史欣如，李春芝

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

在表面物理學(xué)中，學(xué)者們對(duì)帶電粒子與二維電子氣間的相互作用十分感興趣［1-5］，尤其是帶電粒子的能量損失和二維電子氣密度的擾動(dòng)等［6-9］。若有帶電粒子在電子氣附近運(yùn)動(dòng)，電子氣流體會(huì)因受到激發(fā)和電離從而發(fā)生擾動(dòng)，而帶電粒子卻不斷損耗能量。通過研究帶電粒子與稠密等離子體間的相互作用中能量損失問題，可以探明高能量物理［10-13］和基礎(chǔ)等離子體物理［7，14-15］中的粒子束輸運(yùn)過程的機(jī)理。近幾年，在對(duì)WP2和GaAs的實(shí)驗(yàn)中所表現(xiàn)的很多特性證明了電子氣流體具有黏性，且有一系列新的理論用來研究電子氣的黏性流體特性［16-19］。同時(shí)，黏性量子流體動(dòng)力學(xué)模型（QHD）被用來研究量子半導(dǎo)體器件［20-22］、非線性等離子體振蕩［23］和稠密黏性量子等離子體的Jeans自引力不穩(wěn)定性情況［24］。CHEN等［25］通過采用線性化黏性量子流體動(dòng)力學(xué)模型研究了帶電粒子在單層二維電子氣附近運(yùn)動(dòng)時(shí)的阻止力，筆者將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究黏滯系數(shù)對(duì)帶電粒子與雙層二維電子氣作用時(shí)的影響。全文采用了高斯單位制（厘米-克-秒）。

1 理論模型

雙層二維電子氣（2DEG）是由石墨烯構(gòu)成的且分別位于z=0（平面1）和z=d（平面2），其他區(qū)域（z≠0,z≠d）為真空，d為2個(gè)平面之間的距離。帶電量為Z1e的粒子沿x軸方向運(yùn)動(dòng)情況見圖1。

圖1 帶電量為Z1e 的粒子沿x 軸方向運(yùn)動(dòng)Fig.1 A particle with charge Z1e moves along the x-axis

如圖1所示，在沒有受到外界電場(chǎng)作用時(shí)，石墨烯平面內(nèi)可以向各個(gè)方向移動(dòng)的自由電子密度等于近乎靜止不動(dòng)的離子密度，即ne0=ni0=n0。考慮在雙層石墨烯平面的上方存在一個(gè)載能粒子，該粒子帶電量為Z1e，以不隨時(shí)間變化的速度v=ve^x在2個(gè)平面上方沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，該載能粒子的密度可表示為ρext=Z1eδ(r-vt)δ(z-z0)，其中z0(z0＞d)是粒子與平面1的距離，此時(shí)均勻的電子氣將發(fā)生微小擾動(dòng)，其速度場(chǎng)為ue(r,t)=uej(r,t)，電子氣密度為ne(r,t)=n0+nej(r,t)，uej(r,t)代表著電子氣流體的速度，nej(r,t)代表著電子氣流體密度的一階微擾（j=1 對(duì)應(yīng)著平面1，j=2 對(duì)應(yīng)著平面2）。引入含有黏性修正項(xiàng)的線性化量子流體動(dòng)力學(xué)模型［23］，則2個(gè)平面內(nèi)的電子氣滿足的線性化連續(xù)性方程

動(dòng)量平衡方程

和Poisson方程

其中me是電子質(zhì)量，e是基本電荷，? 是普朗克常數(shù)除以2π，Φtot=Φext+Φind，Φext是由入射粒子激發(fā)的庫侖勢(shì)，Φind是2 個(gè)平面內(nèi)電子氣密度擾動(dòng)所激發(fā)的感應(yīng)勢(shì)。在方程（1）～方程（3）中，梯度算符在方程（2）中，等式右端各項(xiàng)分別表示電場(chǎng)力、電子氣內(nèi)部因簡(jiǎn)并引起的壓力、電子氣內(nèi)部電子之間的相互作用力、平面內(nèi)不動(dòng)的正電荷背景與自由移動(dòng)的電子之間的摩擦力（γ是摩擦系數(shù)），而最后一項(xiàng)則是在不同速度下電子氣流體產(chǎn)生的黏滯力，η為黏滯系數(shù)。

需要說明的是，在流體動(dòng)力學(xué)狀態(tài)中，電子動(dòng)力學(xué)特性主要由流體的黏度決定，而不是雜質(zhì)散射［26］，在不考慮溫度效應(yīng)情況下，黏度主要由流體中的動(dòng)量弛豫矩描述，黏滯系數(shù)η與二階弛豫時(shí)間τ2成正比。

其中vF為費(fèi)米速度，1/τ2,ee(T)為電子間弛豫率，而1τ2,0為剪切應(yīng)力在溫度T→0 時(shí)的“殘余”弛豫率。若不考慮溫度對(duì)弛豫率的影響，則τ2≈τ2,0。此外，τ2還與物質(zhì)密度有關(guān)，而Wigne 半徑rs=(2πn0a2B)-1/2也取決于描述材料特性的密度的函數(shù)，因此，τ2的值可以通過給出密度函數(shù)rs的值來獲得［27］。在rs=2 時(shí)，τ2≈τ2,0的值可以取在1.1×10-16～1.1×10-3s 之間，與此對(duì)應(yīng)的黏滯系數(shù)在0.33 ～330.00 cm2/s 之間，該范圍內(nèi)的黏滯系數(shù)可用來研究密度為n=1012cm-2量級(jí)的石墨烯中的電子氣流體［23］。因此，在以下的計(jì)算中主要研究黏滯系數(shù)為η=0.33 cm2/s、η=3.30 cm2/s、η=33.00 cm2/s 和η=330.00 cm2/s 的情況下石墨烯的電激發(fā)狀態(tài)。

引用傅立葉變換：

此外，入射粒子所受的阻止力Fs(v)，其負(fù)值也稱為阻止本領(lǐng)，即粒子運(yùn)動(dòng)方向單位長度上的能量損失；Fz(v)為側(cè)向力，其方向指向石墨烯平面，該力使入射粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡有向石墨烯平面偏轉(zhuǎn)的趨勢(shì)。這2個(gè)力的表達(dá)式可以通過對(duì)式（9）中感應(yīng)勢(shì)Φind(r,z,t)在不同方向求梯度得到：

為計(jì)算方便，引入無量綱參量：ky/kF→ky，k/kF→k，ω/ωp→ω，v/vB→v，γ/ωP→γ，η/(ωp/k2F)→η，l/λF→l，其中l(wèi)為長度，λF=1/kF是Fermi波長，vB=e2/? ≈c/137 是波爾速度，c為真空中的光速。

在下述的數(shù)值模擬中，假定入射粒子為質(zhì)子，即Z1=1，Wigner半徑為rs=2，摩擦系數(shù)為γ=0.02ωp。入射粒子與平面1之間的距離為z0，2個(gè)平面之間的距離為d，而入射粒子速度v和黏滯系數(shù)η是變化的。需要說明的是，由ωp/kF=vB和，因此，當(dāng)η=0.33 cm2/s 、η=3.30 cm2/s 、η=33.00 cm2/s 和η=330.00 cm2/s 時(shí)，由η/(ωp/k2F)→η無量綱化后的黏滯系數(shù)分別為η=0.142，η=1.420，η=14.200 和η=142.000。

2 計(jì)算結(jié)果與分析

2.1 感應(yīng)電子氣密度

在圖2（a）～圖2（c）中，分別計(jì)算了速度v=2.0vB、2.5vB、3.0vB時(shí)，不同黏滯系數(shù)η=0.000、η=0.142、η=1.420、η=14.200 和η=142.000（已用ωp k2F無量綱化）下ne2（已用n0無量綱化）沿x軸方向的變化情況。其中取d=3.0λF，z0=6.0λF。

圖2 黏滯系數(shù)對(duì)ne2（已使用n0 無量綱化）沿x 軸方向變化的影響Fig.2 The effect of viscosity coefficient on ne2（dimensionless by n0）the variation along the x-axis direction

從圖2（a）可以看出，當(dāng)入射粒子速度一定時(shí)，隨著η的增大，ne2振蕩的幅值和區(qū)域均變小，說明黏滯系數(shù)對(duì)石墨烯中電子氣的擾動(dòng)起到了抑制作用，這是由于入射粒子的部分能量被電子氣流體的黏滯效應(yīng)所耗散，導(dǎo)致只有少部分能量使電子氣擾動(dòng)。隨著黏滯系數(shù)的增大，耗散的能量增多，從而電子氣擾動(dòng)變?nèi)?。從圖2（b）和圖2（c）中可以看出，隨著速度的增大，ne2振蕩的幅值變小，波長變大，說明粒子運(yùn)動(dòng)速度越快，其庫侖場(chǎng)使電子氣激發(fā)或電離的能力變?nèi)酰瑩Q言之，就是電子氣還來不及響應(yīng)，帶電粒子已經(jīng)遠(yuǎn)離了。

圖3（a）～圖3（c）分別計(jì)算了速度v=2.0vB、2.5vB、3.0vB時(shí)平面1內(nèi)感應(yīng)電子氣密度沿x方向的變化情況，所選參數(shù)與計(jì)算ne2時(shí)相同。對(duì)比圖2和圖3時(shí)發(fā)現(xiàn)，ne1振蕩的幅值遠(yuǎn)小于ne2振蕩的幅值，這是由于平面2對(duì)入射粒子的靜電屏蔽作用導(dǎo)致的。圖3（a）顯示，當(dāng)入射粒子速度一定時(shí)，隨著黏滯系數(shù)的增大，電子氣振蕩的幅值和區(qū)域迅速減小，說明黏滯效應(yīng)的存在，能夠使平面1內(nèi)電子氣擾動(dòng)的電場(chǎng)力大部分被耗散掉，僅有少部分使其發(fā)生擾動(dòng)。從圖3（b）和圖3（c）可以看出，隨著v的增大，電子氣振蕩的幅值變小，波長變大，這一點(diǎn)與ne2的振蕩特征一致。

圖3 黏滯系數(shù)對(duì)ne1（已使用n0 無量綱化）沿x 軸方向變化的影響Fig.3 The effect of viscosity coefficient on ne1（dimensionless by n0）the variation along the x-axis direction

2.2 側(cè)向力和阻止本領(lǐng)

通過計(jì)算分析，不同黏滯系數(shù)對(duì)載能粒子所受的阻止力以及側(cè)向力的影響見圖4。取d=2.0λF，z0=3.0λF，由圖4（a）知，當(dāng)v＜0.6vB，若不考慮黏滯效應(yīng)的影響（η=0.0），F(xiàn)S(v)近乎為零，說明v較小時(shí)，其前方和后方的電子數(shù)近似相同，不會(huì)產(chǎn)生向后的感應(yīng)電場(chǎng)。若考慮黏滯效應(yīng)的影響，則粒子所受的阻止力不能忽略，說明黏滯效應(yīng)阻礙電子對(duì)入射粒子向前運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)，從而產(chǎn)生向后的感應(yīng)電場(chǎng)。隨著入射粒子速度的增大，與不考慮黏滯效應(yīng)的情況對(duì)比，黏滯系數(shù)越大，阻止力越小，說明黏滯效應(yīng)項(xiàng)對(duì)電子氣的擾動(dòng)起到了抑制作用，導(dǎo)致向后的感應(yīng)電場(chǎng)變?nèi)酰柚沽ψ冃?，這一點(diǎn)可以從圖2和圖3中ne2和ne1受黏滯系數(shù)影響中看出。對(duì)于側(cè)向力，由圖4（b）知，在v＜1.5vB時(shí)，黏滯效應(yīng)越大，F(xiàn)z(v)越小，這是由于黏滯效應(yīng)抑制了電子氣的擾動(dòng)，從而使感應(yīng)電場(chǎng)變?nèi)跛鶎?dǎo)致的。當(dāng)入射粒子的速度v＞1.5vB時(shí)，黏滯效應(yīng)對(duì)側(cè)向力的影響變小并逐漸消失。

圖4 不同黏滯系數(shù)對(duì)阻止力FS(v)和側(cè)向力Fz(v)（已用F0=e2/a2B 無量綱化）的影響Fig.4 The influence of different viscosity coefficients on stopping force FS(v) and lateral force Fz(v)（dimensionless by F0=e2/a2B）

3 結(jié)論

筆者采用含黏滯修正項(xiàng)的線性化量子流體動(dòng)力學(xué)模型研究了黏滯效應(yīng)對(duì)雙層石墨烯平面靜電激發(fā)狀態(tài)的影響。結(jié)果表明，黏滯系數(shù)越大，電子氣振蕩的幅值和區(qū)域變小，波長變大。對(duì)阻止力，在速度較低的區(qū)域，黏滯系數(shù)越大，阻止力越大，而在速度較高的區(qū)域阻止力卻隨著黏滯系數(shù)的增大而減小。此外，對(duì)側(cè)向力，在速度不大的情況下，黏滯系數(shù)越大，側(cè)向力越小，當(dāng)速度略增大時(shí)（v＞1.5vB），黏滯效應(yīng)對(duì)側(cè)向力的影響逐漸變小并消失。