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(商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,河南 商丘 476100)

在高等數(shù)學(xué)教材中,變限積分函數(shù)是牛頓-萊布尼茲公式的理論基礎(chǔ),是求導(dǎo)和極限問題中的高頻知識(shí)點(diǎn),也是研究生入學(xué)考試中經(jīng)?？疾榈暮瘮?shù)之一.用變限積分定義函數(shù)是一種全新的表示函數(shù)的方法,變限積分函數(shù)是我們表示函數(shù)的一種新的重要工具[1].然而,大學(xué)教材在變限積分的應(yīng)用方面論述很少或分散在教材中不同部分,使學(xué)生無法一窺全貌,從而無法深刻理解并最終消化掌握這一重要函數(shù).本文通過舉例把變限積分函數(shù)的求導(dǎo)問題進(jìn)行總結(jié)和歸納以解決上述問題.

證明對(duì)于[a,b]上任一確定的點(diǎn)x,x+Δx∈[a,b]

再由x的任意性可知:Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù).

此定理聯(lián)通了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)從表面上看似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系,同時(shí)也說明了連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)這一基本結(jié)論,并以積分的形式給出了f(x)的一個(gè)原函數(shù).

該定理還可以做一些推廣,具體結(jié)論如下:

1 變限積分函數(shù)的3種變形

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程以及后期學(xué)習(xí)概率論課程時(shí),尤其在實(shí)際解題過程中,甚至考研考博時(shí)還會(huì)遇到這個(gè)情況,即變限積分函數(shù)的變形,如果仍單純按照基本定理和推論去解題則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果.對(duì)變上限積分函數(shù)求導(dǎo)時(shí),首先要弄清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),把變上限積分函數(shù)的自變量與積分變量區(qū)分開來.變上限函數(shù)的自變量是上限變量,因此對(duì)變上限函數(shù)的求導(dǎo),就是對(duì)上限變量的求導(dǎo),與積分變量無關(guān),但有時(shí)被積表達(dá)式內(nèi)含有上限變量的情況,應(yīng)把上限變量從被積表達(dá)式內(nèi)提到積分號(hào)外,然后再進(jìn)行求導(dǎo)[1].常見的類型有以下3種,即積分號(hào)下含有x的3種求導(dǎo)處理方式:

變形1被積函數(shù)中含有x和積分變量t的函數(shù)的乘積的形式,因?yàn)榉e分變量為t,此中的x可視為常數(shù),可以提到積分號(hào)外面,利用函數(shù)的乘法求導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算,變形公式如下:

變形2被積函數(shù)中含有關(guān)于x的函數(shù)和關(guān)于積分變量t的函數(shù)的和差,可以利用積分的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為兩個(gè)積分的和或差的形式,再利用變形1式進(jìn)行計(jì)算,變形公式如下:

變形3被積函數(shù)中x和t不能直接分離的,一般可以利用第二換元法,注意換元時(shí)上下限也要進(jìn)行相應(yīng)的變換,變形公式如下:

綜上,不僅有了基本的定理和求導(dǎo)計(jì)算公式,而且對(duì)于應(yīng)用更加廣泛的3種變形的情況也清楚了其求導(dǎo)的原理,這對(duì)于我們?cè)诶米冃畏e分函數(shù)做求導(dǎo)運(yùn)算時(shí)提供了更加便利的工具,也會(huì)使得計(jì)算更加簡便、快捷.

2 變限積分函數(shù)變形求導(dǎo)公式的應(yīng)用

分析：積分的上下限均是函數(shù)變量,滿足推論3的條件.

解：由推論3可得:

解：由洛必達(dá)法則,分子分母分別求導(dǎo)可得:

分析：由所給的方程可知,左邊是變上限積分函數(shù),利用推論1可以求出其導(dǎo)函數(shù).右邊的變限積分函數(shù)里同時(shí)含有x,t,利用變形1可得其導(dǎo)函數(shù).

又對(duì)方程化簡變形可得,

方程兩端分別對(duì)x求導(dǎo),利用前述結(jié)論可得:

(1)

分析：由被積函數(shù)的形式可知其符合變形3的情形,可利用換元的方法,將其轉(zhuǎn)換為變形2的情形,由此可以得出結(jié)果[5].

解：由條件可令u=2x-t,則可得t=2x-u,dt=-du,此時(shí)原式左邊積分可變?yōu)?

整理可得:

所以,當(dāng)x=1時(shí),得:

分析：此為含有變限函數(shù)的極限問題,一般可以利用洛必達(dá)法則進(jìn)行處理.通過觀察,我們可以采用變形3先換元,再用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算.

3 結(jié)論

通過對(duì)變限積分函數(shù)求導(dǎo)的幾種題型的分析,不難發(fā)現(xiàn),變現(xiàn)積分函數(shù)是一類及其重要的特殊函數(shù),在應(yīng)用上具有很強(qiáng)的綜合性.該知識(shí)點(diǎn)把高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)微積分的許多知識(shí)進(jìn)行了有效鏈接,從而更好地幫助學(xué)生掌握有關(guān)極限的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)定義、隱函數(shù)求導(dǎo)及積分的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的諸如概率統(tǒng)計(jì)及考研、考博等都有一定的幫助.在遇到此類問題時(shí),可以從變限積分函數(shù)的角度去考慮,并通過引入變限積分函數(shù)這一重要工具,從而可以更好地幫助我們解決此類問題.