劉佳昕，周風(fēng)波

（邵陽學(xué)院，湖南邵陽，42200）

0 引言

近年來，EMD 信號分解算法已成為國內(nèi)外眾多學(xué)科關(guān)注的焦點，在電氣、化學(xué)、通信等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。信號是每個信息傳遞的載體，其在傳輸?shù)倪^程中極易受到外界的干擾，在這種情況下，要從原始信號中獲取有用信號就必須綜合利用各種手段。因此，對非平穩(wěn)信號的處理進(jìn)行研究具有重要意義。在非平穩(wěn)狀態(tài)下，常用的時域－頻域分析技術(shù)包括短時傅里葉變換和小波變換等方法。

鑒于小波變換在信號局部上缺乏自適應(yīng)能力，N.E Huang 在1998 年首次針對非平穩(wěn)和非線性的信號處理問題，提出了一種利用振蕩劇烈程度來反映極值點信息的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法，在信號去噪處理中具有廣泛應(yīng)用；HHT 變換是一種新興的時頻分析技術(shù)，專門用于處理非線性和非平穩(wěn)信號。其基本原理是利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解來對原始信號做進(jìn)一步分解和重構(gòu)，從而獲得所需的信息。該技術(shù)融合了小波變換的多分辨率的特點，克服了小波變換過程中小波基函數(shù)選擇困難的問題，因此它也適用于非平穩(wěn)信號的濾波和降噪處理[1]。

目前，我國對信號降噪的研究已經(jīng)進(jìn)入了一個較為成熟的階段。2005 年，萬建等對含噪語音信號進(jìn)行了經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）的尺度濾波特征分析，并采用軟閾值法對具有寬頻帶隨機(jī)噪聲的語音信號進(jìn)行閾值處理，并設(shè)計了一種有效地抑制噪聲的方法[2]。與此同時，張維強(qiáng)等學(xué)者根據(jù)希爾伯特-黃變換理論，提出了一種新的HHT 變換去噪方法，該方法通過對原始IMF 的預(yù)處理來實現(xiàn)對語音信號的增強(qiáng)[3]。

本文提出改進(jìn)的EMD 信號去噪算法，以加噪的脈沖正弦信號為研究對象，以幾何平均算法為突破口，循序漸進(jìn)，先是設(shè)定由三個正弦波組成的復(fù)合信號，對其進(jìn)行傳統(tǒng)的EMD 算法分解和改進(jìn)后的EMD 算法分解得出相關(guān)結(jié)論；在此基礎(chǔ)上，采用不斷改變信噪比的方法，獲得有效信號的最佳分解方案，并通過對本征模態(tài)函數(shù)和殘差函數(shù)圖像的分析，研究其在信號降噪方面的應(yīng)用。

1 改進(jìn)EMD 的去噪算法

■1.1 本征模態(tài)函數(shù)IMF

本征模態(tài)函數(shù)必須滿足以下幾項基本條件[4～5]：

（1）在數(shù)據(jù)的可接受范圍內(nèi)，極值點數(shù)目相等或差別不超過1；

（2）由局部極大和極小兩個極值構(gòu)成的包絡(luò)線平均值應(yīng)該是零；

（3）純振蕩函數(shù)的平均值為0。

■1.2 標(biāo)準(zhǔn)EMD 的基本原理

EMD 是利用信號極值點信息，將函數(shù)分解為若干個本征模態(tài)及單調(diào)的殘差的過程。

具體的EMD 算法過程[6]：

（1）針對原始函數(shù)x(t) ，找到極大值點和極小值點；

（2）分別用樣條曲線連接極值點，標(biāo)記好極大值包絡(luò)線xmax(t) 及極小值包絡(luò)線xmin(t) ，對兩條包絡(luò)線進(jìn)行平均取值，得到平均線函數(shù)：

（3）將原始函數(shù)x(t) 減去平均函數(shù)m1(t) ，得到新的函數(shù)h1(t) ：

（4）用新函數(shù)h1(t) 替換原始信號中的函數(shù)x(t) ，重復(fù)步驟(3)多次，獲得第K 次篩選的數(shù)值：

注意：判斷h1k(t)是否為IMF 分量的標(biāo)準(zhǔn)是通過比較連續(xù)兩次篩選結(jié)果之間的SD值（即標(biāo)準(zhǔn)差）來確定的。

在前面的論述中我們曾提到，冷橋現(xiàn)象的長期存在，會導(dǎo)致建筑使用過程中出現(xiàn)墻體霉變，以及墻皮脫落的情況。更嚴(yán)重的情況下，會導(dǎo)致整個建筑的結(jié)構(gòu)被破壞，因此這也很容易致使建筑使用壽命嚴(yán)重縮短。

在實際使用中，hk(t)=0通常難以滿足，可用如下替代[7]：

滿足范圍：0.2～0.3

（5）從原始函數(shù)x(t)中減去C1(t)，即殘差r1(t)：

至此完成整個分解過程。

■1.3 改進(jìn)EMD 算法的基本原理

為了解決EMD 分解中出現(xiàn)的模態(tài)混疊和噪聲干擾等問題，我們提出了針對EMD 的改進(jìn)方法。該方法是在不改變原系統(tǒng)固有頻率和阻尼的前提下對各固有模態(tài)函數(shù)做一次獨立分量分析，并通過分離后得到新的本征模態(tài)函數(shù)。從相關(guān)文獻(xiàn)中，我們可以明確這是一種基于高斯白噪聲疊加的多次經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法，它主要依賴于高斯白噪聲在頻率上均勻分布的統(tǒng)計屬性[8]。本文在此基礎(chǔ)上引入了一個新概念——“均值”概念。在進(jìn)行算法分解等操作時，首要任務(wù)是將初始信號復(fù)制成若干部分，為了調(diào)整信號的極值點特性，我們在每一個信號里都加入了具有一致振幅的隨機(jī)白噪聲；同時，為提高算法的穩(wěn)定性，引入了基于自適應(yīng)濾波和小波包分析的方法。緊接著，對修改后的信號進(jìn)行EMD 處理，從而得到對應(yīng)的IMF；最后，通過對多次經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）產(chǎn)生的相關(guān)IMF 進(jìn)行整體平均處理，成功地消除了添加的白噪聲，從而有效地抑制了模態(tài)混疊的發(fā)生。

改進(jìn)后的EMD 算法過程如下[9～10]：

（1）設(shè)置分解次數(shù)N；

（2）將一個具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪音ni(t)融入原始資料x(t)中，產(chǎn)生一個新信號：

（3）對新信號xi(t)進(jìn)行EMD 分解，得到本征模態(tài)函數(shù)和殘差；如此反復(fù)進(jìn)行步驟(2)、(3)N 次，即可獲得N 個分解后的IMF；

（4）依據(jù)不相關(guān)序列的統(tǒng)計平均值為0 的定理，對EEMD 分解出來的本征模態(tài)函數(shù)IMF進(jìn)行集合平均運(yùn)算，可得到以下公式：

改進(jìn)后的EMD 算法流程圖如圖1 所示。

圖1 改進(jìn)的EMD 算法流程圖

2 仿真分析與實驗驗證

■2.1 基于改進(jìn)EMD 算法的信號降噪

為了驗證改進(jìn)的EMD 算法的正弦信號去噪效果，采用了MATLAB 軟件對實驗進(jìn)行仿真處理，將不同算法分解情況下的噪聲效果圖進(jìn)行對比，得出結(jié)論。設(shè)定原始信號是一個復(fù)合信號，由三個正弦波組成，頻率分別為10Hz、4Hz 和20Hz，采樣率為60Hz，信號的時長為1 分鐘。顯示其波形和頻譜圖對照，圖2 是未增加噪聲時的圖像。

圖2 正弦信號的波形及頻譜圖

通過對原始信號應(yīng)用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition,EMD）算法，利用極值點的特性進(jìn)行分解，可以得出正弦信號整個本征模態(tài)函數(shù)IMFs 和由EMD 算法分解的部分和的圖像（見圖3）。最后對代碼進(jìn)行改進(jìn)，我們得到了一系列本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Functions,IMF）和一個殘差信號（見圖4）。另外我們發(fā)現(xiàn)，每個IMF 都充分表現(xiàn)了原始信號在不同時間尺度和頻率上的局部變化。每個IMF 的波形都是一種振蕩信號，其幅度隨時間變化。殘差信號是原始信號減去所有IMF 的和得到的，它代表了未被IMF 捕捉到的信號成分。由圖可知，殘差信號在零附近波動，振幅比較小，說明IMF 能夠較好地描述原始信號的大部分特征。

圖3 IMFs 和部分和的圖像

圖4 改進(jìn)后的EMD 對信號的分解

■2.2 深入研究EMD 的信號降噪效果

為了深入驗證改進(jìn)后的EMD 算法的效果，本文以正弦信號為例，在時間為[0，0.21]、[0.62，0.8]兩個區(qū)間內(nèi)添加高斯脈沖信號，來模擬噪聲信號對原始信號的干擾，原始仿真信號見圖5。

圖5 模擬噪聲信號圖

利用標(biāo)準(zhǔn)EMD 算法對該信號進(jìn)行分解，如圖6 所示。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)EMD 算法對合成新信號的分解圖

圖7 改進(jìn)后的EMD 分解結(jié)果圖

從圖6 可以看出IMF1、IMF2、IMF3 是信號中的低頻成分，其中IMF1 信號接近于原始信號，具有一個周期大致在0.25s 的正弦波形；IMF4 為中頻成分；IMF5 是信號中的高頻成分；殘差則代表了分解出IMFS 信號之外無法解釋的部分，其中部分頻段的干擾被消除。這些本征模態(tài)函數(shù)IMFS 和殘差表示了信號在不同頻率和振幅上的分解，后續(xù)獲得的IMF 的值都是依托于上一個IMF 分解出的圖像，具有模態(tài)混疊效應(yīng)，所以，該傳統(tǒng)的EMD 分解算法不再適用。

利用改進(jìn)后的EMD 算法對該信號進(jìn)行分解，可以看出原始信號是一個正弦波加高斯白噪聲生成的混合信號，信號在頻率為4kHz 的正弦波上具有周期變化，但其受噪聲的影響也比較大。殘差信號包括未被分解為IMFs 的部分，根據(jù)圖像7 可看出殘差信號中的高頻成分和噪聲部分。為了提高信號質(zhì)量的明細(xì)度和噪聲成分的分辨率，我們在代碼中首先采用將所有IMFs 和殘差進(jìn)行求和，進(jìn)一步重構(gòu)原始信號的方法；然后，使用重構(gòu)信號和原始信號之間的差異計算其信噪比（SNR）和均方誤差（MSE）。

根據(jù)MATLAB 仿真實驗，我們對其重構(gòu)信號進(jìn)行了計算，得到了信噪比（SNR）為-14.6385 dB 和均方誤差（MSE）為0.0017。這些數(shù)值揭示了重構(gòu)后的信號與原始信號的不同之處。在實際應(yīng)用過程中，可以根據(jù)需要選擇適當(dāng)大小的誤差范圍來判斷是否發(fā)生錯誤。負(fù)的信噪比值表明重構(gòu)信號中的噪聲水平高于原始信號，而較小的均方誤差值表明重構(gòu)信號與原始信號之間的差異相對較小。由于在每一次的運(yùn)行過程中加入的白噪聲可能會引起結(jié)果的輕微變動，因此每一次的計算結(jié)果會有細(xì)微的差異。為了更好地分析和比較重構(gòu)信號與原始信號之間的差別，需要對重構(gòu)信號進(jìn)行統(tǒng)計檢驗，以確定在一定條件下所定義的誤差限是否符合要求。盡管這些值應(yīng)該保持恒定，但在試驗中仍然有一定的誤差。

3 結(jié)束語

改進(jìn)的EMD 算法是針對EMD 分解出現(xiàn)的模態(tài)混疊現(xiàn)象而改進(jìn)的一種噪聲輔助數(shù)據(jù)方法，相對于其他經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解算法，其具有更好的抗噪聲性能和更穩(wěn)定的分解結(jié)果。通過引入不相關(guān)序列的統(tǒng)計平均值為0 的定理，有效地處理非線性和非平穩(wěn)信號，判斷其實驗誤差范圍，在信號去噪領(lǐng)域，具有廣泛應(yīng)用和巨大前景。