南京師范大學附屬小學（210018） 王 倩

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。數(shù)量關系是運用數(shù)與符號對現(xiàn)實問題中的數(shù)量之間的關系、性質(zhì)或規(guī)律的表達，是解決問題的核心。在素養(yǎng)導向的新課程改革背景下，數(shù)量關系的教學又承載著怎樣的育人價值？可以通過何種教學路徑達成學生素養(yǎng)的提升呢？

一、作為教學任務的數(shù)量關系

（一）數(shù)量關系主題的編排特點

《課程標準》以“結構化整合”的方式，將“常見的數(shù)量關系”“式與方程”“正比例”“反比例”“探索規(guī)律”以及“運用四則運算解決問題”等內(nèi)容統(tǒng)整為“數(shù)量關系主題”。該主題的編排呈現(xiàn)如下兩個顯著特征。

第一，由零散到結構。通過以數(shù)量關系為主線的結構化重組，將原本零散的教學內(nèi)容進行整合，并根據(jù)學生的認知邏輯將其分為三個學習階段（如圖1）。第一學段注重對四則運算意義的學習，第二學段著重建立模型并提煉數(shù)量關系，第三學段則著眼于用字母表示關系或規(guī)律。其中，“建立模型”階段起著關鍵作用，這一階段既是對前一學段運算學習經(jīng)驗的總結和概括，也為進一步形成一般化表達和發(fā)展代數(shù)思維奠定了基礎。

圖1 數(shù)量關系的三個學習階段

第二，由內(nèi)隱到外顯。通過結構化的學習內(nèi)容安排，原本以隱含形式存在的數(shù)量關系得以明確呈現(xiàn)，且學習過程更加完備。以數(shù)量關系作為教學任務，能更加突出數(shù)學模型在解決現(xiàn)實問題中的重要性，并與抽象和推理能力相關聯(lián)，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的全面提升。

（二）常見的數(shù)量關系是該主題的關鍵內(nèi)容

如前所述，“常見的數(shù)量關系”學習是對一、二年級積累的運算學習經(jīng)驗進行總結和歸納，同時也是后續(xù)代數(shù)思維形成的基礎，因此在數(shù)量關系主題學習中扮演著承前啟后的關鍵角色?！墩n程標準》保留了2011 版已有的乘法模型“路程=速度×時間”“總價=單價×數(shù)量”，并增加了加法模型“總量=分量+分量”。這兩類模型可以通過變式形成減法和除法模型（見表1）。在小學數(shù)學中，大多數(shù)問題都可以運用上述三個數(shù)量關系及其變式或組合進行分析和解決。

表1 常見數(shù)量關系模型及其變式

加法數(shù)量關系具有統(tǒng)攝性。原先的“合并型”“移入型”“增加型”等加法模型，以及“剩余型”“比較型”“減少型”等減法模型都被“總量=分量+分量”所包含。此外，加法數(shù)量關系還具有豐富的內(nèi)涵，例如分量可以是多個，相同的量在不同的情境下可以是分量或總量等。除此之外，原有的乘法模型如“多個相同數(shù)的和”“面積計算”“倍數(shù)”“組合”等，以及除法模型如“平均分”“比率”等，都可以借助四則運算之間的關系構建以加法為核心的整體內(nèi)容結構。這不僅顯著減少了學生的記憶負擔，還培養(yǎng)了學生的結構化數(shù)學思維，促進了學生對數(shù)學簡潔美的體悟。

乘法數(shù)量關系有兩種模型。這兩種模型的共同點在于等號左邊的變量與等號右邊的變量成比例關系，但其差異在于“總量=單價×數(shù)量”與物體的個數(shù)有關，可以看作是一種特殊的加法模型，物體的數(shù)量在本質(zhì)上是一個系數(shù)；而“路程=速度×時間”與物理量有關，描述的是三個或多個變量之間的比例關系。因此，教師在教學中需要引導學生體悟乘法模型中量綱的意義，促進學生對模型內(nèi)涵的理解。

二、數(shù)量關系的內(nèi)涵及育人價值

（一）數(shù)量關系的內(nèi)涵

根據(jù)文獻研究，數(shù)量在現(xiàn)實問題中是一種客觀存在，任何事物都具有數(shù)量屬性。這些數(shù)量屬性可以分為廣延量和強度量兩種類型。廣延量是可以直接度量的量，例如長度、高度等；強度量則是無法直接度量的量，如速度、溫度等。數(shù)則是通過度量產(chǎn)生的結果，是用來描述量的語言工具。數(shù)量之間存在著多種關系，包括大小關系、順序關系、相等關系、不等關系、包含關系等，其中相等關系和不等關系是數(shù)量關系的主要表現(xiàn)形式。小學階段主要探討相等關系。

因此，數(shù)量關系是學生在頭腦中構建的關于量之間關系的結構，通過定量運算的方式呈現(xiàn)。數(shù)的運算與數(shù)量關系密切相關。如圖2 所示，運算在現(xiàn)實問題中反映了數(shù)量關系，如加法表示兩個數(shù)量的合并，而運算的結果以定量的方式實現(xiàn)了問題的解決。在解決問題時，數(shù)量關系是核心，它是數(shù)學和現(xiàn)實世界之間的橋梁。

圖2 數(shù)的運算與數(shù)量等之間的關系

（二）數(shù)量關系的育人價值

數(shù)量關系的學習使學生能夠以定量的方式認識和理解世界。它不僅是解決問題的有效方法，更是理性思維的一種體現(xiàn)，有助于學生深刻認識問題本質(zhì)。

從兒童學習的過程來看，數(shù)量關系學習的核心是建構模型。在學生首次建構模型的階段，常見的數(shù)量關系學習起到了關鍵的作用。數(shù)學模型的建構不應僅僅是一個以模型為目標的剛性要求，而應是一個靈活的過程，要從問題情境中提煉數(shù)學要素、確定關鍵元素、發(fā)現(xiàn)關鍵元素之間的關聯(lián)，并逐步做出數(shù)學表達。在這個過程中，數(shù)學語言是不可或缺的組成部分，而抽象和推理能力的支持也是不可或缺的（如圖3）。

圖3 數(shù)量關系學習過程

因此，常見的數(shù)量關系教學可以以一種完整的方式支持兒童數(shù)學素養(yǎng)的全面提升。在數(shù)量關系的教學中，應該注重關系的發(fā)現(xiàn)，在對生活問題的逐層抽象中完成問題的數(shù)學化，培養(yǎng)學生的數(shù)學眼光；注重的關系理解，以運算能力和推理意識為底色，發(fā)展學生的數(shù)學思維；注重關系的應用，以數(shù)學的方式認識和描述真實世界，深化學生的數(shù)學語言。

三、用數(shù)量關系涵養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的實踐路徑

（一）發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系：培養(yǎng)數(shù)學的眼光

在構建加法和乘法的數(shù)量關系時，應該以學生已有的利用四則運算解決問題的經(jīng)驗為基礎。因此，教學的第一步可以提供一組有關聯(lián)但形式不同的情境，以激活學生的經(jīng)驗。通過這個過程，學生可以發(fā)現(xiàn)紛繁復雜的世界中蘊含著內(nèi)在的規(guī)律，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學眼光。在接下來的明確關系階段，學生需要嘗試借助符號和圖示來自主表征，運用符號來表示數(shù)量、關系和一般規(guī)律，從而發(fā)展符號意識。此外，通過幾何直觀的方式來理解問題的本質(zhì)和明確思維路徑，也有助于學生發(fā)展幾何直觀能力。

1.廣素材供給，達成關系感知

以加法數(shù)量關系為例，在教學的初始階段，教師可以基于學生的生活現(xiàn)實，結合參觀天文臺的情境，選擇豐富的數(shù)學素材來支持教學（如圖4）。這些數(shù)學素材涵蓋了不同的加法類型，豐富了學生對加法數(shù)量關系的感知，為后續(xù)提取共性和建構模型提供了豐富的資源。學生在自主解決這些問題的過程中，初步發(fā)現(xiàn)了其中的共性，提取了加法數(shù)量關系的邏輯雛形。這為后續(xù)學生逐步剝離具體情境，通過對比分析來接近數(shù)學本質(zhì)提供了經(jīng)驗支持。

圖4 教學素材

2.關鍵量突破，促進要素識別

對于乘法數(shù)量關系，要特別關注高度抽象的關鍵概念——速度。速度作為一個強度量，是人為創(chuàng)造的，表達的是路程與時間的比例關系。在情境中理解速度這一關鍵概念，有助于學生識別關系中的關鍵要素。

在教學中，可以以“推薦誰參加短跑比賽”為驅(qū)動性問題，引導學生通過討論明確“當路程一定時，時間短的就是跑得快；當時間一定時，路程長的就是跑得快”的結論，進一步引出速度的概念，讓學生意識到速度與路程和時間之間的關系。接著，在展示運動場景“第一位同學以恒定的速度跑完50 米，耗時10 秒；第二位同學跑步時開始速度較快，后來速度逐漸減慢，也是用10 秒跑完50 米”后，提出問題：“全程誰的速度快？”通過觀察運動過程，學生獲得了最直接的“速度感”，速度作為度量工具的價值變得明顯，速度與路程和時間的關系也更加清晰。

3.多層級抽象，明確關系內(nèi)核

縱觀發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系的過程，學生需要抓住共性，且經(jīng)歷三個層次的抽象過程（如圖5）。

圖5

以乘法數(shù)量關系為例。首先，基于具體情境和乘法學習的已有經(jīng)驗，學生在自主分析和解決問題的過程中形成了對模型的兒童化表征（如圖6-1、6-2）。

圖6-1

其次，基于對數(shù)量關系式的觀察，學生在解決問題的過程中提取出多個數(shù)量關系式（如圖7），并在觀察、交流中分析這類問題的共同之處，獲得“速度”“時間”“路程”及這三個量之間的關系。

圖7

最后，繪制線段圖（如圖8），利用幾何直觀促進學生深化理解，明確乘法數(shù)量關系的內(nèi)核。

圖8

（二）理解數(shù)量關系：發(fā)展數(shù)學的思維

學生是否能夠理解數(shù)量關系，取決于他們是否能夠在頭腦中通過識別關聯(lián)量的概念來建立關系網(wǎng)絡。教師應該鼓勵學生學會講道理，進行有條理的思考和表達，這些都是推理意識發(fā)展的重要方面。此外，在將數(shù)量關系推廣到變式形式和從加法模型推演到其他模型的過程中，要抓住四則運算之間的聯(lián)系，使學生能夠更好地理解數(shù)量關系的普遍性，發(fā)展他們的數(shù)學思維。

1.向內(nèi)求索，打通模型內(nèi)在聯(lián)系

通過向內(nèi)求索，可以深化對數(shù)量關系各部分之間的理解。例如，對于乘法數(shù)量關系，可以設置一個“火車提速”的情境（如圖9）。在這個情境中，學生能夠感受到隨著時代的變遷，返鄉(xiāng)所需時間縮短，火車速度提升，從而體驗乘法數(shù)量關系中蘊含的函數(shù)關系。此外，在真實的場景中，學生能夠主動運用乘法數(shù)量關系來分別求解時間和速度，并完成了由“路程=速度×時間”到“速度=路程÷時間”“時間=路程÷速度”的過程。這進一步打通了模型中各部分之間的內(nèi)在關聯(lián)。

圖9 “火車提速”的情境

2.逆向推理，溝通模型外部關聯(lián)

在數(shù)量關系中，加法是四則運算的基礎，也是構建數(shù)學知識的基石。以加法數(shù)量關系為根基，可以通過“逆推”的思想進一步延展出減法；抓住乘法數(shù)量關系，也可以推理出除法。以加法數(shù)量關系的學習為例，學生通過自主表征逐步理解了加法數(shù)量關系的內(nèi)涵之后，就可以借助模型直接推導分量和總量之間的關系。教師可以先通過問題“求總量我們可以用加法，那如果求分量，該怎么辦呢？”引導學生推理出“分量=總量－分量”；再引導學生回歸現(xiàn)實素材，將加法問題改編為求分量的兩類減法問題（如圖10-1）；最后，讓學生嘗試自主舉例（如圖10-2），通過逆向推理進一步拓展模型之外的關聯(lián)。

圖10-1 教學素材

（三）應用數(shù)量關系：深化數(shù)學的語言

在應用環(huán)節(jié)中，可以采用多樣的形式來促進學生對數(shù)量關系的深入理解。這樣可以讓他們感受到數(shù)量關系的統(tǒng)攝價值和普適價值，體會數(shù)學表達的高度凝練和千變?nèi)f化，培養(yǎng)他們主動運用數(shù)量關系解決問題的意識，進一步提升他們的模型意識和應用意識。此外，利用數(shù)量關系來發(fā)現(xiàn)問題、制訂決策方案、尋求合理的問題解決策略等，也是學生發(fā)展應用意識的關鍵；通過探索自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境中所蘊含的規(guī)律，完整地經(jīng)歷數(shù)學的“再發(fā)現(xiàn)”過程，也有助于學生提高創(chuàng)新意識。

1.感知模型普適性，回望生活場域

在數(shù)量關系模型初步建立之后，可以通過問題“能舉出一兩個例子來說明今天學習的數(shù)量關系在生活中的應用嗎？”引導學生重新觀察生活，這樣可以激發(fā)學生重新審視生活中的素材。例如，學生學習了“路程=速度×時間”之后，可能會想到“在體育比賽中常常會用到路程、速度和時間的概念”或者“跑步應用程序中會顯示路程、速度和時間?？梢愿鶕?jù)其中的任意兩個信息求出第三個信息”。通過這樣的思考，學生可意識到現(xiàn)實生活中有許多問題都與數(shù)學有關，可以用數(shù)學的概念和方法來解釋生活世界。

2.體會應用靈活性，再探真實世界

數(shù)量關系源于現(xiàn)實生活，是對現(xiàn)實生活中存在規(guī)律的高度概括。以乘法數(shù)量關系的學習為例，學生可以在真實的生活場景中進行“出行規(guī)劃”（如圖11 所示）。學生可以利用乘法數(shù)量關系計算出理論上的出發(fā)時間，同時在討論中明確“實際情況中往往需要提前出行，以留出足夠的時間”。通過這樣的探索，學生能夠清楚地認識到數(shù)學可以解決生活中的問題，但也需要結合實際情況做出決策。這樣的教學可以幫助學生更好地理解數(shù)學與生活的聯(lián)系，并培養(yǎng)學生將數(shù)學概念應用到實際問題解決中的能力。

圖11 學生的“出行規(guī)劃”

3.激發(fā)思維創(chuàng)造性，解決跨域問題

數(shù)量關系的學習應該幫助學生感受數(shù)學與其他學科之間的關系，通過跨學科的應用激發(fā)學生的創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生的理性思維。以乘法數(shù)量關系為例，“數(shù)讀古詩”（如圖12）可以引導學生從數(shù)量關系的視角去品讀古詩《早發(fā)白帝城》，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數(shù)量關系，并嘗試提出和解決問題。學生發(fā)現(xiàn)古詩中的一句“千里江陵一日還”涉及速度、時間和路程的關系，提出“李白去千里之外的江陵，坐船一天就能到達嗎？”的問題。通過計算，學生可以求出當時的船速，并且提出現(xiàn)代中國漁船的航行速度也只有大約20 千米/小時，所以古代的船速是不可能這么快的。至此，學生體會到這首古詩中李白運用了夸張的修辭手法，以表達歸心似箭的心情。

圖12 “數(shù)讀古詩”素材

《課程標準》頒布時間不長，如何進一步明確數(shù)量關系教學所蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)，如何進一步在核心素養(yǎng)導向下優(yōu)化數(shù)量關系教學的路徑，如何進一步在數(shù)量關系這一與現(xiàn)實生活關系密切的學習內(nèi)容中探索綜合化、跨域性的學習方式，都值得探索！