倪雙飛，戴宇辰，蔡啟程，孫仲陽

（1.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司 常州市金壇區(qū)供電分公司，江蘇 常州 213000；2.浙江師范大學 工學院，浙江 金華 321000；3.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司 泰州市供電分公司，江蘇 泰州 225400；4.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司 儀征市供電分公司，江蘇 儀征 211400）

0 引言

近年來，由于化石燃料供應短缺、環(huán)境污染和全球變暖等問題，電動汽車已逐漸成為未來汽車的發(fā)展方向［1］。永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）具有運行效率高、轉矩慣性比大、功率密度大、轉速范圍寬、使用壽命長等優(yōu)點，更適合作為電動汽車的牽引電機［2-3］。然而，PMSM驅動系統(tǒng)具有高度非線性、強耦合、多變量的特性，并且電動汽車在運行過程中會出現(xiàn)外部負載擾動，使得傳統(tǒng)的PI控制在保證驅動系統(tǒng)動態(tài)響應和抗干擾能力方面存在明顯不足。

近年來，隨著控制理論的發(fā)展，眾多研究者致力于使用一些先進的控制方法替代傳統(tǒng)的PI控制，例如模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制、非線性控制和魯棒控制等［4］。其中，反推控制（backstepping control，BC）作為一種典型的非線性控制策略，在對PMSM的研究中得到了推廣應用。其將非線性系統(tǒng)拆分成低于系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，同時，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構造合適的李雅普諾夫函數(shù)并設計虛擬控制律，最后通過遞推的方式得到整個系統(tǒng)的實際控制律［5］。

在實際行駛中，電動汽車除了要面對復雜的路況外，還必須克服惡劣天氣條件（如雨雪天氣）的影響，這些可能會造成負載轉矩擾動。因此，為了提高電動汽車PMSM 驅動系統(tǒng)的抗干擾性能，一種有效的方法就是使用擾動觀測器，以實時檢測負載轉矩，并將估計的擾動信息提供給控制器進行補償，以此增強牽引電機的抗干擾性能［6-9］。文獻［7］在設計控制器中引入了擾動觀測器，以便當負載發(fā)生擾動時提高PMSM驅動系統(tǒng)的抗干擾能力；但該擾動觀測器的估計誤差不是有限時間收斂的，并且文獻［7］和文獻［8］都沒有給出精確的擾動估計曲線圖。文獻［9］設計了一種有限時間擾動觀測器，然而該擾動觀測器的結構較復雜，控制參數(shù)較多，不利于工程應用。盡管使用擾動觀測器可以增強系統(tǒng)的魯棒性，但采用上述控制方法，PMSM驅動系統(tǒng)的暫態(tài)性能，如超調量、誤差收斂速度等，并不能滿足預先設定的條件。因此，預設性能控制已成為近年來研究的熱點。由于電動汽車頻繁加減速、爬坡和下坡，PMSM 控制系統(tǒng)不僅要求響應速度快，而且要求無超調響應。采用預設性能控制算法可以保證跟蹤誤差收斂到預先設定的區(qū)域內，收斂速度和超調量滿足預先設定條件［10-11］。文獻［12］將反推法與預設性能控制相結合，使控制器兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能。預設性能控制方法已被應用于機器人運動控制［13-14］和高速飛行器姿態(tài)控制［15］等領域。文獻［14］將預設性能控制應用于受外部干擾的機器人系統(tǒng)中，仿真結果表明，在控制器設計中引入預設性能函數(shù)后，系統(tǒng)誤差收斂到預先指定的任意小區(qū)域。文獻［15］設計了一種高超聲速飛行器預設性能精細姿態(tài)控制方法，仿真結果表明，預設性能控制可以在預設邊界內保證瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差，并大大降低超調量。然而，利用預設性能控制來解決永磁同步電機的速度跟蹤問題的研究還很少。

為實現(xiàn)外部負載轉矩擾動下電動汽車永磁同步電機精確轉速跟蹤控制，本文設計了一種基于擾動觀測器的預設性能反推控制器（disturbance-observer based prescribed-performance backstepping controller，DPBC）。其采用一種新型的擾動觀測器來估計負載擾動，增強電機驅動系統(tǒng)的抗干擾能力，同時保證估計誤差在有限時間內收斂；使用二階滑模微分器（second-order sliding mode differentiator，SOSMD）代替?zhèn)鹘y(tǒng)指令濾波器，SOSMD 的輸出信號可以在有限時間內逼近虛擬控制律的導數(shù)，以此解決“微分爆炸”問題；為了在電動汽車頻繁加速和減速時達到預設的高瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)轉速跟蹤性能，引入預設性能函數(shù)以保證跟蹤誤差在預設邊界內。

1 PMSM動態(tài)模型

圖1示出電動汽車的電機驅動系統(tǒng)［16］。其中，直流電源Vdc由電動汽車蓄電池提供，直流母線電容器C可吸收高頻電涌，逆變器用于電能轉換。對于表貼式PMSM，其在dq坐標系下的數(shù)學模型可以表示為［17］

圖1 電動汽車PMSM 驅動系統(tǒng)Fig.1 EV PMSM drive system

式中：ud——定子電壓d軸分量；uq——定子電壓q軸分量；id——定子電流d軸分量；iq——定子電流q軸分量；Rs——電樞繞組電阻；Ls——電樞繞組電感；φf——永磁體磁通；p——極對數(shù)；Tm——電磁轉矩；ωg——機械角速度。

此外，PMSM的機械傳動方程為

式中：J——轉動慣量；B——阻尼系數(shù)；TL——負載轉矩；Td——擾動轉矩 。

2 預設性能函數(shù)及誤差轉換

引入預設性能控制是為保證電機的轉速跟蹤誤差χ=x1-x1，c始終在預設邊界內（其中x1，c為目標轉速）。轉速跟蹤誤差χ需滿足如下條件：

預設性能函數(shù)可表示為

式中：ν0——預設性能函數(shù)的初值，正常數(shù)；ν∞——穩(wěn)態(tài)誤差的最大邊界，正常數(shù)；a——誤差收斂速度，正常數(shù)。

另

對于電動汽車PMSM驅動系統(tǒng)的控制設計，誤差變換定義如下：

式中：z1——誤差變化值。

3 基于擾動觀測器的預設性能控制器設計

3.1 擾動觀測器設計

動態(tài)模型可以表示為

式中：x——狀態(tài)變量，x=[x1x2x3]T；u——輸入量，u=[uqud]T；g——控制系數(shù)矩陣，d——未知的負載轉矩擾動，d(t)連續(xù)可微且其導數(shù)是有界的，d=[dδ0 0]T。

則擾動觀測器的結構被設計為

式中：α1d和α2d為正常數(shù)；——d的估計值。

本文的擾動觀測器設計主要基于超扭曲算法（super-twisting algorithm，STA）。對于帶擾動項的標準STA系統(tǒng)，其結構為［18］

式中：?1和?2——狀態(tài)變量；g1和g2——設計的正常數(shù)。

根據(jù)文獻［18］可知，系統(tǒng)若滿足上述STA 結構要求，通過調節(jié)g1和g2，則可在有限時間內收斂。

推論：考慮一個帶擾動的系統(tǒng)，應用擾動觀測器并選擇合適的參數(shù)，則觀測誤差能在有限時間內收斂。

證明：定義一個觀測誤差，根據(jù)式（10）可得誤差動態(tài)模型，見式（12）。

顯然，該誤差動態(tài)模型符合式（12）所示的帶擾動的STA 結構。根據(jù)STA 系統(tǒng)的有限收斂性可知，觀測誤差zd可以在有限時間內收斂到一個足夠小的范圍內。

3.2 控制器設計

定義系統(tǒng)跟蹤誤差為

式中：x3，c——d軸電流參考值，x3，c=0；x2，c——q軸電流參考值；z2——q軸電流跟蹤誤差；z3——d軸電流跟蹤誤差。

使用SOSMD 估計虛擬控制量的導數(shù)，防止對虛擬控制量直接解析求導，以此避免傳統(tǒng)反推控制的“微分爆炸”問題。SOSMD被定義為

式中：?1和?2——正常數(shù)；?r——SOSMD的輸入信號，即虛擬控制量x2，d；ψ1——?r的估計值，ψ1=x2，c；η1——的估計值，

考慮SOSMD的估計誤差，引入誤差補償信號ε并定義為

式中：k1——控制器整定參數(shù)，k1＞0。

重新定義轉速跟蹤誤差

根據(jù)式（18），將虛擬控制律設計為

式中：k1——正常數(shù)；τ——擾動觀測誤差邊界，且滿足其中n和r為正常數(shù)，為τ的估計值。

將式（19）代入式（18）中，得

為進一步增強系統(tǒng)的魯棒性，在實際控制律中引入積分滑模面。定義d軸與q軸的積分滑模面：

式中：a2和a3為正的積分滑模面參數(shù)。

同時，將滑模趨近律定義為

式中：h2、h3、ρ2、ρ3——設計的控制器參數(shù)，且均大于0。

考慮采取Sigmoid函數(shù)，即式中sig（·），以此代替?zhèn)鹘y(tǒng)符號函數(shù)，削弱滑模抖振現(xiàn)象。Sigmoid函數(shù)定義為

式中：Q——常數(shù)，且Q＞0。

由式（23）可知，Sigmoid 函數(shù)是光滑連續(xù)的?；谑剑?），d軸和q軸積分滑模面的導數(shù)為

為構造實際控制律，選擇李雅普諾夫函數(shù)：

對式（26）求導，得

其中：

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，將d軸和q軸實際控制律設計為

圖2示出本文所設計的基于擾動觀測器的預設性能反推控制器結構。

圖2 基于擾動觀測器的預設性能反推控制器Fig.2 Prescribed performance back-stepping controller based on disturbance observer

4 穩(wěn)定性分析與證明

為穩(wěn)定全系統(tǒng)，構造李雅普諾夫函數(shù)

對式（31）求導，得

可見，只要選擇合適的k1值，即可滿足上述情況。

綜上所述，系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的。

5 仿真分析

根據(jù)圖2，利用MATLAB/Simulink 構建電動汽車PMSM 驅動系統(tǒng)模型，并將所設計的DPBC 與傳統(tǒng)的PI 控制和BC 進行對比；然后，通過兩個算例分析3 種控制策略下電動汽車在變速行駛和勻速行駛下的速度跟蹤性能和抗干擾性能。根據(jù)文獻［19］，選取一組電動汽車用PMSM 參數(shù)，如表1 所示。母線電壓被設置為400 V，開關頻率為10 kHz。表2 為本文所設計控制器參數(shù)值，性能函數(shù)為ν(t)=0.045e-10t+0.015，-δ=δˉ=1。

表1 PMSM 參數(shù)Table 1 Parameters of PMSM

案例一：驗證電動汽車在負載擾動情況下變速行駛的轉速響應，以此模擬電動汽車在城市中行駛需要頻繁加減速的情形。圖3 示出案例一的負載轉矩擾動情況，圖4 顯示了3 種控制方法下的電機轉速跟蹤性能。電動汽車變速行駛時，在PI 和BC 控制下，電機的速度跟蹤性能容易受到負載轉矩擾動的影響，導致轉速出現(xiàn)較大的抖振。而DPBC 控制下的電機轉速比另外兩種方法更為平滑，對負載擾動不敏感，當駕駛員通過操縱油門和剎車踏板控制汽車頻繁變速時，電機轉速波動最小。轉速跟蹤誤差如圖5 所示，DPBC的跟蹤誤差保持在預設的范圍內，而其他兩個控制器的跟蹤誤差超過預設的邊界。

圖3 案例一中負載轉矩擾動情況Fig.3 Load torgue disturbance in case 1

圖4 案例一中3 種控制器的轉速響應Fig.4 Speed tracking control responses of three controllers in case 1

圖5 案例一中3 種控制器作用下的轉速跟蹤誤差Fig.5 Speed tracking errors of three controllers in case 1

案例二：為了進一步驗證本文所提出方法的有效性，假設電動汽車在啟動后將以恒定速度行駛，以此模擬車輛的巡航控制功能。電機的目標轉速保持在2 500 r/min。圖6 為案例二情況下存在的外部負載轉矩擾動。圖7為3種控制方法作用下的電機轉速跟蹤曲線圖?？梢?，DPBC方法下的電機轉速跟蹤精度高于PI 和BC 方法下的，有效地減弱了系統(tǒng)的抖振。此外，在圖8中，在PI控制和BC方法中沒有使用規(guī)定的性能函數(shù)，它們的跟蹤誤差超出了給定的界限；然而，采用DPBC 方法的速度跟蹤誤差較小，即使存在負載轉矩擾動，但誤差始終在預設范圍內。

圖6 案例二中負載轉矩擾動情況Fig.6 Load torgue disturbance in case 2

圖7 案例二中3 種控制器的轉速響應Fig.7 Speed tracking control responses of three controllers in case 2

圖8 案例二中3 種控制器作用下的轉速跟蹤誤差Fig.8 Speed tracking errors of three controllers in case 2

根據(jù)圖5和圖8，給出3種控制方法下轉速跟蹤精度對比，如表3所示。傳統(tǒng)PI控制下的最大跟蹤誤差分別達到0.036 rad/s和0.028 rad/s；而DPBC控制下的電機轉速跟蹤最大誤差只有0.005 rad/s，跟蹤精度提升5倍以上。

表3 3 種控制方法下轉速跟蹤精度對比Table 3 Comparison of speed tracking precision among 3 control strategies

圖9 和圖10 顯示了兩種案例下電機的電磁轉矩。結果表明，DPBC 控制方法的轉矩脈動明顯小于PI 控制方法和BC控制方法的，采用DPBC方法的電動汽車行駛更平穩(wěn)。

圖9 案例一中3 種控制器作用下的電磁轉矩Fig.9 Electromagnetic torque of three controllers in case 1

圖10 案例二中3 種控制器作用下的電磁轉矩Fig.10 Electromagnetic torque of three controllers in case 2

圖11 和圖12 分別示出案例一和案例二中施加的負載擾動dδ和擾動觀測器的觀測信號。由于引入了本文所提的新型擾動觀測器，在電動汽車行駛過程中出現(xiàn)負載擾動時，系統(tǒng)可以準確地觀測擾動，并將估計出的擾動信息輸入控制器，以便自適應地調節(jié)控制器的輸出，從而提高系統(tǒng)的抗干擾能力，抑制轉矩脈動。

圖11 案例一中擾動估計曲線Fig.11 Curve of disturbance estimation in case 1

圖12 案例二中擾動估計曲線Fig.12 Curve of disturbance estimation in case 2

圖13為SOSMD的輸入信號x2，d和輸出信號x2，c的曲線。可以看出，SOSMD的輸出信號可以準確地跟蹤輸入信號的變化。

圖13 SOSMD 的輸入輸出信號Fig.13 Input and output signals of SOSMD

6 結束語

本文研究了電動汽車永磁同步電機在負載轉矩擾動情況下的精確速度跟蹤控制問題，并設計了一種基于擾動觀測器的預設性能反推控制器。首先，建立了永磁同步電動機驅動系統(tǒng)的動力學模型，并考慮了負載擾動，引入預設性能控制以保證轉速跟蹤誤差收斂到預先設定的區(qū)域內，達到預設的高瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)轉速跟蹤性能。其次，針對不同路況引起的負載轉矩擾動，設計了一種新型的擾動觀測器來處理負載轉矩擾動，并將擾動估計信息輸入到控制器中，增強了控制器的抗擾動能力。此外，引入二階滑模微分器對虛擬控制律的導數(shù)進行逼近，解決了“微分爆炸”的問題，保證了誤差補償信號在有限時間內的收斂性。最后，證明了所設計控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并設計了兩個實例，通過仿真驗證了所提控制策略在電動汽車變速和恒速行駛時具有更好的轉速跟蹤性能和抗干擾能力?？紤]電動汽車驅動系統(tǒng)使用的是大容量電池和大功率電機，后續(xù)將搭建實驗平臺，對控制器的實時性進行進一步驗證。