白 琳,溫媛媛,李 棟

(中國空間技術(shù)研究院西安分院 空間微波通信全國重點實驗室,西安 710100)

0 引 言

對于機載、星載平臺等應(yīng)用場景,由于重量、空間及體積等方面的限制,引入的接收傳感器數(shù)目不可能很多,往往要少于源信號數(shù)目,這屬于欠定盲分離問題范疇[1]。在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中,由于成本或者環(huán)境的約束,傳感器的數(shù)目少于源信號的數(shù)目,這也屬于欠定盲分離。欠定情況下,系統(tǒng)是不可逆的,即使混合矩陣已知,源信號也不存在唯一解。近幾年來,欠定的盲分離問題一直是研究的熱點,也取得了很大的進展[2-4]。到目前為止,主要采用基于稀疏表征的兩步法求解欠定盲分離問題,即求解過程分兩步實現(xiàn)盲分離,首先估計混合矩陣A,在已知A的基礎(chǔ)上再求解源信號s(t)。在實際應(yīng)用環(huán)境中,信源數(shù)和混合形式通常是未知的,對于空間中傳播的所有信號,不可能都會一直持續(xù)存在。在當前時刻傳播的信號,在下一時刻可能會消失?；蛘?當前時刻不存在的信號,下一時刻可能會出現(xiàn)。另外,信道的特性由于受到環(huán)境的影響,也不可能會一直持續(xù)不變。例如在移動通信系統(tǒng)中一個小區(qū)的用戶數(shù)是未知的,隨時有可能增加或減少,即在此場景下混合矩陣是動態(tài)變化的。對于這種情況下的欠定盲分離,源信號數(shù)目更應(yīng)該被實時估計。因此,源數(shù)目估計對盲分離技術(shù)的發(fā)展具有重要意義,也是目前必須予以解決的問題。然而,有關(guān)盲分離源數(shù)目估計的專門研究尚不多見。對于動態(tài)變化混疊模型下盲源分離中的源數(shù)估計研究,更是鮮有報道。

基于此情況,本文探討了動態(tài)變化混疊模型下盲源分離中的源數(shù)估計問題,提出了一種動態(tài)變化混疊模型下欠定盲源分離中的源數(shù)估計方法。首先,建立動態(tài)變化混疊情形下盲源分離的數(shù)學模型,通過多維觀測矢量去除干擾采樣點以及標準化等的預處理操作后,采用一種構(gòu)建動態(tài)標識矩陣的方法統(tǒng)計和判斷動態(tài)源信號數(shù)目是否發(fā)生了變化,以及在何時發(fā)生了變化。其次,通過對源信號數(shù)目變化前后分段時間內(nèi)多維觀測矢量采樣點概率密度曲線進行平滑濾波以及峰值統(tǒng)計的方法,實現(xiàn)動態(tài)變化混疊模型下盲源分離中的源信號數(shù)目的有效估計。仿真結(jié)果表明,本文方法能有效實現(xiàn)動態(tài)變化混疊模型下欠定盲源分離中的源數(shù)估計,并且信號估計效果良好。

1 數(shù)學模型的建立

獨立信號源的盲分離是指在不知道源信號和傳輸信道任何先驗知識的情況下,僅根據(jù)輸入源信號的統(tǒng)計特性,通過觀察信號恢復出各個獨立源信號的過程?？紤]最常見的線性盲分離模型:設(shè)s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T是n個零均值未知獨立的源信號矢量,x(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T是經(jīng)過信道傳輸混合后m個觀測信號的矢量[5],其數(shù)學模型可以表示為

x(t)=As(t)

(1)

式中:A是一個m×n階的未知矩陣,稱為混合矩陣。由于常規(guī)的信號源盲分離算法一般都不具備對未知信號源個數(shù)進行估計的能力,只能在假設(shè)信號源的個數(shù)已經(jīng)事先確定的前提下才能進行計算,否則就無法進行信號分離。因此在處理過程中,一般假設(shè)傳感器數(shù)目與源數(shù)目相等。而在許多實際應(yīng)用中,需要在觀測信號個數(shù)少于源信號個數(shù)(m

對欠定情形下信源及信道動態(tài)變化的盲源分離最一般的模型進行分析:在t=0,…,T1,T1+1,…,T2的持續(xù)時間段內(nèi),設(shè)s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn1(t))T(t=0,…,T1)是n1個零均值未知獨立的源信號矢量,而v(t)=(v1(t),v2(t),…,vn2(t))T(t=T1+1,…,T2)是n2個零均值未知獨立的源信號矢量,且在t=0,…,T1時刻,混合矩陣為A;在t=T1+1,…,T2時刻,混合矩陣變?yōu)锽。x(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T是經(jīng)過信道傳輸混合后m個觀測信號的矢量,則其數(shù)學模型可以表示為

x(t)=As(t)+Bv(t) ,t=0,…,T1,T1+1,…,T2

(2)

式中:A和B分別是一個m×n1階和m×n2階的未知矩陣,為混合矩陣。在這里,m

上述模型只是欠定模型下信源及信道動態(tài)變化[6]的最一般的模型。在m

一般來說,進行欠定模型下的盲源分離時,源信號的數(shù)目是未知的。但是很多算法在進行欠定盲源分離的過程中是必須要知道源信號數(shù)目的,否則將無法進行盲分離。比如估計混合矩陣的各種聚類算法,一般來說源信號的數(shù)目就是要聚類的數(shù)目,因此估計源信號的數(shù)目仍然是進行欠定盲源分離的一個前提和必要步驟。特別在動態(tài)變化混疊模型下時,源信號數(shù)目的實時變化和動態(tài)掌握就顯得更為必要,也變得更為困難。因此,需要尋找一種估計動態(tài)變化混疊模型下實時源信號數(shù)目的有效方法。

2 動態(tài)變化模型下盲源分離中的源數(shù)估計理論分析

首先需要對觀測信號進行預處理,觀測信號的預處理第一步主要是去除觀測信號采樣點中的干擾采樣點,主要目的是使觀測信號的散點圖散落性更強,以使得通過剩余的觀測信號采樣點能夠更好地對源數(shù)目進行估計。如果源信號在頻域中的稀疏性較強,則一般處理時需要去除的觀測信號采樣點中的干擾采樣點是具有較低頻率的采樣點,因為觀測信號的低頻采樣點一般散落性不強。通過預先設(shè)定一門限,將觀測信號在頻域中低于這一門限的采樣點進行濾除即可,這樣就完成了第一步的預處理工作。

(3)

圖1 某二維觀測信號去除干擾采樣點后散點圖示意Fig.1 Scatter plot of a two-dimensional observation signal after removing interference sampling points

圖2 某二維觀測信號標準化后散點圖示意Fig.2 Scatter plot of a two-dimensional observation signal after standardization

(4)

屬于某一類的觀測信號采樣點,必然可以轉(zhuǎn)化為較為相近的θ(k)值,因此θ(k)中樣本點會有較多的數(shù)目落在某子區(qū)間。假設(shè)此時源信號的數(shù)目共有N個,則此時處理后的采樣點必然匯聚成以坐標系中某N個點為圓心的N個小圓域Ψi(i=1,2,…,N),即假設(shè)Ψi中心點的坐標分別為Pi(i=1,2,…,N),則有|θ(k)-Pi|∈ε(i=1,2,…,N)。其中ε為趨近于無限小的一個小圓域半徑,并記numberi為落在第i個小圓域Ψi(i=1,2,…,N)的樣本數(shù)。構(gòu)造一行數(shù)為N的動態(tài)標識矩陣D,動態(tài)標識矩陣D的取值遵循如下規(guī)則:

(5)

所以當源信號的混疊情況及源數(shù)目未發(fā)生變化時,在理想情況下,矩陣D將呈現(xiàn)如下形式:

(6)

(7)

即動態(tài)標識矩陣D的所有元素值均為1。接下來可以如此考慮,統(tǒng)計動態(tài)標識矩陣D的每一列有且僅有一個元素值為0而其他元素值均為1的列數(shù),并設(shè)置兩個門限α和β。對于i=1,2,…,M的M幀觀測信號,α用來判決各幀觀測信號中動態(tài)標識矩陣D的每一列非有且僅有一個元素值為0,而其他元素值均為1的統(tǒng)計列數(shù)是否超出該判決門限,超出該判決門限的列數(shù)記為l(i);β用來判決各幀觀測信號的l(i)在該幀采樣點中所占的比例是否超出該判決門限,如果持續(xù)出現(xiàn)超出b的l(i),則認為源信號數(shù)目已經(jīng)發(fā)生變化。

3 算法步驟

下面給出動態(tài)變化模型下欠定盲源分離中的源數(shù)估計基本算法步驟:

步驟1 去除觀測信號采樣點中的干擾采樣點,以使得觀測信號的散點圖散落性更強。

步驟4 通過動態(tài)標識矩陣D的列元素構(gòu)成,統(tǒng)計并判斷信號源數(shù)的變化時刻。

步驟5 繪制信號源數(shù)變化前后分段時間內(nèi)觀測矢量采樣點在二維空間的分布密度曲線,并統(tǒng)計其峰值個數(shù),即可獲得估計的動態(tài)源信號個數(shù)。

4 仿真實驗

下面給出一個計算機仿真實例:對于動態(tài)變化的混合矩陣,判斷出其混合矩陣變化的時刻;對于動態(tài)變化的源數(shù)目,分別估計出其變化前后的源信號數(shù)目。

仿真實驗中,源信號為6個同頻通信信號,采樣頻率為1 000 Hz,信號持續(xù)時間為2 s。仿真中設(shè)置的接收傳感器數(shù)量只有2個?；旌暇仃囯S機產(chǎn)生,且在1 s的時刻發(fā)生了變化。1 s之前的混合矩陣標準化形式為

1～2 s的混合矩陣標準化形式變?yōu)?/p>

源信號的個數(shù)及組成在0～1 s與1～2 s也不相同,它們的類型如表1所示。

表1 1 s之前和1～2 s時的源信號類型Tab.1 Source signal type before 1 s and during 1 to 2 s

下面通過兩個接收傳感器接收的觀測信號來判斷出其混合矩陣變化的時刻,并且分別估計出源信號變化前后的源信號數(shù)目。圖3給出了源信號在時域和頻域中的波形圖,圖4給出了兩個接收傳感器觀測的混合信號在時域和頻域中的波形圖,顯然這些源信號在時域和頻域都是有重疊的。

(a)2 s持續(xù)時間的各源信號時域波形

(a)觀測信號的時域波形

圖5給出了觀測信號的時域及頻域散點圖,從時域散點圖可以看出,觀測信號在處理域具有直線聚類的特性。

圖5 兩個接收傳感器觀測信號的比例散點圖Fig.5 Proportional scatter plots of the observed signals from two receiving sensors

對動態(tài)變化的源信號數(shù)目的變化時刻進行估計,這里取門限為20%,分別將各時間片段觀測信號的標識矩陣非唯一含零元素列在所有列數(shù)中占的百分比與該門限進行比較。從圖6中的各時間片段觀測信號標識矩陣號的非唯一含零元素列百分比變化曲線可以看出,在第21時間片段(即第1 s時刻)信號起,其非唯一含零元素列百分比持續(xù)都在門限以上。因此,可以判斷出從第1 s時刻開始,動態(tài)變化的源信號數(shù)目發(fā)生了變化。

圖6 觀測信號標識矩陣號的非唯一含零元素列百分比變化曲線Fig.6 The nonunique zero-element column percentage change curve of the observed signals identification matrix number

接下來,對動態(tài)變化的源信號數(shù)目進行估計。分別選取0～1 s和1～2 s觀測信號的采樣點的數(shù)據(jù)進行源數(shù)目的估計,對觀測信號進行去除干擾采樣點以及標準化后,對觀測信號采樣點分布數(shù)據(jù)進行平滑濾波后最終分別獲得對0～1 s和1～2 s源信號數(shù)目的估計結(jié)果,如圖7所示。

(a)0～1 s持續(xù)時間內(nèi)觀測信號采樣點分布數(shù)據(jù)進行平滑濾波后結(jié)果

通過圖7可以看出,0～1 s持續(xù)時間內(nèi)的源信號數(shù)目估計曲線圖中有6個峰值,1～2 s持續(xù)時間內(nèi)的源信號數(shù)目估計曲線圖中有4個峰值,說明這兩個持續(xù)時間內(nèi)的源信號數(shù)目分別為6和4,因此,本文中源信號數(shù)目估計的算法在源信號數(shù)目變化時仍能正確估計出源的個數(shù)。

5 結(jié)束語

本文提出了一種動態(tài)變化混疊模型下欠定盲源分離中的源數(shù)估計方法。通過建立動態(tài)變化混疊情形下盲源分離的數(shù)學模型,采用一種構(gòu)建動態(tài)標識矩陣的方法進行統(tǒng)計和判斷動態(tài)源信號數(shù)目的變化情況,再通過分段時間內(nèi)多維觀測矢量采樣點聚類區(qū)間內(nèi)概率峰值統(tǒng)計,實現(xiàn)動態(tài)變化混疊模型下盲源分離中的源信號數(shù)目的有效估計。仿真結(jié)果表明,本文方法能有效實現(xiàn)動態(tài)變化混疊模型下欠定盲源分離中的源數(shù)估計,并且信號估計效果良好。但在實際中可能會出現(xiàn)雜波較強,很多峰值被淹沒在雜波中的情況,如何在低信噪比下正確估計出源信號的數(shù)目將是下一步的研究方向。