黃 斌, 張文福

(南京工程學(xué)院 建筑工程學(xué)院,南京 211167)

工字型截面蜂窩梁通過對工字型或H型截面梁切割、交錯焊接而成,相較于原普通梁,蜂窩梁腹板高度增大,提高了腹板面內(nèi)梁整體抗彎剛度。腹板開洞除了降低了材耗,可允許管線貫穿,因此梁高增大不會顯著壓縮建筑使用空間。另外,腹板開孔點綴了構(gòu)件外觀,在一定程度上起到建筑裝飾作用。由于上述優(yōu)點,蜂窩梁在工業(yè)廠房、文娛公共建筑等工業(yè)民用建筑中使用廣泛[1-3]。目前,針對蜂窩梁靜力性能已有比較豐富的成果發(fā)布,包括整體彎曲屈曲承載力[4-6],彎扭屈曲性能[7-8],腹板局部屈曲性能[9-13]等方面的研究。對于動力性能,已有學(xué)者開展了開口矩形板自由振動特性研究[14],而對于蜂窩梁構(gòu)件扭轉(zhuǎn)模態(tài)振動分析則鮮有報道。

對于蜂窩梁彈性階段的動力性能分析,通常將其視為線性多自由系統(tǒng),開展模態(tài)分析是應(yīng)用疊加法求解構(gòu)件動力響應(yīng)的基礎(chǔ)[15-17]。對于扭轉(zhuǎn)剛度較小的構(gòu)件,扭轉(zhuǎn)模態(tài)圓頻率較小,屬于低階模態(tài)之列,這意味著在總體響應(yīng)分析中扭轉(zhuǎn)變形貢獻(xiàn)不可忽視?，F(xiàn)階段,對于薄壁構(gòu)件扭轉(zhuǎn)性能描述,無論是采用平衡法建立平衡微分方程,還是采用能量法建立扭轉(zhuǎn)模態(tài)的能量泛函,均基于Vlasov所創(chuàng)立的薄壁構(gòu)件約束扭轉(zhuǎn)理論(后文簡稱傳統(tǒng)理論)[18]。建立平衡微分方程則涉及到與翹曲雙力矩相關(guān)的彎扭力矩,能量泛函模型則需要考慮翹曲正應(yīng)力及約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力對應(yīng)能量項。傳統(tǒng)理論的突出特點是引入了扇型面積坐標(biāo),使得公式表達(dá)形式簡潔工整,特別是翹曲雙力矩與翹曲正應(yīng)力,及彎曲力矩與約束扭轉(zhuǎn)剪力的對應(yīng)關(guān)系,甚至可分別與梁的彎矩與正應(yīng)力,剪力與剪應(yīng)力公式形式相比擬。傳統(tǒng)理論適用于單一均質(zhì)材料構(gòu)件,對于處于彈塑性階段或復(fù)合材料薄壁構(gòu)件扭轉(zhuǎn)性能描述,則顯出不足。此外,對于不規(guī)則截面薄壁構(gòu)件扭轉(zhuǎn)性能描述,在確定主扇型坐標(biāo)極點、零點,及相應(yīng)截面模型量如主扇型慣性矩(翹曲常數(shù)),主扇型靜面矩時計算繁瑣,通常選用數(shù)值計算方式。

2014年,張文福等[19-23]提出了一種不同于傳統(tǒng)理論的薄壁構(gòu)件扭轉(zhuǎn)性能描述的思想體系,將其命名為“板-梁理論”(后文簡稱板-梁理論)。由于該理論應(yīng)用Euler-Bernoulli梁(Timoshenko梁)和Kirchhoff板模型先獲得組成構(gòu)件的各板條應(yīng)變能,進(jìn)而加和求得構(gòu)件總應(yīng)變能及動能。對于扭轉(zhuǎn)變形模態(tài),建立能量泛函模型過程中,不再涉及扇型坐標(biāo)運(yùn)算,這是板-梁理論相對傳統(tǒng)理論的顯著優(yōu)勢。同時,板-梁理論以板條作為基本分析單元,對于復(fù)合材料構(gòu)件,處于彈塑性狀態(tài)的構(gòu)件,及組合截面構(gòu)件扭轉(zhuǎn)性能的研究分析具有較強(qiáng)適用性。目前,已成功應(yīng)用于鋼-混組合薄壁構(gòu)件的扭轉(zhuǎn),工字梁彈-塑性彎扭屈曲問題,預(yù)應(yīng)力鋼梁彎扭屈曲的等問題解析解的推導(dǎo)。

本文針對圓孔工字型蜂窩梁,應(yīng)用板-梁理論,推導(dǎo)圓孔工字型蜂窩梁扭轉(zhuǎn)模態(tài)自由振動的應(yīng)變能和動能,從能量等效角度構(gòu)建一種連續(xù)型模型,明確構(gòu)件扭轉(zhuǎn)自由振動能量泛函,并依據(jù)Hamilton原理,獲得平衡微分方程模型。基于模態(tài)試函數(shù),求解扭轉(zhuǎn)自由振動圓頻率,并與數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行了比對校驗。本文連續(xù)型模型及其對應(yīng)的能量泛函模型和平衡微分方程模型的構(gòu)建過程能為不同開孔類型蜂窩梁提供直接參考。

1 能量泛函模型

兩端簡支(夾支)的圓孔工字型蜂窩梁模型截面幾何尺寸如圖 1所示,密度為ρ,彈性模量為E,泊松比為υ,所有基本材料物理參數(shù)沿梁長(L)均勻分布。

1.1 上翼緣能量

1.1.1上翼緣板面內(nèi)位移相應(yīng)應(yīng)變能及動能

當(dāng)構(gòu)件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形模態(tài)時,整體坐標(biāo)系下,截面上翼緣任意點(x,y)處的位移矢量為

(1)

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原則,整體坐標(biāo)下的矢量分量(x,y)在局部坐標(biāo)系下可表示為

(2)

局部坐標(biāo)系下位移分量表達(dá)如式(3)所示。

(3)

(4)

相應(yīng)的應(yīng)變及應(yīng)力為

(5)

面內(nèi)位移對應(yīng)應(yīng)變能則為

(6)

動能為

(7)

1.1.2 上翼緣板面外位移相應(yīng)應(yīng)變能及動能

對于上翼緣面外位移分量,已知板面外撓度un,f,out=un,f=-sθ,根據(jù)Kirchhoff薄板模型,可得(圖3(b))

(8)

(9)

相應(yīng)應(yīng)變?yōu)?/p>

(10)

上翼緣面外位移分量相應(yīng)應(yīng)變能Uuf,out和動能Tuf,out分別為

(11)

(12)

式(6)與式(7)求和,以及式(11)與式(12)相加則可分別獲得上翼緣總應(yīng)變能和總動能,即

Uuf=Uuf,in+Uuf,out

(13)

Tuf=Tuf,in+Tuf,out

(14)

1.2 腹板能量

為便于構(gòu)建蜂窩梁的等效連續(xù)性模型,將蜂窩梁拆分成 “Flange”,“Web1”以及“Web2”三部分,如圖 4所示?！癋lange”由上下翼緣組成,其相應(yīng)應(yīng)變能和動能已在2.1節(jié)完成討論。“Web1”由腹板兩條縱向連續(xù)板條組成,而“Web2”則是由不連續(xù)豎向板條組成。各分部截面幾何參數(shù)如圖 5所示。針對“Web2”,根據(jù)能量等效原則,將其等效為連續(xù)型薄板。將分別分析Web1和Web2相應(yīng)能量。

腹板任意點(x,y)整體坐標(biāo)系的位移可表示為

(15)

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系,局部坐標(biāo)系下分量則表示為

(16)

由于腹板的形心與構(gòu)件截面形心重合,因此腹板位移平面內(nèi)位移為零,式(16)中位移均為平面外位移。

根據(jù)Kirchhoff薄板模型,相應(yīng)位移,應(yīng)變分別如式(17)和式(18)所示。

(17)

(18)

1.2.1 Web1能量

已知腹板Web1板件的位移和應(yīng)變分別如式(17)和式(18)所示。類比上翼緣板推導(dǎo)過程,可得Web1板件相應(yīng)應(yīng)變能(式(19))和動能(式(20))。在進(jìn)行Web1分部板件能量積分時需注意根據(jù)相應(yīng)截面幾何尺寸(圖5),調(diào)整積分限。

UCb,web1=UCb,web1,out=

TCb,web1=TCb,web1,out=

(20)

1.2.2 Web2能量

由分析模型(圖4)可知,腹板Web2分部是由不連續(xù)的豎向板條組成。選取Web2中的單個豎向板條作為分析單元(圖6),根據(jù)能量等效,將不連續(xù)的Web2轉(zhuǎn)化為連續(xù)薄板。建立Web2分析單元局部坐標(biāo)系osζ,從而分析單元邊界可表示為

(21)

每個分析單元的總應(yīng)變能為

WU,Cb,web2=WU,Cb,web2,out=

σs,f,outεs,f,out+τsz,f,outγsz,f,out)dndsd?=

相應(yīng)動能如式(23)所示

WT,Cb,web2=WT,Cb,web2,out=

(23)

(24)

(25)

1.3 構(gòu)件總能量

將翼緣應(yīng)變能和動能分別與腹板應(yīng)變能和動能相加可獲得構(gòu)件總應(yīng)變能(式(26))和總動能式(27)。

(26)

(27)

其中,

(28)

(29)

(30)

(31)

基于圓孔工字型蜂窩梁扭轉(zhuǎn)模態(tài)自由振動總應(yīng)變能式(26)和總動能式(27),根據(jù)Hamilton原理,可得總能量泛函模型

(32)

2 平衡微分方程模型

(33)

其中,

根據(jù)Euler-Ostrogradskii公式或變分運(yùn)算,可推得平衡微分方程

對于兩端簡支邊界條件,假定扭轉(zhuǎn)模態(tài)試函數(shù)為

(36)

代入式(35)可得

(37)

(38)

相應(yīng)頻率則為

(39)

3 有限元分析

3.1 單元選擇與劃分?jǐn)?shù)量

應(yīng)用通用有限元軟件ABAQUS(Version 2020)建立圓孔工字型蜂窩梁有限元模型,如圖 7所示。采用S4R單元離散幾何模型,此類型單元采用縮減積分方案,已成功應(yīng)用于薄壁梁、柱模型的有限元分析中[24]。單元劃分?jǐn)?shù)量沿翼緣方向數(shù)量為22[25],腹板和縱向長度方向根據(jù)腹板高度與翼緣寬度比值,以及長度與翼緣寬度比值確定,據(jù)此可確保單元形狀基本為方形,有利于提升計算精度和計算效率。

3.2 邊界條件

采用MPC(multipoint constraints)約束命令將兩端截面節(jié)點x、y向平動位移及繞z軸轉(zhuǎn)動位移與截面形心點位移進(jìn)行耦合,從而形成兩端夾支支座。 跨中所有截面節(jié)點繞z軸轉(zhuǎn)動位移耦合于截面形心以滿足剛周邊假定?？缰?/2長度處截面,約束節(jié)點z向位移,以消除z向剛體位移,如圖7所示。采用上述邊界條件設(shè)置方法,即可確保滿足夾支支座要求,又可保證兩端截面縱向纖維翹曲不受干擾。典型有限元模型扭轉(zhuǎn)模態(tài)如圖8所示。

3.3 有限元結(jié)果

3.3.1 扭轉(zhuǎn)模態(tài)自由振動頻率

有限元試件幾何參數(shù)及數(shù)值與理論對比結(jié)果如表 1所示。由表1可知,扭轉(zhuǎn)模態(tài)對應(yīng)圓頻率數(shù)值與理論結(jié)果比值平均值為0.976 8,標(biāo)準(zhǔn)差為0.004 1。因理論模型中完全考慮了剛周邊假定,其圓頻率結(jié)果較數(shù)值結(jié)果略大。總之兩者比值結(jié)果表明了理論公式良好的預(yù)測精度。

表1 振動頻率數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果對比

3.3.2 扭轉(zhuǎn)剛度和截面轉(zhuǎn)角

通過能量變分模型確定的構(gòu)件名義翹曲剛度(EIω,Cb),名義自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)(GIt,Cb)及名義轉(zhuǎn)動慣量(JT,Cb)分別如:式(28)、式(29)及式(30)所示。為進(jìn)一步檢驗理論推導(dǎo)結(jié)果的適用性,以懸臂蜂窩梁端部施加單位扭矩模型為研究對象(圖9),開展構(gòu)件端部轉(zhuǎn)角的理論分析與有限元計算對比。懸臂梁基本參數(shù)如圖1所示。對于懸臂梁端部作用單位扭矩,參照式(38)可得其平衡微分方程為

圖1 圓孔工字型蜂窩梁模型基本參數(shù)Fig.1 Parameters of the circular opening I-section cellular beams

圖2 典型扭轉(zhuǎn)模態(tài)及坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate systems and typical torsion mode

圖3 基于板梁理論確定的上翼緣面內(nèi)、外位移Fig.3 In-plane and out-of-plane displacement components of the upper flange using plate-beam theory

圖4 工字型蜂窩梁分析模型Fig.4 Analytical model of the cellular beams

圖5 各分部的截面幾何尺寸Fig.5 Geometric dimension of the split parts of the cellular beams

圖6 Web2 分析單元Fig.6 Analytical element of Web2

圖7 典型圓孔工字型蜂窩梁有限元模型Fig.7 Typical finite element model of the circular opening I-section cellular beams

圖8 典型圓孔工字型蜂窩梁扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)Fig.8 Typical torsion mode of the circular opening I-section cellular beams

圖9 懸臂梁模型簡圖Fig.9 Cantilever beam model diagram

(40)

考慮邊界條件,其解答為

(41)

表2 端部截面轉(zhuǎn)角理論分析與數(shù)值計算對比

4 結(jié) 論

基于板-梁理論思想,推導(dǎo)了能量泛函模型及平衡微分方程模型。針對夾支邊界條件,假定了扭轉(zhuǎn)模態(tài)試函數(shù),進(jìn)而獲得了扭轉(zhuǎn)模態(tài)圓頻率,并與數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行了對比校驗。結(jié)論如下:

(1)從能量等效角度,提出了圓孔工字型截面蜂窩梁連續(xù)型模型,基于板-梁理論推導(dǎo)了構(gòu)件應(yīng)變能和動能。

(2)基于哈密頓原理獲得了能量泛函模型,明確了圓孔工字型截面蜂窩梁的名義扇型慣性矩(翹曲常數(shù)),名義自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)及名義轉(zhuǎn)動慣量等基本截面模量。通過變分運(yùn)算建立了平衡微分方程模型。

(3)給出了兩端簡支圓孔工字型蜂窩梁扭轉(zhuǎn)模態(tài)自由振動頻率計算公式,理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果平均比值約為0.98,檢驗了理論公式的預(yù)測精度。

(4)開展了集中扭矩作用下懸臂工字型截面圓孔蜂窩梁端部截面轉(zhuǎn)角的理論分析與有限元結(jié)果對比,結(jié)果表明理論結(jié)果與引入剛周邊設(shè)置的數(shù)值計算結(jié)果比值平均值為0.988 0,與不考慮剛周邊設(shè)置的數(shù)值計算結(jié)果比值為0.958 5,進(jìn)一步檢驗了本文提出的蜂窩梁連續(xù)型模型及其扭轉(zhuǎn)性能分析方法的可靠性。

(5)特別地,應(yīng)用板-梁理論建立圓孔工字型截面蜂窩梁的能量泛函模型及微分方程模型的過程為其他開孔類型如方孔,六邊形開孔工字型截面類型的扭轉(zhuǎn)模態(tài)的自由振動理論分析提供了直接參考。