胡延平，陳志鵬，尹浩然，李旭辰

(合肥工業(yè)大學機械工程學院，安徽合肥 230009)

0 前言

齒輪泵結(jié)構(gòu)簡單，可靠性高，操作維護方便，被廣泛用來作為液壓系統(tǒng)的液壓源。自工業(yè)2.0～4.0以來，齒輪泵是眾多學者研究的對象，但由于泵內(nèi)部嚙合齒輪本身結(jié)構(gòu)特點的限制，在其基本結(jié)構(gòu)設計方面的研究并沒有取得較大的進展與成果[1-2]。近年來，國內(nèi)外針對齒輪泵的相關研究主要集中在以下兩方面：(1)齒輪泵結(jié)構(gòu)的參數(shù)化研究；(2)多齒輪泵結(jié)構(gòu)原理研究[3-8]。

目前學者對三極、四極并聯(lián)齒輪泵的研究已經(jīng)比較深入，而對更多極的并聯(lián)齒輪泵研究較少。為此，本文作者設計一六極并聯(lián)齒輪泵并進行參數(shù)優(yōu)化。首先，分析其結(jié)構(gòu)及工作原理；之后，分析瞬態(tài)流量特性曲線；再后，借助MATLAB對目標數(shù)學模型進行優(yōu)化；最后，對相同理論流量和額定進出口壓差下的六極并聯(lián)齒輪泵及普通外嚙合齒輪泵進行瞬態(tài)流量仿真和齒輪泵特性計算，并將結(jié)果進行對比分析，以證明該類型的六極并聯(lián)齒輪泵可滿足對齒輪泵高壓力、低脈動、低噪聲的要求，并為多齒輪泵的設計及原理研究提供參考。

1 結(jié)構(gòu)與工作原理

六極并聯(lián)齒輪泵的齒輪嚙合分布情況如圖1所示：在齒輪泵的殼體中心安裝1個主動輪，在主動輪的周圍均布6個尺寸參數(shù)相同的從動輪。當電動機驅(qū)動齒輪泵旋轉(zhuǎn)，假設主動輪繞轉(zhuǎn)軸中心逆時針旋轉(zhuǎn)，則與其相嚙合的6個從動輪在主動輪的驅(qū)動下分別繞自身的軸心順時針旋轉(zhuǎn)。

圖1 六極并聯(lián)齒輪泵原理

每對嚙合齒輪副的兩側(cè)分別在泵的殼體上開有吸油腔和排油腔，當主動輪和每個從動輪嚙合轉(zhuǎn)動時，殼體空腔內(nèi)便會形成密閉空間，借助于嚙合齒輪相互轉(zhuǎn)動時齒間容積的變化來實現(xiàn)吸油和排油動作。因此，從理論上看，該六極并聯(lián)齒輪泵相當于6個普通齒輪泵的并聯(lián)。

2 瞬態(tài)流量建模

文獻[9]中具有一對漸開線直齒圓柱齒輪的普通外嚙合齒輪泵的瞬態(tài)流量公式推導如下：

(1)

將變量代入式(1)并化簡，得：

(2)

為方便以下步驟的計算，?。?/p>

(3)

若6個從動輪如圖1所示分布，當主動輪齒數(shù)為6k±1(k為自然數(shù))，從動輪齒數(shù)為2k時，重疊系數(shù)取εα=1，并對該齒輪泵開雙對稱型卸荷槽，則6個從動輪的瞬態(tài)流量之間便會產(chǎn)生一定的相位差[10]，相位差大小為π/(3z2)，各從動輪瞬態(tài)流量關系圖如圖2所示。

圖2 6對嚙合齒輪的瞬態(tài)流量曲線

如圖2中所示，曲線1—6分別為每對嚙合齒輪的瞬態(tài)流量曲線，則該六極并聯(lián)齒輪泵流量公式推導如下：

曲線1：q1(t)=a1-b1φ2

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第1段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(4)

曲線1：q1(t)=a1-b1φ2

曲線2：q2(t)=a1-b1[φ-π/(3z2)]2

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

曲線6：q6(t)=a1-b1[φ+π/(3z2)]2

第2段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(5)

曲線1：q1(t)=a1-b1φ2

曲線2：q2(t)=a1-b1[φ-π/(3z2)]2

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第3段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(6)

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第4段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(7)

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第5段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(8)

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第6段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(9)

結(jié)合式(4)—(9)可知該泵在一個周期內(nèi)的瞬態(tài)流量為

(10)

由式(10)可知該齒輪泵的瞬態(tài)流量曲線是以T=π/(3z2)為周期的周期函數(shù)，且瞬態(tài)流量的極大值、極小值及瞬態(tài)流量均值分別為

(11)

3 優(yōu)化設計

本文作者以公稱排量q=360 mL/r，進出口壓差Δp=25 MPa；額定轉(zhuǎn)速n1=2 000 r/min；容積效率ηVB=95%的齒輪泵參數(shù)設計該六極并聯(lián)齒輪泵。

3.1 建立多目標函數(shù)

3.1.1 流量脈動系數(shù)δ

流量脈動系數(shù)是描述齒輪泵流量脈動大小的參數(shù)，流量脈動系數(shù)過大，將導致整體液壓系統(tǒng)壓力和速度的不穩(wěn)定，引發(fā)噪聲。結(jié)合式(11)可得出流量脈動系數(shù)的表達式如下：

(12)

3.1.2 流量脈動頻率fQ

齒輪泵的流量脈動頻率是指齒輪泵在單位時間內(nèi)的流量脈動次數(shù)。齒輪泵每轉(zhuǎn)過一個齒時產(chǎn)生一次流量脈動[11]，即：

(13)

3.1.3 泵體體積V

為了降低生產(chǎn)成本及泵體質(zhì)量，還應以齒輪泵的體積最小為設計優(yōu)化目標。對于該齒輪泵，泵體體積主要由齒輪泵殼體上7個齒輪齒頂圓裝配孔決定，因此在實際運算中，可將泵殼體上7個齒輪齒頂圓裝配孔的體積V作為目標函數(shù)之一[12]。

該六極并聯(lián)齒輪泵的齒頂圓裝配油孔示意如圖3所示。在齒輪泵的殼體中，齒頂圓裝配孔的體積V就是圖示中7個齒輪安裝孔相交后的面積St和齒寬B的乘積，即：

圖3 裝配孔面積示意

V=St·B

(14)

圖3中：ra1為主動輪齒頂圓半徑，ra1=m(z1+2)/2；ra2為從動輪齒頂圓半徑，ra2=m(z2+2)/2。

如圖3所示的7個齒輪齒頂圓裝配孔相交后的面積St可分為S、Si(i=1，2，…，6)7部分，由于Si各部分的尺寸和形狀完全相同，則有：

根據(jù)圖3中所示的裝配位置關系，將未知變量代入式(14)并化簡，得：

(15)

每個目標函數(shù)對齒輪泵的性能影響程度不同，影響程度從大到小依次為：流量脈動系數(shù)、齒輪泵體積、流量脈動頻率[13]，故分別取流量脈動系數(shù)、流量脈動頻率、齒輪泵體積的影響因子pj(j=1，2，3)分別為0.6、0.1、0.3，即：

f(X)=0.6δ+0.1fQ+0.3V

(16)

3.2 選取設計變量

齒輪是齒輪泵的核心零部件，而決定齒輪零件參數(shù)的主要是其齒數(shù)、模數(shù)和齒寬。在工程設計中，因齒輪材料、精度等級、載荷條件對目標函數(shù)無明顯影響，所以常取其為定量，由此來限制設計變量個數(shù)[14]。故對于該齒輪泵問題，綜合考慮其整體性能和齒輪加工工藝等因素，并結(jié)合式(12)(13)(15)選取z1、z2、m、B為設計變量，即：

X=[x1x2x3x4]T=[z1z2mB]T

(17)

3.3 確定約束條件

3.3.1 齒數(shù)約束

主動輪上有6個嚙合區(qū)和6個壓力過渡區(qū)，每個嚙合區(qū)至少應有2個齒參與嚙合過程，每個壓力過渡區(qū)至少應有3個齒。按上述要求，則有z1min=6×3+6×2=30，又由文獻[10]可知，當z1=6N±1時，齒輪泵的流量特性最好，因而主動輪的最小可能齒數(shù)z1min=31。

從動輪上有1個嚙合區(qū)和1個壓力過渡區(qū)，因此從動齒輪最少齒數(shù)z2min=5。對于傳動齒輪，當其齒數(shù)小于17時，利用范成法加工標準漸開線直齒圓柱齒輪會產(chǎn)生根切現(xiàn)象，而適當?shù)母杏欣诰徑獗皿w困油現(xiàn)象，所以在齒輪參數(shù)設計時允許有少量根切的存在，可按齒數(shù)必須大于等于14進行約束。即：

(18)

3.3.2 模數(shù)約束

幾何排量一定的條件下，減小齒數(shù)z和增大模數(shù)m都是減小齒輪泵幾何尺寸的有效實施辦法。該六級并聯(lián)齒輪泵相較于傳統(tǒng)齒輪泵，其模數(shù)取值范圍可以適量放寬，但同時對于做動力傳輸?shù)凝X輪，應避免其模數(shù)太小，所以取模數(shù)大于等于2 mm，即：

g2(X)=2-x3≤0

(19)

3.3.3 幾何結(jié)構(gòu)約束

在輪系設計中，為了保證齒輪傳動過程中從動齒輪輪齒不發(fā)生碰撞和干涉，根據(jù)圖1中所示的齒輪嚙合幾何結(jié)構(gòu)，要求主、從動齒輪嚙合中心距大于等于2個從動輪齒頂圓半徑之和，即a≥2ra2，化簡得：

g3(X)=2-x1/2+x2/2≤0

(20)

3.3.4 流量誤差約束

(21)

3.3.5 速度約束

為了防止氣蝕，保證泵的吸入能力，減小振動和噪聲，齒輪的節(jié)圓圓周線速度應不大于最大允許節(jié)圓線速度，即

(22)

其中：[vmax]為齒輪最大允許的節(jié)圓線速度，對于7級精度的直齒圓柱齒輪，一般工程實際要求[vmax]=10 m/s。

3.3.6 齒面接觸疲勞強度

對于外嚙合直齒圓柱齒輪泵，傳動齒輪的齒面接觸疲勞強度應滿足

(23)

其中：σH1為主動輪齒面接觸疲勞強度；σH2為從動輪齒面接觸疲勞強度；[σH]為齒輪的許用齒面接觸疲勞強度，[σH]=660 MPa。

3.3.7 齒根彎曲疲勞強度

傳動齒輪的齒根彎曲疲勞強度應滿足：

(24)

其中：σF1為主動輪齒根彎曲疲勞強度；σF2為從動輪齒根彎曲疲勞強度；[σF]為齒輪的許用齒根彎曲疲勞強度，[σF]=398 MPa。

3.3.8 齒寬約束

由齒輪泵幾何排量qBv=2kπm2zB可知：增大齒寬B有利于增大幾何排量qBv和提高容積效率ηVB，但齒寬過大會使齒輪所受徑向力和軸承負荷過大。齒寬的取值一般根據(jù)模數(shù)大小確定，工程實際中要求6m≤B≤8m，對于該多極并聯(lián)齒輪泵，其齒輪齒寬比可適量放寬，取10m≤B≤15m即：

(25)

3.4 優(yōu)化實例與分析

3.4.1 優(yōu)化實例

根據(jù)該六極并聯(lián)齒輪泵結(jié)構(gòu)，取相應設計變量初始化值X0，并利用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)對上述數(shù)學模型進行優(yōu)化迭代求解。變量初值X0及優(yōu)化結(jié)果X見表1。

表1 設計變量初始值及優(yōu)化結(jié)果

對表1中的優(yōu)化結(jié)果X的值進行校正：由于主動輪和從動輪齒數(shù)應滿足相應齒數(shù)約束要求，所以取主動輪齒數(shù)z1=36，從動輪齒數(shù)z2=14；其次，齒輪模型要符合國標值，取模數(shù)m=2.75 mm；前3個變量已經(jīng)確定，根據(jù)流量要求計算齒寬并圓整為：B=35 mm。

3.4.2 優(yōu)化分析

利用MATLAB軟件分別對相同理論流量下的普通外嚙合齒輪泵(當齒輪參數(shù)取z1=z2=22、m=8 mm、B=27 mm時，齒輪泵流量特性最好)及優(yōu)化前、后的六極并聯(lián)齒輪泵進行瞬態(tài)流量仿真。仿真結(jié)果如圖4所示，優(yōu)化后六極并聯(lián)齒輪泵瞬態(tài)流量局部放大圖如圖5所示，齒輪泵性能參數(shù)見表2。

表2 齒輪泵性能參數(shù)

圖4 齒輪泵瞬態(tài)流量曲線

圖5 優(yōu)化后六極并聯(lián)齒輪泵瞬態(tài)流量局部放大圖

由圖4、圖5可知：與普通外嚙合齒輪泵相比較，該六極并聯(lián)齒輪泵的瞬態(tài)流量周期更短，流量脈動更穩(wěn)定，瞬態(tài)流量的最大、最小值之差更小。優(yōu)化后的六極并聯(lián)齒輪泵流量最大值為7.289×108mm3/min，流量最小值為7.268×108mm3/min，瞬態(tài)流量均值為7.278 5×108mm3/min，流量誤差為1.09%。

由表2可知：優(yōu)化后該六級并聯(lián)齒輪泵的流量脈動系數(shù)為0.094 33%，是普通外嚙合齒輪泵流量脈動系數(shù)的0.95%；齒輪泵體積是普通外嚙合齒輪泵體積的40.42%；從動輪側(cè)面積是普通外嚙合齒輪泵從動輪側(cè)面積的26.52%。流量脈動系數(shù)的減小，有利于維持齒輪泵壓力和速度的穩(wěn)定，降低齒輪泵噪聲、振動等問題；齒輪泵體積的減小，有利于節(jié)約生產(chǎn)制造成本以及降低普通泵的質(zhì)量。

從動輪側(cè)面積S=πz2mB的大小與泵所受的徑向力大小成正比關系。由表2可知六極并聯(lián)齒輪泵的從動輪側(cè)面積比普通外嚙合齒輪泵的從動輪側(cè)面積小，因此該六極并聯(lián)齒輪泵相應的徑向力就小，并且由于結(jié)構(gòu)上的對稱性，所以該齒輪泵主動輪所受的齒輪嚙合力及徑向液壓力是平衡的。可見六極并聯(lián)齒輪泵對減小齒輪泵流量脈動、減小泵的制造成本和質(zhì)量、減小泵體振動和噪聲、提高工作性能及力學性能、提高使用壽命等方面有著重要作用。

4 結(jié)論

(1)本文作者先推導六極并聯(lián)齒輪泵的瞬態(tài)流量曲線函數(shù)，并建立多目標函數(shù)，再借助MATLAB優(yōu)化工具箱進行參數(shù)優(yōu)化，最后進行流量特性仿真及分析。

(2)優(yōu)化后的六極并聯(lián)齒輪泵流量誤差為1.09%，其流量脈動系數(shù)、齒輪泵體積和從動輪側(cè)面積分別是普通外嚙合齒輪泵的0.95%、40.42%、26.52%，理論上減小了制造成本，提高了流量脈動品質(zhì)，提高了齒輪泵的工作性能及使用壽命。

(3)經(jīng)過理論分析，該種齒輪泵較普通外嚙合齒輪泵的流量脈動低，且具有中心輪徑向力平衡、傳動平穩(wěn)性高、體積小等優(yōu)點，可廣泛運用在高壓、大排量、工作環(huán)境惡劣以及對傳動平穩(wěn)性和流量品質(zhì)要求較高的場合，比如可用作紡絲計量泵、熔體泵，以及可用于機床的多點潤滑上。