張家睿,汪 銳,劉舒恒,于 亮

(1.大連理工大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院,遼寧 大連 116081; 2.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院,遼寧 大連 116081)

現(xiàn)代飛行器正朝著高空、高速、高機(jī)動(dòng)性等方向不斷發(fā)展,這對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)的安全性和可靠性提出了越來越高的要求[1-2]。航空發(fā)動(dòng)機(jī)安全穩(wěn)定地工作離不開可靠的燃油控制系統(tǒng)。航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃油控制系統(tǒng)是由機(jī)械、液壓、電子和電氣等部件組成的復(fù)雜系統(tǒng),其按照飛機(jī)的推力需求調(diào)節(jié)發(fā)動(dòng)機(jī)的供油量。由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)的飛行環(huán)境復(fù)雜多變,同時(shí)存在零部件磨損、極端飛行天氣、自身系統(tǒng)參數(shù)變化等情況,航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃油控制系統(tǒng)需要具有強(qiáng)魯棒性[3],這也使得航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油控制器的設(shè)計(jì)變得非常復(fù)雜[4]。目前,自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control,ADRC)技術(shù)由于對(duì)模型的依賴程度低和動(dòng)態(tài)補(bǔ)償干擾等優(yōu)點(diǎn),正在被探索應(yīng)用于設(shè)計(jì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油控制器。

ADRC的核心思想是將模型的不確定動(dòng)態(tài)和外部擾動(dòng)作為總擾動(dòng),構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer,ESO)實(shí)時(shí)估計(jì)總擾動(dòng),進(jìn)而將總擾動(dòng)的估計(jì)值設(shè)計(jì)為前饋項(xiàng)實(shí)時(shí)補(bǔ)償總擾動(dòng)[5]。ADRC最初是非線性形式的,須調(diào)節(jié)參數(shù)多、輸出抖動(dòng)、穩(wěn)定性不易保證等問題限制了ADRC在工程中的應(yīng)用。Gao[6]在2003年提出了一種更簡單、更易于實(shí)現(xiàn)的線性自抗擾控制器(Linear Active Disturbance Rejection Controller,LADRC),并將LADRC的調(diào)參問題簡化為觀測器帶寬與控制器帶寬的調(diào)節(jié)問題。近年來,越來越多的研究者開始將LADRC應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制。Miklosovic等[7]將LADRC應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)的解耦控制中,仿真結(jié)果表明LADRC具有良好的動(dòng)態(tài)解耦特性。進(jìn)一步地,張海波等[8-9]以靜態(tài)解耦為基礎(chǔ),實(shí)現(xiàn)了發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)與過渡態(tài)的多變量控制。為了進(jìn)一步提高線性ESO (Linear ESO,LESO)的觀測精度,謝振偉等[10]通過額外增加一個(gè)LESO來彌補(bǔ)原有LESO的觀測誤差,并將其應(yīng)用到變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)解耦控制中。

需要指出的是,LADRC的優(yōu)異性能離不開合適的控制器參數(shù)。在LADRC中,參數(shù)b0是名義控制系數(shù),決定了前饋補(bǔ)償系數(shù),進(jìn)而影響對(duì)總擾動(dòng)的補(bǔ)償性能。針對(duì)參數(shù)b0的整定,Chen等[11]在假設(shè)調(diào)節(jié)時(shí)間已知的情況下,通過單調(diào)增大b0的方式來整定b0。然而,該方法只能確保在某一范圍內(nèi)試湊出合適的b0。對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)來說,多次試湊的成本較高,不合適的參數(shù)甚至?xí)p壞發(fā)動(dòng)機(jī)。另一個(gè)整定參數(shù)b0的思路是辨識(shí)系統(tǒng)的控制系數(shù)b,進(jìn)而依據(jù)辨識(shí)結(jié)果整定b0。梁青等[12]設(shè)計(jì)了針對(duì)確定線性系統(tǒng)的控制系數(shù)辨識(shí)方法,基于該辨識(shí)結(jié)果可以快速整定參數(shù)b0。陳志翔等[13]在逐次精法[14]的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了在線辨識(shí)控制系數(shù)的方法。需要指出的是,文獻(xiàn)[12]、文獻(xiàn)[13]只考慮被控對(duì)象動(dòng)態(tài)已知或部分已知的系統(tǒng)。航空發(fā)動(dòng)機(jī)的物理結(jié)構(gòu)復(fù)雜,建模困難,在設(shè)計(jì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油控制算法時(shí),被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)和控制系數(shù)b通常是未知的。b0整定為接近b時(shí)LADRC的總擾動(dòng)補(bǔ)償效果較為優(yōu)異,因此,如何在被控對(duì)象動(dòng)態(tài)未知的情況下準(zhǔn)確辨識(shí)b是依據(jù)辨識(shí)方法整定參數(shù)b0的關(guān)鍵。

另外,LADRC將航空發(fā)動(dòng)機(jī)中的未知高頻動(dòng)態(tài)歸為總擾動(dòng),并使用ESO估計(jì)。為了保證對(duì)未知高頻動(dòng)態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì),需要ESO具有較大的帶寬,因此ESO的增益較高。然而,較高的ESO增益會(huì)放大測量噪聲的影響,從而導(dǎo)致觀測誤差較大且觀測器輸出抖動(dòng)[15]。如何改進(jìn)ESO以實(shí)現(xiàn)使用低增益的ESO即可準(zhǔn)確估計(jì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)未知?jiǎng)討B(tài),是設(shè)計(jì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油自抗擾控制器的一個(gè)難點(diǎn)。

本文擬基于系統(tǒng)辨識(shí)解決上述參數(shù)b0的整定問題與低增益ESO的設(shè)計(jì)問題。首先,基于CGS算法提出了一種一體化辨識(shí)控制系數(shù)與發(fā)動(dòng)機(jī)未知?jiǎng)討B(tài)的方法,基于控制系數(shù)的辨識(shí)結(jié)果,快速整定參數(shù)b0。其次,將未知?jiǎng)討B(tài)的辨識(shí)結(jié)果引入ESO中構(gòu)建IESO,由于未知?jiǎng)討B(tài)的辨識(shí)結(jié)果中包含未知高頻動(dòng)態(tài)的信息,所以低觀測器增益的IESO即可實(shí)現(xiàn)對(duì)總擾動(dòng)的準(zhǔn)確估計(jì)。最后,通過仿真驗(yàn)證了航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速對(duì)參考轉(zhuǎn)速具有較好的跟蹤性能。

1 問題描述

1.1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油控制

航空發(fā)動(dòng)機(jī)的燃油控制邏輯如圖1所示。本文考慮航空發(fā)動(dòng)機(jī)在空中慢車、巡航等狀態(tài)下工作,且穩(wěn)態(tài)燃油控制律的輸出未觸發(fā)加速計(jì)劃或線減速計(jì)劃線。本文將設(shè)計(jì)穩(wěn)態(tài)燃油控制律,保證在此工作狀態(tài)下發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速能夠很好地跟蹤參考轉(zhuǎn)速。

圖1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油控制系統(tǒng)

本文考慮已知航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)的階數(shù)為二階,而其他動(dòng)態(tài)未知,因此航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的模型建立為

(1)

1.2 基于LADRC的航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油控制

在LADRC的框架下,模型中所有未知的部分被歸結(jié)為總擾動(dòng),然后進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償。因此,定義

x3(t)=f(x1,x2,w)+(b-b0)u(t)

(2)

(3)

基于式(3)設(shè)計(jì)以下形式的LESO：

(4)

(5)

λo(s)=(s+ωo)3

(6)

由于觀測器帶寬為ωo且是唯一需要被調(diào)節(jié)的觀測器參數(shù),因此選擇合適的ωo即可保證ESO對(duì)轉(zhuǎn)速及總擾動(dòng)的準(zhǔn)確估計(jì)。假設(shè)期望的轉(zhuǎn)速軌跡為Nr,控制律設(shè)計(jì)為

(7)

(8)

通過配置合適的控制器增益k1、k2,即可保證發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)參考轉(zhuǎn)速的跟蹤性能。

需要指出的是,為了保證LADRC的控制性能,工程上通常采用試湊的方法將參數(shù)b0整定為接近控制系數(shù)b。然而,航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)的控制系數(shù)是未知的,需要多次試湊才能夠?qū)0整定為接近b,調(diào)參成本較高。調(diào)參過程中,不合適的參數(shù)b也可能誘使發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)入超溫超轉(zhuǎn)等狀態(tài),損壞發(fā)動(dòng)機(jī)。因此,將LADRC應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油控制的第一個(gè)難點(diǎn)是參數(shù)b0的整定。另外,航空發(fā)動(dòng)機(jī)中包含高頻的熱力機(jī)械動(dòng)態(tài)。在LADRC的框架中,這些動(dòng)態(tài)包含在總擾動(dòng)x3中。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)總擾動(dòng)的準(zhǔn)確估計(jì),高頻動(dòng)態(tài)的頻率需要在觀測器帶寬內(nèi),這就需要較高的觀測器增益。然而,較高的觀測器增益會(huì)放大測量噪聲的影響,造成觀測器輸出抖動(dòng)。因此,將LADRC應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油控制的第二個(gè)難點(diǎn)是如何改進(jìn)ESO以實(shí)現(xiàn)使用低觀測器增益即可準(zhǔn)確估計(jì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)未知?jiǎng)討B(tài)。本文考慮上述兩個(gè)難點(diǎn),設(shè)計(jì)了一種基于系統(tǒng)辨識(shí)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油自抗擾控制器。

2 控制器設(shè)計(jì)

控制器設(shè)計(jì)的思路是：對(duì)式(1)中的未知?jiǎng)討B(tài)f和控制系數(shù)b進(jìn)行一體化辨識(shí),f的辨識(shí)結(jié)果中包含高頻未知?jiǎng)討B(tài),將f的辨識(shí)結(jié)果加入ESO中,從而降低觀測器增益,并基于b的辨識(shí)結(jié)果整定b0。將f的辨識(shí)結(jié)果與總擾動(dòng)的估計(jì)值一起作為前饋項(xiàng),即可補(bǔ)償未知?jiǎng)討B(tài)f的影響。IESO與控制律組成了所設(shè)計(jì)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油自抗擾控制器。以下首先介紹系統(tǒng)辨識(shí)方法,再介紹IESO及航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油自抗擾控制器的設(shè)計(jì)。

2.1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速模型辨識(shí)

本節(jié)研究未知?jiǎng)討B(tài)f與未知控制系數(shù)b的一體化辨識(shí)。首先,考慮用一個(gè)離散模型近似式(1)的動(dòng)態(tài)。航空發(fā)動(dòng)機(jī)是典型的非線性系統(tǒng),而非線性向回歸滑動(dòng)平均(Nonlinear Auto Regressive Moving Average with Exogenous Inputs,NARMAX)模型是非線性系統(tǒng)的一種輸入輸出描述,能夠很好地表征非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,因此本文考慮選取NARMAX模型作為航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速系統(tǒng)的離散化表征[16-19]。采用向前差分的方法得到式(1)的NARMAX模型如下：

y(k)=2y(k-1)-y(k-2)+T2f(k-2)+T2bu(k-2) (9)

f與b的辨識(shí)問題轉(zhuǎn)化為式(9)中的f(k-2)和b,本文采用CGS算法[20]辨識(shí)這兩項(xiàng)。

考慮使用以下線參數(shù)模型：

(10)

式中：y(t)為模型的輸出;θi為待估計(jì)的模型系數(shù);Φi為多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)項(xiàng),Φi=[φi(1),φi(2),…,φi(N)]T,其中i=1,2,…,27,φ1=u(k-1),…,φ3=u(k-3),φ4=y(k-1),…,φ6=y(k-3),φ7=u(k-1)2,…,φ10=u(k-1)u(k-3),…,φ13=u(k-3)2,φ14=y(k-1)2,…,φ27=y(k-3)2;e(t)為模型的誤差;N為數(shù)據(jù)長度。由式(10)可推得：

Y=ΦΘ+E

(11)

式中：Y=[y(1),y(2),…,y(N)]T;Φ=[Φ1,Φ2,…,Φ27];Θ=[θ1,θ2,…,θ27]T;E=[e(1),e(2),…,e(N)]T。

辨識(shí)的思路為整定合適的模型系數(shù)矩陣Θ,使得式(10)逼近數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)刻的式(9)。具體地,考慮結(jié)構(gòu)項(xiàng)冗余及Φi之間的相關(guān)性導(dǎo)致的數(shù)值病態(tài)問題,采用正交化算法進(jìn)行求解,辨識(shí)思想為：采用正交分解的方法處理式(11)中的結(jié)構(gòu)項(xiàng)矩陣Φ,然后依據(jù)ERR準(zhǔn)則[20]選取模型結(jié)構(gòu)項(xiàng),將要求的預(yù)測精度或者迭代閾值作為停止條件,最后回代求解待估參數(shù)。算法的具體步驟如下。

① 對(duì)矩陣Φ進(jìn)行Q、R分解,記RΘ=G,令Q=[q1,q2,…,q27],G=[g1,g2,…,g27]T,將式(11)轉(zhuǎn)換為Y=QG+E。

② 初始化結(jié)構(gòu)項(xiàng)qi=Φi,i=1,2,…,27。

④ 以先前選擇的結(jié)構(gòu)項(xiàng)為基底,對(duì)其余結(jié)構(gòu)項(xiàng)qi進(jìn)行施密特正交化。

⑤ 重復(fù)步驟③～步驟④,反復(fù)迭代求解完成Φ的排序、Q的更新與R的構(gòu)建。

⑥ 依據(jù)RΘ=G回代求解Θ。

(12)

(13)

2.2 IESO及航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油自抗擾控制器

(14)

(15)

式(13)～式(15)構(gòu)成了所提出的改進(jìn)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油自抗擾控制器 (Improved Aircraft Engine Steady State Fuel Active Disturbance Rejection Controller,IADRC)。將式(15)代入式(1)可得：

(16)

3 IESO收斂性及閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.1 IESO的收斂性分析

(17)

(18)

本文考慮觀測誤差系統(tǒng)即式(18)滿足以下假設(shè)。

假設(shè)2：測量噪聲v(t)是有界的,滿足|v(t)|≤g。

假設(shè)3：存在ρ>0使得

依據(jù)以上假設(shè)得到以下IESO觀測誤差收斂性的結(jié)論。

定理1：考慮滿足假設(shè)1～假設(shè)3的觀測誤差系統(tǒng)即式(18),對(duì)于任意的μ>g,存在ωo>0和t1>0,使得

|ei(t)|≤μ,i=1,2,3,t>t1

證明：求解(18)可得

(19)

(20)

|(A-1B1)i|≤ζ

(21)

(22)

由于A為Hurwitz矩陣,因此存在一個(gè)有限時(shí)間t1>0,使得：

(23)

(24)

(25)

|qi(t)|≤|(A-1B2)i|+|(A-1eωoAtB2)i|,i=1,2,3

(26)

對(duì)于上式的A和B2有A-1B2=[v(t) 0 0]T,根據(jù)假設(shè)2中噪聲的有界性,由式(23)可得：

(27)

(28)

由式(21)～式(28)可得：

(29)

因此有

(30)

由式(19)可知：

|ηi(t)|≤|[eωoAtη(0)]i|+|pi(t)|+|qi(t)|,
t≥t1,i=1,2,3

(31)

(32)

因此,在考慮觀測噪聲的條件下,對(duì)于任意μ>g,存在ωo>0和有限時(shí)間t1使得|ei(t)|≤μ,定理1得證。

由式(22)和式(25)可以看出,ζ和σ與假設(shè)2中的常數(shù)ρ有關(guān),并且ρ越小,ζ和σ也越小。同時(shí)式(32)表明,對(duì)于確定的觀測器帶寬ωo,當(dāng)ζ和σ越小時(shí),由于參數(shù)li選擇的特殊性,式(32)中不等式右側(cè)的值也會(huì)越小。因此當(dāng)ρ越小時(shí),對(duì)于要求的觀測誤差精度μ,就可以配置更小的觀測器帶寬ωo來滿足要求。

3.2 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

(33)

(34)

(35)

式中：

定理2：考慮滿足假設(shè)1～假設(shè)4的式(35)存在控制器參數(shù)k1、k2和時(shí)刻t1,使得eN(t),t≥t1對(duì)于任意有界輸入r(τ),τ∈[0,t)是有界的。

證明：式(35)的解為

eN(t)=eA1teN(0)+φ(t)

(36)

φ(t)的有界性。由定理1可得存在常數(shù)ωo>0使得：

|ei(t)|≤μi,i=1,2,3,t≥t2

(37)

式中：γ=k1μ1+k2μ2+μ3+ρ+c。令B4=[0γ]T,可得：

(38)

(39)

由于A1是Hurwitz矩陣,存在一個(gè)有限時(shí)間t3>0,使得：

(40)

令t1=max{t2,t3},有

(41)

由式(41)可得：

(42)

由式(38)、式(41)、式(42)可得：

(43)

eA1teN(0)的有界性。由式(40)可得：

(44)

由于

(45)

由式(44)和式(45)可得,對(duì)于任意t≥t1,下列不等式成立

(46)

定理2得證。

4 仿真驗(yàn)證

本文基于MATLAB/Simulink進(jìn)行數(shù)值仿真,仿真系統(tǒng)中的雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)模型采用真實(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)建,可以很好地模擬發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)行。發(fā)動(dòng)機(jī)模型中轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)為二階,其他具體信息未知,因此發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)可以用式(1)描述。發(fā)動(dòng)機(jī)模型的輸出是相對(duì)換算轉(zhuǎn)速,高壓轉(zhuǎn)子的相對(duì)換算轉(zhuǎn)速N2由下式計(jì)算得到：

(47)

式中：Ncur為當(dāng)前轉(zhuǎn)速;Nmax-des為最大設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速。

控制目標(biāo)是控制高壓轉(zhuǎn)子的相對(duì)換算轉(zhuǎn)速N2從71.4上升并穩(wěn)定在78。首先采用本文所提出的方法對(duì)未知?jiǎng)討B(tài)f與未知控制系數(shù)b進(jìn)行一體化辨識(shí)。將步長設(shè)置為0.001 s,輸出的初值設(shè)置為y(1)=y(2)=y(3)=0.1,辨識(shí)所用的控制輸入為u(t)=100[sin(40t)+sin(60t)]+300+10rand,其中rand函數(shù)的功能是產(chǎn)生在0～1之間分布的隨機(jī)數(shù)。得到b的辨識(shí)結(jié)果為5.2,f的辨識(shí)結(jié)果為[y(k)-2y(k-1)+y(k-2)](0.001)-2-5.2u(k-2),依據(jù)b的辨識(shí)結(jié)果將參數(shù)b0整定為5.2。

b0不同時(shí)的轉(zhuǎn)速曲線如圖2所示?？梢钥闯霾捎胋的辨識(shí)結(jié)果整定的b0=5.2的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間較短,并且沒有明顯的超調(diào)。b0為b的辨識(shí)結(jié)果,可以避免復(fù)雜的參數(shù)試湊過程。

圖2 b0不同時(shí)的轉(zhuǎn)速曲線

圖3 ESO和IESO的總擾動(dòng)估計(jì)曲線

圖4 ESO和IESO的估計(jì)誤差曲線

燃油流量曲線與加減速計(jì)劃線如圖5所示,可以看出,燃油流量一直在加減速計(jì)劃線內(nèi),因此發(fā)動(dòng)機(jī)的燃油流量一直由穩(wěn)態(tài)控制器調(diào)節(jié)。

圖5 燃油流量曲線與加減速計(jì)劃線

假設(shè)控制指標(biāo)需要將相對(duì)換算轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在[77.99,78.01]范圍內(nèi),調(diào)節(jié)觀測器增益,最終將ESO的觀測器增益整定為ωo=65,將IESO的增益整定為ωo=20,此時(shí)的相對(duì)換算轉(zhuǎn)速曲線如圖6所示,轉(zhuǎn)速在IADRC和LADRC控制下達(dá)到均衡并穩(wěn)定在期望轉(zhuǎn)速,并且IADRC的超調(diào)與振蕩小于LADRC,說明在同樣的控制指標(biāo)下,IADRC的觀測器增益較小,IESO可以有效降低觀測器增益。

5 結(jié)束語

自抗擾控制器應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油控制存在參數(shù)b0整定困難、觀測器增益過高的問題。針對(duì)這兩個(gè)問題,本文設(shè)計(jì)了基于系統(tǒng)辨識(shí)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油自抗擾控制器,利用未知控制系數(shù)b的辨識(shí)信息快速整定b0并證明了所設(shè)計(jì)的IESO的收斂性,進(jìn)一步證明了控制系統(tǒng)的有界輸入和有界輸出的穩(wěn)定性,從而說明了所設(shè)計(jì)的控制器能夠保證航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速對(duì)參考轉(zhuǎn)速的跟蹤性能。最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)燃油自抗擾控制器的有效性。