梁 影，譚增輝

(1.河南開放大學,河南 鄭州 450000;2.河南省智能綠色建造工程研究中心,河南 鄭州 450000; 3.焦作大學,河南 焦作 454150)

0 引言

樹狀結構是一種應用廣泛的仿生學設計,這種結構的荷載傳遞路徑簡單,荷載由屋面板傳到相連的支桿,支桿匯合到節(jié)點處。鑄鋼分叉結構是整體鑄造的,外形美觀,節(jié)點無焊接作業(yè),由于節(jié)點處的受力復雜,傳統(tǒng)的設計方法無法做到精細的優(yōu)化設計,導致節(jié)點處自重較大,造成設計和安裝困難,鑄鋼分叉節(jié)點的輕量化設計是非常必要的。樹狀結構節(jié)點常見的有二分叉、三分叉、四分叉形鑄鋼節(jié)點,本文以工程實踐中常用的三分叉形鑄鋼節(jié)點為例進行研究。

基于拓撲優(yōu)化方法,相關學者對鑄鋼分叉節(jié)點進行了輕量化設計,在保持節(jié)點受力性能沒有明顯降低的情況下,大幅減輕了節(jié)點的自重,但多是基于體積分數(shù)約束以結構最小化柔度為目標函數(shù)進行拓撲優(yōu)化設計[1-2],實際工程中并不是只存在單一的約束,可能同時有體積、應力、位移或頻率等多種約束條件。在拓撲優(yōu)化中,固體各向同性材料懲罰方法(簡稱SIMP)應用廣泛[3],基于已有的研究成果和工程實踐,建立以最小化柔度為目標函數(shù),定義體積分數(shù)和疲勞應力兩個約束條件,研究鑄鋼三分叉節(jié)點的拓撲優(yōu)化設計方法。

1 拓撲優(yōu)化理論

拓撲優(yōu)化在整個設計優(yōu)化過程中屬于概念設計,有三個要素：設計變量、約束條件和目標函數(shù),根據(jù)所設邊界條件及荷載情況確定較合理的結構形式。設計變量為認為假定的單元密度,在0～1之間變化;約束條件是優(yōu)化要滿足的控制條件;目標函數(shù)是優(yōu)化的最終結果;拓撲優(yōu)化是在滿足約束條件下,將材料根據(jù)荷載的傳遞路徑進行重分布,在力學性能沒有明顯降低的情況下實現(xiàn)輕量化設計,為節(jié)點的概念設計提供參考。

1.1 SIMP方法插值模型

拓撲優(yōu)化問題首先要建立符合要求的數(shù)學模型,連續(xù)性結構的數(shù)學模型主要有均勻化法、變密度法等。變密度法的應用最為普遍,人為假定單元的密度在0～1范圍內(nèi)變化,且假定單元剛度和密度成正比,單元在荷載的作用下,根據(jù)受荷的大小,單元貢獻率大的密度就接近1,單元貢獻率小的密度就接近0,中間密度的單元由插值來確定,最終根據(jù)單元密度的大小來實現(xiàn)材料的重分布,進而實現(xiàn)節(jié)點的拓撲優(yōu)化。應用較為普遍的SIMP方法的插值公式為：

其中,xi為單元相對密度,與剛度成正比;p為懲罰系數(shù),可以減小插值過程中出現(xiàn)的中間密度單元;E0,Emin均為設計區(qū)域內(nèi)相對密度為1或0單元的材料彈性模量,常取Emin=0.001E0。

1.2 多約束條件拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

針對樹狀結構三分叉形鑄鋼節(jié)點的受力特性,拓撲優(yōu)化僅考慮體積分數(shù)約束下的最小化柔度問題顯然不能滿足實際工程的需求,尤其在大跨度屋面結構中,由于往復荷載的作用,疲勞壽命是不能忽視的問題,目前多是考慮節(jié)點的剛度或強度,很少兼顧到結構疲勞壽命的影響,使用等效結構應力法對鑄鋼分叉節(jié)點進行疲勞分析,參考現(xiàn)有文獻和研究成果,疲勞問題和應力的循環(huán)次數(shù)之間有緊密的關系,將疲勞問題轉化為應力約束問題是可行的,這樣在體積分數(shù)、等效應力雙重約束條件下,以最小柔度為目標建立數(shù)學模型。

其中,x為優(yōu)化設計變量(經(jīng)有限元離散后的單元相對密度);U為結構位移向量;F為外荷載向量;C(x)為柔度函數(shù);K為結構的整體剛度矩陣;V(x)為結構的實際體積分數(shù)函數(shù);V*為優(yōu)化要求的約束體積分數(shù)值;xmin,xmax分別為設計變量的上下限;i為單元數(shù)量;Si為構件某一點的應力值;Smax為構件危險點的最大應力值。

2 三分叉形鑄鋼節(jié)點有限元分析

2.1 原始幾何模型的建立

采用三維建模軟件Solid Works進行幾何模型的建立,本文選取貴陽機場的典型三分叉節(jié)點進行建模,圖1為節(jié)點幾何參數(shù)。由于拓撲優(yōu)化的需要,將模型分為優(yōu)化設計區(qū)域(中間鑄鋼球體)和非優(yōu)化設計區(qū)域(四周的支管),只對優(yōu)化區(qū)域進行拓撲優(yōu)化。

2.2 利用Hyper Works軟件進行前處理

將Solid Works建立的幾何模型導出為STEP格式文件,隨后導入Hyper Works軟件的Hyper mesh模塊,導入時注意將目標單位選擇為 MPa。在導入幾何時,支管與中間的球體導入后為整體,支管與球體之間未有效連接,需運用hyper mesh軟件中Boolean運算功能,將支管與球體進行接觸處理,保證兩者之間力的傳遞。材料類型為鑄鋼,彈性模量為E=2.1×105MPa,泊松比NU=0.3,密度RHO=7.85×10-9ton/mm3,屈服強度235 MPa,創(chuàng)建并賦予材料PSOLID實體屬性。劃分網(wǎng)格之前需對節(jié)點模型進行基于曲面的自動清理,以提高網(wǎng)格劃分的成功率。采用四面體單元對模型進行網(wǎng)格劃分,本文單元尺寸采用10 mm,同時在網(wǎng)格參數(shù)設置中限制最大單元尺寸為20 mm,提高網(wǎng)格劃分的質(zhì)量。模型網(wǎng)格劃分采用tetra mesh中的Volume tetra模塊,采用四面體單元,網(wǎng)格劃分完成之后對單元網(wǎng)格質(zhì)量進行檢查,注意支管和主管與球體接觸部位的有限元網(wǎng)格節(jié)點是否合并。

2.3 原始節(jié)點靜力有限元分析

在模型的三個支管上施加豎向荷載,荷載施加在單元節(jié)點上,每個支管上單元節(jié)點數(shù)為520個,每個節(jié)點上施加1 kN的力,因此整個模型共施加了1 560 kN的力,方向沿著Y軸負方向,可以真實模擬節(jié)點的實際工作環(huán)境;對主管端面上所有節(jié)點施加約束,約束其六個自由度,支管端面為自由端,本構關系采用理想彈塑性模型,材料服從Von Mises屈服準則。

馮·米塞斯在1913年提出了Von Mises屈服準則,他指出當某一點應力狀態(tài)對應的畸變能達到某一極限值時,該點便產(chǎn)生屈服,或者說材料處于塑性狀態(tài)時,等效應力始終是一個不變的定值,與應力狀態(tài)無關。當材料的單位體積形狀改變的彈性能達到某一常數(shù)時,質(zhì)點就發(fā)生屈服,故Von Mises屈服準則又稱為能量準則。服從Von Mises屈服準則的材料主要為韌性材料(如某些金屬等),當應力達到稱為屈服強度的值時,材料開始屈服,在屈服之前,材料響應可以假設為非線性彈性、黏彈性或線性彈性。

原始節(jié)點在設計工況下,最大位移0.79 mm,出現(xiàn)在支管的端面;最大等效應力150.25 MPa,出現(xiàn)在支管與球體交界處;最大主應力156.88 MPa,出現(xiàn)在支管與球體交界處;位移和應力均與理論分析相符,均在規(guī)范允許值范圍內(nèi)。

3 多約束條件下節(jié)點拓撲優(yōu)化分析

3.1 疲勞約束的處理方法

在大跨度屋面結構中,往復荷載的作用會使節(jié)點產(chǎn)生疲勞破壞,這時的強度遠沒有達到材料的設計強度值。在進行體積分數(shù)約束下最小化柔度拓撲優(yōu)化的同時,如何考慮結構的抗疲勞設計,是個不容忽視的問題,以解決節(jié)點輕量化設計與抗疲勞之間的矛盾關系。文獻[2]指出節(jié)點疲勞約束可轉化為應力約束,荷載引起的結構疲勞損傷,按照Miner理論進行計算并繪制疲勞損傷和最大應力的曲線圖,疲勞損傷為1.0時對應的最大應力即為所求的約束應力。孫云[2]69-71對鑄鋼分叉節(jié)點不同工況下的疲勞荷載譜進行整理,根據(jù)疲勞設計的要求和Miner理論,計算節(jié)點的疲勞損傷,并找到了損傷值為1.0的最大應力約為220 MPa,本文研究所取的疲勞約束值也參考這一數(shù)值。

3.2 拓撲優(yōu)化參數(shù)的設置

三分叉鑄鋼節(jié)點進行拓撲優(yōu)化設計中,有很多優(yōu)化參數(shù)會影響拓撲優(yōu)化的結果,例如懲罰系數(shù)、最小與最大成員尺寸、拔模約束、棋盤格控制等。王龍軒[4]、陳敏超[5]等對拓撲優(yōu)化的參數(shù)做了詳細的對比分析,發(fā)現(xiàn)合理設置懲罰系數(shù)可以減少中間密度值單元,使得單元密度分布更加離散,單元密度趨近于0或1,進而獲得更加精準的節(jié)點構型,對于鑄鋼分叉節(jié)點的懲罰系數(shù)常取為1～3,當懲罰系數(shù)取3時,節(jié)點質(zhì)量較高,外觀平順。拓撲優(yōu)化變密度法中常出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象,相同密度值單元呈現(xiàn)周期性分布,造成結果不準確,進行全局棋盤格控制,軟件中將opti control模塊參數(shù)CHECKER設為1.0,能夠較好地控制這一現(xiàn)象,模型也較均勻,邊界的地方也更連續(xù)。

3.3 多約束條件下三分叉形鑄鋼節(jié)點拓撲優(yōu)化

在有限元靜力分析的基礎上,利用Hyper Works軟件,定義設計目標、約束條件和設計變量,三分叉鑄鋼節(jié)點在空間結構中主要提供剛度支撐,因此設計目標函數(shù)定義為最小化柔度(最大剛度),設計變量為單元密度,體積分數(shù)40%、最大應力220 MPa為約束條件,優(yōu)化工作區(qū)域為中間球體,連續(xù)兩次的迭代計算結果差值小于給定的收斂容差時,迭代停止即優(yōu)化完成。

3.3.1 單元密度靜態(tài)分析

Hyper Works的Hyper View模塊可以直觀顯示拓撲優(yōu)化結果,優(yōu)化后的單元密度靜態(tài)云圖如圖2所示。圖2(a)為節(jié)點整體的密度靜態(tài)云圖,淺色部分為密度最大的部分予以保留,深色部分為密度最小的部分可以舍棄,支管與球體相交的位置單元密度均較大,沿著荷載傳遞的路徑,內(nèi)部密度較大的單元逐漸向下延伸至支座支管,如圖2(b)和圖2(c)所示,單元分布合理,符合力的傳遞流線,內(nèi)部形成荷載傳遞骨架,最大程度的發(fā)揮材料的力學性能,優(yōu)化后的球體外側普遍為深色,密度值較小,材料貢獻率低。

3.3.2 單元密度等值面分析

Hyper Works的Hyper View模塊可以直觀顯示拓撲優(yōu)化結果,優(yōu)化后的單元密度等值面如圖3所示。將結果類型設為單元密度,均值方法采用simple,show values設為above,調(diào)整Current value進度條即可觀察不同密度閾值的等值面圖。

單元密度等值面可以直觀地反映密度大于某數(shù)值時的材料分布,顏色的深淺代表留下的單元均為密度大于此閾值,可以反映當前的拓撲構型,當單元密度不小于0.9時,剩下的基本都是貢獻率大的深色單元,如圖3所示。材料分布和荷載傳遞情況明顯,深色部分代表鑄鋼節(jié)點的主要受力核心區(qū)域,選定為初步的拓撲優(yōu)化結果,并對新構型節(jié)點進行靜力學分析。

4 拓撲優(yōu)化模型選擇及靜力分析

由密度法原理并參考相關文獻可知,當單元密度不小于0.9時,材料的利用率很高,結構剛度最大,傳力路徑最簡單高效[4]41-42。在OSSmooth模塊中進行拓撲優(yōu)化模型的后處理,取threshold為0.9,可以獲得較為光滑的拓撲模型,如圖4所示。

保持荷載大小和約束條件不變,對拓撲優(yōu)化節(jié)點進行靜力學分析,拓撲構型的新節(jié)點最大位移0.87 mm,較原始節(jié)點增大4.46%;最大等效應力164.87 MPa,較原始節(jié)點增大9.73%;最大主應力186.26 MPa,較原始節(jié)點增大18.72%;質(zhì)量約為1.4 t,較原始節(jié)點質(zhì)量2.8 t降低49%,節(jié)點減重明顯。結果表明,拓撲優(yōu)化節(jié)點的位移和等效應力等雖有增大,但增大幅度不大,且均在材料強度范圍內(nèi),證明了拓撲優(yōu)化節(jié)點在多約束條件下能夠大幅減輕節(jié)點自重且保持良好力學性能,在保證節(jié)點抗疲勞設計的同時,應力分布更加均勻合理,材料利用率顯著提高,達到了輕量化設計的目標。

5 結論與展望

1)通過將抗疲勞設計問題轉化為應力約束,解決了疲勞問題與節(jié)點輕量化之間的矛盾,并參考相關文獻,得出三分叉鑄鋼節(jié)點的疲勞約束應力值。在考慮體積分數(shù)約束的同時,施加應力約束,實現(xiàn)了節(jié)點的多約束拓撲優(yōu)化結果,更加符合實際工程問題的要求。

2)多約束條件得出的拓撲優(yōu)化節(jié)點,在大幅度減輕節(jié)點重量的同時,節(jié)點的主要靜力學性能并沒有較大程度的下降,節(jié)點輕量化設計的同時,也滿足節(jié)點的剛度和強度的要求,可為此類空間結構節(jié)點概念設計階段提供一定的參考。

3)拓撲優(yōu)化后的新節(jié)點往往造型豐富,傳統(tǒng)的制造工藝生產(chǎn)困難,隨著增材制造技術的推廣,可以實現(xiàn)拓撲構型的智能化制造,拓撲優(yōu)化和增材制造技術的緊密結合也是未來節(jié)點智能制造的發(fā)展趨勢[6-7]。隨著人工智能技術的飛速發(fā)展,將AI算法融入到拓撲優(yōu)化設計中是未來的發(fā)展趨勢,為拓撲優(yōu)化帶來了新的生機,實現(xiàn)空間結構節(jié)點的智能化選型和設計[8-9]。