)和前饋控制技術(shù)。反饋控制技術(shù)是利用作動(dòng)器檢測(cè)關(guān)節(jié)處的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行振動(dòng)控制[1]。例如,將加速度計(jì)安裝于機(jī)械臂末端,作為振動(dòng)信號(hào)傳感器,采用比例控制和非線性控制法,能有效抑制機(jī)械臂的振動(dòng)[2-3]。近年來反饋控制抑振技術(shù)的主要研究方向是將傳統(tǒng)控制方法與人工智能相結(jié)合。例如,采用人工魚群算法優(yōu)化PID完成振動(dòng)控制[4];在二次型最優(yōu)控制理論的基礎(chǔ)上,利用遺傳算法對(duì)加權(quán)矩陣進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制[5]。反饋控制技術(shù)能有效抑制振動(dòng),但安裝作動(dòng)器會(huì)增加整個(gè)系統(tǒng)的控制難度和成本,且操作復(fù)雜。相較而言,前饋控制技術(shù)無需添加作動(dòng)器,亦有抑制振動(dòng)的效果,經(jīng)濟(jì)性好等優(yōu)點(diǎn)。例如,在控制系統(tǒng)中設(shè)計(jì)行程函數(shù)及輸入整形函數(shù)[6],結(jié)合人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法,設(shè)計(jì)零振動(dòng)導(dǎo)數(shù)整形器[7],均有效的抑制了系統(tǒng)的振動(dòng)。但整形器的使用會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)時(shí)滯問題。尹旺等[8]利用軌跡規(guī)劃法,建立參數(shù)化軌跡模型,結(jié)合遺傳算法得到機(jī)械臂振動(dòng)抑制軌跡,有效抑制了機(jī)械臂末端的彈性振動(dòng)。

綜上所述,反饋控制技術(shù)能有效抑制系統(tǒng)振動(dòng),但會(huì)增加控制系統(tǒng)的復(fù)雜程度和成本。輸入整形法不會(huì)增加成本,但會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)時(shí)滯問題。采用軌跡規(guī)劃法能避免上述問題,且能有效抑制機(jī)械臂的振動(dòng),所以通過軌跡規(guī)劃法抑制機(jī)械臂的振動(dòng)有重要研究意義。

本文以史陶比爾TX40機(jī)械臂為研究對(duì)象,建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,基于構(gòu)造的系統(tǒng)微分方程,分析柔性關(guān)節(jié)產(chǎn)生彈性振動(dòng)的原因。定義優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),利用改進(jìn)的粒子群算法(GAPSO)優(yōu)化沖擊值,完成機(jī)械臂抑振軌跡規(guī)劃。本文主要研究點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),無需考慮機(jī)械臂末端姿態(tài),在運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)上對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行軌跡規(guī)劃,不考慮其他力學(xué)影響因素。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

運(yùn)動(dòng)學(xué)是對(duì)機(jī)械臂的位置、速度和加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律的描述,不考慮關(guān)節(jié)位置的力學(xué)參數(shù)。本文以史陶比爾TX40機(jī)械臂為研究對(duì)象,如圖1所示。該機(jī)械臂有6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。機(jī)械臂末端位置由1、2、3關(guān)節(jié)確定,末端姿態(tài)由4、5、6關(guān)節(jié)確定。

圖1 史陶比爾TX40機(jī)械臂

正運(yùn)動(dòng)學(xué)是在已知機(jī)械臂各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變化值的前提下,求解機(jī)械臂末端的空間位置。運(yùn)用D-H建模法,根據(jù)機(jī)械臂D-H參數(shù)求解D-H矩陣,順序連乘所有矩陣,可求解出機(jī)械臂末端位姿。得到機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為:

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)為在已知機(jī)械臂末端位姿的前提下,確定各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變化值。逆解不止一組解,所以根據(jù)機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)約束和角度約束,優(yōu)先采取關(guān)節(jié)變量最小原則,求解出一組最優(yōu)逆解。最優(yōu)逆解選取原則為:

(1)

2 機(jī)械臂柔性關(guān)節(jié)建模與振動(dòng)分析

2.1 機(jī)械臂柔性關(guān)節(jié)建模

機(jī)械臂關(guān)節(jié)位置多安裝減速器、同步帶等柔性元件,當(dāng)關(guān)節(jié)處產(chǎn)生沖擊時(shí),會(huì)產(chǎn)生彈性振動(dòng)。因此,分析關(guān)節(jié)柔性影響是抑制機(jī)械臂振動(dòng)的關(guān)鍵所在。以圖2為例,基于Spong的線性扭簧模型理論[9],將關(guān)節(jié)等效為扭轉(zhuǎn)彈簧,建立機(jī)械臂柔性關(guān)節(jié)模型。不考慮阻尼和摩擦,其動(dòng)力學(xué)方程為:

(2)

圖2 柔性關(guān)節(jié)模型

2.2 機(jī)械臂振動(dòng)分析

(3)

令x=q-θ,將式(3)化簡(jiǎn)為常微分方程:

(4)

將式(4)視為多自由度受迫振動(dòng)方程,對(duì)其求解得:

(K-λM)φ=0

(5)

令解為x=Φy,Φ為y對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣,y為模態(tài)坐標(biāo),將式(5)代入式(4)得:

(6)

(7)

式(7)有兩組解,一組為齊次解,另一組為非齊次解,解的表達(dá)式為:

(8)

根據(jù)式(8)的表達(dá)形式,柔性關(guān)節(jié)的變形量由關(guān)節(jié)模態(tài)坐標(biāo)決定,通過電機(jī)的輸出數(shù)據(jù),求解關(guān)節(jié)的輸入,同時(shí)可求解出關(guān)節(jié)末端位置的變化量及加速度。

在求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的過程中,當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生微小振動(dòng),求解式(8)非齊次部得:

(9)

(10)

由式(10)得,機(jī)械臂柔性關(guān)節(jié)的彈性變形引起的末端振動(dòng)與關(guān)節(jié)的加速度與加加速度有關(guān),加速度曲線變化越平緩,即加加速度值越小,機(jī)械臂末端振動(dòng)越小。

3 機(jī)械臂抑振軌跡規(guī)劃

3.1 五次多項(xiàng)式差值法

本文主要研究機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間中點(diǎn)到點(diǎn)間的振動(dòng)抑制問題,需約束起始和中止位置的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為使機(jī)械臂在運(yùn)行過程中更加平穩(wěn),減少振動(dòng),在其運(yùn)行過程中應(yīng)避免沖擊的突變并且減小沖擊。用于軌跡規(guī)劃的函數(shù)需滿足二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)可導(dǎo)的條件。故選取五次多項(xiàng)式函數(shù)作為軌跡差值函數(shù)[10]。

五次多項(xiàng)式函數(shù)通式為:

θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5

(11)

軌跡函數(shù)需滿足起始點(diǎn)和中止點(diǎn)的角度約束、速度約束、加速度約束6個(gè)約束條件,為:

(12)

將上述約束函數(shù)代入五次多項(xiàng)式函數(shù)并求解,將求解系數(shù)代入原方程得到五次多項(xiàng)式軌跡曲線為:

(13)

五次多項(xiàng)式軌跡曲線差值擬合過程如下:首先,n等分機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡,t0,t1,…,tn為時(shí)間節(jié)點(diǎn),每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)ti對(duì)應(yīng)的角位移為θi;其次,在式(12)中約束條件已知的前提下,確定起始點(diǎn)與終點(diǎn)間的插值點(diǎn)。

3.2 抑振軌跡優(yōu)化函數(shù)

在機(jī)械臂進(jìn)行抑振軌跡規(guī)劃過程中,應(yīng)盡量避免關(guān)節(jié)處的沖擊,且提高機(jī)械臂的平穩(wěn)性。通過優(yōu)化機(jī)械臂運(yùn)行過程中的加速度與加加速度,抑制運(yùn)行過程中產(chǎn)生的振動(dòng)。提出目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)為:

(14)

3.3 基于改進(jìn)粒子群算法的抑振軌跡規(guī)劃

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)是一種源于對(duì)鳥群捕獵行為研究的進(jìn)化計(jì)算方法[11]。該算法的基本思想是通過某一群體中不同個(gè)體之間相互共享信息搜索最優(yōu)解。每一粒子在搜索空間各自尋找最優(yōu)解得到個(gè)體極值,并將其在群體中共享,最終得到的最優(yōu)個(gè)體極值作為全局最優(yōu)解。個(gè)體間共享信息就是更新個(gè)體的位置和速度。更新公式為:

(15)

(16)

式中:i=1,2,…,m,ω為權(quán)重系數(shù),n為迭代次數(shù),vid為第i個(gè)d維粒子的飛行速度,xid為第i個(gè)d維粒子的飛行位置,r1、r2為隨機(jī)數(shù)在(0,1)區(qū)間內(nèi),pbid為粒子的局部最優(yōu)位置,pgd為全局最位置。粒子群算法具有求解方式簡(jiǎn)單、快速收斂等優(yōu)點(diǎn),但是易陷入局部最優(yōu)解,使粒子趨近于局部最優(yōu)解而產(chǎn)生“早熟”現(xiàn)象。

遺傳算法(genetic algorithm,GA)參照自然物種基因繁衍機(jī)理,是一種并行的全局搜索方法。遺傳算法是通過對(duì)目標(biāo)種群進(jìn)行實(shí)時(shí)選擇、交叉和變異等一系列運(yùn)算,從而生成新種群[12]。交叉和變異操作將導(dǎo)致候選解與之前的解有所不同,所以容易跳出局部最優(yōu)解,避免“早熟”的問題。但交叉、變異后會(huì)導(dǎo)致解的數(shù)量增加,降低求解效率。將遺傳算法中交叉、變異的思想引入粒子群算法中能有效優(yōu)化其“早熟”問題。

交叉算子:隨機(jī)選擇兩組個(gè)體數(shù)量為2的個(gè)體,并比較其的適應(yīng)度函數(shù)值,算術(shù)交叉適應(yīng)度函數(shù)值高的個(gè)體。交叉前體個(gè)體為xi,xi+1,交叉后新個(gè)體為:

(17)

式中:α∈(0,1)。

變異算子:將粒子群算法進(jìn)化思想融入變異算子中,提高算法的收斂速度。新個(gè)體的變異原則如下:

(18)

針對(duì)PSO、GA算法的優(yōu)點(diǎn)和不足,GAPSO算法將GA算法中交叉、變異的思想引入PSO算法中。GAPSO算法既具備了GA算法較好的全局尋優(yōu)能力,又具備了PSO算法快速尋優(yōu)能力,提高了尋優(yōu)效率及精度。GAPSO算法優(yōu)化過程如圖3所示。該算法的基本思想為:首先,將計(jì)算出的適應(yīng)度值按大小排列,選出部分個(gè)體作為優(yōu)秀樣本,采用群體中不同個(gè)體之間相互協(xié)作和共享信息的方法提高樣本,完成進(jìn)化,進(jìn)化后的樣本進(jìn)入下一代,同時(shí)放棄未被選擇的樣本;其次,采用兩點(diǎn)交叉的策略在被提高的樣本中選取父母輩樣本;最后,采用固定變異率的方法變異交叉算子。算法流程圖如圖4所示。

圖3 GAPSO算法優(yōu)化過程

圖4 GAPSO算法流程圖

在約束條件及參數(shù)設(shè)置相一致的條件下,使用PSO算法與改進(jìn)粒子群(GAPSO)算法對(duì)同一目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)測(cè)試。測(cè)試函數(shù)為minf=x2+10cos(2πx)+10,約束條件為x∈[-3,3],v∈[-1,1]。測(cè)試函數(shù)的迭代適度曲線如圖5所示。

圖5 測(cè)試結(jié)果對(duì)比度

由圖5可得出,PSO算法與GAPSO算法分別在迭代60次,30次左右找到最優(yōu)值,GAPSO算法尋優(yōu)速度明顯較高。PSO算法得到的最優(yōu)適度值為0.002 0,GAPSO算法得到的最優(yōu)適度值為3×10-7。結(jié)合迭代結(jié)果可以推斷出PSO算法在找到局部最優(yōu)解后,開始在該局部最優(yōu)解附近搜索,最終導(dǎo)致沒有得到全局最優(yōu)解。綜上所述,融合了遺傳思想的GAPSO算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力,解決了PSO算法在迭代過程中容易“早熟”的問題,且具有收斂快的特點(diǎn)。

4 仿真驗(yàn)證

利用MATLAB/Simulink仿真軟件建立含有柔性關(guān)節(jié)的機(jī)械臂仿真系統(tǒng)。使用改進(jìn)的D-H參數(shù)法,完成機(jī)械臂建模,D-H參數(shù)如表1所示。

表1 機(jī)械臂D-H參數(shù)表

表2 軌跡點(diǎn)序列

在關(guān)節(jié)空間內(nèi)指定任務(wù)點(diǎn)位置,完成從初始位置A點(diǎn)到位置點(diǎn)B點(diǎn)的軌跡規(guī)劃,對(duì)軌跡進(jìn)行采樣,最終得到一組三維空間中的軌跡點(diǎn),軌跡點(diǎn)序列如2所示。機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束如表3所示。

表3 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

利用上文提出的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法,在關(guān)節(jié)空間完成對(duì)各軌跡點(diǎn)求解。設(shè)置初始種群規(guī)模pop_size=100,交叉率pc=0.5,變異率pu=0.05,迭代次數(shù)maxgen=100。以式(14)為目標(biāo)函數(shù),首先,將目標(biāo)函數(shù)及約束條件轉(zhuǎn)化為邏輯術(shù)語代入到五次多項(xiàng)式的矩陣形式中;其次,采用GAPSO算法尋優(yōu)步驟尋找pbest及gbest并保證其更新到最佳值;最后,當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最大循環(huán)次數(shù),停止迭代輸出結(jié)果。

目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的迭代適應(yīng)度函數(shù)曲線如圖6所示。迭代50次左右尋找到最優(yōu)值,目標(biāo)函數(shù)S最優(yōu)值為18.68 rad/s3,整個(gè)迭代過程沒有陷入局部最優(yōu),收斂速度快。

圖6 適應(yīng)度函數(shù)曲線

圖8 末端軌跡在Y方向上的位移

分析處理優(yōu)化后的機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)軌跡,優(yōu)化前后末端軌跡在X、Y、Z方向上的位移如圖7～圖9所示。由圖可知,優(yōu)化后末端軌跡在X、Y、Z方向上的鋸齒狀位移波動(dòng)明顯減少,所以末端振幅明顯減小。優(yōu)化后的軌跡整體更加平緩,柔性關(guān)節(jié)處的彈性振動(dòng)得到有效抑制,證明抑振軌跡規(guī)劃法抑振效果明顯。

5 結(jié)論

針對(duì)機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中因關(guān)節(jié)柔性產(chǎn)生的彈性振動(dòng)問題,提出一種能夠抑制機(jī)械臂末端彈性振動(dòng)的軌跡規(guī)劃方法,得出如下結(jié)論:

(1)結(jié)合柔性關(guān)節(jié)模型,分析了機(jī)械臂產(chǎn)生振動(dòng)的原因,確定了影響振動(dòng)情況的參數(shù),推導(dǎo)出加加速度值越小,機(jī)械臂末端振動(dòng)越小。

(2)通過算例驗(yàn)證了改進(jìn)粒子群算法的改進(jìn)效果,提高了算法的收斂速度,改善了容易陷入局部最優(yōu)解的問題。

(3)采用改進(jìn)的粒子群算法,結(jié)合抑振目標(biāo)函數(shù)函數(shù),經(jīng)過優(yōu)化算法處理,機(jī)械臂末端位移波動(dòng)減小,證明抑振軌跡規(guī)劃法有效抑制了末端的彈性振動(dòng)。