孫佳慧，胡玉東，高長(zhǎng)生，荊武興

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

0 引言

再入飛行器的常規(guī)姿態(tài)驅(qū)動(dòng)采用氣動(dòng)舵控制［1-2］和噴氣推力控制［3-4］兩種方式。對(duì)于氣動(dòng)舵控制，在再入段高超聲速飛行環(huán)境下存在舵面燒蝕問題［5-6］；而對(duì)于噴氣推力控制，燃料作為額外負(fù)荷會(huì)降低再入飛行器的承載能力［7］。為彌補(bǔ)兩種傳統(tǒng)控制技術(shù)在再入飛行器應(yīng)用方面的不足，近年來，變質(zhì)心控制技術(shù)被提出。變質(zhì)心控制通過移動(dòng)安裝在飛行器內(nèi)部的質(zhì)量塊來改變系統(tǒng)質(zhì)心的位置，氣動(dòng)力臂便隨之改變，從而產(chǎn)生附加氣動(dòng)力矩來實(shí)現(xiàn)飛行器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)。相比于氣動(dòng)舵控制，變質(zhì)心控制的執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝在飛行器內(nèi)部，從而保證了飛行器良好的氣動(dòng)外形，在減小飛行阻力的同時(shí)避免了舵面燒蝕問題；相比于噴氣推力控制，變質(zhì)心控制利用再入階段所受氣動(dòng)力矩來改變姿態(tài)而無需消耗額外燃料。

1996 年，Petsopoulos等［8-9］首次將變質(zhì)心控制應(yīng)用于再入飛行器滾轉(zhuǎn)控制中。該飛行器采用固定配平傾斜轉(zhuǎn)彎（BTT）的機(jī)動(dòng)方式，通過單活動(dòng)體的運(yùn)動(dòng)來改變飛行器的滾轉(zhuǎn)姿態(tài)。所設(shè)計(jì)的滾控式變質(zhì)心再入飛行器在最大程度上減少了控制通道，并且避免了過于復(fù)雜的氣動(dòng)外形，為飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來便利，因此該構(gòu)型一經(jīng)提出，便受到廣泛的關(guān)注與研究。文獻(xiàn)［10］進(jìn)一步討論了該滾控式變質(zhì)心再入飛行器的控制機(jī)理，并給出了3種提高飛行器機(jī)動(dòng)能力的途徑。文獻(xiàn)［11］針對(duì)該構(gòu)型存在的欠驅(qū)動(dòng)控制問題設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的欠驅(qū)動(dòng)自抗擾控制器，該控制器充分利用了單個(gè)活動(dòng)體的控制能力，提高了飛行器系統(tǒng)的抗干擾能力。近年來，為了提高飛行器的機(jī)動(dòng)能力并優(yōu)化飛行器內(nèi)部空間，文獻(xiàn)［12］提出了一種改進(jìn)的大質(zhì)量比滾控式變質(zhì)心再入飛行器構(gòu)型，并初步驗(yàn)證了該構(gòu)型的有效性。然而，這一改進(jìn)帶來了兩個(gè)亟需解決問題：首先由于活動(dòng)體質(zhì)量增加，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不可忽略，文獻(xiàn)［8-9］中將活動(dòng)體視為質(zhì)點(diǎn)的假設(shè)不再成立，需要單獨(dú)建立活動(dòng)體運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。此外，固定配平BTT 控制模式下的滾轉(zhuǎn)-偏航耦合問題在大質(zhì)量活動(dòng)體的影響下更加明顯，這會(huì)增加飛行軌跡與預(yù)設(shè)軌跡的偏差，甚至產(chǎn)生不穩(wěn)定的飛行狀態(tài)。因此有必要進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析，以探究系統(tǒng)參數(shù)和偏航運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)飛行器系統(tǒng)參數(shù)來減輕滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)對(duì)偏航運(yùn)動(dòng)造成的耦合影響。

傳統(tǒng)變質(zhì)心飛行器動(dòng)力學(xué)分析將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性模型并應(yīng)用線性微分方程理論進(jìn)行處理。例如，文獻(xiàn)［13-14］將系統(tǒng)模型在平衡點(diǎn)處線性化，然而這一方法對(duì)于大質(zhì)量比變質(zhì)心飛行器這一強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性系統(tǒng)顯然不再適用。在活動(dòng)體運(yùn)動(dòng)的影響下，飛行器姿態(tài)響應(yīng)存在多頻振動(dòng)現(xiàn)象，而不同的系統(tǒng)參數(shù)亦會(huì)引起狀態(tài)響應(yīng)的多值現(xiàn)象。故而有必要對(duì)活動(dòng)體運(yùn)動(dòng)學(xué)與飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)構(gòu)成的非線性自治系統(tǒng)的解定量分析。多尺度法作為一種可以直觀給出系統(tǒng)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律之間關(guān)系的手段，被廣泛應(yīng)用于建筑工程［15-16］，材料科學(xué)［17-18］，電力工業(yè)［19-20］等領(lǐng)域。在飛行器性能及動(dòng)力學(xué)行為分析領(lǐng)域，文獻(xiàn)［21］研究了無人機(jī)大迎角飛行的縱向動(dòng)力學(xué)，并通過多尺度法獲得的近似解確定了影響穩(wěn)定性的關(guān)鍵參數(shù)。文獻(xiàn)［22］將馬格努斯力矩假設(shè)為攻角的三次函數(shù)，并用多尺度法分別分析了對(duì)稱和非對(duì)稱再入飛行器的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。文獻(xiàn)［23］通過飛行器俯仰姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程揭示了多尺度法如何分離飛行器運(yùn)動(dòng)相關(guān)的各種特征時(shí)間。

本文建立了包含活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的完整飛行器姿態(tài)伺服動(dòng)力學(xué)模型并對(duì)其進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)分析，以此來優(yōu)化飛行器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

1 動(dòng)力學(xué)模型

如圖1 所示，本文的研究對(duì)象大質(zhì)量比滾控式變質(zhì)心再入飛行器主要由面對(duì)稱載體B和內(nèi)部大質(zhì)量比活動(dòng)體P組成，P的一端O1與載體鉸接，另一端O2可在伺服機(jī)構(gòu)作用下沿固定在xbO1zb平面的橫向?qū)к壱苿?dòng)?；顒?dòng)體的偏轉(zhuǎn)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)質(zhì)心S偏移，在穩(wěn)定的飛行條件下，載體的面對(duì)稱氣動(dòng)外形會(huì)在縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生固定配平攻角和作用在壓心上的升力。由于氣動(dòng)力臂由S的位置決定，因此改變S的位置可控制滾轉(zhuǎn)力矩，以實(shí)現(xiàn)飛行器的滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)。此外，由于缺乏俯仰姿態(tài)的控制輸入，載體的非軸對(duì)稱外形產(chǎn)生的固定配平攻角并不能被主動(dòng)控制。為了描述變質(zhì)心飛行器的動(dòng)力學(xué)模型，定義慣性坐標(biāo)系OXYZ，載體坐標(biāo)系O1xbybzb和活動(dòng)體固連坐標(biāo)系O1xpypzp分別如圖所示。其中O1xpypzp可由O1xbybzb繞二者公共軸線O1yb(yp)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)δ角度得到，其中δ為活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)角。因此從O1xbybzb到O1xpypzp的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

圖1 大質(zhì)量比變質(zhì)心再入飛行器示意圖Fig.1 Sketch of high-mass-ratio moving mass reentry vehicle

變質(zhì)心飛行器動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)所涉及的符號(hào)定義如下：

1)mP和mB分別為活動(dòng)體質(zhì)量和載體質(zhì)量，mS=mB+mP為系統(tǒng)總質(zhì)量。活動(dòng)體占系統(tǒng)的質(zhì)量比為μP=mP/mS。

2) 載體坐標(biāo)系下P和B相對(duì)O1點(diǎn)的位置分別為=[-LPcosδ0LPsinδ]T和=[-LB0 0]T，其中LP和LB分別表示P和B到O1的距離，活動(dòng)體安裝位置參數(shù)可表示為ΔBP=LP-LB。S相對(duì)O1點(diǎn)的位置為=+(1 -μP)。

3) 在載體坐標(biāo)系下，載體的慣性角速度表示為ωB/I=[ωx ωy ωz]T，活動(dòng)體相對(duì)載體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度表示為ωP/B=[00]T，活動(dòng)體的慣性角速度為ωP/I=ωP/B+ωB/I。

4)IB=diag(IBx，IBy，IBz)表示載體坐標(biāo)系下載體繞O1的慣性張量，IP=diag(IPx，IPy，IPz)表示活動(dòng)體固連坐標(biāo)系下活動(dòng)體繞O1的慣性張量。

5)q=ρV2/2 為動(dòng)壓，其中ρ為大氣密度，V為飛行器飛行速度大小。

6)S和L分別為飛行器特征面積和特征長(zhǎng)度。

7)α，β和γ分別表示攻角，側(cè)滑角和滾轉(zhuǎn)角。

9) (?)′表示載體坐標(biāo)系下的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。

10) 矩陣a=[a1，a2，a3]T的叉乘算子表示為

1.1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)動(dòng)量定理，系統(tǒng)相對(duì)于質(zhì)心S的動(dòng)量矩慣性導(dǎo)數(shù)為：

式 中：rSP=MB和Faero分別為作用在系統(tǒng)壓心上的氣動(dòng)力矩和氣動(dòng)力，分別在載體坐標(biāo)系和速度系（x軸與飛行器速度矢量重合，y軸位于飛行器縱對(duì)稱面內(nèi)指向上，z軸與x，y軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系）下表示為：

最后，將式（5）～（6）代入式（3）可得載體坐標(biāo)系下系統(tǒng)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：

式中：

從式（7）中可看出，對(duì)于大質(zhì)量比變質(zhì)心再入飛行器，活動(dòng)體的慣性張量IP在載體坐標(biāo)系下的投影JP不可忽略，這導(dǎo)致了和的增大，從而分別使得飛行器姿態(tài)間的耦合以及活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)間的耦合增強(qiáng)。

1.2 活動(dòng)體動(dòng)力學(xué)模型

鑒于大質(zhì)量比活動(dòng)體的運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響顯著，因此有必要建立活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)模型。根據(jù)動(dòng)量定理，活動(dòng)體相對(duì)于質(zhì)心P 的動(dòng)量矩在慣性系下的導(dǎo)數(shù)可表示為

根據(jù)牛頓第二定律，活動(dòng)體質(zhì)心P和系統(tǒng)質(zhì)心S的平動(dòng)動(dòng)力學(xué)為

式（7）和式（12）構(gòu)成了大質(zhì)量比滾控式變質(zhì)心飛行器的完整姿態(tài)伺服動(dòng)力學(xué)模型。從式（12）中可看出，由于活動(dòng)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量不可忽略，其偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)使飛行器的滾轉(zhuǎn)-偏航姿態(tài)耦合更加明顯。由于滾轉(zhuǎn)通道為主控姿態(tài)，但滾轉(zhuǎn)-偏航耦合會(huì)導(dǎo)致在控制滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)的同時(shí)對(duì)偏航造成干擾，進(jìn)而使飛行器飛行軌跡出現(xiàn)偏差。上述問題對(duì)飛行器的構(gòu)型設(shè)計(jì)提出要求，即如何優(yōu)化設(shè)計(jì)變質(zhì)心飛行器的構(gòu)型參數(shù)來降低控制輸入對(duì)飛行器偏航通道的影響。

2 飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)分析

對(duì)于固定配平BTT 控制模式，欠驅(qū)動(dòng)俯仰通道的穩(wěn)定性是獲得有效滾轉(zhuǎn)控制的前提，而對(duì)于所提出的滾控式大質(zhì)量比變質(zhì)心再入飛行器，討論俯仰穩(wěn)定性與活動(dòng)體配置參數(shù)之間的關(guān)系具有重要意義。此外，從上一節(jié)的完整姿態(tài)伺服動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)要分析中可看出，大質(zhì)量活動(dòng)體勢(shì)必會(huì)加劇飛行器滾轉(zhuǎn)-偏航姿態(tài)耦合及活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)之間的耦合。因此，本節(jié)首先分析了所提出的滾控式大質(zhì)量比變質(zhì)心飛行器的縱向靜態(tài)穩(wěn)定性和耦合特性。

為了定量分析，作如下假設(shè)：

1) 縱向靜穩(wěn)定性分析中，側(cè)滑角β在原點(diǎn)處穩(wěn)定，側(cè)滑角速度ωy可忽略；

2) 活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)角δ為小量（cosδ≈1，sinδ≈δ），其高階項(xiàng)可忽略。

2.1 縱向靜穩(wěn)定性分析

本節(jié)考察活動(dòng)體配置參數(shù)，即質(zhì)量比μP和安裝位置ΔBP=LP-LB對(duì)飛行器縱向靜穩(wěn)定性和固定配平攻角的影響，據(jù)此來設(shè)計(jì)活動(dòng)體的配置參數(shù)。

根據(jù)假設(shè)1），攻角α的導(dǎo)數(shù)可簡(jiǎn)化為：

俯仰姿態(tài)動(dòng)力學(xué)可簡(jiǎn)化為：

式 中：Ix=JPx+(1 -μP)mPLPδ(LP-LB)，Iz=IBz+JPz+(1 -μP)mP(LB-LP)2。

聯(lián)立式（12）～（13）可得攻角的微分方程：

式中：

由式（15）知，A1，A2和B0取決于飛行器的氣動(dòng)參數(shù)、構(gòu)型參數(shù)和速度，B表示由不可忽略的附加相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量引起的俯仰通道和滾轉(zhuǎn)通道耦合項(xiàng)。

根據(jù)Routh 準(zhǔn)則構(gòu)造Routh 判據(jù)，可以得到系統(tǒng)的縱向靜態(tài)穩(wěn)定條件為A1>0，A2>0。根據(jù)>0，Cx>0,<0，可知A1>0 成立。A2>0 可由以下不等式給出：

給定氣動(dòng)參數(shù)Cx=0.110 7，=0.1，=-0.005 5，=-2.682，飛行器參數(shù)S=1.5 m2，L=5.3 m，V=3 400 m/s，飛行器縱向靜態(tài)穩(wěn)定性區(qū)域由圖2 給出。由圖可知在縱向靜穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，不同活動(dòng)體質(zhì)量比μP給定，其安裝位置參數(shù)ΔBP將會(huì)受到限制。因此，為了保證俯仰姿態(tài)穩(wěn)定，應(yīng)合理地選擇活動(dòng)體質(zhì)量比及其安裝位置。圖3給出了在滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定和零初始條件下，依據(jù)圖2 選擇不同活動(dòng)體配置參數(shù)的攻角動(dòng)態(tài)響應(yīng)，從中可以看出，攻角在氣動(dòng)配平力矩下快速收斂。

圖2 縱向靜穩(wěn)定區(qū)域Fig.2 Longitudinal static stable region

圖3 靜穩(wěn)定參數(shù)下攻角響應(yīng)Fig.3 Angle of attack under static stability parameters

顯然，配平攻角隨活動(dòng)體配置參數(shù)μP和ΔBP而變化，因?yàn)檫@些參數(shù)影響決定氣動(dòng)力臂的系統(tǒng)質(zhì)心位置，進(jìn)而產(chǎn)生不同的氣動(dòng)配平力矩和不同的配平攻角。因此，變質(zhì)心再入飛行器的構(gòu)型參數(shù)不僅要保證縱向靜態(tài)穩(wěn)定性，還要根據(jù)給定飛行條件下的預(yù)期配平攻角進(jìn)行選擇。

2.2 姿態(tài)耦合分析

本節(jié)將對(duì)大質(zhì)量比滾控式變質(zhì)心飛行器姿態(tài)耦合及活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的耦合影響進(jìn)行初步定量分析。由式（7）可知，飛行器姿態(tài)角加速度和滑塊偏轉(zhuǎn)角加速度通過慣量矩陣和耦合，這種耦合關(guān)系可以通過改寫式（7）表示如下：

顯然Φ=[f1f2f3]反映了飛行器姿態(tài)角加速度與滑塊偏轉(zhuǎn)角加速度之間的耦合關(guān)系。由于=[00]T，為了測(cè)量這一關(guān)系，定義耦合指數(shù)σ(δ)=‖‖f22，其與活動(dòng)體的質(zhì)量比μP和活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)角δ密切相關(guān)。圖4為不同μP下耦合指數(shù)隨δ變化曲線。從圖中可以看出，耦合隨活動(dòng)體質(zhì)量比的增加而增大，當(dāng)μP=0.24 時(shí)，耦合指數(shù)曲線近似為直線，耦合不受活動(dòng)體位置的影響；當(dāng)μP<0.24時(shí)，曲線為凹形，此時(shí)δ接近0 時(shí)耦合減至最??；當(dāng)μP>0.24時(shí)，曲線為凸形，此時(shí)δ接近0時(shí)耦合最大。

圖4 耦合指數(shù)曲線Fig.4 Coupling index curve

式（20）從系統(tǒng)整體姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的角度分析了活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)與飛行器姿態(tài)間的耦合程度，為了充分考慮飛行器各姿態(tài)間的耦合，將式（7）改寫為滾轉(zhuǎn)、偏航、俯仰3通道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)形式：

從式（23）可以看出俯仰姿態(tài)動(dòng)力學(xué)只有由慣性張量Izx和Ixy引起的角速度耦合項(xiàng)，并不受活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)的影響，可由第2.1節(jié)的分析保證其穩(wěn)定性。然而根據(jù)式（21）～（22），除角速度耦合項(xiàng)外，滾轉(zhuǎn)通道的控制輸入δ也作用于偏航通道，說明在活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)進(jìn)行滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)時(shí)，偏航通道將不可避免地產(chǎn)生耦合效應(yīng)。給定氣動(dòng)參數(shù)Cx=0.110 7，=-0.005 5，=0.1，=-2.682；飛行器參數(shù)V=3 400 m/s，S=1.5 m2，L=5.3 m，IB=diag(100，500，500) kg·m2；活動(dòng)體構(gòu)型參數(shù)IP=diag(30，200，200) kg·m2，μP=0.3，ΔBP=0.5 m。圖5 給出了當(dāng)偏航通道受到影響而產(chǎn)生β0=3°的初始偏差后若停止姿態(tài)機(jī)動(dòng)，即無控制輸入下系統(tǒng)俯仰、偏航、滾轉(zhuǎn)通道的開環(huán)響應(yīng)。由圖可知，在無控狀態(tài)下（δ===0），系統(tǒng)俯仰通道可在氣動(dòng)阻尼力矩下快速達(dá)到平衡，偏航通道雖最終穩(wěn)定在平衡點(diǎn)附近，但依然做小幅震蕩。

圖5 俯仰、偏航、滾轉(zhuǎn)姿態(tài)的開環(huán)響應(yīng)Fig.5 Open loop response of pitch，yaw，and roll attitudes

圖6給出了零初始攻角和側(cè)滑角在非零活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)角下的響應(yīng)。如圖6（a）所示，活動(dòng)體連續(xù)偏轉(zhuǎn)3°時(shí)，攻角和側(cè)滑角首先做減幅振蕩。盡管攻角和側(cè)滑角依賴于縱向靜穩(wěn)定性和航向靜穩(wěn)定性在一段時(shí)間后趨于穩(wěn)定，但如果飛行環(huán)境需要頻繁的活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)，將不可避免地導(dǎo)致耦合系統(tǒng)不穩(wěn)定。在圖6（b）所示的偏轉(zhuǎn)角為7°情況下，側(cè)滑角受到活動(dòng)體連續(xù)偏轉(zhuǎn)的嚴(yán)重影響而快速振蕩，同時(shí)導(dǎo)致攻角的發(fā)散。因此，在前述給定的飛行器及活動(dòng)體設(shè)計(jì)參數(shù)下，當(dāng)活動(dòng)體發(fā)生較大的頻繁偏轉(zhuǎn)或側(cè)滑角產(chǎn)生較大初始偏差時(shí)，側(cè)滑穩(wěn)定性的假設(shè)就不再成立。那么，如何設(shè)計(jì)大質(zhì)量比滾控式變質(zhì)心飛行器的構(gòu)型參數(shù)來使得活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)姿態(tài)控制時(shí)對(duì)偏航姿態(tài)耦合盡可能小，便能在飛行器結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)上提高飛行器的可控性能，降低控制器設(shè)計(jì)的難度。

圖6 不同δ下的俯仰偏航姿態(tài)響應(yīng)Fig.6 Pitch and yaw attitude response under different δ

3 活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)與偏航姿態(tài)耦合振動(dòng)分析

由前述飛行器姿態(tài)耦合分析可知，活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)控制滾轉(zhuǎn)姿態(tài)的同時(shí)會(huì)對(duì)偏航通道產(chǎn)生耦合影響。對(duì)于偏航姿態(tài)動(dòng)力學(xué)和活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)構(gòu)成的非線性多自由度系統(tǒng)，自由度間的耦合振動(dòng)不可避免，而該耦合振動(dòng)會(huì)對(duì)飛行器的穩(wěn)定飛行造成不利影響。此外，驅(qū)動(dòng)活動(dòng)體的伺服力作為耦合系統(tǒng)的外激勵(lì)，其不同頻率可造成耦合系統(tǒng)狀態(tài)的不同穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。針對(duì)上述問題，本文采用多尺度法對(duì)活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)角和飛行器側(cè)滑角可能出現(xiàn)的共振情形進(jìn)一步分析。對(duì)于不同外激勵(lì)頻率產(chǎn)生的內(nèi)共振定常解，探究其幅頻特性和系統(tǒng)參數(shù)間的關(guān)系，以通過設(shè)計(jì)飛行器構(gòu)型參數(shù)和活動(dòng)體配置參數(shù)來減輕系統(tǒng)耦合振動(dòng)，進(jìn)一步優(yōu)化系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。

由式（7）與（12）可得包含活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)的非線性偏航通道動(dòng)力學(xué)：

式 中：Iy2=Iδ1=JPy+mP(1 -μP)LP(LP-LB)，Iδ2=JPy+mP(1 -μP)；F為驅(qū)動(dòng)活動(dòng)體的伺服力大??；為活動(dòng)體長(zhǎng)度。

側(cè)滑角的變化規(guī)律為：

由式（28）知，在伺服力F的激勵(lì)下，活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)與飛行器偏航姿態(tài)耦合系統(tǒng)是立方非線性二自由度受迫系統(tǒng)。系統(tǒng)自然頻率可通過求解剛度矩陣的特征值得到：

為探究該非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，采用多尺度法進(jìn)行攝動(dòng)分析。在多尺度框架下，將外激勵(lì)表示成簡(jiǎn)諧激勵(lì)形式F=fcos(ωt+φ)，并引入小參數(shù)ε，則式（28）可改寫為：

式中：Mj=，j=1，2。

設(shè)式（31）的解的形式為

式中：T0=t和T2=ε2t分別為多尺度框架下的快時(shí)間尺度和慢時(shí)間尺度。

將式（32）代入式（31）并引入導(dǎo)算子?/?Tj=Dj，j=0，2。按ε與ε3合并同類項(xiàng)，可得：

方程（32）的解可表示為如下復(fù)數(shù)形式：

式中：ηj=ρ2/(-k2)，j=1，2；fcc代表前面所有項(xiàng)的復(fù)共軛。

將式（35）代入式（34）有：

由式（36）知，當(dāng)變質(zhì)心飛行器參數(shù)和飛行參數(shù)使得系統(tǒng)自然頻率滿足ω1=3ω2時(shí)會(huì)發(fā)生1∶3 內(nèi)共振，此時(shí)作用在活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)模態(tài)的外激勵(lì)會(huì)通過能量轉(zhuǎn)化作用到飛行器偏航姿態(tài)上。而外激勵(lì)F的頻率與系統(tǒng)自然頻率相同時(shí)，則又會(huì)產(chǎn)生主共振。當(dāng)ω1≈3ω2時(shí)，引入調(diào)諧參數(shù)σ1：

由系統(tǒng)自然頻率可知主共振產(chǎn)生有ω≈ω1和ω≈ω2兩種情況，接下來將分別討論不同主共振情況下系統(tǒng)的一階近似定常解。

3.1 ω ≈ω1的系統(tǒng)一階近似定常解

當(dāng)驅(qū)動(dòng)活動(dòng)體的外激勵(lì)頻率ω≈ω1時(shí)，引入調(diào)諧參數(shù)σ2：

為消除長(zhǎng)期項(xiàng)，設(shè)式（36）的特解為：

將式（38）～（39）代入式（36），比較等式兩端ω1和ω2的系數(shù)，有：

根據(jù)式（40）的可解性條件有：

將式（41）代入式（42）得到消除長(zhǎng)期項(xiàng)條件：

令Λj=，j=1，2。代入式（43）后分離實(shí)部和虛部，則系統(tǒng)一階近似解的振幅和相位滿足：

式中：(?)′表示對(duì)T2求導(dǎo)；ψ1=3θ2-θ1-σ1T2，ψ2=σ2T2-θ1+φ。

3.2 ω ≈ω2的系統(tǒng)一階近似定常解

當(dāng)驅(qū)動(dòng)活動(dòng)體的外激勵(lì)頻率ω≈ω2時(shí)，同樣引入調(diào)諧參數(shù)σ2：

按照與式（36）～（43）相似的步驟求解得到系統(tǒng)一階近似解的振幅和相位滿足：

由式（46）及式（49）可知，飛行器參數(shù)、活動(dòng)體配置參數(shù)以及驅(qū)動(dòng)活動(dòng)體的伺服力均可影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，故合理設(shè)計(jì)變質(zhì)心飛行器的構(gòu)型參數(shù)對(duì)于降低飛行器非線性耦合程度，提高飛行器控制性能尤為重要。

3.3 數(shù)值仿真

下面將對(duì)式（46）及式（49）表示的系統(tǒng)一階近似解的穩(wěn)態(tài)幅頻特性進(jìn)行仿真分析。仿真氣動(dòng)參數(shù)為Cx=0.110 7，=-2.682，=-0.005 5，=0.1，飛行器參數(shù)為V=3 400 m/s，S=1.5 m2，L=5.3 m，IB=diag(100，500，500) kg·m2。根據(jù)以上參數(shù)求得系統(tǒng)自然頻率為ω1≈34.90 rad/s，ω2≈12.42 rad/s。

1)ω≈ω1的主共振

外激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)第一自然頻率時(shí)，圖7 給出了不同μP下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，其中實(shí)線代表穩(wěn)定響應(yīng)，虛線代表不穩(wěn)定響應(yīng)。在非線性影響下，幅頻響應(yīng)曲線向右彎曲并形成多值性，且隨著μP的增加右彎明顯，最大振幅對(duì)應(yīng)頻率更加偏離ω1。

圖7 ω ≈ω1時(shí)不同質(zhì)量比下的幅頻響應(yīng)Fig.7 Amplitude frequency response versus different mass ratios under ω ≈ω1

圖8 給出了不同活動(dòng)體安裝位置ΔBP對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響。根據(jù)ΔBP的定義可知ΔBP越大，活動(dòng)體安裝越靠后。與不同活動(dòng)體質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響類似，由圖可知幅頻響應(yīng)曲線隨活動(dòng)體安裝位置的后移而向右彎曲，且活動(dòng)體安裝位置越靠后，最大振幅越大，其對(duì)應(yīng)頻率更加偏離ω1。

圖8 ω ≈ω1時(shí)不同安裝位置的幅頻響應(yīng)Fig.8 Amplitude frequency response versus different installation positions under ω ≈ω1

2)ω≈ω2的主共振

當(dāng)ω≈ω2時(shí)，類似地，首先給出不同活動(dòng)體質(zhì)量比μP下系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，如圖9 所示。由圖可知，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線峰值對(duì)應(yīng)的頻率隨μP增加而右移，且隨著μP增大，響應(yīng)幅值增加明顯。為了降低系統(tǒng)的耦合振動(dòng)，活動(dòng)體質(zhì)量不宜過大。但這與增大活動(dòng)體質(zhì)量以增強(qiáng)變質(zhì)心飛行器機(jī)動(dòng)性和控制能力相矛盾。故活動(dòng)體質(zhì)量比應(yīng)結(jié)合飛行器的機(jī)動(dòng)能力需求和耦合共振約束來折衷選取。

圖9 ω ≈ω2時(shí)不同質(zhì)量比下的幅頻響應(yīng)Fig.9 Amplitude frequency response versus different mass ratios under ω ≈ω2

圖10給出了活動(dòng)體不同安裝位置ΔBP對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響曲線。由圖可知，活動(dòng)體安裝越靠前，即ΔBP越小，系統(tǒng)耦合共振幅值越小。故為了減輕活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)對(duì)偏航通道的影響，活動(dòng)體安裝位置不宜太靠后。但活動(dòng)體安裝越靠前，配平攻角也越小，這會(huì)造成變質(zhì)心飛行器所受升力減小。而根據(jù)滾控式變質(zhì)心飛行器的控制機(jī)理，活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)控制力矩主要由升力提供，這會(huì)造成變質(zhì)心飛行器的控制性能降低。故而活動(dòng)體安裝位置設(shè)計(jì)需綜合考慮飛行器控制性能需求和耦合共振約束。

圖10 ω ≈ω2時(shí)不同安裝位置的幅頻響應(yīng)Fig.10 Amplitude frequency response versus different installation positions under ω ≈ω2

4 結(jié)論

本文針對(duì)大質(zhì)量比滾控式變質(zhì)心再入飛行器，建立了包含活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的完整飛行器姿態(tài)伺服動(dòng)力學(xué)模型，并探討了大質(zhì)量比變質(zhì)心飛行器與小滑塊變質(zhì)心飛行器相比在動(dòng)力學(xué)上具有更強(qiáng)的非線性和耦合特性的原因。為了減少大質(zhì)量比變質(zhì)心飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)中的耦合效應(yīng)，避免飛行器出現(xiàn)不穩(wěn)定的飛行情況，采用多尺度法獲得了不同構(gòu)型參數(shù)下活動(dòng)體偏轉(zhuǎn)和偏航姿態(tài)耦合系統(tǒng)的近似解析解，進(jìn)而提出了考慮滾轉(zhuǎn)-偏航耦合約束的飛行器構(gòu)型設(shè)計(jì)方案，以減少對(duì)偏航通道的干擾，提高系統(tǒng)性能，并最終通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了方案的有效性。研究結(jié)果揭示了系統(tǒng)耦合特性的機(jī)理和變化規(guī)律，為面向性能的飛行器構(gòu)型設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。