王 辰, 劉義暢, 陸宇帆, 賴章龍, 周明東

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院,上海 200240)

隨著增材制造技術(shù)取得顯著進(jìn)展,更多性能優(yōu)異但傳統(tǒng)難以制造的結(jié)構(gòu)進(jìn)入人們的視野,其中多孔填充結(jié)構(gòu)由于具有出色的抗屈曲性[1]、抵抗材料缺陷和外力變化的魯棒性[2]等性能,引起了國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者的廣泛關(guān)注.填充結(jié)構(gòu)具有承受載荷和支撐外部殼體的重要作用,除結(jié)構(gòu)剛度與輕量化指標(biāo)外,填充結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要兼顧結(jié)構(gòu)強(qiáng)度,以避免出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象所導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)斷裂失效問題[3-5].

實(shí)際工程應(yīng)用領(lǐng)域中,填充結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)首先確定多孔填充幾何形式,如直線晶格、蜂窩[6]等結(jié)構(gòu),再基于這些結(jié)構(gòu)按照規(guī)定體積分?jǐn)?shù)進(jìn)行均勻填充,得到具有一定結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的輕質(zhì)多孔填充結(jié)構(gòu).但該設(shè)計(jì)方法多孔填充幾何形式與填充結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)的選取均依賴工程經(jīng)驗(yàn),并且內(nèi)部多孔填充形式在優(yōu)化過程中不能根據(jù)載荷工況進(jìn)行調(diào)整,所得填充結(jié)構(gòu)力學(xué)性能有限.與先選型再填充的設(shè)計(jì)方法相比,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是在給定設(shè)計(jì)空間內(nèi)優(yōu)化結(jié)構(gòu)材料布局的設(shè)計(jì)方法,具有更大的設(shè)計(jì)自由度,能夠根據(jù)載荷逐點(diǎn)確定材料的分布,得到性能更加優(yōu)良的填充結(jié)構(gòu).Wu等[2]提出了一種考慮局部體積約束的給定殼體填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,能夠得到具有優(yōu)異魯棒性的輕質(zhì)多孔填充結(jié)構(gòu).Liu等[7]基于Wu等[2]的工作提出了一種基于密度的自支撐輕量化填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,能夠得到剛度優(yōu)異且滿足增材制造支撐條件的輕質(zhì)填充結(jié)構(gòu).Qiu等[8]提出了一種殼-填充結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法,該方法首先在假定填充結(jié)構(gòu)由低強(qiáng)度材料組成的情況下開展殼體優(yōu)化設(shè)計(jì),然后基于優(yōu)化所得殼體結(jié)構(gòu),考慮最小尺寸約束實(shí)現(xiàn)內(nèi)填充結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì).Groen等[9]提出了一種基于正交各向異性填充結(jié)構(gòu)的殼-填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,通過將基于均質(zhì)化的設(shè)計(jì)結(jié)果投影至更高分辨率,能夠在更低的計(jì)算成本下得到剛度優(yōu)化的輕質(zhì)殼-填充結(jié)構(gòu).Wadbro等[10]提出了一種多尺度殼-填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法,能夠同時(shí)優(yōu)化宏觀殼體與均勻填充的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).Wu等[11]提出了一種包含兩組設(shè)計(jì)變量的參數(shù)化方案,能夠?qū)崿F(xiàn)外部殼體和非均勻填充的協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化結(jié)果與相同材料體積下均勻填充結(jié)構(gòu)相比具有更高的結(jié)構(gòu)剛度.Zhou等[12]基于Wu等[11]的工作提出一種面向增材制造的自支撐殼-填充結(jié)構(gòu)協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化方法,該方法采用一種全新的增材制造自支撐約束,并通過優(yōu)化結(jié)果后處理,能夠得到剛度優(yōu)異且滿足增材制造工藝要求的殼-填充結(jié)構(gòu).上述填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法能夠設(shè)計(jì)具有優(yōu)異比剛度的填充結(jié)構(gòu),但在優(yōu)化過程中均未考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度,優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)易出現(xiàn)應(yīng)力集中從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)斷裂失效.

自Duysinx等[13]提出考慮應(yīng)力的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究以來,應(yīng)力相關(guān)拓?fù)鋬?yōu)化問題備受關(guān)注,考慮應(yīng)力的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化主要存在兩項(xiàng)關(guān)鍵難點(diǎn).首先是應(yīng)力分布奇異性問題[14],當(dāng)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量趨于某一臨界值時(shí),部分密度較低的單元仍具有較高的應(yīng)力值,導(dǎo)致優(yōu)化問題無法穩(wěn)定收斂.目前已有多種應(yīng)力約束松弛方法能夠解決應(yīng)力分布奇異性問題,如ε-松弛方法[13, 15]、二次規(guī)劃(QP)松弛方法[16]和應(yīng)力懲罰方法[14]等.另一項(xiàng)關(guān)鍵難點(diǎn)是應(yīng)力高度非線性特性問題[14],應(yīng)力的大小和分布受填充結(jié)構(gòu)密度變化影響較為明顯,這種現(xiàn)象在應(yīng)力梯度較大的區(qū)域如高曲率結(jié)構(gòu)邊界處更為嚴(yán)重,采用適當(dāng)?shù)膬?yōu)化公式和求解算法[17]能夠有效提高拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)力響應(yīng)的收斂穩(wěn)定性[4, 18].

目前針對(duì)實(shí)體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力相關(guān)優(yōu)化方法已較為成熟,但針對(duì)多孔填充結(jié)構(gòu)的應(yīng)力相關(guān)優(yōu)化方法研究相對(duì)較少.Yu等[19]提出了一種考慮應(yīng)力約束的殼-填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,通過對(duì)殼體與填充結(jié)構(gòu)分別施加不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則,實(shí)現(xiàn)了最大應(yīng)力可控的殼體與均勻多孔填充結(jié)構(gòu)協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化.然而該方法在給定多孔填充形式的基礎(chǔ)上優(yōu)化填充密度,優(yōu)化過程中填充結(jié)構(gòu)形式無法根據(jù)載荷條件進(jìn)行調(diào)整,力學(xué)性能存在提升空間.與給定多孔填充形式的優(yōu)化結(jié)果相比,采用非均勻多孔填充的優(yōu)化結(jié)果具有更加優(yōu)異的力學(xué)性能[11],但目前尚未開展考慮非均勻多孔填充結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的拓?fù)鋬?yōu)化方法研究.

本文針對(duì)非均勻多孔填充形式,提出了一種考慮增材制造填充結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法.該方法采用p范數(shù)應(yīng)力近似表示結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力值,并通過最小化該值提升填充結(jié)構(gòu)強(qiáng)度;使用局部體積約束獲得輕質(zhì)多孔填充構(gòu)型,通過提出局部體積約束變上限優(yōu)化策略,提高了填充結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中應(yīng)力響應(yīng)的收斂穩(wěn)定性;采用自支撐約束保證填充結(jié)構(gòu)滿足自支撐條件并能夠?yàn)榻o定薄壁外殼提供良好支撐;引入兩場(chǎng)模型控制優(yōu)化結(jié)果的最小尺寸,避免出現(xiàn)無法增材制造的單節(jié)點(diǎn)連接結(jié)構(gòu).本文所提方法能夠得到滿足增材制造工藝要求且有效控制最大應(yīng)力的內(nèi)填充結(jié)構(gòu),所得優(yōu)化結(jié)果與最小化柔度的填充結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果相比,在相同體積分?jǐn)?shù)情況下能夠顯著提升結(jié)構(gòu)強(qiáng)度.

1 填充結(jié)構(gòu)參數(shù)化模型

本文所采用的參數(shù)化模型如圖1所示.設(shè)計(jì)空間共分為3部分:薄壁外殼外部區(qū)域Ω0、給定薄壁外殼Ω1以及薄壁外殼內(nèi)部區(qū)域Ω.其中Ω0為非設(shè)計(jì)域,在優(yōu)化過程中始終為空材料;Ω1同樣為非設(shè)計(jì)域,在優(yōu)化過程中始終為實(shí)體結(jié)構(gòu);Ω為填充結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域.采用平面單元進(jìn)行優(yōu)化,但優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)代表平面單元沿垂直于平面方向拉伸所得結(jié)構(gòu),其邊緣部分由平面內(nèi)的結(jié)構(gòu)邊界拉伸所組成.

圖1 給定薄壁外殼填充結(jié)構(gòu)參數(shù)化模型Fig.1 Parametrization of infill structures with a given shell

(1)

(2)

2 拓?fù)鋬?yōu)化模型

2.1 全局應(yīng)力響應(yīng)

(3)

(4)

式中:ps為物理變量插值的冪指數(shù),取ps=0.5.考慮到最大值函數(shù)不可微,采用所有單元插值應(yīng)力σi的p范數(shù)σp近似表示全局最大應(yīng)力:

(5)

式中:N為單元總數(shù);p為應(yīng)力范數(shù)的冪指數(shù),用于控制p范數(shù)與實(shí)際最大值之間的近似程度,當(dāng)p→∞時(shí),σp趨近于實(shí)際的最大應(yīng)力值,但p值過高會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化算法求解困難,而p值過小將導(dǎo)致p范數(shù)無法準(zhǔn)確近似結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力,根據(jù)文獻(xiàn)[14]取p=8.

2.2 自支撐約束

采用一種基于增材過濾器(AM filter)的自支撐約束[22],保證內(nèi)填充結(jié)構(gòu)滿足自支撐條件并能夠從結(jié)構(gòu)內(nèi)部支撐給定薄壁外殼.給定薄壁外殼的外部是否滿足支撐條件并非本文研究?jī)?nèi)容,因此假設(shè)給定薄壁外殼的外部已由支撐結(jié)構(gòu)提供良好支撐.

增材過濾器的基本原理如圖2所示[12,23],定義單元(i,j)下方相鄰3個(gè)坐標(biāo)為(i-1,j-1)、(i-1,j)、(i-1,j+1)的單元為該單元的支撐區(qū)域.如果單元(i,j)支撐區(qū)域的3個(gè)單元中至少一個(gè)單元為實(shí)體結(jié)構(gòu),單元(i,j)即滿足自支撐條件.如果單元(i,j)不滿足支撐條件,那么增材過濾器將移除該單元材料,通過自下而上逐層使用增材過濾器,最終能夠?qū)崿F(xiàn)滿足自支撐條件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).增材過濾器的公式如下:

θij=

(6)

smin(a,b)=

(7)

(8)

式中:μij為增材過濾之前的單元;θij為增材過濾之后的單元;根據(jù)文獻(xiàn)[22],增材過濾器參數(shù)取為ε=10-4,P=40,Q=P+lg 3/lg 0.5.

(9)

變量場(chǎng)μ經(jīng)過增材過濾后刪除所有不滿足自支撐條件的單元,得到變量場(chǎng)θ.變量場(chǎng)μ與θ的差值μ-θ表示不滿足自支撐條件的單元,通過限制這部分單元的體積,即可實(shí)現(xiàn)自支撐約束:

max{(μT-θT),0T}2IVe≤εr

(10)

式中:I為單位向量;Ve為單元體積;εr=2×10-5ITIVe[12].

圖3 自支撐約束示意圖Fig.3 Illustration of the self-supporting constraint

2.3 局部體積約束

多孔填充結(jié)構(gòu)與實(shí)體填充相比,在抵抗材料缺陷和外力變化時(shí)具有優(yōu)異的魯棒性,本文通過使用局部體積約束實(shí)現(xiàn)多孔形式的填充結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[2],單元i的局部體積分?jǐn)?shù)定義為

(11)

(12)

式中:α為局部體積約束的上限值.

(13)

式中:P1為局部體積分?jǐn)?shù)p范數(shù)的冪指數(shù),取P1=8.

當(dāng)優(yōu)化過程中投影銳度參數(shù)β增加時(shí),單元密度發(fā)生變化使得局部體積超出約束上限α,為滿足局部體積約束,優(yōu)化算法將會(huì)刪除部分結(jié)構(gòu)以降低局部體積分?jǐn)?shù),這將導(dǎo)致應(yīng)力分布發(fā)生突變進(jìn)而影響優(yōu)化過程收斂穩(wěn)定性.針對(duì)該問題,本文提出了一種優(yōu)化過程中變局部體積約束上限α的優(yōu)化策略,優(yōu)化初始階段α取為較小值,在投影銳度參數(shù)β增加至8、16、32時(shí),局部體積約束上限α分別增加0.02,最終達(dá)到初始給定的局部體積約束上限,通過在優(yōu)化過程中局部體積超出上限時(shí)適當(dāng)提高約束值,實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過程的穩(wěn)定收斂.

2.4 考慮兩場(chǎng)的最小化應(yīng)力拓?fù)鋬?yōu)化模型

(14)

基于兩場(chǎng)模型提出了一種面向增材制造的填充結(jié)構(gòu)最小化應(yīng)力拓?fù)鋬?yōu)化模型:

(15)

(16)

物理場(chǎng)與腐蝕場(chǎng)均采用帶有懲罰的固體各向同性材料(SIMP)法對(duì)彈性模量進(jìn)行插值:

(17)

(18)

2.5 拓?fù)鋬?yōu)化流程

拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖4所示,具體的優(yōu)化求解過程如下.

圖4 拓?fù)鋬?yōu)化流程Fig.4 Workflow of topology optimization

步驟1設(shè)置設(shè)計(jì)域Ω、給定薄壁外殼非設(shè)計(jì)域Ω1以及空白的非設(shè)計(jì)域Ω0,初始化設(shè)計(jì)變量ρ與投影銳度參數(shù)β.

步驟3求解有限元分析方程并計(jì)算設(shè)計(jì)響應(yīng).

步驟4計(jì)算各設(shè)計(jì)響應(yīng)的靈敏度.

步驟5通過移動(dòng)漸近線(MMA)算法[24]更新設(shè)計(jì)變量.

步驟6判斷投影銳度參數(shù)β的連續(xù)變化條件:① 投影銳度參數(shù)β<βmax;② 目標(biāo)函數(shù)連續(xù)5次迭代變化量小于0.2%;③ 當(dāng)前β已至少進(jìn)行50次迭代;④ 所有約束函數(shù)均滿足.如果4個(gè)條件全部滿足,則投影銳度參數(shù)β增加并轉(zhuǎn)至步驟2,否則轉(zhuǎn)至步驟7.

步驟7檢查收斂性.如果滿足4個(gè)條件(① 目標(biāo)函數(shù)連續(xù)5次迭代變化量小于0.2%;② 投影銳度參數(shù)β=βmax;③ 當(dāng)前β已至少進(jìn)行50次迭代;④ 所有約束函數(shù)均滿足),則轉(zhuǎn)至步驟8,否則重復(fù)步驟2～6.

步驟8優(yōu)化結(jié)束.

3 數(shù)值算例結(jié)果與分析

通過二維平面的數(shù)值算例討論所提填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法有效性,所有算例中的實(shí)體與空材料彈性模量分別取為 210 GPa和1×10-9MPa,泊松比均取為0.3.設(shè)計(jì)域?yàn)閳D5所示的L型梁填充區(qū)域.該結(jié)構(gòu)尺寸為長(zhǎng)L=300 mm,高H=300 mm,設(shè)計(jì)域長(zhǎng)度Ld=120 mm,設(shè)計(jì)域高度Hd=120 mm,L型梁薄壁外殼左上固定,對(duì)于右端呈正方形分布的相鄰9個(gè)節(jié)點(diǎn),每點(diǎn)均施加豎直向下、大小F=1 N的載荷.投影銳度參數(shù)β初始取1,如果所有約束均滿足且在當(dāng)前β條件下已至少迭代50步,則投影銳度參數(shù)β按如下規(guī)則遞增:當(dāng)β<32時(shí),β由1連續(xù)翻倍直至達(dá)到32;當(dāng)β≥32時(shí),β逐次加8直至達(dá)到最大值64.

圖5 L型梁設(shè)計(jì)域與邊界條件示意圖Fig.5 Illustration of the designable domain and the boundary condition for the L-bracket

3.1 優(yōu)化結(jié)果及優(yōu)化過程展示

取整體體積約束上限為0.55,局部體積約束上限為0.7,r=3,R=10,通過求解最小化應(yīng)力的優(yōu)化模型(式(15)),最小化應(yīng)力優(yōu)化結(jié)果如圖6所示,該優(yōu)化結(jié)果的最大應(yīng)力為1.899 MPa,柔度為0.091 mJ,整體體積分?jǐn)?shù)為0.55.由應(yīng)力云圖可知,在L型梁易出現(xiàn)應(yīng)力集中的轉(zhuǎn)角處,應(yīng)力分布較為平均,顯著緩解了優(yōu)化結(jié)果的應(yīng)力集中現(xiàn)象.

圖6 最小化應(yīng)力優(yōu)化結(jié)果和應(yīng)力云圖Fig.6 Optimization result for minimizing stress and stress contour

優(yōu)化過程中不同迭代步數(shù)對(duì)應(yīng)的填充結(jié)構(gòu)如圖7所示,最小化應(yīng)力優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)響應(yīng)收斂曲線如圖8所示.如圖8(a)所示,目標(biāo)函數(shù)即應(yīng)力響應(yīng)在投影銳度參數(shù)變化時(shí)會(huì)發(fā)生突變并逐步恢復(fù)穩(wěn)定,當(dāng)達(dá)到第180迭代步之后應(yīng)力開始平穩(wěn)下降,收斂穩(wěn)定且并未出現(xiàn)明顯波動(dòng).圖8(d)所示為物理變量場(chǎng)與腐蝕變量場(chǎng)不滿足自支撐條件的單元體積之和,這一數(shù)量在投影銳度參數(shù)β增加時(shí)發(fā)生突變,但是能夠逐漸下降直至低于約束值,最終優(yōu)化結(jié)果的所有約束函數(shù)值均滿足約束條件.

圖7 優(yōu)化過程中的填充結(jié)構(gòu)Fig.7 Infill structures during the iterative optimization process

圖8 不同設(shè)計(jì)響應(yīng)的收斂曲線Fig.8 Convergence curves for different design responses

3.2 結(jié)果對(duì)比與方法討論

為對(duì)比最小化應(yīng)力與最小化柔度的優(yōu)化結(jié)果,建立最小化柔度問題優(yōu)化模型,其約束函數(shù)與最小化應(yīng)力優(yōu)化模型(式(15))完全相同,僅將式(15)所示優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)改為腐蝕變量場(chǎng)的柔度,即可得到給定薄壁外殼填充結(jié)構(gòu)的最小化柔度拓?fù)鋬?yōu)化模型:

(19)

圖9 最小化柔度優(yōu)化結(jié)果和應(yīng)力云圖Fig.9 Optimization result for minimizing compliance and stress contour

圖10 不同局部體積約束策略的目標(biāo)函數(shù)和局部體積分?jǐn)?shù)收斂曲線Fig.10 Convergence curves of the objective function and the local volume fraction for different local volume constraint strategies

此外,為對(duì)比局部體積約束固定上限與變上限策略對(duì)優(yōu)化過程收斂穩(wěn)定性的影響(見圖10),固定局部體積上限為0.7,其余優(yōu)化參數(shù)與3.1節(jié)相同,優(yōu)化結(jié)果如圖10(b)右側(cè)所示.由目標(biāo)函數(shù)收斂曲線可知,從第377次迭代開始,固定局部體積約束上限的目標(biāo)函數(shù)即應(yīng)力響應(yīng)突然增大,這是由于投影銳度參數(shù)β在第376步由32翻倍至64,結(jié)構(gòu)發(fā)生明顯變化導(dǎo)致局部體積分?jǐn)?shù)超出當(dāng)前約束值,為滿足局部體積約束,部分結(jié)構(gòu)消失從而導(dǎo)致整體應(yīng)力響應(yīng)發(fā)生振蕩,最終優(yōu)化結(jié)果中出現(xiàn)斷開的結(jié)構(gòu),優(yōu)化結(jié)果的最大應(yīng)力為2.470 MPa.考慮變局部體積上限的優(yōu)化結(jié)果如圖10(b)左側(cè)所示,優(yōu)化參數(shù)均與3.1節(jié)相同,由目標(biāo)函數(shù)收斂曲線可知,變局部體積上限的優(yōu)化結(jié)果目標(biāo)函數(shù)收斂穩(wěn)定,應(yīng)力響應(yīng)并未隨β翻倍而出現(xiàn)明顯波動(dòng),與固定上限的優(yōu)化結(jié)果相比,最大應(yīng)力由2.470 MPa降至 2.010 MPa.通過圖10所示的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比可以看出,采用局部體積約束變上限的優(yōu)化策略,可以避免最終優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)斷開的結(jié)構(gòu),這是由于當(dāng)投影銳度參數(shù)β增加時(shí),適當(dāng)提高局部體積約束值能夠避免β增加后的局部體積超出約束上限,進(jìn)而避免優(yōu)化算法為滿足局部體積約束而刪除部分結(jié)構(gòu),有效地提高應(yīng)力優(yōu)化問題的收斂穩(wěn)定性.

3.3 考慮柔度約束的填充結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)3.1節(jié)的最小化應(yīng)力優(yōu)化結(jié)果可知,所提方法能夠有效地降低優(yōu)化結(jié)果的最大應(yīng)力,降低應(yīng)力集中的影響,但上述優(yōu)化結(jié)果僅考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度而并未考慮結(jié)構(gòu)剛度,對(duì)此在式(15)最小化應(yīng)力優(yōu)化模型基礎(chǔ)上添加柔度約束:

cero≤c*

(20)

研究了不同柔度約束情況下優(yōu)化結(jié)果的應(yīng)力變化規(guī)律.為控制優(yōu)化結(jié)果的最小尺寸,柔度約束施加于腐蝕變量場(chǎng).

考慮柔度約束的最小化應(yīng)力優(yōu)化模型參數(shù)與3.1節(jié)相同,圖11所示為柔度約束c*分別為0.090、0.088、0.086 mJ的填充結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果.根據(jù)3.1節(jié)的優(yōu)化結(jié)果,不考慮柔度約束情況下最大應(yīng)力值為1.899 MPa,柔度值為0.091 mJ.圖11所示結(jié)果表明,隨著柔度約束逐漸收緊,優(yōu)化結(jié)果的最大應(yīng)力值逐漸增大.此外通過圖11所示各結(jié)構(gòu)柔度值對(duì)比可得,各優(yōu)化結(jié)果柔度值均嚴(yán)格滿足柔度約束,表明該方法能夠有效實(shí)現(xiàn)給定柔度限制下的最小化應(yīng)力設(shè)計(jì),得到綜合考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)剛度的輕量化內(nèi)填充結(jié)構(gòu).

圖11 不同柔度約束c*的最小化應(yīng)力優(yōu)化結(jié)果Fig.11 Optimization results for minimizing stress with different compliance constraint c*

4 結(jié)論

提出了一種考慮增材制造填充結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,能夠設(shè)計(jì)滿足增材制造工藝要求的輕質(zhì)高強(qiáng)填充結(jié)構(gòu).該方法提出局部體積約束變上限優(yōu)化策略,避免優(yōu)化過程中由于局部體積約束過緊出現(xiàn)應(yīng)力響應(yīng)振蕩問題,顯著改善了優(yōu)化過程收斂穩(wěn)定性.最小化應(yīng)力優(yōu)化結(jié)果表明,該方法所得優(yōu)化結(jié)果與最小化柔度優(yōu)化結(jié)果相比顯著降低了結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力,有效地減輕了應(yīng)力集中效應(yīng).在此基礎(chǔ)上,通過在最小化應(yīng)力優(yōu)化模型中添加柔度約束,能夠?qū)崿F(xiàn)兼具剛度與強(qiáng)度的填充結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).在工程應(yīng)用中,本文方法能夠針對(duì)考慮強(qiáng)度的給定薄壁外殼填充結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供一定指導(dǎo).但薄壁外殼分布可變的填充結(jié)構(gòu)同樣具有優(yōu)化潛力,其力學(xué)性能存在提升空間,考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的殼體與填充結(jié)構(gòu)協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化方法有待開展進(jìn)一步研究.