宋國慶，趙成浩，袁俊杰，張忠海，何廣平

(1.北方工業(yè)大學(xué)機械與材料工程學(xué)院，北京 100144；2.北京航天測控技術(shù)有限公司，北京 100041)

0 前言

近年來，超冗余蛇形空間機器人具有高度的可操作性、靈活性和良好的動力學(xué)性能，在學(xué)術(shù)界和工業(yè)界引起了極大的興趣。比較傳統(tǒng)機器人，超冗余蛇形空間機器人具有眾多的自由度，能夠在狹小的空間中靈巧操作。因此，它們在檢測、維護、維修和救援等任務(wù)中擁有巨大的潛力，如核工業(yè)[1]、航空發(fā)動機維修[2]、空間站維護維修[3]、地震救援[4-5]等。

精度是描述機器人工作性能的關(guān)鍵性指標(biāo)，隨著高價值基礎(chǔ)設(shè)施對高精度檢測需求的日益增長，對蛇形空間機械臂的末端位置精度提出了更高的要求。近年來，國內(nèi)外的專家和學(xué)者針對這一問題分別從結(jié)構(gòu)設(shè)計[6-7]、運動學(xué)模型[8]、動力學(xué)模型[9-10]、控制系統(tǒng)設(shè)計[11]和軌跡規(guī)劃[12-14]等方面進行了分析，雖然已有大量提高蛇形臂末端定位精度的研究，但關(guān)于原始誤差對于蛇形臂精度影響的文獻較少。LIN等[15]針對這一問題，分析了蛇形臂關(guān)節(jié)平面繩索孔的位置誤差和繩索長度誤差對蛇形臂末端位置精度的影響，但是并未指出其余結(jié)構(gòu)參數(shù)的誤差對于末端執(zhí)行器精度的影響。從這一問題出發(fā)，蛇形空間機械臂的末端位置精度可以通過運動學(xué)標(biāo)定進行提高，一般來講可以分為以下4步[16]：(1)針對研究目標(biāo)，建立包含所有誤差源的誤差模型；(2)通過靈敏度分析，辨識出對機器人末端執(zhí)行器影響較大的誤差源；(3)利用內(nèi)部傳感器或外部測量裝置對機器人的末端位姿進行測量；(4)運用誤差辨識原理，對機器人的控制模型進行修正。

蛇形空間機器人的單個2-DOF關(guān)節(jié)為柔性繩索驅(qū)動的并聯(lián)機構(gòu)。在并聯(lián)機構(gòu)的誤差分析中，誤差建模是誤差分析和運動學(xué)標(biāo)定的基礎(chǔ)，通常來說，誤差建模方法分為以下3種：(1)矩陣全微分理論[17-18]；(2)閉環(huán)矢量法[19-20]；(3)旋量理論[21]。然后，對已建立好的誤差模型進行靈敏度分析，蒙特卡洛法[22]和靈敏度系數(shù)法[23]是兩種常用的方法。比較蒙特卡洛法，靈敏度系數(shù)法具有更加清晰的數(shù)學(xué)意義，能夠在統(tǒng)計意義上反映出蛇形臂結(jié)構(gòu)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差對于末端精度的影響[24]，為機械加工的公差設(shè)計提供理論指導(dǎo)。最后，通過運動學(xué)標(biāo)定[25-27]，對控制器中的名義運動學(xué)模型進行修正。

上述文獻表明，在大多數(shù)關(guān)于并聯(lián)機器人誤差分析的研究中，研究的對象通常是基于剛性關(guān)節(jié)驅(qū)動的具有確定輸入的并聯(lián)機器人。對于蛇形空間機械臂這一類柔性繩索驅(qū)動的具有超確定輸入的串/并聯(lián)機器人的研究中，由于約束的存在，其精度分析問題變得較為復(fù)雜。本文作者以提高柔性繩索驅(qū)動的蛇形空間機械臂末端位置精度為目標(biāo)，對單個2-DOF關(guān)節(jié)進行分析。首先，通過矩陣全微分理論建立2-DOF關(guān)節(jié)的誤差模型，并在此基礎(chǔ)上，依據(jù)全局靈敏度指標(biāo)指導(dǎo)機械臂的加工和裝配；最后，通過正則化的方法對2-DOF關(guān)節(jié)進行運動學(xué)標(biāo)定，進一步提高機械臂的末端位置精度。

1 蛇形臂空間機器人介紹

蛇形臂空間機器人具有22個自由度，包括直線導(dǎo)軌滑臺1個自由度、末端執(zhí)行器1個自由度，機械臂由10個模塊化2-DOF關(guān)節(jié)串聯(lián)，共20個自由度。蛇形臂機器人三維模型如圖1所示。由繩索驅(qū)動機械臂關(guān)節(jié)運動，控制器和驅(qū)動器被放置在機器人的上部，繩索穿過圓盤和帶有繩索導(dǎo)向管道的繩索導(dǎo)向部件，進入驅(qū)動系統(tǒng)。繩索導(dǎo)向部件整體為3D增材制造技術(shù)加工制作，通過法蘭連接到機械臂。末端執(zhí)行器具有360°旋轉(zhuǎn)功能和快裝接口，可安裝夾爪等模塊化工具集。為提高機器人的負載能力和末端執(zhí)行器的精度，機器人關(guān)節(jié)的直徑/長度的比例設(shè)計得盡可能大[28]。且根部關(guān)節(jié)為耦合驅(qū)動，頭部關(guān)節(jié)為解耦合驅(qū)動，通過宏/微操作策略，可以對機械臂的末端位置誤差進行補償。

圖1 蛇形臂機器人三維模型

機械臂由結(jié)構(gòu)完全相同的模塊化關(guān)節(jié)組成，為提高機械臂的位置精度，不失一般性，對機械臂單個2-DOF關(guān)節(jié)進行分析。圖2(a)展示了單個關(guān)節(jié)的虛擬樣機。共有驅(qū)動繩索運動的3個輸入自由度和2個輸出自由度，驅(qū)動方式為冗余驅(qū)動。模型可簡化為圖2(b)所示的機構(gòu)簡圖，該2-DOF關(guān)節(jié)由1個靜平臺、1個動平臺、1個萬向節(jié)、1根連桿以及3根結(jié)構(gòu)和性能完全相同的繩索組成。Ai為繩索與靜平臺的交點，繩索的末端點Bi連接到動平臺，3根繩索與動(靜)平臺的連接處呈120°均勻分布，O1分別被投影到動、靜平臺的點O0和點O2處，O0和O2分別為動、靜平臺的圓心。為了更好地描述2-DOF關(guān)節(jié)的運動關(guān)系，以靜平臺點O0建立全局坐標(biāo)系O0-x0y0z0，z0軸方向豎直向上，x0軸指向A1，y0軸由右手定則確定。類似地，以點O2為圓心建立動平臺的坐標(biāo)系O2-x2y2z2，z2垂直于動平臺豎直向上，x2指向點B1，y2的方向由右手定則確立。將O2-x2y2z2坐標(biāo)系向上平移至點O′，即可得到坐標(biāo)系O′-x′y′z′。

圖2 蛇形臂單個2-DOF關(guān)節(jié)

(1)2-DOF關(guān)節(jié)逆向運動學(xué)

對蛇形臂機器人2-DOF關(guān)節(jié)進行分析，機械臂的逆運動學(xué)分別包含操作空間至位形空間和位形空間至驅(qū)動空間的兩重映射關(guān)系。以萬向節(jié)十字交叉軸中心點O1為原點，建立坐標(biāo)系O1-x1y1z1，x1軸平行于x0軸，y1軸平行于y2軸，z1軸與h2共線，則O0到O1、O1到O′的坐標(biāo)變換關(guān)系可以表示為

O0TO1=T(0,0,h1)R(Y,β)

O1TO′=R(X,α)T(0,0,h2+h3)

(1)

T()和R()分別表示平移和旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣。則點O0到點O′的齊次坐標(biāo)變換矩陣可以表示為

O0TO′=O0TO1O1TO′

(2)

設(shè)cα=cosα、sα=sinα、sβ=sinβ，則2-DOF關(guān)節(jié)動平臺點O′在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可以表示為

PO′=[(h2+h3)cαsβ,-(h2+h3)sα,h1+(h2+h3)cαcβ]T

(3)

由于2-DOF蛇形機器人關(guān)節(jié)的驅(qū)動方式為冗余驅(qū)動，且x、y、z坐標(biāo)具有耦合性，由式(3)可知，當(dāng)末端執(zhí)行器位置坐標(biāo)已知時，取x坐標(biāo)和y坐標(biāo)可以反解得到關(guān)節(jié)角α和β。

(4)

繩索的長度只在單個關(guān)節(jié)的動平臺和靜平臺之間發(fā)生變化，而連桿內(nèi)部的繩索長度保持不變。因此，驅(qū)動空間到位形空間的運動學(xué)僅涉及單個關(guān)節(jié)動、靜平臺之間的區(qū)域。根據(jù)各點之間的映射關(guān)系，可以求得點O0到點O2的齊次變換為

(5)

繩索孔在基坐標(biāo)系O0-x0y0z0中的位置坐標(biāo)可以表示為

ai=(rcφi，rsφi，0，1)

(6)

繩索孔在動坐標(biāo)系O2-x2y2z2中的位置坐標(biāo)可以表示為

bi=(rcφi，rsφi，0，1)

(7)

其中：r為動/靜平臺3個繩索孔距離中心點的距離；φi(i=1,2,3)表示動/靜平臺上的第i個繩索孔和中心點連接線分別與x0和x2軸之間的夾角，呈120°均勻分布。故第i根繩索的長度為

(8)

聯(lián)立式(4)和式(8)，可以得到蛇形機器人驅(qū)動空間到工作空間單個關(guān)節(jié)的運動學(xué)逆解。

(2)2-DOF關(guān)節(jié)正向運動學(xué)

由于單個2-DOF關(guān)節(jié)為冗余驅(qū)動的并聯(lián)機構(gòu)，其正向運動學(xué)較難求解，且由式(8)可知，繩索長度到末端執(zhí)行器位置坐標(biāo)的映射關(guān)系為非線性關(guān)系，通過數(shù)值優(yōu)化的方法進行迭代求解。根據(jù)式(8)建立的數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)可以表示為

(9)

其中：Li(Θ)由式(8)確定，Θ=(α，β)為優(yōu)化變量。對于給定任意一組繩索長度l1、l2、l3，可通過數(shù)值迭代的方法，近似求解對應(yīng)的2-DOF關(guān)節(jié)角變量Θ。文中基于梯度法進行求解，其迭代公式可以表示為

Θk+1=Θk+αkpk

(10)

其中：Θk為第k次迭代的優(yōu)化變量值；αk表示優(yōu)化步長；pk表示優(yōu)化方向?；谔荻确ㄇ蠼饽┒俗藨B(tài)，優(yōu)化方向為負梯度方向，即

(11)

對于式(9)表示的非線性二次型目標(biāo)函數(shù)，利用Wolfe條件確定優(yōu)化步長αk時，通常需要進行多次迭代，以選擇適當(dāng)?shù)牟介L系數(shù)αk。采用如下自適應(yīng)機制

(12)

其中：1.2和0.2為變步長系數(shù)。通過以上的優(yōu)化迭代算法，能夠?qū)︱?qū)動空間到位形空間的正運動學(xué)進行求解。聯(lián)立式(3)，完成整個正向運動學(xué)的迭代求解。

2 蛇形臂2-DOF關(guān)節(jié)誤差分析

2.1 誤差建模

繩索驅(qū)動的單個2-DOF關(guān)節(jié)的運動學(xué)建模涉及多個空間的映射關(guān)系，且驅(qū)動方式的冗余特點給機械臂誤差模型分析帶來較大困難。對單個關(guān)節(jié)進行誤差建模，模型可簡化為包含所有誤差源的2-DOF關(guān)節(jié)，示意圖如圖3所示。根據(jù)動平臺和靜平臺之間的運動學(xué)映射，驅(qū)動空間到位形空間的逆運動學(xué)模型可以重建為

圖3 蛇形臂2-DOF關(guān)節(jié)幾何結(jié)構(gòu)誤差示意

li=[(ri,1cφi,1cβ-ri,2cφi,2+h2cαsβ+ri,1sφi,1sαsβ)2+(ri,1sφi,1cα-h2sα-r2sφi,2)2+(h1-ri,1cφi,1sβ+h2cαcβ+ri,1sφi,1cβsα)2]1/2

(13)

聯(lián)立式(4)和式(13)，可以得到該2-DOF關(guān)節(jié)驅(qū)動空間到工作空間的逆運動學(xué)模型，將其簡寫為

fi(ri，1，ri，2，h1，h2，h3，φi，1，φi，2，x，y，li)=0

(14)

其中：ri，1、ri，2、h1、h2、h3、φi，1、φi，2均為已知的結(jié)構(gòu)參數(shù)；li為輸入?yún)?shù)；x、y為2-DOF關(guān)節(jié)末端執(zhí)行器的輸出位置參數(shù)。對式(14)的所有變量進行微分得

(15)

其中：Pj(j=1，2)為2-DOF關(guān)節(jié)的位置坐標(biāo)x和y；qk(k=1，2，…，18)為不包含末端位置的18個結(jié)構(gòu)參數(shù)。聯(lián)立式(14)和式(15)，將誤差模型整理成矩陣形式，可以表示為

Jadea=Jmdqm

(16)

整理式(16)，并用結(jié)構(gòu)誤差和末端執(zhí)行器位置誤差的有限小量Δqm和Δea分別替換dqm和dea，可以得到Δqm和Δea之間的映射關(guān)系。

Δea=JeΔqm

(17)

2.2 誤差模型驗證

為了驗證結(jié)構(gòu)誤差模型的正確性，提出一種誤差模型的驗證方法。該方法對已經(jīng)建立的正確的運動學(xué)模型，引入幾何參數(shù)誤差Δqm(m=1,2,…,18)，計算末端執(zhí)行器的位置偏移量，與該結(jié)構(gòu)誤差Δqm在誤差模型中計算得到的末端位置誤差進行比較，若結(jié)果相同，則誤差模型正確；反之，則誤差模型錯誤。幾何誤差模型驗證流程如圖4所示。

圖4 幾何誤差模型驗證流程

具體步驟為：

(1)從表1中隨機選取2-DOF關(guān)節(jié)的任一位置，位置的選取要符合2-DOF關(guān)節(jié)工作空間的要求。

表1 工作空間內(nèi)的末端位置

(2)從表2中選擇任一給定誤差，為了更直觀體現(xiàn)幾何結(jié)構(gòu)誤差對于末端姿態(tài)的影響，誤差大小的選取是隨機的且通常要比設(shè)計誤差大一些。

表2 給定2-DOF關(guān)節(jié)的幾何誤差參數(shù)

(3)聯(lián)立式(4)和式(8)，計算驅(qū)動繩索的長度li。

(5)計算在該位置下的誤差影響系數(shù)矩陣Je。

(7)比較步驟(4)和步驟(6)的計算結(jié)果。

(8)返回步驟(2)，選擇另一誤差重復(fù)以上步驟。

(9)返回步驟(1)，選擇另一位置重復(fù)以上步驟。

圖5 誤差模型與運動學(xué)模型求解誤差對照

3 蛇形臂2-DOF關(guān)節(jié)誤差靈敏度分析

3.1 誤差靈敏度指標(biāo)

基于建立的誤差映射模型對結(jié)構(gòu)誤差進行靈敏度分析，能夠評估所有結(jié)構(gòu)誤差對于末端姿態(tài)的影響程度的大小。此節(jié)在統(tǒng)計意義上，定義了能夠評價各個結(jié)構(gòu)誤差對于動平臺位置誤差影響的靈敏度指標(biāo)。假定結(jié)構(gòu)誤差服從均值為零的正態(tài)分布，可以建立單個2-DOF關(guān)節(jié)的誤差模型為

(18)

式中：Δqm，i表示單個2-DOF關(guān)節(jié)第i條支鏈Δqm中的第m個元素；Je，i，m為系數(shù)矩陣Je中第i行第m列元素。則Δea的標(biāo)準(zhǔn)差可以表示為

(19)

其中：σ(Δea)可以表示由單位標(biāo)準(zhǔn)差Δqm引起的單位標(biāo)準(zhǔn)差Δea的偏離程度，因此，可以定義ωm為Δea的局部靈敏度。

(20)

由于Je，i，m與位置坐標(biāo)有關(guān)，為了評價各個結(jié)構(gòu)誤差對于指定工作空間的敏感程度，定義Je，i，k在指定工作空間V中的均值um為全局靈敏度，作為評估Δqm，k對于末端位置精度的影響系數(shù)。

(21)

3.2 誤差靈敏度分析

基于式(20)和式(21)建立的誤差靈敏度模型，對蛇形臂單個2-DOF關(guān)節(jié)進行靈敏度分析，機械臂的關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)如表3所示，根據(jù)蛇形空間機械臂的設(shè)計要求，單個2-DOF關(guān)節(jié)對應(yīng)的x、y的工作空間為(-24，24) mm。

表3 2-DOF關(guān)節(jié)主要設(shè)計參數(shù)

計算結(jié)果如圖6所示。可知：末端定位精度對于關(guān)節(jié)長度h1最為敏感，其次是繩索長度l1、l2、l3和關(guān)節(jié)長度h2、h3，繩索孔的角度φi，j對于2-DOF機械臂的影響最小。因此在設(shè)計和裝配階段，應(yīng)重點保障關(guān)節(jié)長度的設(shè)計和裝配誤差，其次應(yīng)注意繩索孔位置誤差對于末端精度的影響，繩索的長度可以通過控制進行補償。因此，在公差設(shè)計時，如果已知Δqm引起的Δea的標(biāo)準(zhǔn)差大小，則可以計算出Δqm的公差。例如，如果由σ(Δea)引起的末端執(zhí)行器誤差被限制在26 μm，那么靜平臺的關(guān)節(jié)長度h1的公差應(yīng)在±(3×26/1.477) μm范圍內(nèi)，也就是±52.81 μm，依次可以計算出所有幾何參數(shù)的公差大小。

圖6 靈敏度條形圖

4 蛇形臂2-DOF關(guān)節(jié)運動學(xué)標(biāo)定

由于存在運動學(xué)誤差，導(dǎo)致末端執(zhí)行器的實際運動與名義運動有所不同。在此節(jié)中，提出一種正則化的參數(shù)辨識方法，通過最小二乘法進行數(shù)值迭代，獲得結(jié)構(gòu)參數(shù)的幾何誤差，通過誤差辨識，補償和修正控制器中的名義運動學(xué)模型。

4.1 誤差辨識原理

根據(jù)式(17)可知，對18個結(jié)構(gòu)誤差進行辨識，至少需要9組末端執(zhí)行器的位置坐標(biāo)，誤差模型可以表示為

(22)

(23)

其中：I為單位矩陣；α為正則化參數(shù)，可通過廣義交叉驗證(GCV)和遺傳算法(GA)進行求解。由于式(23)為非線性函數(shù)，難以得到解析解，因此，可以采用Gauss-Newton數(shù)值迭代進行求解，具體流程如圖7所示。目標(biāo)函數(shù)為

(24)

圖7 數(shù)值迭代法求解幾何誤差

其中：(Xm，i，Ym，i)為第i組末端位置的測量值。通過對名義尺寸進行迭代修正，逐漸逼近真實加工尺寸，則數(shù)值迭代方法可以表示為

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(25)

4.2 數(shù)值仿真

圖8 運動學(xué)標(biāo)定仿真流程

表4 理想末端位置和標(biāo)定前后的末端位置 單位：mm Tab.4 Ideal end positions and end positions before and after calibrations Unit：mm

圖9 運動學(xué)標(biāo)定前、后位置誤差曲線

圖10 運動學(xué)標(biāo)定實驗裝置

5 實驗

在此節(jié)中，提出一種適用于蛇形空間機械臂的單個2-DOF關(guān)節(jié)的運動學(xué)標(biāo)定方法[29]，進一步驗證標(biāo)定算法的有效性。如圖 10所示，通過在關(guān)節(jié)末端安裝激光發(fā)射器，對末端發(fā)射的激光點的位置進行采集和處理，得到末端位置坐標(biāo)。與理想末端位置坐標(biāo)進行對比，能夠得到機器人的末端位置誤差。該方法不需要對基準(zhǔn)進行標(biāo)定，具有節(jié)約時間、成本低、計算簡單和易于實現(xiàn)的特點。

(1)在2-DOF關(guān)節(jié)的末端安裝激光發(fā)射器，確保激光發(fā)射器位于末端關(guān)節(jié)的中心位置且與動平臺保持豎直。

(2)在2-DOF關(guān)節(jié)的正上方水平放置網(wǎng)格板，用于接收激光筆發(fā)射的激光信號，并通過幾何方法對末端執(zhí)行器的位置信息進行放大。

(3)經(jīng)過相機采集放大后的末端位置信息，并通過ScanIt軟件對坐標(biāo)點的位置進行提取。通過幾何計算機械臂的末端位置坐標(biāo)。網(wǎng)格板的誤差為0.1 mm，末端執(zhí)行器的測量誤差為0.012 mm。

隨機生成20組末端位置，對運動學(xué)標(biāo)定算法進行驗證，運動學(xué)標(biāo)定的實驗結(jié)果如圖 11所示。運動學(xué)標(biāo)定實驗結(jié)果與仿真結(jié)果相似，從圖11可以看出：經(jīng)過運動學(xué)標(biāo)定后的最大誤差由2.19 mm降低至1.12 mm，末端位置精度得到明顯提高。在隨機選取的20組末端姿態(tài)中，標(biāo)定前x方向和y方向的平均誤差為0.23 mm和1.67 mm，標(biāo)定后的平均誤差為0.02 mm和0.3 mm，末端位置精度得到顯著提高，證明所提出的運動學(xué)標(biāo)定算法是有效的。考慮到繩索只能受拉的特點和繩索彈性變形的影響，末端的位置誤差可以通過進一步調(diào)節(jié)繩索的拉力進行調(diào)整。

圖11 給定位姿下運動學(xué)標(biāo)定前后的實驗結(jié)果

6 結(jié)論

針對高精度超冗余蛇形空間機械臂的研制，對單個2-DOF關(guān)節(jié)的幾何參數(shù)誤差進行分析，指導(dǎo)機械臂零部件的加工和裝配，從加工和裝配上對位置誤差進行控制，并通過運動學(xué)標(biāo)定，進一步提高末端執(zhí)行器的位置精度。主要工作如下：

(1) 建立了基于柔性繩索驅(qū)動的蛇形臂空間機器人單個關(guān)節(jié)的誤差映射模型，能夠準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)誤差的傳遞關(guān)系。

(2) 基于統(tǒng)計意義下對蛇形空間機械臂的單個2-DOF關(guān)節(jié)的幾何結(jié)構(gòu)誤差進行靈敏度分析，確定了6個主要幾何結(jié)構(gòu)誤差對機械臂末端位置精度影響最大，并根據(jù)全局靈敏度指標(biāo)設(shè)計各零部件的幾何公差，指導(dǎo)蛇形臂的加工和裝配。

(3) 提出一種運動學(xué)標(biāo)定方法，通過對幾何誤差進行誤差辨識，補償名義運動學(xué)中的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)。結(jié)果表明，經(jīng)過運動學(xué)標(biāo)定后的末端位置精度得到明顯提高，補償后的末端位置的綜合誤差精度至少提高50%。

在未來工作中，針對提高蛇形空間機械臂位置精度的研究，將進一步研究包含整個蛇形臂的運動學(xué)標(biāo)定和考慮繩索彈性變形對末端定位精度的影響。