王明海，張威，劉香辰

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110136；2.沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空制造工藝數(shù)字化國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，遼寧沈陽(yáng) 110136；3.沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110136)

0 前言

近年來(lái)，機(jī)械臂制孔在航空工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越普遍，隨著機(jī)器人技術(shù)的不斷進(jìn)步，對(duì)其加工精度也提出了更高的要求。然而工業(yè)機(jī)器人固有的弱剛性卻嚴(yán)重阻礙了行業(yè)的發(fā)展，故提升其作業(yè)剛度、保證工件加工質(zhì)量很必要。針對(duì)此問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)在工業(yè)機(jī)器人剛性方面做過(guò)相關(guān)探索，CVITANIC等[1]利用靜態(tài)和動(dòng)態(tài)剛度模型對(duì)不同切割場(chǎng)景下的機(jī)器人姿態(tài)優(yōu)化進(jìn)行了比較研究，結(jié)果表明優(yōu)化可減少執(zhí)行器偏轉(zhuǎn)，但不能使其回落到可重復(fù)性范圍內(nèi)。華中科技大學(xué)的楊靖等人[2]提出一種對(duì)銑削機(jī)器人主剛度定向的方法，深入研究機(jī)械臂的冗余度，改進(jìn)加工位姿以減少銑削過(guò)程的顫振。XIONG等[3]提出機(jī)械臂冗余度，采用離散搜索方法將五軸刀具數(shù)控路徑轉(zhuǎn)換為六軸工業(yè)機(jī)器人軌跡進(jìn)行優(yōu)化。陳欽韜等[4]將銑削力橢圓平面的各向同性度作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行位姿優(yōu)化，使被加工件銑削平面度提升45%。諸多學(xué)者對(duì)工業(yè)機(jī)器人奇異問(wèn)題、剛度辨識(shí)、誤差補(bǔ)償?shù)榷歼M(jìn)行了相關(guān)理論研究，但針對(duì)鉆鉚機(jī)器人實(shí)際工況下剛度優(yōu)化探索較少。本文作者以位姿的調(diào)整為切入點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際，利用改進(jìn)后的智能優(yōu)化算法，對(duì)串聯(lián)機(jī)器人重載下的整體剛度進(jìn)行深入研究，并證實(shí)了其有效性。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以清晰表示工業(yè)機(jī)器人加工時(shí)所處位姿，反映機(jī)械臂連桿間的幾何關(guān)系。本文作者以KUKA KR600 R2830型工業(yè)機(jī)器人為例進(jìn)行研究，該型號(hào)機(jī)器人本體質(zhì)量約2 650 kg，額定負(fù)載為6 000 N，負(fù)載高、工作范圍大，姿態(tài)重復(fù)精確度可達(dá)±0.08 mm，使其適用于高精密、大負(fù)載條件下制孔加工任務(wù)。機(jī)器人整體結(jié)構(gòu)由6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成，稱(chēng)為串聯(lián)工業(yè)六自由度機(jī)器人，可以采用改進(jìn)的D-H法[5]來(lái)建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，對(duì)機(jī)器人參數(shù)化。圖1所示為機(jī)器人在進(jìn)行板類(lèi)部件鉆鉚作業(yè)時(shí)的場(chǎng)景。

圖1 工業(yè)機(jī)器人鉆鉚

依照工業(yè)機(jī)器人作業(yè)位姿在其關(guān)節(jié)連接部位創(chuàng)建笛卡爾坐標(biāo)系，根據(jù)連桿數(shù)據(jù)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型，如圖2所示。參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 機(jī)器人D-H參數(shù)

圖2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

模型中的4個(gè)關(guān)鍵參數(shù)為ai-1、αi-1、di和θi，分別是連桿長(zhǎng)度、連桿扭轉(zhuǎn)角、連桿偏距和關(guān)節(jié)角。坐標(biāo)系{i}可以由坐標(biāo)系{i-1}經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)或平移運(yùn)動(dòng)變換得到，將4步轉(zhuǎn)換矩陣連乘可以獲得兩相鄰連桿間的變換關(guān)系，可寫(xiě)為

i-1iT=R(X，αi-1)T(X，αi-1)R(Z，θi)

T(Z，di)=

(1)

1.2 雅可比矩陣

雅可比矩陣的數(shù)學(xué)意義是表示從機(jī)器人關(guān)節(jié)速度到機(jī)器人末端操作速度的一種映射關(guān)系[6]，需要注意的是該廣義傳動(dòng)比非定值。雅可比矩陣的求解方法通常有矢量積法[7]和微分變換法，本文作者通過(guò)對(duì)比兩種方式編程及結(jié)果的復(fù)雜度優(yōu)先選用矢量積法進(jìn)行計(jì)算。假設(shè)機(jī)器人末端線速度和角速度分別用v和ω表示，則關(guān)節(jié)速度與末端速度的關(guān)系如式(2)所示：

(2)

(3)

綜上得到KUKA機(jī)器人的雅可比矩陣公式為

(4)

由公式(4)可以在MATLAB中編程求解R2830型機(jī)器人雅可比矩陣。

2 機(jī)器人剛度性能分析

2.1 剛度模型

剛度反映的是機(jī)械臂在外力作用下抵抗變形的能力，關(guān)節(jié)剛度、連桿剛度以及所處位姿都影響機(jī)器人末端操作剛度[8]。在大負(fù)載條件下，由連桿變形所造成的末端變形遠(yuǎn)小于關(guān)節(jié)所造成的末端變形，為簡(jiǎn)化計(jì)算可將機(jī)器人連桿視為剛性，在此條件下機(jī)械臂末端操作剛度僅與各關(guān)節(jié)剛度和所處位姿相關(guān)。在這一假設(shè)下，討論機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度與末端操作剛度之間的關(guān)系，討論機(jī)器人末端變形與末端受力之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，從而得到機(jī)器人的末端操作剛度模型為

F=J-TKθJ-1X

(5)

其中：F為末端力矢量；J為雅可比矩陣；Kθ為關(guān)節(jié)剛度矩陣；X為末端變形矢量。將式(5)變形處理可得：

(6)

整理后得：

(7)

2.2 機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度辨識(shí)

針對(duì)工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度獲取，主要有以下兩種方法：(1)通過(guò)對(duì)關(guān)節(jié)處伺服電機(jī)、減速器等部件的結(jié)構(gòu)、材料、規(guī)格等數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算[9]，求其等效剛度值。(2)設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)剛度辨識(shí)實(shí)驗(yàn)[10]，處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算剛度值。其中方法一過(guò)于理想化，機(jī)器人關(guān)節(jié)部件的各項(xiàng)參數(shù)很難獲得且計(jì)算繁瑣，故選擇方法二求解工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度。

式(6)為關(guān)節(jié)剛度識(shí)別實(shí)驗(yàn)的原理，加工時(shí)由扭矩造成的旋轉(zhuǎn)位移較小，可忽略不計(jì)，故辨識(shí)實(shí)驗(yàn)只取變形的前3項(xiàng)即末端平移位移[dx，dy，dz]T進(jìn)行計(jì)算[11]。辨識(shí)實(shí)驗(yàn)所搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示，其中激光跟蹤儀型號(hào)為Radian Core(50)，測(cè)力儀為瑞士KISTLER及配套Dynoware軟件。實(shí)驗(yàn)中激光跟蹤儀和測(cè)力儀所測(cè)得的數(shù)據(jù)均是在自身坐標(biāo)系原點(diǎn)處，故先將激光跟蹤儀坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至機(jī)器人基坐標(biāo)系下，測(cè)力儀還需二次轉(zhuǎn)換至機(jī)器人末端法蘭中心處進(jìn)行標(biāo)定。

圖3 關(guān)節(jié)剛度辨識(shí)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

通過(guò)測(cè)量工業(yè)機(jī)器人在多個(gè)位姿時(shí)的末端變形及力矢量代入式(7)，利用最小二乘法[12]在MATLAB中進(jìn)行編程可以求得機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度矩陣Kθ。求解出的工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)剛度如表2所示。

表2 工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度 單位：N·m·rad-1

3 基于位姿的剛度性能優(yōu)化

3.1 剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

機(jī)器人末端操作剛度Kx為六階矩陣，是一張量測(cè)度[13]，故需一準(zhǔn)確值來(lái)表述機(jī)器人末端的剛度特性。工業(yè)機(jī)器人剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)[14]有3種，分別是矩陣瑞利熵、變形橢球(剛度橢球)和力橢球(柔度橢球)[14]。在使用力橢球進(jìn)行計(jì)算時(shí)，無(wú)需計(jì)算雅可比矩陣的逆，計(jì)算較為簡(jiǎn)便且易編程，故選擇力橢球作為剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。將式(5)展開(kāi)并經(jīng)變形處理可得：

(8)

由于機(jī)器人末端在外力下的扭轉(zhuǎn)變形量遠(yuǎn)小于位移變形量且無(wú)法精確測(cè)得，故省略扭轉(zhuǎn)變形[15]，將δ設(shè)為0，由式(8)可得：

d=cfd·f

(9)

其中：

cfd=

(10)

假設(shè)機(jī)械臂法蘭端受到外力作用時(shí)造成單位變形，即d=1，可得：

(11)

通過(guò)分析可知，式(11)表示一橢球體，其方程可以寫(xiě)為

(12)

借助蒙特卡洛法可以求解工業(yè)機(jī)器人的工作空間及空間內(nèi)的剛度性能[16]，原理是利用機(jī)器人末端所能達(dá)到所有點(diǎn)的集合來(lái)表征機(jī)器人可達(dá)空間，如圖4所示。

圖4 機(jī)器人工作空間云圖

結(jié)合柔度矩陣及剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，在MATLAB中編程仿真可以得到機(jī)器人工作空間剛度性能云圖如圖5所示，圖中藍(lán)色較深區(qū)域工業(yè)機(jī)器人剛度性能指標(biāo)較優(yōu)，故所處位姿末端剛度較高，故機(jī)器人在加工時(shí)應(yīng)盡量選擇末端處于藍(lán)色區(qū)域的位姿進(jìn)行加工。

圖5 剛度性能云圖(xOz向)

3.2 算法優(yōu)化模型

尋求最優(yōu)解即求函數(shù)極值的問(wèn)題，重點(diǎn)在于3個(gè)關(guān)鍵條件的建立，即數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計(jì)變量及約束條件。下面以工業(yè)機(jī)器人作業(yè)時(shí)剛度性能最大化為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，解決此優(yōu)化問(wèn)題的基本思想是通過(guò)整個(gè)可達(dá)空間中各個(gè)位姿之間的協(xié)作和信息共享來(lái)尋找最優(yōu)位姿。選用粒子群算法的原因在于其思想簡(jiǎn)單，求解過(guò)程迅速。建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，選擇柔度矩陣cfd的最大特征值λmax作為剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)k，λmax的值越小，機(jī)器人末端產(chǎn)生單位變形所需最小外力越大，機(jī)器人剛度性能越好，反之剛度性能越差。

機(jī)器人所處位姿與關(guān)節(jié)角度相關(guān)，故變量為關(guān)節(jié)角θ。其中θ1及θ6對(duì)工業(yè)機(jī)器人末端操作剛度無(wú)影響[17]，θ2及θ3主要影響機(jī)械臂末端位置，θ4及θ5主要影響末端方向。在自動(dòng)化鉆鉚系統(tǒng)中，工業(yè)機(jī)器人多配備滑軌進(jìn)行作業(yè)，θ4對(duì)末端位置及方向的影響可以通過(guò)機(jī)械臂在滑軌上的平移替代。由此粒子群優(yōu)化算法中自變量的個(gè)數(shù)可以減少為3個(gè)，可加快算法求解速度。

將關(guān)節(jié)角上下限作為界限約束，規(guī)定變量取值范圍。實(shí)際工況下機(jī)械臂末端刀具頂點(diǎn)C需與工件作業(yè)點(diǎn)P重合，令點(diǎn)C在基坐標(biāo)系{B}中的表達(dá)為[Cx，Cy，Cz]T，點(diǎn)P在基坐標(biāo)系{B}中的表達(dá)為[Px，Py，Pz]T，則需保證：

ΔH1=(Cx-Px)2+(Cy-Py)2+(Cz-Pz)2

(13)

其次刀具軸線與目標(biāo)點(diǎn)法方向需一致，故刀具坐標(biāo)系{C}相對(duì)于基坐標(biāo)系{B}與目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)系{P}相對(duì)于基坐標(biāo)系{B}的位姿偏差[Δax，Δay，Δaz]T為0，如下：

ΔH2=(Δax)2+(Δay)2+(Δaz)2

(14)

故可將工作中末端姿態(tài)偏差H(θ)作為性態(tài)約束，可得機(jī)器人數(shù)學(xué)模型為

(15)

3.3 優(yōu)化算法

粒子群算法(PSO)操作簡(jiǎn)單、收斂速度快，在函數(shù)優(yōu)化中全局最優(yōu)解搜索能力較強(qiáng)，故選擇粒子群算法進(jìn)行計(jì)算。算法具體流程如圖6所示。

圖6 粒子群算法流程

優(yōu)化參數(shù)中迭代次數(shù)設(shè)為1 000，自變量個(gè)數(shù)n=3，設(shè)置群體粒子個(gè)數(shù)N=100并隨機(jī)初始化每個(gè)個(gè)體的速度和位置。定義適應(yīng)度函數(shù)，個(gè)體極值是第i個(gè)粒子搜尋到的最優(yōu)位置，全部個(gè)體極值的最優(yōu)解為此次全局最優(yōu)解，結(jié)果與歷史全局最優(yōu)解進(jìn)行比對(duì)，然后更新。此次計(jì)算ω取0.8，C1和C2取2。粒子速度、位置迭代的公式為

v(i+1)i=ωvid+C1rand(0,1)(Pid-xid)+C2rand(0,1)(Pgd-xid)

(16)

x(i+1)d=xid+vid

(17)

3.4 優(yōu)化結(jié)果

設(shè)計(jì)好算法相關(guān)參數(shù)和流程后，可以在MATLAB中編寫(xiě)程序求解，最終得到最優(yōu)位姿。為了驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的正確性，參照工業(yè)機(jī)器人鉆鉚作業(yè)實(shí)況，隨機(jī)選取一組機(jī)器人關(guān)節(jié)角結(jié)合上述優(yōu)化算法進(jìn)行求解，得到優(yōu)化后的工業(yè)機(jī)器人加工位姿(關(guān)節(jié)角配置)，迭代結(jié)果如圖7所示。

圖7 位姿優(yōu)化迭代過(guò)程

根據(jù)鉆鉚工業(yè)機(jī)器人實(shí)際工況隨機(jī)選擇一組關(guān)節(jié)角(見(jiàn)表3)與算法優(yōu)化后的關(guān)節(jié)角進(jìn)行末端理論變形量的對(duì)比，將兩組關(guān)節(jié)角分別代入式(9)并假設(shè)在末端施加z軸方向的力F=100～1 100 N，圖8為優(yōu)化前后末端變形量的對(duì)比?？梢园l(fā)現(xiàn)：優(yōu)化后的末端變形量更小，效果明顯，優(yōu)化程度在60%以上且精度可以控制在0.03 mm以?xún)?nèi)，驗(yàn)證了改變加工位姿對(duì)提升工業(yè)機(jī)器人末端剛度的有效性，且可使加工孔位精度小于0.5 mm，法向精度小于0.5°，滿(mǎn)足了飛機(jī)對(duì)制孔位置的要求。

表3 優(yōu)化前后關(guān)節(jié)角及剛度參數(shù)

圖8 位姿優(yōu)化前、后變形量

由表3可知KUKA KR600 R2830型串聯(lián)機(jī)械臂剛度最大時(shí)關(guān)節(jié)角的準(zhǔn)確值，可為機(jī)器人作業(yè)時(shí)加工位姿的選擇提供參考。在SolidWorks中繪制工業(yè)機(jī)器人模型并導(dǎo)出到MATLAB中，可清晰表達(dá)工業(yè)機(jī)器人剛度最優(yōu)的位姿，如圖9所示。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)六自由度機(jī)械手進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、工作空間分析及剛度分析，采用參數(shù)優(yōu)化后的粒子群算法來(lái)尋找機(jī)器人剛度最大的加工位姿，減小機(jī)械臂末端變形，優(yōu)化機(jī)器人的加工質(zhì)量，保證工業(yè)機(jī)器人在高精度、大負(fù)載條件下的加工剛度，而且考慮實(shí)際工況改良的優(yōu)化方法適用于同類(lèi)型各種型號(hào)的串聯(lián)機(jī)器人。在航空航天部件鉆鉚加工中，面對(duì)配備大負(fù)載末端執(zhí)行器或加工合金或復(fù)合材料工況時(shí)，通過(guò)調(diào)整工業(yè)機(jī)器人的位姿來(lái)提高剛度，滿(mǎn)足加工精度要求，既節(jié)省資源又有良好的優(yōu)化作用。其中的分析過(guò)程可為后續(xù)研究提供基礎(chǔ)。