竇凇耀，陳映，陳燕，劉政瑋

（北京無線電測量研究所，北京 100854）

0 引言

在現(xiàn)代防御當(dāng)中，只有獲得目標(biāo)高階運(yùn)動特征的高精度估計才能有效提高對目標(biāo)攔截的概率。但是非合作目標(biāo)機(jī)動性的增強(qiáng)對目標(biāo)高階運(yùn)動特征（加速度）的估計帶來了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)［1-2］。傳統(tǒng)的單站雷達(dá)通過選擇合適的目標(biāo)運(yùn)動模型和濾波估計方法來提升對目標(biāo)加速度的估計精度。常用的機(jī)動目標(biāo)跟蹤模型可以分為兩類，一類是單模型，另一類是多模型。單模型有CA（constant acceleration）模型、CT（coordinated turning）模型、Singer 模型、“當(dāng)前”統(tǒng)計模型以及將目標(biāo)機(jī)動加加速度描述為一階時間相關(guān)過程的Jerk 模型等［3-6］。多模型算法的模型集合由單模型構(gòu)成，交互多模型算法（interactive multiple model，IMM）被認(rèn)為是目前機(jī)動目標(biāo)跟蹤最有效的方法之一［7-8］。由于傳統(tǒng)IMM 算法的模型集合是固定不變的，為了有效提升模型集合對目標(biāo)真實運(yùn)動模式的匹配度，出現(xiàn)了模型集合可以自適應(yīng)調(diào)整的變結(jié)構(gòu)交互多模算法［9-12］。

由于雷達(dá)獲得的量測信息一般是在球坐標(biāo)系中進(jìn)行描述的，所以需要用到非線性的濾波方法。常用的非線性濾波估計方法有擴(kuò)展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF）、無敏卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）等［13-14］。除此之外，還有適用于非高斯情形的容積卡爾曼濾波（cubature Kalman filter，CKF）和在線調(diào)整狀態(tài)預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣的強(qiáng)跟蹤濾波器（strong tracking filter，STF）等［4，15］。

單站雷達(dá)對目標(biāo)高階運(yùn)動特征的估計精度較差，因為單雷達(dá)機(jī)動目標(biāo)跟蹤方法都是對上述常規(guī)目標(biāo)運(yùn)動模型的修正，但是對于非合作目標(biāo)而言，通過運(yùn)動模型修正的方式始終是有缺陷的，因為始終不知道目標(biāo)對象如何機(jī)動。本文側(cè)重從多雷達(dá)探測結(jié)合徑向速度增廣量測的角度來研究目標(biāo)高階運(yùn)動特征估計精度的提升［16］。

1 集中式雷達(dá)組網(wǎng)目標(biāo)跟蹤算法

假設(shè)在集中式的雷達(dá)組網(wǎng)中有N個雷達(dá)節(jié)點(diǎn)，這N個雷達(dá)節(jié)點(diǎn)分別位于不同的位置，共同組成一個探測網(wǎng)絡(luò)，每個雷達(dá)節(jié)點(diǎn)將量測信息直接發(fā)送到融合中心［17］。本文假設(shè)雷達(dá)的數(shù)據(jù)采集速率相同但開機(jī)時刻不同，在忽略通信時延的情況下，由融合中心采用序貫無跡卡爾曼濾波算法進(jìn)行信息融合［18-19］。

1.1 序貫無跡卡爾曼濾波

在直角坐標(biāo)系下將目標(biāo)的運(yùn)動方程定義為

式中：F為CA 模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；Wk為過程噪聲。

目標(biāo)的狀態(tài)向量為

式中：xk，yk，zk分別為目標(biāo)在X，Y，Z方向上的位置；˙ 分別為目標(biāo)在X，Y，Z方向上的速度分別為目標(biāo)在X，Y，Z方向上的加速度。

式中：T為雷達(dá)采樣間隔；?為矩陣直積的運(yùn)算符號。

在雷達(dá)坐標(biāo)系下將量測方程定義為

式中：Pr為雷達(dá)的位置坐標(biāo)；Vk為量測噪聲；h(·)為目標(biāo)的非線性量測函數(shù)，具體表示如下：

假設(shè)已知k時刻系統(tǒng)的融合估計值為，對應(yīng)的融合協(xié)方差陣為。根據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動方程和量測方程可以得到系統(tǒng)對目標(biāo)的一步預(yù)測為

式中：k1為第1 個量測到達(dá)的時刻，各個傳感器之間在不同時刻的量測噪聲互不相關(guān)。在融合中心按照量測到達(dá)的時刻，利用UKF 對目標(biāo)的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行序貫濾波更新，第1 個到達(dá)的量測對融合中心狀態(tài)估計值的更新為

后續(xù)到達(dá)的第i個量測(1 ＜i≤N)對融合中心的狀態(tài)估計值的更新為

k+1 時刻系統(tǒng)的融合估計值，對應(yīng)的協(xié)方差陣

1.2 帶徑向速度的目標(biāo)狀態(tài)估計CRLB（Cramer-Rao lower bound）

量測函數(shù)中的徑向速度表達(dá)式［20］為

一般雷達(dá)的量測為距離，方位角和俯仰角，為了提升機(jī)動目標(biāo)加速度的跟蹤精度，增加徑向速度維量測，構(gòu)造量測向量為Zk= (rk，ak，ek，vrk)T，其中rk為距離，ak是方位角，ek是俯仰角，vrk是徑向速度。

由式（9）得到新的量測函數(shù)為

帶徑向速度的目標(biāo)狀態(tài)估計CRLB 為

從式（11）中可以看出，想要求出J-1的解析式需要對一個9×9 的矩陣求逆，較為困難，但是從式（11）可以看出

速度估計CRLB 取J-1的速度項對應(yīng)的部分，引入徑向速度維之后速度估計CRLB 的增加項為可以看出速度估計CRLB 的精度提升為。增加徑向速度維量測有效地提升了速度估計的精度，進(jìn)一步提升了目標(biāo)加速度的估計精度。

1.3 雙傳感器的幾何精度因子（geometry dilution of precision，GDOP）

根據(jù)每個傳感器的Fisher 矩陣Ji可以得到雙傳感器狀態(tài)估計的CRLB 為

為了討論的方便，只考慮目標(biāo)的距離信息rk和方位角信息ak，則

取位置估計CRLB 的跡作為雙傳感器的GDOP［21］，雙傳感器的GDOP 圖見圖1。

圖1 雙傳感器的GDOP 圖Fig. 1 Dual sensor GDOP diagram

圖1 中雷達(dá)視線夾角是雷達(dá)與目標(biāo)之間視線的夾角，從圖1 中可以看出雷達(dá)視線夾角在60°～120°，目標(biāo)的GDOP 值較小，GDOP 值越小代表著估計的精度也就越高，因此雷達(dá)與目標(biāo)之間視線的夾角應(yīng)盡可能地保持在60°～120°。

2 仿真校驗

本文模擬一段目標(biāo)機(jī)動的三維場景，然后采用3 部相同的雷達(dá)在不同位置以集中式的方法進(jìn)行組網(wǎng)，采用序貫無跡卡爾曼濾波算法對3 部雷達(dá)的跟蹤結(jié)果進(jìn)行融合。

分3 個方向?qū)δ繕?biāo)運(yùn)動建模為X= 3 000t+500 000；Y= 20 000 sin (wt) + 700 000（w= π/120）；Z= 9 000 000，t從0 到540 s。

假設(shè)有3 個雷達(dá)同時跟蹤該運(yùn)動目標(biāo)。3 部雷達(dá)的量測誤差均相同，雷達(dá) 1 的位置為(200 000，700 000，0)； 雷 達(dá) 2 的 位 置 為[650 000，900 000，0]； 雷 達(dá) 3 的 位 置 為[1 200 000，500 000，0]（單位均為m）。3 部雷達(dá)量測周期都是0.6 s，但是3 部雷達(dá)的開機(jī)時間不同，之間相差0.2 s。雷達(dá)1，2，3 依次開機(jī)。目標(biāo)的實際運(yùn)動軌跡如圖2 所示。圖2 中目標(biāo)運(yùn)動軌跡上的三角代表目標(biāo)的運(yùn)動方向，圓圈代表結(jié)束跟蹤時刻目標(biāo)的位置。運(yùn)動軌跡下方的三角代表雷達(dá)。目標(biāo)真實的加速度如圖3 所示。

圖2 目標(biāo)真實運(yùn)動軌跡Fig. 2 True trajectory of the target

圖3 目標(biāo)真實加速度Fig. 3 True target acceleration

2.1 量測精度對機(jī)動目標(biāo)加速度估計影響

2.1.1 測距精度對機(jī)動目標(biāo)加速度估計的影響

在固定測角精度為0.3°的情況下，研究測距精度對機(jī)動目標(biāo)加速度估計的影響。

3 部雷達(dá)均采用三維的CA 模型對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。3 部雷達(dá)屬于同一型號雷達(dá)，量測誤差均相等，單個雷達(dá)對目標(biāo)加速度的估計誤差和融合后的加速度估計誤差如圖4 所示。

圖4 不同測距精度下雷達(dá)的加速度誤差對比Fig. 4 Comparison of radar acceleration error under different ranging accuracy

從圖4 可以看出，測距精度從100 m 增加到10 m，增加了10 倍，對單個雷達(dá)的加速度估計誤差的影響不是很明顯。但是測距精度增大10 倍以后，融合估計的加速度項誤差明顯增加。通過以上的仿真實驗可以說明機(jī)動目標(biāo)的融合估計加速度精度對距離量測精度敏感，下面繼續(xù)研究機(jī)動目標(biāo)加速度精度對測角精度的敏感性。

2.1.2 測角精度對機(jī)動目標(biāo)的加速度估計影響

在固定距離量測精度為10 m 的情況下，對比測角精度為0.3°和0.03°對機(jī)動目標(biāo)加速度估計的影響。仿真結(jié)果見圖5。

圖5 不同測角精度下雷達(dá)加速度項誤差對比Fig. 5 Comparison of radar acceleration error under different angle measurement accuracy

從圖5 中看出，測角精度從0.3°提升到0.03°，精度提升了10 倍，單個雷達(dá)加速度項估計均得到了明顯提升。但是經(jīng)過融合估計之后，加速度誤差在測角精度變化前后，變化并不明顯。這樣的仿真實驗結(jié)果說明該雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)動目標(biāo)加速度估計精度對于測角誤差并不敏感，改進(jìn)雷達(dá)的測角精度無法進(jìn)一步有效提升機(jī)動目標(biāo)的加速度估計精度。

2.2 徑向速度輔助的機(jī)動目標(biāo)加速度估計

從2.1 節(jié)的仿真可以看出，采用雷達(dá)組網(wǎng)具有很強(qiáng)的抗干擾性能，即使單個雷達(dá)的跟蹤誤差很大，融合后的跟蹤精度依舊很高，但是機(jī)動目標(biāo)加速度對雷達(dá)的測角精度并不敏感。為了進(jìn)一步提升機(jī)動目標(biāo)的加速度估計精度，在量測中增加徑向速度維。

在固定測角精度為0.03°，測距精度為10 m 的情況下，研究徑向速度對機(jī)動目標(biāo)加速度估計的影響，徑向速度的誤差為0.5 m/s。

在有無徑向速度輔助跟蹤的情況下，對比加速度項估計誤差，如圖6 所示。

圖6 有無徑向速度量測下雷達(dá)的加速度誤差對比Fig. 6 Comparion of radar acceleration error with or without radial velocity measurement

從圖6 可以看出，增加了徑向速度維以后，對機(jī)動目標(biāo)的加速度項估計精度明顯提升了，在無徑向速度維時，加速度估計誤差的均值為3 m/s2。在加入徑向速度量測之后，加速度估計誤差的均值下降到了1.7 m/s2。這說明增加了量測維度使得機(jī)動目標(biāo)的加速度估計精度得到了明顯的提升。為了進(jìn)一步提升對機(jī)動目標(biāo)加速度的估計精度，對雷達(dá)站的布局進(jìn)行優(yōu)化。

2.3 雷達(dá)布站對機(jī)動目標(biāo)加速度估計的影響

雷達(dá)組網(wǎng)中，除了數(shù)據(jù)融合算法、雷達(dá)探測性能會對目標(biāo)的狀態(tài)估計產(chǎn)生影響之外，雷達(dá)站與跟蹤目標(biāo)之間的幾何位置也會對目標(biāo)的加速度估計產(chǎn)生影響，為了進(jìn)一步提升機(jī)動目標(biāo)加速度的估計精度，將雷達(dá)布站進(jìn)行優(yōu)化如圖7，雷達(dá)布站優(yōu)化以后的加速度估計結(jié)果見圖8。優(yōu)化之后的雷達(dá)站點(diǎn)：雷達(dá)1 的位置為(-300 000，-1600 000，0)；雷達(dá)2的位置為(1 300 000，3 000 000，0)；雷達(dá)3 的位置為(2 900 000，-1 600 000，0)。

圖7 雷達(dá)布站俯視圖Fig. 7 Top view of radar stations

圖8 雷達(dá)布站優(yōu)化前后加速度估計的誤差對比Fig. 8 Error comparison of acceleraion estimation before and after radar station optimization

從圖7 中可以看出優(yōu)化前雷達(dá)1 和雷達(dá)3、雷達(dá)2 的視線夾角在不斷地減小至40°以下，雷達(dá)2 和雷達(dá)3 的視線夾角一直在140°～180°，3 部雷達(dá)的視線范圍始終沒有達(dá)到最優(yōu)。但是優(yōu)化后可以保證雷達(dá)1 和雷達(dá)3 的視線夾角在90°～120°，滿足60°～120°的最優(yōu)位置范圍。從圖8 可以看出經(jīng)過雷達(dá)布站的優(yōu)化過后，機(jī)動目標(biāo)加速度的融合估計精度得到了明顯的提高，誤差的均值達(dá)到了0.9 m/s2。圖8的仿真結(jié)果充分證明了雷達(dá)站布局對目標(biāo)加速度的估計有著十分重要的影響。

將不同實驗條件下，雷達(dá)組網(wǎng)對機(jī)動目標(biāo)加速度的估計結(jié)果匯總到表1。從表1 可以看出測距精度對目標(biāo)加速度估計誤差的影響最大，其次是徑向速度和雷達(dá)站的布局，最后是測角精度。由于測角精度對目標(biāo)加速度估計精度的影響較小，在忽略角度量測后，目標(biāo)加速度的估計精度幾乎不變。

表1 不同優(yōu)化條件下機(jī)動目標(biāo)加速度估計精度Table 1 Acceleration estimation accuracy of maneuvering target under different optimation conditions

3 結(jié)束語

雷達(dá)組網(wǎng)可以有效克服單個雷達(dá)的缺陷，提升目標(biāo)跟蹤的精度和穩(wěn)定性，這是因為在多雷達(dá)探測的情況下采用序貫無跡卡爾曼濾波的方式進(jìn)行信息融合，相當(dāng)于增加了雷達(dá)對目標(biāo)的數(shù)據(jù)采集速率，因此加速度的估計精度得到了提升。在本文的仿真實驗中，距離量測精度對機(jī)動目標(biāo)加速度融合估計精度的影響比角度量測精度更大。為了進(jìn)一步提升對機(jī)動目標(biāo)加速度的估計精度，除了進(jìn)一步提升測距精度以外，還可以引入徑向速度作為新的一維量測。增加一維量測相當(dāng)于增加了一維對目標(biāo)的觀測視角，自然可以增加對目標(biāo)狀態(tài)估計的信息量，進(jìn)而提升估計精度?？梢钥闯?，在徑向速度輔助下，機(jī)動目標(biāo)加速度估計精度得到了很大的提升。除此之外，雷達(dá)站的布局和目標(biāo)之間的相對幾何關(guān)系也會對觀測精度造成影響，對雷達(dá)站的布局進(jìn)行優(yōu)化之后，加速度的估計精度可以再一次得到明顯提升。雷達(dá)組網(wǎng)結(jié)合徑向速度增廣量測有效獲得了目標(biāo)高階運(yùn)動特征的高精度估計。