李兆凡, 潘 斌, Mark SARKISIAN

(1 清華大學(xué)土木工程系，北京 100084；2 史基摩歐文美爾(上海)建筑設(shè)計(jì)事務(wù)所有限公司， 上海 200031；3 Skidmore，Owings &Merrill LLP，San Francisco，CA 94111)

0 引言

結(jié)構(gòu)豎向自振頻率與行人步行頻率相同(或是其整數(shù)倍)時,結(jié)構(gòu)會發(fā)生共振。評估步行導(dǎo)致結(jié)構(gòu)豎向振動的方法,大致可以分為三種類型。第一種是基于公式的簡化評估方法,例如中國的JGJ 3—2010[1]附錄A、JGJ/T 441—2019[2]第5.3.1節(jié)、美國ATC設(shè)計(jì)指南1[3]和AISC設(shè)計(jì)指南11第一版、第二版[4](以下皆指第二版)。第二種是基于頻域的方法,例如英國混凝土學(xué)會出版的CCIP-016[5]以及鋼結(jié)構(gòu)研究院出版的SCI publication P354[6](簡稱P354)。第三類是基于時域的方法,將步行荷載作為動力時程作用于結(jié)構(gòu),通過時程分析求解結(jié)構(gòu)振動加速度,如JGJ/T 441—2019、AISC設(shè)計(jì)指南11、法國道路和高速公路技術(shù)研究部Sétra的設(shè)計(jì)指南[7]。Zivanovic[8]等對結(jié)構(gòu)振動相關(guān)文獻(xiàn)做了很好的總結(jié)。

上述方法都可以得到結(jié)構(gòu)共振時產(chǎn)生的最大加速度,而無法得到加速度的概率分布。本文提出的評估方法可以評估共振加速度值出現(xiàn)的概率,從而對結(jié)構(gòu)振動的風(fēng)險做出更準(zhǔn)確、全面的評估。

1 現(xiàn)有的評估方法

采用AISC設(shè)計(jì)指南11的算例4.5來對比現(xiàn)有方法及本文建議的基于概率的評估方法。算例為長度40英尺(12.192m)的室外天橋,橋面由兩根平行的W21×44鉸接鋼梁支承?；炷翉椥阅Ａ坎捎梅糯笙禂?shù)1.35。阻尼比取0.01。

ISO 10137[9]附錄C和ISO 2631-2[10]給出了不同環(huán)境下振動加速度的可接受標(biāo)準(zhǔn)。這個標(biāo)準(zhǔn)給出了一條與振動頻率相關(guān)的加速度基準(zhǔn)線,將結(jié)構(gòu)振動加速度與基準(zhǔn)線的倍數(shù)定義為反應(yīng)系數(shù)。CCIP-016建議了可接受的反應(yīng)系數(shù)限值,其中室外天橋?yàn)?4,室內(nèi)天橋?yàn)?2,辦公環(huán)境為8。

1.1 基本理論

行人引起的結(jié)構(gòu)振動是步行周期荷載引起的有阻尼強(qiáng)迫振動[11-12]。將周期荷載通過傅里葉變換分解為一系列正弦函數(shù):

Fh(t)=Pαhsin(2πhfwt+φh)

(1)

式中:Fh(t) 為周期荷載的第h階分量;t為時間;P為行人重量,取700N;αh為第h階分量的動力荷載系數(shù),可以通過儀器實(shí)測來獲取;h通常取1～4,更高階的分量忽略不計(jì);fw為行人的步行頻率;φh為相位差,當(dāng)h=1～4時,φh分別為0、-π/2、π、π/2。

當(dāng)結(jié)構(gòu)豎向自振頻率fn與步行頻率fw存在倍數(shù)關(guān)系,即fn=h·fw時,式(1)的第h階分量與結(jié)構(gòu)頻率fn相同,引發(fā)結(jié)構(gòu)共振,其跨中的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)加速度為a:

(2)

式中:β為樓板結(jié)構(gòu)阻尼比;We為樓板結(jié)構(gòu)阻抗有效重量,對于簡支梁We=0.5W,W為樓板結(jié)構(gòu)的實(shí)際重量;g為重力加速度。

1.2 簡化評估方法

簡化評估方法根據(jù)樓面梁的撓度來計(jì)算其豎向自振頻率(也可用有限元程序分析確定),然后用式(2)計(jì)算樓面梁豎向振動的最大加速度。AISC設(shè)計(jì)指南11取動力荷載系數(shù)為:

αh=0.83e-0.35h·fw

(3)

由于在有阻尼強(qiáng)迫振動達(dá)到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之前步行活動可能即已結(jié)束,并且激勵位置和感知位置不一定都處在最不利位置,該指南建議對式(2)結(jié)果進(jìn)行折減,折減系數(shù)對步行天橋取0.7,對樓面結(jié)構(gòu)取0.5。

JGJ 3—2010附錄A、JGJ/T 441—2019第5.3.1節(jié)的方法與AISC設(shè)計(jì)指南11一致,公式形式也相同。雖然簡化方法只考慮引起共振的諧波分量,但是仍能夠給出足夠精確的結(jié)果。簡化方法的局限是當(dāng)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(例如連續(xù)梁和長懸臂梁振動會引起相鄰跨結(jié)構(gòu)的振動),計(jì)算結(jié)構(gòu)有效重量比較困難[13]。

1.3 基于頻域的方法

CCIP-016、P354提供的方法類似。以CCIP-016為例,考慮正常步行頻率區(qū)間1.0～2.8Hz,對共振反應(yīng)的評估包括下列步驟。

第一步將步行荷載用傅里葉變換分解為式(1)的正弦波分量(通常也取前4階)。兩個指南建議的動力荷載系數(shù)αh見表1,其中fh=h·fw,為第h階荷載分量的頻率。

表1 CCIP-016與P354推薦的步行動力荷載系數(shù)

第二步使用有限元軟件對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析,得到頻率在15Hz以下的所有振型。

第三步,第h階正弦荷載對第m階振型引起的加速度實(shí)分量areal,h,m、虛分量aimag,h,m分別為:

(4)

(5)

分別求和后,再計(jì)算結(jié)構(gòu)加速度實(shí)分量峰值areal,h、虛分量峰值aimag,h以及對應(yīng)的反應(yīng)系數(shù)Rh:

areal,h=∑mareal,h,m

(6)

aimag,h=∑maimag,h,m

(7)

(8)

Rh=ah/aR=1,h

(9)

式中:ah為第h階正弦荷載引起的振動加速度,aR=1,h為頻率fh對應(yīng)的基準(zhǔn)加速度,即人對應(yīng)該頻率的振動時能感覺到的加速度閾值;Rh為反應(yīng)系數(shù)。

第四步,將4階荷載分量對應(yīng)的反應(yīng)系數(shù)和加速度進(jìn)行SRSS組合,得到總的反應(yīng)系數(shù)Rh及反應(yīng)加速度峰值a。

(10)

(11)

CCIP-016和P354都通過分析實(shí)測數(shù)據(jù),給出了步行荷載前4階諧波分量的動力荷載系數(shù),如表1所示,可見兩本指南給出的系數(shù)比較接近。

按照CCIP-016的方法進(jìn)行SAP2000建模分析,只有第1階頻率6.72Hz低于15Hz,因此只需要計(jì)算第1振型。采用1%阻尼比,最不利情形激勵節(jié)點(diǎn)和反應(yīng)節(jié)點(diǎn)都位于跨中,因此其振型位移ue,m和ur,m都為1。取步行頻率為結(jié)構(gòu)自振頻率的1/3,即2.24Hz,此時計(jì)算得到的反應(yīng)系數(shù)見表2?？梢钥吹?主要的結(jié)構(gòu)振動來自于第3階正弦分量引起的結(jié)構(gòu)共振。

表2 根據(jù)SAP2000分析的頻率通過CCIP-016方法計(jì)算反應(yīng)系數(shù)

按式(10)SRSS組合得到總反應(yīng)系數(shù)為44.7,小于CCIP-016推薦的室外天橋限值64,滿足要求;按式(11)得到峰值加速度0.3171m/s2,與AISC設(shè)計(jì)指南11的計(jì)算結(jié)果比值為1.21。產(chǎn)生差異的原因?qū)⒃?.4節(jié)討論。

上述計(jì)算可以基于不同步行頻率進(jìn)行,從而得到不同頻率步行激勵下天橋結(jié)構(gòu)的反應(yīng)系數(shù),見圖1。可以看到曲線有兩個峰值,分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)自振頻率6.72Hz的1/4和1/3,即1.68Hz和2.24Hz,一旦遠(yuǎn)離這兩個頻率,反應(yīng)系數(shù)快速降低。

圖1 天橋跨中節(jié)點(diǎn)的反應(yīng)系數(shù)

1.4 基于時域的方法

CCIP-016推薦的式(4)動力荷載可以作為時程荷載施加于結(jié)構(gòu)的激勵節(jié)點(diǎn),通過彈性時程分析求解結(jié)構(gòu)反應(yīng)。本例取h=3,則步行頻率fw=fn/3=2.24Hz,位于常見的步行頻率范圍1.6～2.4Hz內(nèi)。定義動力荷載并作用于SAP2000模型天橋跨中節(jié)點(diǎn),采用1%阻尼比進(jìn)行彈性時程分析,即可得到跨中節(jié)點(diǎn)的豎向加速度響應(yīng)。從圖2可以看到,加速度在步行開始后逐漸增大,最后穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的最大加速度為0.3323m/s2。

1.5 三種方法的對比

三種計(jì)算方法的結(jié)果列于表3,如果以SAP2000時程計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn),可以看到AISC指南11結(jié)果偏差較大。

表3 三種方法計(jì)算的跨中豎向加速度

AISC指南11采用的動力系數(shù)為0.83e-0.35×6.72=0.079,折減系數(shù)對天橋取0.7。而CCIP-016的動力系數(shù)為0.033+0.0064×6.72=0.076,折減系數(shù)為ρh,m=1-e-2πβN=0.878?？梢钥吹?兩種方法動力系數(shù)和折減系數(shù)的差別是造成結(jié)果差別的原因。AISC設(shè)計(jì)指南11采用的動力系數(shù)隨結(jié)構(gòu)自振頻率以指數(shù)形式遞減,而CCIP-016采用的動力系數(shù)與頻率之間是線性關(guān)系(h=1,2,3,4),見圖3(a)?？梢钥吹絻烧咴谳^低頻率段相差很大,在較高頻率段差別稍小:在6.72Hz處,兩本指南給出的動力系數(shù)相差不大,而在4.0Hz處(h=2,h·fw=4.0Hz),設(shè)計(jì)指南11給出的動力系數(shù)幾乎是CCIP-016的兩倍。

圖3 AISCA設(shè)計(jì)指南11與CCIP-016的調(diào)整系數(shù)對比

在AISC設(shè)計(jì)指南11第二版的第7章,新增加了有限元方法分析樓板振動問題的說明,其中采用的動力系數(shù)參考了CCIP-016第2～4階動力系數(shù),并近似取為α=0.09e-0.075fn。

折減系數(shù)方面,AISC設(shè)計(jì)指南11對所有天橋取0.7(對樓面結(jié)構(gòu)取0.5),而CCIP-016的折減系數(shù)是梁跨度的函數(shù),跨度越長則折減系數(shù)越接近1.0。圖3(b)顯示了兩個設(shè)計(jì)指南折減系數(shù)的對比。

2 基于概率的評估方法

2.1 步行頻率的概率分布

本文第1節(jié)三種評估方法都能夠得到步行荷載導(dǎo)致結(jié)構(gòu)共振時結(jié)構(gòu)所經(jīng)歷的峰值加速度,但是沒有考慮共振發(fā)生的概率。對某一特定結(jié)構(gòu),只有特定頻率的步行才會引發(fā)共振,而不同步行頻率出現(xiàn)的概率并不相同。Matsumoto等[14-15]從統(tǒng)計(jì)的角度研究了505個行人步行頻率,發(fā)現(xiàn)步行頻率很好地符合正態(tài)分布(fw～N(μ,σ2)),其均值μ為1.99Hz,標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.173Hz。步行頻率的概率密度函數(shù)p(fw)為:

(12)

圖4實(shí)線為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),虛線為總?cè)藬?shù)與概率密度函數(shù)p(fw)乘積,可以看到兩者非常接近。

圖4 統(tǒng)計(jì)的505個步行頻率

2.2 不超越概率的計(jì)算

對于某個結(jié)構(gòu),如果引發(fā)結(jié)構(gòu)共振時的步行頻率與1.99Hz相差越大,則其出現(xiàn)的概率就越低,因此在一個統(tǒng)計(jì)樣本總體(如1 000次行人步行)中結(jié)構(gòu)發(fā)生共振的概率就越低。

對結(jié)構(gòu)按1.3節(jié)所述方法得到反應(yīng)系數(shù)對于步行頻率的函數(shù)R(fw) (圖5(a))后,根據(jù)式(12)步行頻率概率密度函數(shù)p(fw),就可以計(jì)算任意反應(yīng)系數(shù)R的不超越概率,即保證率。定義二元函數(shù)h(fw,R):

(13)

圖5 通過積分計(jì)算反應(yīng)系數(shù)的保證率

對此函數(shù)在步行頻率[1.0Hz,2.8Hz]范圍積分,得到一個關(guān)于R的函數(shù)P(R),其含義即為結(jié)構(gòu)反應(yīng)系數(shù)低于R的保證率。

(14)

具體的計(jì)算方式為:對于任一給定的R值,通過圖5(a)得到反應(yīng)系數(shù)不超過R的頻率范圍(圖中R=10),在圖5(b)中計(jì)算相同頻率范圍對應(yīng)的概率密度函數(shù)下方陰影區(qū)的總面積。對于本例天橋結(jié)構(gòu),得到的結(jié)果如圖6所示。為方便仍以反應(yīng)系數(shù)R為y軸,不超越概率P(R)為x軸。

圖6 反應(yīng)系數(shù)與不超越概率

最大的反應(yīng)系數(shù)Rmax對應(yīng)的不超越概率(保證率)為100%。本文建議根據(jù)結(jié)構(gòu)類別取一定保證率的反應(yīng)系數(shù)與限值比較來評估結(jié)構(gòu)振動表現(xiàn)。辦公建筑對振動要求高,建議取保證率為95%的反應(yīng)系數(shù),天橋建議取保證率為90%的反應(yīng)系數(shù)。

對本例保證率為90%的反應(yīng)系數(shù)為19.9,僅約為最大反應(yīng)系數(shù)44.7的44%。保證率為95%的反應(yīng)系數(shù)為30.5,約為最大反應(yīng)系數(shù)的68%。圖7顯示了天橋豎向自振頻率與反應(yīng)系數(shù)的關(guān)系。改變鋼梁剛度使豎向自振頻率從1Hz變化到15Hz,對每個豎向頻率,計(jì)算得到類似圖7的結(jié)果,從而得到對應(yīng)的峰值反應(yīng)系數(shù)和90%不超越概率的反應(yīng)系數(shù),分別見圖7的虛線和實(shí)線。可以看到,90%不超越概率反應(yīng)系數(shù)曲線明顯低于峰值反應(yīng)系數(shù)曲線,同時結(jié)構(gòu)豎向頻率在3、5、7Hz附近時,不容易發(fā)生行人導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)振動,而結(jié)構(gòu)豎向頻率位于2、4、6Hz附近時,比較容易發(fā)生行人引起的共振。

圖7 結(jié)構(gòu)豎向頻率與反應(yīng)系數(shù)關(guān)系

3 工程實(shí)例

洛杉磯某辦公樓地上10層,建筑總高67m,建筑面積5.88萬m2。建筑平面為正方形,邊長約68m。樓面采用鋼結(jié)構(gòu)組合樓板,總厚度6.25英寸。樓面鋼梁支承于剪力墻和鋼吊柱之間,最鄰近角部的柱位落在和軸線上,角落處沒有布置柱位,因而整個角部板跨雙向各懸挑10m(圖8)。

圖8 樓層懸挑角部平面圖(紅色點(diǎn)為測點(diǎn))

該辦公樓項(xiàng)目施工工程中,在樓板完工、幕墻尚未安裝、室內(nèi)尚未裝修時,工人在此懸挑角部行走時能夠感覺到明顯的樓面振動。業(yè)主因此對該處樓板建成后的性能感到擔(dān)心,要求進(jìn)行針對性的研究及測試。因此,筆者對樓板建成后的振動加速度進(jìn)行了計(jì)算。懸挑結(jié)構(gòu)有效質(zhì)量、自振頻率難以準(zhǔn)確手算,此處不采用簡化算法進(jìn)行計(jì)算。

3.1 CCIP-016方法

按照CCIP-016的方法,采用ETABS有限元模型進(jìn)行分析,前三階模態(tài)的振型及頻率如圖9所示。

圖9 懸挑角部的前三階豎向振型及頻率

考慮實(shí)際使用情況,最不利激勵節(jié)點(diǎn)和反應(yīng)節(jié)點(diǎn)都假設(shè)在距離樓板邊8英尺處(圖8中1號點(diǎn))。選擇步行頻率為結(jié)構(gòu)自振頻率的1/2,即1.54Hz,采用3%阻尼比,對應(yīng)的反應(yīng)系數(shù)見表4,其中4階荷載分量的4個Rh值按SRSS組合得到總的反應(yīng)系數(shù)為7.2,接近但小于辦公空間限值8,因此滿足要求。加速度峰值0.0575 m/s2。

表4 根據(jù)ETABS分析的頻率通過CCIP-016方法計(jì)算反應(yīng)系數(shù)

考慮[1.0Hz, 2.8Hz]正常步行頻率范圍,得到懸挑角部1號點(diǎn)的反應(yīng)系數(shù)曲線見圖10?？梢钥吹讲叫蓄l率1.54Hz處對應(yīng)峰值反應(yīng)系數(shù)為7.2,但是在步行頻率2.8Hz處反應(yīng)系數(shù)更大,達(dá)到12.2。因此進(jìn)一步計(jì)算了[2.8Hz, 3.5Hz]范圍內(nèi)的反應(yīng)系數(shù),可見步行頻率3.08Hz處的反應(yīng)系數(shù)高達(dá)46.3,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過可接受限值8。這是否會造成振動問題,顯然CCIP-016方法難以做出回答。本文建議的基于概率的評估方法(見3.4節(jié))發(fā)現(xiàn),由于超過2.8Hz的步行頻率極少出現(xiàn),超過8的反應(yīng)系數(shù)出現(xiàn)的概率極低,因此預(yù)計(jì)不會造成振動問題。

圖10 懸挑角部1號點(diǎn)的反應(yīng)系數(shù)

3.2 時程分析方法

按CCIP-016計(jì)算4階正弦荷載,并疊加得到總的步行荷載,作用于ETABS模型中的樓面控制點(diǎn),定義阻尼比為3%的彈性時程分析工況并運(yùn)行分析,即可得到該節(jié)點(diǎn)的豎向加速度響應(yīng)?？梢钥吹?加速度在步行開始后迅速增大,然后逐漸進(jìn)入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的最大加速度為0.0590m/s2。

CCIP-016的SRSS組合和SAP2000時程分析兩種方法計(jì)算的步行頻率為1.54Hz時豎向加速度如表5所示,分別相當(dāng)于0.59%g以及0.60%g,超出規(guī)范限值0.50%g。

表5 兩種方法計(jì)算的步行頻率為1.54Hz時豎向加速度

3.3 基于概率的評估方法

按照本文第3節(jié)提出的基于概率的評估方法,分別按照步行頻率范圍[1.0Hz, 2.8Hz]以及擴(kuò)大的頻率范圍[1.0Hz, 3.5Hz]計(jì)算反應(yīng)系數(shù)與不超越概率關(guān)系,分別見圖11(a)、(b)。

圖11 反應(yīng)系數(shù)與不超越概率

從圖11可以看到,兩種情況下最大反應(yīng)系數(shù)差別很大,分別是12.2和46.3,但是按照圖11所示,兩種情況下具有95%保證率的反應(yīng)系數(shù)幾乎相同,都是3.5。反應(yīng)系數(shù)超過辦公室限值8的概率只有0.01%,基本可以忽略不計(jì)。這是因?yàn)椴叫蓄l率在2.5～3.5Hz范圍內(nèi)的概率密度函數(shù)值非常低,因此導(dǎo)致樓板振動的概率很低。按照基于概率的評估方法,預(yù)計(jì)建成后此角部不會出現(xiàn)振動問題。

3.4 樓板振動現(xiàn)場測試

在AISC設(shè)計(jì)指南11編委Murray教授的指導(dǎo)下,其團(tuán)隊(duì)于2015年1月份完成了樓板振動舒適度實(shí)測工作[16]?，F(xiàn)場選取了圖8中8個位置進(jìn)行豎向振動加速度記錄,設(shè)置了三種經(jīng)過最不利點(diǎn)的步行路線,包括沿南北向、沿東西向、沿著樓板邊緣的“L”形路線。請工人以各種步行速度步行,記錄的每分鐘步數(shù)為90～143步,對應(yīng)頻率1.50～2.38Hz,同時采用Datastick VSA-1214加速度采集器和分析儀記錄了各種行走頻率下的樓板振動反應(yīng)譜,并提供了分析報(bào)告。

現(xiàn)場共進(jìn)行了圖12所示四種情形下的測量,每種情形都是在前一種情形基礎(chǔ)上的累加:1)只有結(jié)構(gòu)樓板;2)布置混凝土砌塊模擬附加樓面荷載;3)安裝室內(nèi)隔墻;4)沿樓板邊緣放置鋼筋模擬幕墻的重量。

圖13 一次步行的測試結(jié)果

表6 測試報(bào)告給出的峰值加速度

測試無法模擬大樓竣工投入使用后情形,但是報(bào)告[16]也通過有限元分析模擬了使用后情形。當(dāng)玻璃幕墻安裝后樓板振動的阻尼會增加,按照3%等效阻尼比計(jì)算,測試報(bào)告預(yù)測峰值加速度將降到約0.039 m/s2,相當(dāng)于0.40%g,舒適度滿足要求。表6第三列是各種情形的峰值加速度相對比值,可以看到考慮各因素后峰值加速度逐步降低的過程。

3.5 小結(jié)

該辦公樓在施工期間發(fā)現(xiàn)樓板振動問題,雖然施工階段樓板振動性能并不能代表使用階段,但是設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)用不同方法評估了建成后樓板的振動性能?；陬l域和時域的方法預(yù)測峰值加速度超過0.5%g?；诟怕实脑u估方法發(fā)現(xiàn)振動超過可接受限值的概率極低,預(yù)計(jì)不會出現(xiàn)振動問題。進(jìn)行了現(xiàn)場測試,結(jié)果表明施工期間峰值加速度確實(shí)很高,但是預(yù)測投入使用后加速度不會出現(xiàn)問題。

項(xiàng)目建成后,Murray教授團(tuán)隊(duì)在相同的懸挑角部再次進(jìn)行了測試。結(jié)果顯示峰值加速度僅約0.010 m/s2,約0.104%g,遠(yuǎn)小于限值0.5%g?？梢娡饽粔μ峁┑膭偠扰c阻尼遠(yuǎn)大于預(yù)計(jì),已經(jīng)基本消除了樓板振動問題。目前該大樓已經(jīng)建成并使用5年以上,沒有出現(xiàn)振動舒適度問題。

4 結(jié)論

(1)本文提出的基于概率的評估方法可以評估各加速度值或反應(yīng)系數(shù)值出現(xiàn)的概率,更準(zhǔn)確地評估樓板振動性能。

(2)建議有固定座位的辦公等用途樓面采用具有95%保證率的加速度值或者反應(yīng)系數(shù)來代表結(jié)構(gòu)的振動表現(xiàn)。無座位的天橋等結(jié)構(gòu)可以采用具有90%的保證率的數(shù)值。