陳 媛，柳彥軍

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

0 引言

眾所周知，Sobolev空間理論是數(shù)學(xué)家Sobolev在20世紀(jì)30年代初發(fā)展起來的，這些空間是由弱可微函數(shù)所組成的 Banach 空間，并建立一系列新的概念，例如廣義解、廣義導(dǎo)數(shù)、嵌入定理等.在Sobolev 空間理論不斷發(fā)展中，人們對Sobolev 空間中的不等式也作了大量推廣，Sobolev 不等式最初是由Sobolev 給出，但不包括p=1 的情形.不等式的證明依賴于Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式.1958 年，Gagliardo 與Nirenberg 對此進(jìn)行了完善，得到了一般Sobolev 不等式.Sobolev 空間的核心內(nèi)容是Sobolev 嵌入定理，其基本內(nèi)容包含在Sobolev 的工作中，后來，Morrey及Aubin等對其進(jìn)行了完善.與此同時，隨著非線性彈性力學(xué)等學(xué)科的迅速發(fā)展，非標(biāo)準(zhǔn)增長條件的橢圓形偏微分方程以及相關(guān)的變分問題引起了人們的廣泛興趣，因此，大量理論和應(yīng)用上的問題被提出.變指數(shù)的非線性橢圓問題是一個全新的研究課題，它反映了“逐點異性”的物理現(xiàn)象，其包含有p-Laplacian問題，主要介紹非線性彈性力學(xué)、電子流變流體模型和圖像恢復(fù)模型，并有著十分重要的應(yīng)用背景，許多重要的物理現(xiàn)象和幾何問題都可以用橢圓方程來表示其數(shù)學(xué)模型.例如Laplace 問題、非線性擴(kuò)散理論、熱力學(xué)中的氣體燃燒理論、量子場論和統(tǒng)計力學(xué)以及星體的引力平衡理論等都與此有著極大的聯(lián)系.此外，p-Laplacian問題描述了物理和化學(xué)中一類穩(wěn)態(tài)的反應(yīng)擴(kuò)散現(xiàn)象，并在彈性力學(xué)和電流體力學(xué)等問題中有重要的應(yīng)用背景，利用廣泛的物理背景來研究橢圓問題的解（或弱解）及其相關(guān)性質(zhì)，具有重要的現(xiàn)實意義.

1 主要研究結(jié)果

變分法中對于一些非標(biāo)準(zhǔn)增長條件的方程，有時候無法對偏微分方程直接求解.因此，一些最佳先驗估計顯得十分重要.同時，最佳的幾何不等式也一直是許多分析學(xué)家關(guān)注的主要問題，除了其內(nèi)在價值外，幾何不等式最佳常數(shù)的確定與底層空間幾何結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，變分法中有很多經(jīng)典的理論，如山路引理、環(huán)繞定理及指標(biāo)理論等.20 世紀(jì)60 年代，Palais 和Smale 對泛函引入了著名的Palais-Smale（簡稱PS）序列，得到PS 序列后，往往希望該P(yáng)S 序列有強(qiáng)收斂的子列（即PS 序列有緊性），為此，第一步就需要保證PS 序列的有界性，如著名的 Ambrosetti-Rabinowitz（簡稱A-R）條件.Ambrosetti 和Rabinowitz 建立了著名的山路引理，并且應(yīng)用于半線性微分方程的多解存在性的研究，這是現(xiàn)在極大極小方法的開端，完全改變了研究具有變分結(jié)構(gòu)的非線性問題的方法.

一些嵌入不等式的最佳常數(shù)往往是極值函數(shù)存在的關(guān)鍵，如等周不等式、特征值比較定理、預(yù)定曲率方程、解的存在性等，極值函數(shù)的研究可以更加豐富流形上Sobolev 空間理論，從而解決一些預(yù)定曲率問題.

當(dāng)N≥3和1

其中B是RN中的單位球.Lions 等［1］研究了邊界部分消失函數(shù)的Sobolev 常數(shù)，對于一般有界域，ΣN，p不能達(dá)到.對于嵌入到變指數(shù)空間Lq(x)(B)范數(shù)有

為了討論最佳性和極值問題，定義

然后可以得到以下結(jié)果：

定理1

下邊的結(jié)果提供了最佳常數(shù)ΛN，p，α可達(dá)的判斷準(zhǔn)則.

定理2

假設(shè)N>2以及ΛN，p，α>ΣN，p，那么最佳常數(shù)ΛN，p，α是可達(dá)的.

2 定理1的證明

受文獻(xiàn)［2］的啟發(fā)，基于文獻(xiàn)［5］中給出的Bliss型函數(shù)，可以定義

于是有以下結(jié)論：

引理1

令δ，分別由（6）和（7）給出，有

定理1的證明，對于任意的ε>0，且ε足夠小，可證明存在一個常數(shù)C>0，有

事實上，可以有下面的相關(guān)表達(dá)

找到足夠小的C>0和ε>0.再結(jié)合（14）和（15），可完成（10）的證明.

另結(jié)合（8）和（9），有

最后，利用（10）與（16），有

由此完成了定理1的證明.

3 定理2的證明

引理2

假設(shè)‖ ?uj‖p=1和ΛN，p，α不能達(dá)到，那么ΛN，p，α的任何最大化序列都集中在原點.

證明

從而得出矛盾，因此，有u≡0，下面還需要證明(uj)滿足

當(dāng)區(qū)間[r0，1]代替(0，1 ]時，對于q≥p時，可以得到下面的緊嵌入

要證明（20），首先看算子H：Lp[r0，1]→Lq[r0，1]定義為

對于1 ≤p≤q，算子H是緊的當(dāng)且僅當(dāng)滿足下面的三個條件

（參見［7］中定理7.4）.

計算表明(i)，(ii) 和 (iii)是滿足的，說明H是緊的.在（20）中的嵌入可以看作T?H，其中是由Tu=-u′給出.T是一個連續(xù)算子，因此緊的嵌入（20）就證畢.

當(dāng)p*>p，在（20）和引理2的幫助下，可得到

利用Ekeland的原理（［8］中定理3.1），由于(uj)是一個最大化序列，對于一些乘數(shù)λj有

選擇一個平滑的截斷函數(shù)

并在（22）中令v=ξuj，利用（21），可得到

從而，證明了（19）.

引理3

如果N>p，對于任意的0

（23）證畢.

其次，通過引理3，可得到

對于任意的r∈(δ(ε)，1)，有

當(dāng)存在某個C2=C2(N，p)使得

注意，當(dāng)j→∞，ζj→0時，對于足夠大的j，可以得到