陸 佳,李 鵬,馮 姣

(南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,南京 210044)

0 引 言

從3G時(shí)代開始,傳統(tǒng)的多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)技術(shù)被應(yīng)用于改善通信系統(tǒng)接收機(jī)與發(fā)射機(jī)的性能,被認(rèn)為是未來(lái)無(wú)線通信的基礎(chǔ)技術(shù)之一[1-3]。在MIMO系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,通過(guò)增加收發(fā)端的天線數(shù),大規(guī)模MIMO系統(tǒng)可以極大地提高信道容量,增加頻譜利用效率。大規(guī)模的目標(biāo)在于實(shí)現(xiàn)具有大量收發(fā)流以及其他網(wǎng)絡(luò)容量提升技術(shù)和方法的基站,以提高峰值下行鏈路吞吐量,大幅改善上行鏈路性能以及增強(qiáng)覆蓋能力。除了能顯著提升網(wǎng)絡(luò)容量之外,大規(guī)模MIMO還具有提高頻譜效率、降低能耗、延長(zhǎng)用戶設(shè)備電池壽命、實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度低于以往移動(dòng)無(wú)線技術(shù)的可擴(kuò)展性等其他優(yōu)點(diǎn)。另外,大規(guī)模MIMO技術(shù)還是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)(Industrial Internet of Things,IIOT)的一種很有前景的技術(shù)[4]。

對(duì)于MIMO的信號(hào)檢測(cè)算法,最大似然算法(Maximum Likelihood,ML)能夠得到最佳誤碼率性能,但是由于ML算法極高的復(fù)雜度,并不適合MIMO系統(tǒng)應(yīng)用[5]。而在大規(guī)模MIMO的情況下,因?yàn)槭瞻l(fā)天線數(shù)更多,因此在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中使用ML算法難度更大。相比之下,傳統(tǒng)的線性檢測(cè)算法會(huì)更加簡(jiǎn)單實(shí)用,但是傳統(tǒng)的線性檢測(cè)算法包含了復(fù)雜度為O(NT3)的矩陣求逆運(yùn)算[6],對(duì)于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)同樣不適用。

因此,針對(duì)大規(guī)模MIMO的場(chǎng)景,有一類線性迭代算法被應(yīng)用到信號(hào)檢測(cè)上,包括雅可比(Jacobi)迭代算法、諾依曼級(jí)數(shù)(Neumann Series,NS)、共軛梯度(Conjugate Gradient,CG)[7]迭代算法和超松弛迭代(Successive over Relaxation,SOR)算法。這類算法的提出主要是為了實(shí)現(xiàn)一種低復(fù)雜度同時(shí)性能可以逼近最佳誤碼率性能的檢測(cè)方案,算法的主要原理是通過(guò)矩陣迭代來(lái)避免傳統(tǒng)線性檢測(cè)算法中的矩陣求逆運(yùn)算,以更低的復(fù)雜度接近目標(biāo)矩陣。在這之中,SOR算法因?yàn)橛兴沙趨?shù)的存在具有更好的收斂性能。文獻(xiàn)[8]提出了兩種SOR迭代算法:一種是NA-SOR,使用固定松弛參數(shù),適用于理想信道;另一種是A-SOR,松弛參數(shù)會(huì)隨著迭代次數(shù)改變,適用于高度相關(guān)信道。

在文獻(xiàn)[8]的啟發(fā)下,本文提出了一種基于F修正的自適應(yīng)超松弛迭代(F-corrected Adaptive SOR,FA-SOR)算法,可以同時(shí)在理想獨(dú)立信道和高度相關(guān)的MIMO信道下工作。與文獻(xiàn)[8]中提出的A-SOR算法相比,在同樣的迭代次數(shù)下達(dá)到相同的誤碼率時(shí),FA-SOR算法可以獲得額外1 dB的性能增益。

在本文中,矩陣使用大寫粗體斜體字母表示,向量使用小寫粗體斜體字母表示,(·)H代表共軛轉(zhuǎn)置,(·)*代表共軛。

1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

1.1 系統(tǒng)模型

本文考慮大規(guī)模MIMO的上行鏈路,假設(shè)一個(gè)MIMO系統(tǒng),基站接收端天線數(shù)為NR,用戶發(fā)射端天線數(shù)為NT,用戶端發(fā)射的復(fù)數(shù)信號(hào)x=[x1,x2,x3,…,xNT]T,這樣在基站接收到的信號(hào)矢量可以表示為

y=Hx+n

(1)

式中:H∈NR×NT為上行鏈路信道矩陣;n∈NR×1為加性高斯白噪聲并且服從n～N(0,σ2)。

1.2 信道模型

為了檢驗(yàn)提出的算法在復(fù)雜信道下的性能,考慮到收發(fā)天線的相關(guān)性,本文采用Kronecker信道模型。這是一種3D大規(guī)模MIMO模型,經(jīng)常用于非視距(Non Line of Sight,NLOS)場(chǎng)景[9]。

Kronecker模型的信道矩陣如下:

(2)

式中:Rr∈NR×NR和Rt∈NT×NT是兩個(gè)復(fù)相關(guān)矩陣,分別代表接收端和發(fā)射端天線之間的相關(guān)性;T是一個(gè)NR×NT的獨(dú)立同分布的復(fù)衰落信道矩陣。通常情況下,天線之間距離與天線之間的相關(guān)性成正比。本文使用Rr(i,k)和Rt(i,k)表示接收端和發(fā)送端第i根天線和第k根天線之間的相關(guān)性,Rr(i,k)和Rt(i,k)可以由下式得到:

(3)

(4)

式中:δr和δt表示接收端和發(fā)送端天線的相關(guān)系數(shù),δr和δt越大則相關(guān)性越強(qiáng);θ(i,k)和φ(i,k)表示接收端和發(fā)射端天線在[0,π/2]之間的隨機(jī)相位。

2 基于F修正的自適應(yīng)SOR算法

本文提出一種新的FA-SOR信道檢測(cè)算法,該算法的松弛參數(shù)ω會(huì)隨著前一次的迭代結(jié)果自動(dòng)修正。自動(dòng)修正的目的是為了使新算法每次迭代的松弛參數(shù)ω都能更接近理論最優(yōu)松弛參數(shù)ωopt,從而提高算法性能。

2.1 SOR算法介紹

W=E{xyH}E{yyH}-1

(5)

再將式(1)代入可得E{xyH}=HH,E{yyH}=HHH+σ2INR,可以得到

(6)

為了方便之后的計(jì)算,將MMSE的濾波矩陣W按照下式定義:

A=HHH+σ2INT,b=HHy

(7)

按照文獻(xiàn)[6]中的數(shù)據(jù),直接計(jì)算W-1的復(fù)雜度可以達(dá)到O(K3)。

(8)

A=D+E+F

(9)

(10)

相比于GS算法,SOR算法借助獨(dú)有的松弛參數(shù)ω獲得了更快的收斂速度。SOR算法的迭代公式如下:

(11)

SOR算法的收斂性在文獻(xiàn)[12]中已有證明,它受松弛參數(shù)ω的影響很大。在MIMO系統(tǒng)中,當(dāng)0<ω<2時(shí)SOR算法具有良好的收斂性,當(dāng)ω=1時(shí)SOR簡(jiǎn)化為傳統(tǒng)GS算法。

2.2 FA-SOR算法介紹

FA-SOR算法在文獻(xiàn)[8]中提出的A-SOR算法的基礎(chǔ)上優(yōu)化了SOR算法的迭代公式,采用了非零向量作為迭代的初始解,并且提出了一種新的基于F修正的松弛參數(shù)ω更新判斷方法。相比于文獻(xiàn)[8]中的判斷方法,新方法不再需要額外計(jì)算雅可比迭代矩陣的譜半徑ρ(GJacobi),更加簡(jiǎn)單實(shí)用。

為了實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)過(guò)程,需要明確松弛參數(shù)ω更新的依據(jù)和更新的頻率。

2.2.1 迭代公式優(yōu)化

在式(11)的左右同乘[D+ωE]得到式(12):

(12)

(13)

2.2.2ω的更新依據(jù)

ω改變的依據(jù)在文獻(xiàn)[13]中已被證明,當(dāng)滿足以下兩個(gè)條件時(shí),收斂速度最快:

ω=ωopt

(14)

-lgρ(GSOR(ωopt))=-lg(ωopt-1)

(15)

式中:ωopt是理論的最優(yōu)松弛參數(shù);GSOR是SOR算法的迭代矩陣;ρ(GSOR)代表SOR算法迭代矩陣的譜半徑。為了使算法的收斂速度達(dá)到最大值,需要讓每一次迭代的松弛參數(shù)ω接近ωopt。從式(15)可以得到

ωopt=ρ(GSOR(ω))+1

(16)

值得注意的是,公式中使用第k次迭代的譜半徑計(jì)算第k-1次迭代的松弛參數(shù)ω,因此引入一個(gè)修正參數(shù)F,松弛參數(shù)ω的更新公式為

ωopt=F[ρ(GSOR(ω))+1]

(17)

修正參數(shù)F在[0.8,0.9]內(nèi)取隨機(jī)數(shù)。此外,直接計(jì)算ρ(GSOR)需要用到迭代矩陣的非零特征值,涉及到矩陣分解運(yùn)算,在大規(guī)模MIMO的多天線條件下復(fù)雜度很高,因此同樣使用迭代的方法去近似計(jì)算ρ(GSOR)。在這里把前一項(xiàng)的迭代結(jié)果減去后一項(xiàng)的迭代結(jié)果定義為SOR的差向量,即

(18)

這樣就可以用式(19)近似計(jì)算譜半徑:

(19)

2.2.3ω的更新頻率

2.2.4ω與迭代初始值的選取

傳統(tǒng)的迭代算法一般會(huì)選取0向量作為初始解,然而選擇一個(gè)合適的初始解可以提升算法的收斂速度。根據(jù)大規(guī)模MIMO的信道硬化[14]現(xiàn)象,當(dāng)系統(tǒng)的基站天線數(shù)和用戶端天線數(shù)足夠大并且NR/NT為固定值時(shí),迭代算法的初始解可以為

(20)

松弛參數(shù)ω的初始值為

(21)

(22)

本文提出的FA-SOR算法的具體描述如下:

輸入:H,NR,NT,K,σ2,y;

1 初始化部分:

2A=HHH+σ2INT;b=HHy;A=D+E+F;

6k=1;ωk=ω;Δk=0;ρk=0;F=0.8;

7 迭代部分:

8 fork

9 ifk=1 then //第一次迭代

10 ifωk>τkthen

11ωk=τk;

12 end if

15ωk+1=ωk;

16 end if

17 ifk=2 then //第二次迭代

18 ifωk>τkthen

19ωk=τk;

20 end if

23ρk=Δk/Δk-1

24 end if

25 ifk>2 then //第三次迭代,同時(shí)開始更新松弛參數(shù)

26ωk=F(1+ρk-1);

27 ifωk>τkthen

28ωk=τk;

29 end if

32ρk=Δk/Δk-1

33ωk+1=ωk;

34 end if

FA-SOR算法中的變量說(shuō)明見表1,τk的參考值見表2。

表1 算法中的變量說(shuō)明Tab.1 Variables in FA-SOR algorithm

3 仿真結(jié)果與復(fù)雜度分析

3.1 仿真結(jié)果

將本文提出的FA-SOR算法與在文獻(xiàn)[8]中提出的A-SOR算法和NA-SOR算法進(jìn)行比較。仿真使用的信道模型有兩種:一種是理想瑞利信道(信道相互獨(dú)立);另一種是在第1節(jié)中提到的Kronecker信道模型(信道間存在相關(guān)性)。選擇信號(hào)調(diào)制模式為16QAM,MIMO系統(tǒng)尺寸為NR×NT=128×16和NR×NT=128×8。仿真結(jié)果采用精確矩陣求逆的MMSE檢測(cè)結(jié)果作為基線。

在理想瑞利信道下各個(gè)算法的誤碼率如圖1所示,δr=0,δt=0,k為迭代次數(shù)。對(duì)于文獻(xiàn)[8]中的NA-SOR算法,松弛參數(shù)ω=1.286 5,對(duì)于新提出的FA-SOR和文獻(xiàn)[8]中A-SOR算法,初始松弛參數(shù)ω=1.286 5。

(a)NR×NT=128×16

從圖1可知,在理想信道下,當(dāng)NR×NT=128×16和NR×NT=256×32時(shí),新提出的FA-SOR算法經(jīng)過(guò)3次迭代就可以逼近MMSE算法的結(jié)果,并且誤碼率比經(jīng)過(guò)4次迭代的A-SOR和NA-SOR還要低。

當(dāng)NR×NT=128×8,δr=0.5,δt=0.5時(shí),在全相關(guān)信道下各個(gè)算法的誤碼率如圖2所示,可以看出,當(dāng)信噪比大于10 dB時(shí),新提出的FA-SOR算法可以較好地逼近MMSE算法并且比文獻(xiàn)[8]中的兩種算法性能更優(yōu)秀,在迭代次數(shù)k=10時(shí)誤碼率已經(jīng)比k=11的A-SOR算法更低。

圖2 相關(guān)信道下各算法誤碼率Fig.2 BER performance comparison in correlated channel

3.2 復(fù)雜度分析

表3給出了3種算法的復(fù)雜度比較。由于3種算法都包含了A和b的復(fù)雜度,所以表中數(shù)據(jù)不包括計(jì)算A和b的復(fù)雜度。

表3 各算法復(fù)雜度Tab.3 Comparison of computational complexity

根據(jù)表中數(shù)據(jù),圖1(a)條件下的NA-SOR(k=4)、A-SOR(k=4)、FA-SOR(k=3)的具體復(fù)雜度為6 272,6 568,5 082,圖1(b)條件下的NA-SOR(k=4)、A-SOR(k=4)、FA-SOR(k=3)的具體復(fù)雜度為24 832,25 000,19 882,圖2條件下的NA-SOR(k=11)、A-SOR(k=11)、FA-SOR(k=10)的具體復(fù)雜度為4 400,4 855,4 263?？梢姴徽撌窃诶硐胄畔⑾逻€是高度相關(guān)信道下,達(dá)到同一誤碼率所需的計(jì)算復(fù)雜度,新提出的FA-SOR算法總是最小的。

4 結(jié) 論

本文提出了基于F修正的自適應(yīng)SOR信號(hào)檢測(cè)算法,能夠在多次迭代的情況下自動(dòng)更新最合適的松弛參數(shù)ω。與文獻(xiàn)[8]提出中的A-SOR算法相比,FA-SOR算法通過(guò)簡(jiǎn)化松弛參數(shù)ω的更新公式降低復(fù)雜度,同時(shí)用差向量?jī)?yōu)化SOR的迭代公式和選取合適的初始解來(lái)保證較快的收斂速度和較好的誤碼率性能。仿真結(jié)果表明,FA-SOR算法在理想信道和高度相關(guān)信道環(huán)境下都有著良好的表現(xiàn)。