徐鵬躍,張國玲,王 濤,程 佳*

(1.滄州職業(yè)技術(shù)學(xué)院車輛工程系,河北 滄州 061000;2.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,天津 300400)

在實(shí)際運(yùn)行中,鋰離子電池的內(nèi)部狀態(tài)無法直接測量,給電池管理系統(tǒng)(BMS)的設(shè)計(jì)帶來很大的困難。為保證系統(tǒng)的高效、安全、穩(wěn)定運(yùn)行,BMS 要能準(zhǔn)確地估計(jì)電池的狀態(tài),而使用更精確的模型參數(shù)是實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確估計(jì)的前提[1]。

標(biāo)準(zhǔn)等效電路模型由一系列電阻和電容組成,常見的有Rint 模型、Thevenin 模型及各種并聯(lián)RC 支路的電路模型,均為整數(shù)階模型。近年來,由于分?jǐn)?shù)階理論的提出,且研究發(fā)現(xiàn)純電容對應(yīng)的電化學(xué)阻抗譜(EIS)與實(shí)際的電池動(dòng)力學(xué)不完全一致,人們提出了包含恒相位元件(CPE)[2]的等效電路模型,并稱為分?jǐn)?shù)階模型。分?jǐn)?shù)階模型對電池模型精度的影響很大,且與電池的荷電狀態(tài)(SOC)有一定的相關(guān)性。梁瑩等[3]比較了3 種一階電池模型,評價(jià)了模型的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[4]采用二階電路模型對電池建模,結(jié)合擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)對SOC 進(jìn)行估算,誤差率在±5%以內(nèi)。文獻(xiàn)[5]在EIS 中對比了整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階模型,并采取分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波器對模型參數(shù)進(jìn)行在線辨識,辨識結(jié)果穩(wěn)定性高。

模型參數(shù)的準(zhǔn)確性也至關(guān)重要。鋰離子電池的參數(shù)識別方法的研究較多:文獻(xiàn)[6-7]討論了基于粒子群算法的方案,文獻(xiàn)[8-9]研究了基于遞推最小二乘(RLS)法的方案。其中,粒子群算法在參數(shù)識別中存在初始值隨機(jī)、種群聚類、容易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢等不足。RLS 法為一種在線辨識方法,近年來,基于遺忘因子的遞推最小二乘(FFRLS)法日益頻繁地用于辨識電池參數(shù)。

本文作者以磷酸鐵鋰鋰離子電池為研究對象,采用整數(shù)一階模型、整數(shù)二階模型及分?jǐn)?shù)一階等電路模型,分別進(jìn)行等效分析,使用FFRLS 算法辨識模型中的參數(shù)。采用EKF算法對電池SOC 進(jìn)行估計(jì)并且輸出矩陣為電池端電壓,為判斷模型精度提供數(shù)據(jù)支撐。

1 電池模型建立

1.1 整數(shù)一階電池模型

整數(shù)一階等效電路模型見圖1。

圖1 整數(shù)一階RC 等效電路模型Fig.1 Integral first-order RC equivalent circuit model

該模型由電壓源、電池歐姆內(nèi)阻和一個(gè)RC 電路支路組成,其中:Uoc為電池開路電壓;UL為電池的端電壓;I為充放電電流;R0為電池歐姆內(nèi)阻;R1、C1為極化電阻和電容;U1為電阻R1的端電壓。

根據(jù)電路定理可以寫出電路關(guān)系,如式(1)所示;電池SOC 根據(jù)安時(shí)積分法可定義為式(2)。

式(1)、(2)中:t為時(shí)域;Qn為電池額定容量。

參數(shù)辨識和SOC 估計(jì)均涉及離散狀態(tài)空間方程,可將式(1)、(2)離散化后寫成狀態(tài)方程的形式[式(3)]。

式(3)中:k為離散域;T為采樣時(shí)間;e 為自然底數(shù)。

1.2 整數(shù)二階電池模型

整數(shù)二階等效電路模型見圖2。

圖2 整數(shù)二階RC 等效電路模型Fig.2 Integral second-order RC equivalent circuit model

該模型比起一階模型多一個(gè)并聯(lián)RC 電路支路,理論上,精度會高于一階電路模型精度,其中:R2、C2為濃差電阻和電容;U2為電阻R2的端電壓。

列寫電池等效電路關(guān)系,如式(4)所示。

寫成離散化的狀態(tài)空間方程形式,如式(5)所示。

1.3 分?jǐn)?shù)一階電池模型

分?jǐn)?shù)一階等效電路模型見圖3。

圖3 分?jǐn)?shù)一階等效電路模型Fig.3 Fractional first-order equivalent circuit model

該模型相較于整數(shù)一階模型引入了CPE,從而構(gòu)成了分?jǐn)?shù)階等效模型,理論上,精度會高于一階電路模型精度,其中:Z1表示恒相位元件。

CPE 定義為:

式(6)中:C為模型元件參數(shù);α為CPE 的階數(shù),取值為[-1,1];ω為角頻率;i代表虛部。

寫出電路關(guān)系如式(7)所示。

分?jǐn)?shù)階微積分采用Grunwald-Letnikov 離散化方法進(jìn)行計(jì)算,如式(8)所示。

2 在線參數(shù)辨識

在線參數(shù)辨識是在當(dāng)前時(shí)刻采集到的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上,對參數(shù)進(jìn)行遞歸辨識的方法,為使數(shù)據(jù)更貼近真實(shí)的結(jié)果,辨識結(jié)果需要跟隨系統(tǒng)的不同輸入進(jìn)行實(shí)時(shí)修正。

實(shí)驗(yàn)所用在線參數(shù)辨識方法為FFRLS 法,與傳統(tǒng)的最小二乘法相比,實(shí)現(xiàn)了在線參數(shù)辨識的功能,降低了誤差,并克服了RLS 法隨數(shù)據(jù)量增大會出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和的問題。FFRLS法在RLS 法中引入遺忘因子,在遞歸過程中對新舊數(shù)據(jù)的權(quán)重進(jìn)行重新分配,降低舊數(shù)據(jù)在遞歸結(jié)果中的占比,使算法能夠快速收斂至真實(shí)值附近。

FFRLS 算法的步驟如下。

①定義φ(t)為觀測矩陣,θ為參數(shù)矩陣,包含電路中的參數(shù),如R0、R1、C1等。

②計(jì)算增益矩陣K(k+1)。

式(10)中:P(k)為協(xié)方差矩陣;λ為遺忘因子,λ≤1。

③更新協(xié)方差矩陣。

④計(jì)算誤差矩陣e(k+1)。

式(12)中:y(k+1)為輸出矩陣。

⑤更新參數(shù)矩陣。

⑥重復(fù)步驟②～⑤,直至在線參數(shù)辨識結(jié)束。

3 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

EKF 和基于EKF 的自適應(yīng)算法廣泛應(yīng)用于SOC 估計(jì),基本思想是通過泰勒展開對方程進(jìn)行線性化。算法中使用的非線性離散系統(tǒng)方程的一般公式見式(14)。

式(14)中:f(xk,uk)為非線性系統(tǒng)的狀態(tài)傳遞函數(shù);g(xk,uk)為非線性系統(tǒng)的測量函數(shù);xk為第k步的狀態(tài)向量;yk為系統(tǒng)的輸出變量;wk為過程噪聲;vk為測量噪聲。

忽略式(14)中的高階項(xiàng),可得式(15)。

式(15)中:^xk為k時(shí)刻輸出矩陣的預(yù)測值。

EKF 的詳細(xì)計(jì)算過程如下。

①初始化x0,Q、R和P;其中,Q和R分別為噪聲wk和vk的方差矩陣,一般用vk來估計(jì)R,vk在實(shí)驗(yàn)中得到,Q通常由經(jīng)驗(yàn)設(shè)定,P為協(xié)方差矩陣。

②先驗(yàn)估計(jì)。

③更新端電壓與先驗(yàn)估計(jì)端電壓之間的差值ek。

④更新增益矩陣Kk。

⑤更新狀態(tài)向量:

⑥更新協(xié)方差矩陣。

⑦重復(fù)步驟②～步驟⑥,直至SOC 估計(jì)結(jié)束。

4 結(jié)果與討論

實(shí)驗(yàn)測試的電池為IFP36130155-36Ah 型磷酸鐵鋰鋰離子電池(山東產(chǎn)),額定容量為36 Ah,工作電壓為2.5 ～3.7 V,標(biāo)準(zhǔn)放電電流為12 A,最大充電電流為12 A。

在動(dòng)態(tài)應(yīng)力工況[10]下,對電池的參數(shù)以及SOC 進(jìn)行估計(jì),分?jǐn)?shù)階階數(shù)α固定為0.5,參數(shù)辨識的結(jié)果見圖4-6。

圖4 整數(shù)一階參數(shù)辨識結(jié)果Fig.4 Integral first-order parameter identification results

圖5 整數(shù)二階參數(shù)辨識結(jié)果Fig.5 Integral second-order parameter identification results

圖6 分?jǐn)?shù)一階參數(shù)辨識結(jié)果Fig.6 Fractional first-order parameter identification results

從圖4-6 可知,R0、R1和C1的辨識結(jié)果相差不大,根據(jù)理論分析,階數(shù)存在于C1中,則C1大小存在偏差,結(jié)果符合理論邏輯。整數(shù)二階由于增加了一個(gè)并聯(lián)RC 支路,辨識的參數(shù)較整數(shù)一階增加了R2、C2。由理論分析可知,并聯(lián)的支路越多,并聯(lián)的參數(shù)對電池的影響越小。讀取R2、C2的數(shù)值發(fā)現(xiàn),R2、C2的值小于R1、C1,符合理論分析。

3 種電路模型的預(yù)測端電壓及真實(shí)端電壓見圖7。

圖7 3 種電路模型的預(yù)測端電壓與真實(shí)端電壓Fig.7 Predicted terminal voltages of three circuit models and real terminal voltage

從圖7 可知,整數(shù)二階曲線更貼近于真實(shí)端電壓,原因是整數(shù)二階電路模型精度高于整數(shù)一階。此外,分?jǐn)?shù)一階電路模型比起整數(shù)一階更貼近EIS,因此分?jǐn)?shù)一階電路預(yù)測端電壓曲線會更接近真實(shí)端電壓曲線。對比整數(shù)二階和分?jǐn)?shù)一階的預(yù)測端電壓曲線可知,二者的曲線接近程度近似,表明分?jǐn)?shù)低階電路可用更少的電氣元件達(dá)到整數(shù)高階電路的精度,簡化了電路模型,也降低了計(jì)算量。

3 種模型的端電壓誤差曲線見圖8。

圖8 3 種模型的端電壓誤差曲線Fig.8 Terminal voltage error curves of three models

從圖8 可知,整數(shù)一階的端電壓誤差遠(yuǎn)大于整數(shù)二階和分?jǐn)?shù)一階的,而整數(shù)二階和分?jǐn)?shù)一階的端電壓誤差相差不大,分?jǐn)?shù)一階的端電壓誤差略小于整數(shù)二階,表明分?jǐn)?shù)低階的精度與整數(shù)高階的精度相差不大,甚至?xí)?yōu)于整數(shù)高階電路模型的精度,體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階模型的優(yōu)越性。

3 種電路模型的SOC 估計(jì)結(jié)果見圖9。

圖9 3 種電路模型SOC 估計(jì)曲線與實(shí)測SOC 曲線Fig.9 SOC estimated curves of three circuit models and measured SOC curves

從圖9 可知,整數(shù)一階模型的估計(jì)精度最差,整數(shù)二階模型精度較好,分?jǐn)?shù)一階模型精度最好,驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型精度的優(yōu)越性。

3 種電路模型的SOC 估計(jì)誤差見圖10。

圖10 3 種模型的SOC 估計(jì)誤差Fig.10 SOC estimation errors of three models

從圖10 可知,整數(shù)一階模型估計(jì)SOC 的誤差約為8%,整數(shù)二階模型SOC 誤差約為7%,而分?jǐn)?shù)一階模型的SOC 誤差僅約為1%,分?jǐn)?shù)階模型下估計(jì)的SOC 誤差小于整數(shù)一階、整數(shù)二階模型,體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階模型的有效性。

5 結(jié)論

本文作者以磷酸鐵鋰鋰離子電池為研究對象,采用整數(shù)一階、整數(shù)二階及分?jǐn)?shù)一階等3 種電路模型對電池進(jìn)行等效建模。對電路模型中參數(shù)進(jìn)行在線辨識及SOC 估計(jì),發(fā)現(xiàn):整數(shù)階模型中,階數(shù)越高,模型的精度越高,體現(xiàn)在端電壓誤差及SOC 估計(jì)誤差會隨著階數(shù)增加而減小;分?jǐn)?shù)階模型與整數(shù)階模型相比,在階數(shù)相同時(shí),優(yōu)于整數(shù)階模型,在階數(shù)不同時(shí),精度足以媲美高階整數(shù)模型的精度,甚至在某些情況下,低階分?jǐn)?shù)模型的精度會優(yōu)于高階整數(shù)模型的精度,體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階模型的有效性與優(yōu)越性。