李兆帥,曹文貴,崔鵬陸,徐 贊,李慧鑫, 胡 閩

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院,長沙 410082)

0 引 言

半對(duì)數(shù)模型曲線[1]是描述土體非線性壓縮和滲透特性的曲線,同時(shí)它也是分析土體固結(jié)沉降最為經(jīng)典的模型之一。但大量研究表明[2-3],對(duì)于發(fā)生較大應(yīng)變的高壓縮性軟土而言,基于該模型描述的軟土的非線性特性往往與試驗(yàn)結(jié)果存在較大的偏差。此外,土體固結(jié)還會(huì)受到非達(dá)西滲流[4-8]的影響。因此,建立同時(shí)考慮土體中的非達(dá)西滲流與大應(yīng)變土體非線性壓縮滲透模型來解決以上問題具有很重要的理論與實(shí)際意義。

近些年來,許多學(xué)者為尋求更適合描述大應(yīng)變土體的非線性壓縮滲透關(guān)系展開研究。Butterfieid[9]提出的雙對(duì)數(shù)模型(lg(1+e)-lgσ′)(e為土顆粒孔隙比,σ′為有效應(yīng)力),無論是對(duì)于發(fā)生小應(yīng)變的軟土還是大應(yīng)變的軟土,所展現(xiàn)出來的非線性壓縮特性都能很好的與試驗(yàn)結(jié)果相契合。謝康和等[10]根據(jù)黏土非線性滲透特性試驗(yàn)總結(jié)出了軟土指數(shù)形式的非線性滲透模型,彌補(bǔ)了土體發(fā)生較大應(yīng)變時(shí),經(jīng)典半對(duì)數(shù)曲線不能很好描述軟土非線性滲透特性的缺陷。李傳勛等[11]則基于Butterfieid[9]、謝康和等[10]等提出的非線性壓縮與滲透模型對(duì)高壓縮性軟土的一維非線性固結(jié)進(jìn)行了分析,詳細(xì)討論了影響土體固結(jié)過程的因素,但其并未考慮非達(dá)西滲流對(duì)土體固結(jié)過程的影響。

事實(shí)上,在軟土地基中,土體中滲流多屬于非達(dá)西滲流。已有很多試驗(yàn)與研究表明軟土中的滲流會(huì)偏離達(dá)西定律[4-8]。目前,考慮非達(dá)西滲流的軟土一維非線性固結(jié)也已取得諸多進(jìn)展。Zong等[12]在Slepickaf[6]提出的冪指數(shù)滲流模型基礎(chǔ)上,修正了飽和黏土的一維固結(jié)理論, 并獲得其有限差分?jǐn)?shù)值解。李傳勛等[13-15]基于Mesir等[1]提出的半對(duì)數(shù)關(guān)系引入非達(dá)西滲流,綜合考慮了荷載作用、軟土的結(jié)構(gòu)性以及應(yīng)力歷史對(duì)土體固結(jié)的影響。但以上研究均在經(jīng)典半對(duì)數(shù)關(guān)系,即e-lgσ′與e-lgkv(kv為土體滲透系數(shù))關(guān)系的基礎(chǔ)上展開的,對(duì)于發(fā)生大應(yīng)變的軟土不具有更廣泛的適用性。

綜上所述,本文在Butterfieid[9]、謝康和等[10]提出的lg(1+e)-lgσ′一維非線性壓縮模型和lg(1+e)-lgkv滲透模型基礎(chǔ)上,考慮非達(dá)西滲流對(duì)軟土固結(jié)的影響,推導(dǎo)出了高壓縮性軟土的一維非線性大應(yīng)變固結(jié)方程,并通過有限差分法對(duì)其求解。隨后與解析解和試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了本文解答的正確性,之后重點(diǎn)分析了不同土體參數(shù)對(duì)土體固結(jié)過程的影響。

1 固結(jié)方程的建立

地基固結(jié)模型簡圖如圖1所示,H為軟土層厚度,a表示軟土層的豎向深度,頂面完全透水,底面完全不透水,并在初始有效應(yīng)力σ′0作用下已完全固結(jié),為簡化地基沉降計(jì)算,不考慮飽和軟土的流變特性。

圖1 地基固結(jié)模型

Butterfieid[9]、謝康和等[10]提出的非線性壓縮模型和非線性滲透模型如下:

(1)

(2)

式中:e0為與初始有效應(yīng)力σ′0相對(duì)應(yīng)的孔隙比;kv、kv0分別為土體的滲透系數(shù)和初始滲透系數(shù);Ic、Ik分別為雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中土體的壓縮指數(shù)和滲透指數(shù),其中Ik=1/α,α為滲透模型參數(shù)。

根據(jù)土體體積壓縮系數(shù)定義[16],由式(1)可得

(3)

由式(1)、式(2)可求得滲透系數(shù)表達(dá)式,即

(4)

基于非牛頓指數(shù)描述的非達(dá)西滲流表達(dá)式為[5]

(5)

式中:v為滲流速度;i為水力梯度;kv為滲透系數(shù);i0為非牛頓指數(shù),其物理意義為v-i曲線漸近線的截距。

大應(yīng)變假定下一維固結(jié)的普遍連續(xù)方程為[16]

(6)

式(6)可進(jìn)一步改寫為

(7)

大應(yīng)變假定下的水力坡降表達(dá)式為[16-17]

(8)

式中:e0為土體初始孔隙比;e為孔隙比;γw為水的重度;u為超靜孔隙水壓力。

根據(jù)有效應(yīng)力原理,土的有效應(yīng)力σ′為

σ′=σ′0+qu-u。

(9)

式中qu為加載荷載大小。

結(jié)合式(3)—式(5)、式(8)、式(9)代入式(7)可得考慮雙對(duì)數(shù)模型與非達(dá)西滲流的軟土一維大應(yīng)變固結(jié)方程:

(10)

(11)

(12)

控制方程的求解條件表達(dá)為

(13)

2 固結(jié)方程的差分求解

引入如下無量綱參數(shù):

將無量綱參數(shù)代入控制方程式(10)及求解條件式(13)中得

(14)

其中:

A=(S+Q-U)Ic+1;

(15)

B=(S+Q-U)-Icα;

(16)

C=(S+Q-U)Ic;

(17)

(18)

控制方程的求解條件應(yīng)用無量綱變量表達(dá)為

(19)

本文的軟土一維大應(yīng)變固結(jié)方程式(14)很難求出其解析解,因此采用有限差分法對(duì)該固結(jié)方程進(jìn)行求解。在Z-Tv平面劃分差分網(wǎng)格,i和j分別表示空間節(jié)點(diǎn)和時(shí)間節(jié)點(diǎn),i=0,1,2,…,n;j=0,1,2,…,k。i=0和i=n分別表示軟土層頂部(a=0)和底部的位置(a=H),j=0和j=n表示初始時(shí)刻(Tv=0)和最終時(shí)刻。ΔZ表示空間步長,ΔTv表示時(shí)間步長,將式(14)差分可得

(20)

進(jìn)一步整理化簡可得

其中:

(22)

(24)

(25)

此時(shí)可進(jìn)一步求得按孔壓定義的平均固結(jié)度Upt如下

(26)

Tv時(shí)刻土層發(fā)生的沉降St為

(27)

可以得到

(28)

土層發(fā)生的最終沉降量S∞為

H{1-[(σ′0+qu)/σ′0]-Ic} 。

(29)

同理可求得按變形定義的平均固結(jié)度Ust為

Ust=St/S∞。

(30)

3 解答驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文有限差分解法的正確性以及在工程上的可行性,將本文數(shù)值解與相關(guān)解析解和試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比。

3.1 與解析解對(duì)比

通過與李傳勛等[11]提出的解析解與本文利用差分法所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,以驗(yàn)證本文差分?jǐn)?shù)據(jù)的正確性。

李傳勛等[11]基于達(dá)西滲流下將軟土非線性大應(yīng)變固結(jié)解析解分3種情況展開求解,因此需將非牛頓指數(shù)滲流退化為達(dá)西滲流(i0=0),并采用表1中給出的土體參數(shù)作為計(jì)算參數(shù)取值。

表1 文獻(xiàn)[11]中的土體參數(shù)

為開展3種求解情況下對(duì)比分析,參數(shù)Ic與α取值如下:①為滿足Ic(α-2)=1的情況,Ic=0.118,α=10.475;②為滿足Ic(α-2)≠1且Ic(α-1)≠1的情況,Ic=0.095,α=11.5;③為滿足Ic(α-1)=1的情況,Ic=0.125,α=9.0。將3種情況下Ic與α值代入公式,得到超靜孔壓隨深度變化曲線和沉降隨時(shí)間變化曲線,并與李傳勛等[11]論文解析解對(duì)比,結(jié)果如圖2和圖3所示。從圖中可以看出,取相同參數(shù)時(shí),解析解與本文有限差分法所得出的數(shù)據(jù)完全吻合,從而驗(yàn)證了本文有限差分法的正確性。

圖2 3種情況下超靜孔壓的差分解與解析解對(duì)比

圖3 本文解與李傳勛解的沉降對(duì)比

3.2 與室內(nèi)試驗(yàn)對(duì)比

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所利用的有限差分解法的可行性,將本文理論計(jì)算得到數(shù)值解與張明[18]在試驗(yàn)中測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。為保持跟室內(nèi)試驗(yàn)一致,同樣將非牛頓指數(shù)滲流退化為達(dá)西滲流(i0=0),在進(jìn)行程序計(jì)算時(shí)參數(shù)選取也與室內(nèi)試驗(yàn)土樣數(shù)據(jù)一致。計(jì)算所采用的土工參數(shù)如表2所示。

表2 張明[18]試驗(yàn)的土體參數(shù)

室內(nèi)試驗(yàn)的土壤樣品為取自深圳前灣地區(qū)的吹填淤泥土,經(jīng)過初步檢測(cè),該土壤樣品的含水量與天然密度分別為109.42%和1.41 g/cm3,土顆粒的查對(duì)密度和初始孔隙比分別為2.68和2.98。張明[18]基于GDSCTS固結(jié)儀對(duì)吹填淤泥土進(jìn)行固結(jié)滲透室內(nèi)試驗(yàn)。試驗(yàn)排水條件為單面排水,加載方式為25 kPa至50 kPa的分級(jí)施加,每級(jí)加載均可視為前一級(jí)荷載穩(wěn)定后的瞬時(shí)加載。計(jì)算土樣在荷載qu=25 kPa下的沉降隨時(shí)間變化曲線,其與室內(nèi)試驗(yàn)得到的沉降曲線對(duì)比如圖4所示。從圖4可以看出,采用有限差分法在qu=25 kPa加載情況下計(jì)算出的數(shù)值解與室內(nèi)試驗(yàn)實(shí)測(cè)的沉降值基本吻合,但通過試驗(yàn)實(shí)測(cè)的沉降值要略微小于采用有限差分方法計(jì)算得到的理論值。其原因可歸結(jié)于在本文的地基固結(jié)模型假定中,上排水界面是完全滲水的,而下排水界面則是完全封閉的,但是在進(jìn)行室內(nèi)試驗(yàn)時(shí)因存在不可避免的系統(tǒng)誤差等從而導(dǎo)致其上層和下層的排水條件并不能達(dá)到理論假定中的理想情況。盡管理論計(jì)算出的數(shù)值與試驗(yàn)結(jié)果上存在一定的差異,但是它的沉降變形隨時(shí)間的變化趨勢(shì)也表明了該方法在工程上應(yīng)用的可行性。

圖4 差分解與試驗(yàn)實(shí)測(cè)的沉降與時(shí)間關(guān)系曲線對(duì)比

4 參數(shù)分析

基于以上驗(yàn)證結(jié)果的正確性,現(xiàn)以頂面透水及底面不透水地基模型為例,分析非達(dá)西參數(shù)i0、壓縮指數(shù)Ic和滲透模型參數(shù)α以及荷載qu對(duì)土體固結(jié)過程的影響,所需計(jì)算參數(shù)如表1所示。

4.1 非牛頓指數(shù)i0對(duì)固結(jié)性狀的影響

劉忠玉等[19]研究表明,與達(dá)西滲流相比,非達(dá)西滲流會(huì)對(duì)土體的固結(jié)有明顯的滯后效應(yīng)。而這種滯后效應(yīng)與非牛頓指數(shù)i0有關(guān)。如圖5所示,與達(dá)西滲流(i0= 0)相比,非牛頓指數(shù)滲流情況下底部超靜孔隙水壓力消散較慢,且其消散速度隨i0的增大而減小;從圖6可以看出與達(dá)西滲流(i0= 0)相比,非牛頓指數(shù)i0并不會(huì)改變軟土層最終的沉降量,但卻會(huì)影響達(dá)到最終沉降的時(shí)間,i0越大,其達(dá)到最終沉降值所需要的時(shí)間越長,在同一時(shí)刻土層的沉降就越小,該結(jié)論與劉忠玉等[19]的觀點(diǎn)一致。

圖5 不同 i0下底層超靜孔隙水壓力u關(guān)于Tv的關(guān)系曲線

圖7描述了非牛頓指數(shù)i0對(duì)平均固結(jié)度Ust的影響,其隨時(shí)間TV的變化趨勢(shì)與李傳勛論文一致。隨著非牛頓指數(shù)i0的增大,非達(dá)西滲流情況下的Ust曲線會(huì)越加偏離達(dá)西滲流情況下的Ust曲線,具體表現(xiàn)為非牛頓指數(shù)i0越大,土體中超靜孔隙水壓力消散越慢,土體沉降速率越慢,其達(dá)到最終沉降所需的時(shí)間越長。同理Ic(α-2)≠1且Ic(α-1)≠1,Ic(α-1)=1這兩種情況下規(guī)律與Ic(α-2)=1情況下類似,就不多做陳述。

圖7 i0對(duì)平均固結(jié)度Ust的影響

4.2 參數(shù)Ic與α對(duì)固結(jié)性狀的影響

采用表1中的土體參數(shù),固定非達(dá)西參數(shù)i0=3.0,qu取值100 kPa,分別在Ic=0.1,α=9、12、15和α=12,Ic=0.075、0.1、0.125時(shí)討論其對(duì)固結(jié)性狀的影響。仇超等[20]的研究中表明,壓縮指數(shù)Ic與滲透模型參數(shù)α都會(huì)影響到土的固結(jié)過程。圖8為Ust與Upt隨時(shí)間因子Tv的關(guān)系曲線。由圖8可知,Ic=0.1時(shí),平均固結(jié)度Ust(按變形定義)和平均固結(jié)度Upt(按孔壓定義)都會(huì)隨α的增大而減小,這表明α越大,滲透指數(shù)越小,軟土的滲透性越弱,固結(jié)速率越慢;同理,在α=12時(shí),Ust與Upt會(huì)隨壓縮指數(shù)Ic的增大而減小;圖9為Ust與Upt的對(duì)比曲線,可發(fā)現(xiàn)在同一時(shí)刻下Ust要快于Upt,這表明土層變形的發(fā)展快于孔壓的消散,該結(jié)論與謝康和等[21]闡述的觀點(diǎn)一致。

圖8 Ic和α對(duì) Ust與 Upt的影響

圖9 不同 Ic和α下平均固結(jié)度與 Tv關(guān)系曲線

圖10描述了Ic和α對(duì)底部超靜孔隙水壓力的影響。由圖10可知,在同一時(shí)刻,α越大,薄土層底部超靜孔隙水壓力越大,這表明土層的滲透性越差,底部超靜孔隙水壓力消散越慢。同理,Ic越大,在同一時(shí)刻薄土層底部超靜孔隙水壓力越大,這表明土層的壓縮模量越小,底部超靜孔隙水壓力消散越慢,固結(jié)的速率也就越慢。

圖10 Ic和α對(duì)底部超靜孔隙水壓力的影響

4.3 外荷載qu對(duì)固結(jié)性狀的影響

采用表1中的土體參數(shù),固定非達(dá)西參數(shù)i0=3.0,參考前文非牛頓指數(shù)i0對(duì)固結(jié)性狀的影響分析。圖11表明,隨著荷載qu的增大,土層的沉降就越大,土層中超靜孔隙水壓力消散越快。這表明荷載越大,孔隙水壓消散速度越快,孔隙比減小量越大,故按孔壓定義的平均固結(jié)度與按變形定義的平均固結(jié)度也就越大。此規(guī)律與劉忠玉等[19]的結(jié)論相一致,這也是達(dá)西定律下的太沙基一維固結(jié)理論所不能預(yù)測(cè)的。

圖11 外荷載qu對(duì)固結(jié)性狀的影響

5 大小應(yīng)變差分解對(duì)比分析

本章參考李傳勛等[11]僅改變土體一維非線性固結(jié)幾何假定而保證其他假定不變的做法,分析在雙對(duì)數(shù)非線性關(guān)系下分別應(yīng)用大小應(yīng)變固結(jié)理論進(jìn)行計(jì)算的差異。引用Pu等[22]算例進(jìn)行分析:H=2 m,σ′0=1 kPa,e0=4.3,Ic=0.097,α=7.89。不同荷載取值見表3。

表3 大小應(yīng)變下固結(jié)性狀最大相對(duì)偏差

由圖12和表3可知:當(dāng)土體發(fā)生較小應(yīng)變(ε<15%)[23-24]時(shí),雖然在非牛頓指數(shù)滲流下大應(yīng)變固結(jié)理論得到的土體固結(jié)速率要略快于小應(yīng)變假定下的固結(jié)速率,但兩者理論假定下計(jì)算得出反映其固結(jié)性狀的各曲線都較為接近;但當(dāng)土體發(fā)生較大的應(yīng)變(ε≥15%)時(shí),兩者固結(jié)曲線就會(huì)出現(xiàn)較為的差異,且此差異會(huì)隨著應(yīng)變值的增大而不斷擴(kuò)大。由表3可以具體看出,當(dāng)應(yīng)變值為19%時(shí),大小應(yīng)變假定下計(jì)算的超靜孔隙水壓力最大偏差為24%,沉降的最大偏差為11%;而當(dāng)應(yīng)變值增大到25%時(shí),超靜孔隙水壓力最大偏差為45%,沉降的最大偏差為14%;當(dāng)應(yīng)變值達(dá)到30%時(shí),超靜孔隙水壓與沉降的最大偏差更是增大到了60%與16%。此外圖12(c)表明,雖然大小應(yīng)變不同假定會(huì)影響土層固結(jié)速率的計(jì)算差異,但并不會(huì)影響到最終的沉降量。

圖12 大小應(yīng)變差分解對(duì)比

因此可分析得出,當(dāng)土層的應(yīng)變較小(ε<15%)時(shí),大小應(yīng)變理論得出的數(shù)據(jù)差異并不大,此時(shí)采用小應(yīng)變固結(jié)理論開展計(jì)算是可行的,但當(dāng)土層的應(yīng)變較大(ε≥15%)時(shí),由于大小應(yīng)變固結(jié)理論計(jì)算得到的數(shù)據(jù)存在較大的差異,在大應(yīng)變固結(jié)理論下沉降固結(jié)速率較快。雖然大小應(yīng)變不同假定下最終沉降值趨于一致,但是在未達(dá)到最終沉降的過程中,各時(shí)間節(jié)點(diǎn)下按大小應(yīng)變計(jì)算得到的固結(jié)沉降曲線存在差異,對(duì)地基的沉降變形預(yù)測(cè)要求甚高的沿海地區(qū)的軟土而言,固結(jié)沉降過程中的差異不容忽視?？紤]實(shí)際工程不同于理論計(jì)算中的理想,工況也更加復(fù)雜,為安全起見建議采用大應(yīng)變固結(jié)理論計(jì)算。

6 結(jié) 論

(1)土的非達(dá)西滲流對(duì)土的沉降過程有較大的影響,即非達(dá)西滲流參數(shù)i0越大,土中超靜孔隙水壓力消散越慢,土體固結(jié)速率越慢,達(dá)到最終沉降量所需的時(shí)間越長。

(2)Ic一定時(shí),參數(shù)α越大,土層超靜孔隙水壓力消散速率和固結(jié)速率越慢;α一定時(shí),參數(shù)Ic越大,土層超靜孔隙水壓力消散速率和固結(jié)速率越慢。這表明土體壓縮模量越大、滲透性越好,土層底部靜孔隙水壓力消散速率和土層的固結(jié)速率越快。此外,在同一時(shí)刻下Ust要快于Upt,這表明土層變形的發(fā)展快于孔壓的消散,故在實(shí)際工程中為安全起見建議采用Ust來預(yù)測(cè)土層的固結(jié)發(fā)展。

(3)外荷載qu越大,土層的沉降量就越大,底部超靜孔隙水壓力消散越快,土層的固結(jié)速率也越快。

(4)大、小應(yīng)變固結(jié)性狀的差異會(huì)隨土層應(yīng)變?cè)龃蠖粩鄶U(kuò)大。當(dāng)土層的應(yīng)變較小時(shí)(ε<15%),兩者的固結(jié)沉降與孔壓曲線較為接近;當(dāng)應(yīng)變逐漸增大時(shí),兩者各曲線之間的差異被逐漸放大。因此當(dāng)土層的應(yīng)變較大時(shí)(ε≥15%),為安全起見建議采用大應(yīng)變固結(jié)理論計(jì)算。此外,因幾何假定不同,大應(yīng)變固結(jié)理論計(jì)算的土層固結(jié)速率均快于小應(yīng)變固結(jié)理論計(jì)算的固結(jié)速率,但兩者并不會(huì)影響到最終的沉降量。