林朱紅 顧婷婷

（1.浙大城市學(xué)院, 杭州 310015；2.浙江大學(xué)信電學(xué)院, 杭州 310027；3.毫米波全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210096）

0 引 言

電離層是指從離地面約50 km開始一直伸展到約1 000 km高度的地球高層大氣空域[1]。由于電離層中存在相當(dāng)多的自由電子和離子，其能改變無線電波的傳播速度，使之發(fā)生折射、反射和散射，產(chǎn)生極化面的旋轉(zhuǎn)和受到不同程度的吸收。根據(jù)2005年提出的國際參考電離層(International Reference Ionosphere，IRI) 參數(shù)模型，電離層中電子密度、粒子濃度等環(huán)境要素在垂直方向上，隨高度發(fā)生劇烈變化。隨著觀察高度的增加，電離層區(qū)域可細(xì)分為D層、E層和F層等區(qū)域。其中，F(xiàn)區(qū)電離層主要指120 km以上直到數(shù)百甚至上千千米的區(qū)域，也是電離層散射通信的主要區(qū)域。

早在20世紀(jì)60年代前后，國外學(xué)者便展開了關(guān)于電離層中的散射理論研究，例如等離子體散射[2]、等離子鞘套散射[3-4]、層狀介質(zhì)體散射[5]等。國內(nèi)研究機(jī)構(gòu)相繼出版和影印了不均勻介質(zhì)中電磁波輻射、散射和繞射等系列經(jīng)典專著[6-7]。近年來，甚低頻(very low frequency，VLF)電磁波理論在對(duì)流層通信[8-9]、電離層調(diào)制[10]和衛(wèi)星探測[11]等方面的應(yīng)用地位越來越重要，國內(nèi)學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)也展開了VLF電磁波在電離層中的輻射[12]和傳輸特性分析[13-14]以及調(diào)制激勵(lì)的理論機(jī)制和計(jì)算方法研究[15-16]，但有關(guān)電離層中目標(biāo)探測和VLF電磁波散射的理論分析和計(jì)算研究相對(duì)較少。盡管自由空間規(guī)則物體的電磁波散射理論已非常成熟，例如方形柱體散射[17-19]和有限長介質(zhì)柱體散射[20-21]等，但由于VLF電磁波在各向異性電離層中的傳播特性受到磁場強(qiáng)度、地磁傾角、地理緯度和太陽天頂角等多種環(huán)境因素影響[22]，其電磁散射機(jī)理研究更為復(fù)雜。采用常用的數(shù)值方法可求解不規(guī)則、不均勻散射體在復(fù)雜環(huán)境中的電磁散射問題，但缺乏物理機(jī)理的解釋[23-24]。事實(shí)上，散射的本質(zhì)即為二次天線輻射問題。近年來，星載VLF天線在F區(qū)電離層中的輻射特性研究得到了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注和認(rèn)可。最新發(fā)表的各向異性電離層中VLF天線理論研究表明，電離層中的星載VLF天線能激勵(lì)不同模式的表面電流[25-30]，目前已得到電離層中線天線、環(huán)天線和帶狀天線的表面電流分布和輸入阻抗。

本文沿用文獻(xiàn)[25-30]中的參數(shù)模型和相關(guān)表面電流公式，進(jìn)一步分析各向異性電離層環(huán)境中VLF波對(duì)有限長柱體的散射作用。受地磁場的影響，電離層除了呈現(xiàn)明顯的各向異性，還隨高度、地磁傾角等因素發(fā)生變化，考慮目標(biāo)的尺寸遠(yuǎn)小于電離層變化的尺度且求解范圍在近區(qū)，可近似地將電離層看作各向異性等離子體構(gòu)成的均勻介質(zhì)空間。通過對(duì)均勻各向異性電離層中沿地磁場取向有限長柱體目標(biāo)的近場散射分析，本文所提供的計(jì)算方法和數(shù)值結(jié)果為運(yùn)用VLF波實(shí)現(xiàn)電離層中散射通信和目標(biāo)探測奠定了基礎(chǔ)。

1 各向異性電離層中有限長金屬柱體的VLF電磁波近場散射

1.1 各向異性等離子體電離層環(huán)境參數(shù)模型

如引言所述，本文將電離層近似為均勻的等離子體環(huán)境。由于受地磁場影響且在VLF頻段，電離層呈各向異性，且參數(shù)隨電離層高度劇烈變化。根據(jù)文獻(xiàn)[31]提供的計(jì)算方法，復(fù)介電常數(shù)可寫作如下形式：

式中：常數(shù)ε0為自由空間中的介電常數(shù)；矩陣I和矩陣M分別為3×3單位矩陣和電極化矩陣。在不同的電離層參數(shù)下，矩陣M中各元素Mij(i，j=1, 2, 3)有不同取值(見附錄1)。

若考慮電離層中柱體取向?yàn)檠氐卮艌龇较颍姌O化矩陣可簡化為如下形式：

式中：ν為電離層有效碰撞頻率；ω為角頻率；ω0為等離子體頻率；ωH為電子回旋頻率。

式中：ne為電子密度；me為電子質(zhì)量；e為電子電荷量；B0為地磁場強(qiáng)度(通常取值為0.025～0.065 mT)。由式(3)角頻率ω定義(ω=2πf)，可知等離子體電離層環(huán)境參量還與入射電磁波有關(guān)。

1.2 VLF電磁波在電離層中的散射矩陣

當(dāng)VLF電磁波垂直入射(波矢量垂直于地磁場，入射角為90°，方位角為φ′=0°)金屬柱體時(shí)，柱體作為散射體進(jìn)行二次輻射，激勵(lì)產(chǎn)生的散射場不會(huì)產(chǎn)生交叉分量。但當(dāng)平面波斜入射時(shí)，入射波中的電型波和磁型波相互耦合。由于各向異性電離層的影響以及邊界條件，散射電磁場將產(chǎn)生交叉極化分量，散射電場分量和磁場分量不再相互分離而相互關(guān)聯(lián)、耦合。通過散射矩陣可知：

式中：SEE，SHH分別為電型波和磁型波散射系數(shù)；SEH，SHE分別為電型波和磁型波交叉散射系數(shù)。

同時(shí)，平面波在任意傳播方向上有兩個(gè)不同極化的特征波存在，即尋常波(O波)和非尋常波(E波)。O波為倏逝波，在所有傳播方向上衰減較快；E波在不超過臨界角(θ=89°)的傳播方向上具有較小衰減率，兩者極化關(guān)系滿足如下方程[31]：

由于地磁場的影響， “地-電離層”波導(dǎo)和電離層呈現(xiàn)各向異性；換言之，表示為張量。然而，在真實(shí)的電離層中，地磁傾角并非恒定不變的，當(dāng)其變化時(shí)將變?yōu)闈M元素矩陣。地磁傾角變化會(huì)導(dǎo)致O波和E波極化不同，當(dāng)?shù)卮艌龇较蜓貁軸方向時(shí)，介電常數(shù)張量可直接寫作如下[25-30]：

式中，

根據(jù)Appleton-Hartree[21]公式，E波的波數(shù)可寫為

1.3 VLF電磁波在有限長金屬柱體附近的散射場

有限長金屬柱體放置在各向異性電離層中的模型如圖1所示。VLF波矢量位于x-z平面，入射角為θ′， 方位角為φ′=0°。首先，本節(jié)討論VLF電磁波斜入射有限長金屬柱的近區(qū)散射電場和磁場分量。當(dāng)VLF電磁波斜入射到有限長柱體時(shí)，在目標(biāo)處的入射電場和磁場可寫為

圖1 有限長金屬柱體放置在各向異性電離層示意圖Fig.1 Physical model of a finite-length conducting cylinder in anisotropic ionosphere

式中：z′為入射點(diǎn)垂直分量坐標(biāo)；E0和H0分別為入射波電場和磁場幅度；ke為入射波的波數(shù)(即E波的波數(shù))。

1.3.1 散射場分析

考慮耦合散射場，當(dāng)VLF電磁波斜入射至有限長金屬柱體時(shí)，散射電場和感應(yīng)電流的關(guān)系式為

而散射磁場和感應(yīng)電流的關(guān)系為

式中：I(z′,φ′)為柱體表面產(chǎn)生的感應(yīng)電流；G(z-z′,φ-φ′)為電離層中核函數(shù)，其表達(dá)式[32]為

因此，導(dǎo)出如下積分方程：

1.3.2 基于MoM求解有限長金屬柱表面電流分布

在柱坐標(biāo)系下，根據(jù)J=n×H，可知：

當(dāng)平面波斜入射柱體時(shí)，柱體表面將包含z方向的軸向電流以及φ方向的徑向電流。本文考慮柱體長度遠(yuǎn)大于半徑，柱體表面主要以軸向電流為主，徑向電流近似均勻緩變。綜合考慮徑向電流和軸向電流分布特征，有限長柱體的表面電流可表示為

令[25]：

式中，ko,z,ke,z分別為軸向電流中O波和E波分量的波數(shù)，

令：

式中，Ij(z′,φ′)=IzjIφ(j=1,2,3,4,5,6)。在此情況下，式(11)和式(12)可進(jìn)一步表示為：

在式(21)和式(22)的兩端同時(shí)乘以Ii(z′,φ′)(i=1,2,3,4,5,6)，并對(duì)z在-h和h之間進(jìn)行積分，對(duì)φ在0和2π之間進(jìn)行積分，再聯(lián)立式(14)定義的邊界條件，可得：

式中：為入射點(diǎn)處的電流矢量；為待求系數(shù)；為6×6矩陣。

式中：下標(biāo)i,j=1,2,3,4,5,6；“T”表示矩陣的轉(zhuǎn)置。

2 各向異性電離層中有限長介質(zhì)柱體的VLF電磁波近場散射

2.1 VLF電磁波在均勻等離子體中的“面元”等效理論分析

本節(jié)研究VLF電磁波斜入射位于均勻等離子體中有限長介質(zhì)柱體的近區(qū)散射，如圖2所示。由于介質(zhì)柱體和金屬柱體的邊界條件不同，當(dāng)平面波入射金屬柱時(shí)，總場的切向分量在邊界處為零。然而，當(dāng)平面波入射介質(zhì)柱體時(shí)，切向分量不為零，入射場和散射場的和應(yīng)等于介質(zhì)柱體的內(nèi)部場。我們引入面等效原理，具體等效如圖3所示。

圖2 有限長介質(zhì)柱體放置在各向異性電離層示意圖Fig.2 Physical model of a finite-length dielectric cylinder in the anisotropic ionosphere

圖3 面等效邊界示意圖Fig.3 The schematic of the field equivalent principle

假設(shè)一列平面波照射在背景介質(zhì)?1中的目標(biāo)體?2上，背景介質(zhì)?1中的電磁參數(shù)為ε1和μ1，而目標(biāo)體?2的電磁參數(shù)為ε2和μ2；?1中電磁場為(E1,H1)，?2中的電磁場為(E2,H2)。面等效原理分為外等效與內(nèi)等效兩個(gè)問題。其中外等效問題求解原理為：將?2中的電磁場替換為零場，即?2中的媒質(zhì)換成?1中的參量，同時(shí)保持?1中的參數(shù)不變。同理，對(duì)于內(nèi)等效問題，將?1中的電磁場替換為零場，?1中的參數(shù)替換成?2的參數(shù)，保持?2中的參數(shù)不變。通過面等效原理，進(jìn)而可計(jì)算近區(qū)的散射場和目標(biāo)表面電流。

2.2 斜入射有限長介質(zhì)柱的VLF近區(qū)散射場

假設(shè)VLF電磁波斜入射介質(zhì)柱體時(shí)的入射電磁場為式(10) ，則散射電場和內(nèi)部電場的表達(dá)式可寫為

相應(yīng)地，其散射磁場和內(nèi)部磁場表達(dá)式可寫為

式中：G2(z-z′,φ-φ′)為柱體內(nèi)部的核函數(shù)，表達(dá)式為[16]

式中：R=[ρ′2+ρ2-2ρ′ρcos(φ-φ′)+(z-z′)2]1/2；k2d=k02εd。由邊界條件可知：

2.3 基于MoM求解有限長介質(zhì)柱表面電流分布

根據(jù)等效源定義，背景介質(zhì)和目標(biāo)體的電流密度關(guān)系為

因此，柱體表面電流也存在如下關(guān)系：

式中：I1為柱體外表面的感應(yīng)電流；I2為柱體內(nèi)表面的感應(yīng)電流。

則式(25)和式(26)可進(jìn)一步表示為：

在式(33)～(34)的兩端同時(shí)乘以Ii(z′,φ′)(i=1,2,3,4,5,6)，并對(duì)z在-h和h之間進(jìn)行積分，對(duì)φ在0和2π之間進(jìn)行積分，再聯(lián)立邊界條件（式(28)），可得

式中，

3 各向異性電離層中沿地磁場取向有限長柱體VLF電磁波近場與耦合散射計(jì)算

3.1 VLF電磁波斜入射各向異性電離層中的有限長金屬柱體散射特性

入射電磁波工作頻率均選擇為f= 12.5 kHz；考慮金屬柱體沿地磁場放置，各向異性電離層環(huán)境參數(shù)依據(jù)公式(7)定義的復(fù)介電常數(shù)；地磁場強(qiáng)度為|B0| = 0.5×10-4T；電離層中的電子密度和電子碰撞頻率分別為ne= 1.4×1012m-3和ν = 103s-1。由公式(4)知：等離子體頻率和磁旋頻率分別為：ω0=6.6×107arcs/s，ωH=8.6×106arcs/s。

根據(jù)電型波散射系數(shù)SEE和交叉散射系數(shù)SEH的定義，圖4給出了不同長度金屬柱體的散射系數(shù)和交叉散射系數(shù)隨入射角度的變化情況?？梢钥闯?，散射系數(shù)在數(shù)值上遠(yuǎn)大于交叉散射系數(shù)，隨著入射角度增大，交叉散射系數(shù)趨于0，說明由斜入射導(dǎo)致的耦合散射特性在接近垂直入射方向上逐漸減弱。

圖4 散射系數(shù)與交叉散射系數(shù)隨入射角度的變化Fig.4 The variation of the co- and cross-polarization scattering coefficients vs.different incident angles

圖5對(duì)比了各向異性電離層中有限長金屬柱體歸一化表面電流密度差的實(shí)部和虛部隨入射角度變化情況。歸一化電流密度差定義為?I/I′=(I-I′)/I′(I表示有耦合，I′表示無耦合)。金屬柱體半徑1.2 m，高31 m，入射角選擇θ′=45°，60°，75°。圖中橫坐標(biāo)表示入射點(diǎn)位置和柱體長度的比值，縱坐標(biāo)表示歸一化表面電流密度差。可以看出，通過歸一化電流密度差可反映柱體不同高度位置的耦合特性。耦合散射場以改變表面電流分布的方式，除了與環(huán)境參數(shù)、入射角度等相關(guān)，還與柱體形態(tài)、觀測位置等因素有關(guān)。歸一化電流密度差在柱體四分之一長度處達(dá)到最大值，柱體中間處呈最小值。此外，歸一化電流密度差數(shù)值較小，說明耦合散射場在總場中占比小。

圖5 有限長金屬柱體的歸一化電流密度差隨入射角度的變化Fig.5 Normalized current density difference (in real and imaginary part) of a finite conducting cylinder varying with different incidence angles

3.2 VLF電磁波斜入射各向異性電離層中的有限長金屬柱體與介質(zhì)柱體表面電流

圖6給出了斜入射(與z軸夾角依次為θ′=45°，60°，75°)和垂直入射（θ′=89°）時(shí)有限長金屬柱體和介質(zhì)柱體表面的電流分布計(jì)算結(jié)果。根據(jù)2.1節(jié)中的面等效理論分析，計(jì)算介質(zhì)柱體的表面電流分布可類比金屬柱體的情況。圖6中實(shí)線和虛線分別對(duì)應(yīng)表面電流的實(shí)部和虛部，縱坐標(biāo)表示入射點(diǎn)位置和柱體長度的比值，橫坐標(biāo)表示表面電流幅度。入射電磁波工作頻率f= 12.5 kHz；暴露在均勻等離子體環(huán)境中的金屬柱體和介質(zhì)柱體半徑均為1.2 m，高度31 m；柱體介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為3.25。圖6(d)和圖6(h)分別表示VLF電磁波垂直(z軸)入射金屬和介質(zhì)柱體表面的電流分布情況，金屬和介質(zhì)柱體的表面電流呈對(duì)稱分布。圖6(a)~(c)和(e)~(g) 中隨著入射角度變大，表面電流分布不再對(duì)稱，這是因?yàn)槠矫娌ㄐ比肷鋾r(shí)，波面上每一點(diǎn)的入射波的相位不同。此外，介質(zhì)柱體的表面電流隨入射角度變化規(guī)律與金屬柱體幾乎一致，但在幅度上略小于金屬柱體。

圖6 有限長柱體表面電流(實(shí)部和虛部)在不同入射角度下的分布情況Fig.6 Current distributions (in real part and imaginary part) of a finite cylinder at different incident angles

3.3 VLF電磁波垂直入射有限長金屬柱體外部散射場與級(jí)數(shù)展開法驗(yàn)證

本節(jié)計(jì)算了不同工作頻率下的VLF電磁波垂直入射有限長金屬柱體的近區(qū)散射場空間分布，如圖7所示。入射電磁波頻率依次為f= 10 kHz，20 kHz，30 kHz，金屬柱體半徑為1.2 m，高度為31 m?？梢钥闯?，沿地磁場方向上傳播的電磁波具有“凝聚”現(xiàn)象，即沿恒定磁場方向(即z方向)的電磁場遠(yuǎn)大于其他傳播方向的強(qiáng)度。同時(shí)，E波的散射場的幅度遠(yuǎn)大于O波的場值，這也說明在近區(qū)場中E波占據(jù)主導(dǎo)地位。此外，由于有限長金屬柱體具有“截?cái)唷毙?yīng)，散射場在柱體兩端幅度減小。

圖7 有限長金屬柱體的O波和E波近區(qū)散射場空間分布Fig.7 Spatial distribution of O- and E-wave near-field scattering from a finite length conducting cylinder

為了進(jìn)一步分析和驗(yàn)證本文提出的利用積分方程方法計(jì)算各向異性電離層中有限長柱體散射的可行性，圖8分別采用本文積分方程法和級(jí)數(shù)法計(jì)算了電磁波垂直入射同一半徑、不同高度柱體時(shí)，表面電流隨散射角的變化情況。在VLF頻段，根據(jù)式(4)計(jì)算可知：ω?ωH?ω0。因此，式(8)中各參數(shù)可近似為: ε1≈ω20/ω2H；ε2≈-ω20/(ωωH)；ε3≈-ω20/ω2。此時(shí)，VLF波頻段的電離層呈現(xiàn)明顯的各向異性；在高頻電磁波波段，式(8)定義的等離子體參數(shù)可近似退化為各向同性的情況。圖8中入射電磁波頻率為f= 3 GHz，入射波垂直入射金屬柱體，柱體半徑為1.2 m，高度分別為31 m和42 m。根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，由積分方程法得到的電流分布結(jié)果逼近級(jí)數(shù)法所得到的電流分布，除了金屬柱體“截?cái)唷闭`差，等離子體環(huán)境的各向異性特性在高頻入射的情況下作用很小，這也證明本文的方法正確有效。

圖8 級(jí)數(shù)法和本文積分方程法的表面電流隨散射角的變化Fig.8 Comparison of surface current variation with scattering angles between the series integral equation method and the method proposed in this paper

4 結(jié) 論

為了研究VLF電磁波對(duì)各向異性電離層中的有限長金屬和介質(zhì)柱體的近場散射特性，本文分析了各向異性電離層中的散射矩陣并計(jì)算了電離層中有限長柱體的散射系數(shù)和交叉散射系數(shù)；采用積分方程法和MoM分別推導(dǎo)并求解了金屬和介質(zhì)柱體的近區(qū)散射場和表面電流分布；分析和計(jì)算得出了不同入射角和不同散射模式下的近場散射特性。計(jì)算結(jié)果表明：在各向異性電離層中，VLF電磁波斜入射有限長柱體會(huì)產(chǎn)生耦合散射。耦合散射的強(qiáng)度與散射系數(shù)和交叉散射系數(shù)、電離層環(huán)境參數(shù)、地磁傾角和柱體形態(tài)等相關(guān)；表面電流分布受到電離層環(huán)境、柱體形態(tài)和入射角的影響。當(dāng)入射傾角為89°，表面電流分布的形狀呈現(xiàn)對(duì)稱性。隨著入射傾角的增加，表面電流產(chǎn)生偏移現(xiàn)象，且表面電流幅度隨角度增加而增加。同時(shí)，介質(zhì)柱體表面電流幅度略小于金屬柱體表面電流幅度；各向異性電離層中有限長柱體沿地磁場方向的近區(qū)散射場具有“凝聚”現(xiàn)象，同時(shí)，E波分量占據(jù)主導(dǎo)地位。最后，我們將本文所采用的積分方程法和級(jí)數(shù)法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的正確性。本文所提到的方法和結(jié)果，有望為電離層目標(biāo)探測、散射通信等提供理論依據(jù)。

附錄 1 電離層中的尋常波與非尋常波

不失一般性，可將磁化等離子的介電張量寫為

各元素可由麥克斯韋方程組本構(gòu)關(guān)系確定得出：

本文中，考慮柱體取向選擇z軸并與B0平行，因此，k矢量位于x-z平面，k與B0的夾角為θ，可簡化得到如下關(guān)系：

將式(A.3)代入(A.1)可得介電張量。

展開得到k2的二次方程：

式中：

對(duì)于無損耗的各向異性介質(zhì)，式(A.5)的解為

式(A.9)代表了兩個(gè)獨(dú)立的解，對(duì)應(yīng)于能在此介質(zhì)中傳播的兩種特征平面波，即O波和E波。接下來，本文把問題退化成特殊情況，即電磁波和外加磁場垂直，于是波動(dòng)方程可表示為

顯然，第一個(gè)非零解的色散特性方程為

這個(gè)特征波的磁場對(duì)外加磁場方向漂移運(yùn)動(dòng)的電子或離子沒有任何作用。這個(gè)波通過等離子的傳播與無磁化磁場時(shí)的特性完全一樣，是一個(gè)純橫電磁波，稱這個(gè)特征波為尋常波(O波)。

第二個(gè)非零解的色散特性方程為：

由此可見，第二個(gè)特征波是在x-y平面內(nèi)橢圓極化的波，稱這個(gè)波為非尋常波(E波)。

垂直于磁場傳播的特征波的一些特點(diǎn)如下：對(duì)于O波的傳播特性，由于不受磁場的任何作用，其傳播特性與各向同性介質(zhì)中的波完全相同。對(duì)于E波的傳播特性，由于受到磁場的作用，電磁波在垂直磁場平面是橢圓極化的。由文獻(xiàn)[6]可知，O波和E波的傳播波數(shù)可表示為

在VLF頻段上當(dāng)沿λ實(shí)軸增加時(shí)，K+接近于一個(gè)正實(shí)數(shù)，有一個(gè)小的虛部；而K-接近于一個(gè)正虛數(shù)，有一個(gè)小的實(shí)部。E波和O波在電離層中的衰減特性是大不相同的，E波為可傳播的弱衰減波，而O波為速衰減的倏逝波。