暢博彥， 閆圣杰， 梁 棟， 關(guān) 鑫， 韓芳孝

（1. 天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300387；2. 天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300387）

折展機(jī)構(gòu)是一類(lèi)能夠從收攏狀態(tài)展開(kāi)至預(yù)定結(jié)構(gòu)形式且能承受特定載荷的機(jī)構(gòu)[1-2]。折展機(jī)構(gòu)收攏時(shí)具有較小的體積，便于運(yùn)輸和儲(chǔ)存，展開(kāi)時(shí)具有較大的包絡(luò)體積和工作面積。目前，折展機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于土木工程、航空航天和醫(yī)療等領(lǐng)域[3-12]。

在工程應(yīng)用中，泊松比是一個(gè)重要的材料參數(shù)，其定義為材料橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比值，可用于計(jì)算材料的應(yīng)力狀態(tài)和變形特性。大多數(shù)常見(jiàn)的工程材料具有正泊松比，即其在受壓時(shí)橫向膨脹。相比之下，負(fù)泊松比材料在受壓時(shí)橫向收縮，這種材料在抗剪承載力、抗斷裂性、能量吸收和壓陷阻力等方面比傳統(tǒng)材料更具優(yōu)勢(shì)。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)負(fù)泊松比材料提出了多種設(shè)計(jì)方法。Yang等[13]通過(guò)將傳統(tǒng)蜂窩網(wǎng)格結(jié)構(gòu)擴(kuò)展至三維空間的方式，設(shè)計(jì)了一種可在三維空間內(nèi)壓縮的負(fù)泊松比超材料；Babaee等[14]利用屈曲分析方法設(shè)計(jì)了一種彈性球殼結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)在受到壓縮載荷時(shí)橫向收縮，從而實(shí)現(xiàn)三維負(fù)泊松比效應(yīng)；Grima 等[15]通過(guò)將正方形胞元的頂點(diǎn)連接成柔性鉸鏈，使正方形能夠直接發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，從而設(shè)計(jì)得到一種具有負(fù)泊松比效應(yīng)的二維超材料。

折紙技術(shù)作為一種設(shè)計(jì)新結(jié)構(gòu)和超材料的方法，近年來(lái)受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。受折紙啟發(fā)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不僅可實(shí)現(xiàn)平面與空間之間復(fù)雜形狀的轉(zhuǎn)換，而且可獲得一些在傳統(tǒng)材料設(shè)計(jì)和合成中難以實(shí)現(xiàn)的特殊力學(xué)性能[16]。此外，折紙結(jié)構(gòu)在面內(nèi)的折疊變形使其非常適用于拉脹材料的設(shè)計(jì)，因此各種折紙折痕單元被廣泛應(yīng)用于負(fù)泊松比超材料[17]。例如，具有單自由度的三浦折紙圖案[18-19]是使用最廣泛的折紙圖案之一，其已被證明具有大折展率、負(fù)泊松比和各向異性剛度[20-22]。Yang 等[23]受折紙啟發(fā)，提出了一種模塊化可重構(gòu)超材料，將由Sarrus機(jī)構(gòu)和平面四桿機(jī)構(gòu)組成的可轉(zhuǎn)換模塊按照鑲嵌模式連接，以形成周期性結(jié)構(gòu)；Chen等[24]對(duì)廣義四折痕折紙的幾何力學(xué)進(jìn)行了研究，為材料面內(nèi)泊松比和面內(nèi)剛度的逆設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)，并通過(guò)三浦折紙進(jìn)行了驗(yàn)證；Wang等[25]提出了一種新的二維可控孔隙率拉脹材料設(shè)計(jì)方法，結(jié)果表明，花生形孔比橢圓形孔具有更大的泊松比和更小的應(yīng)力。

相對(duì)于負(fù)泊松比的結(jié)構(gòu)和材料，變泊松比的結(jié)構(gòu)和材料則更少見(jiàn)。Taylor等[26]提出了一種新方法來(lái)設(shè)計(jì)抗沖擊彈性體結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)具有變泊松比特性，故其沖擊響應(yīng)較好，被廣泛應(yīng)用于沖擊和保護(hù)裝置；Fleisch等[27]通過(guò)在傳統(tǒng)晶胞中引入不對(duì)稱(chēng)性，提出了2種泊松比可變的結(jié)構(gòu)；Pratapa等[28]將三浦折紙與蛋殼狀折痕相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種名為Morph的折紙機(jī)構(gòu)，可通過(guò)改變山谷折痕的分布使折紙機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)正、負(fù)泊松比的切換，并構(gòu)建了拉伸和彎曲狀態(tài)下的泊松比計(jì)算公式；Khan等[29]基于傳統(tǒng)蜂窩網(wǎng)格設(shè)計(jì)了一種具有可調(diào)控泊松比的超材料，并加入了壓電材料，實(shí)現(xiàn)了泊松比與機(jī)電特性的耦合調(diào)節(jié)。

然而，目前大多數(shù)折展機(jī)構(gòu)具有正泊松或零泊松運(yùn)動(dòng)特性，具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的折展機(jī)構(gòu)極少。為此，筆者以折紙機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)，提出一種單閉環(huán)厚板支撐單元，并對(duì)其支撐剛度進(jìn)行分析。然后，根據(jù)泊松比的定義，設(shè)計(jì)了一種具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)，并以機(jī)構(gòu)不發(fā)生物理干涉為前提，以折展機(jī)構(gòu)可無(wú)限縱向擴(kuò)展為設(shè)計(jì)目標(biāo)，基于機(jī)構(gòu)學(xué)理論來(lái)闡述機(jī)構(gòu)模塊化擴(kuò)展的原理和過(guò)程。最后，通過(guò)建立折展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和虛擬樣機(jī)模型來(lái)分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律及特點(diǎn)。

1 單閉環(huán)厚板模型

本文提出了一種正n邊形的單閉環(huán)折紙模型（n=2ξ+2，ξ∈N*，N*為正整數(shù)集），如圖1所示。其中：正n邊形的外角φ=360°/n。

圖1 正n邊形單閉環(huán)折紙模型的折痕分布示意Fig.1 Crease distribution diagram of regular n-sided single-closed-loop origami model

當(dāng)n=4時(shí)，該模型由4個(gè)全等的L形紙板和4個(gè)全等的矩形紙板組成。4 個(gè)L 形紙板的形心Su(u=1,2, …, 4)與正四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)重合；正四邊形的4條邊可以看成4條支鏈Lu，支鏈Lu由1個(gè)矩形紙板Fu經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)副Ruv(v=1, 2, …, 4)與相鄰2個(gè)L形紙板相連，各紙板的連接關(guān)系如圖2所示。

圖2 正四邊形單閉環(huán)折紙模型Fig.2 Regular quadrilateral single-closed-loop origami model

將圖2 所示的折紙模型轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的厚板模型，如圖3(a)所示，各個(gè)板件均剛性連接且厚度相同，其中θ為L(zhǎng) 形板件與矩形板件之間的夾角，且θ∈[0°, 180°]。通過(guò)共用板件的方式進(jìn)行模塊化擴(kuò)展，得到對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展模型，如圖3(b)所示。

圖3 正四邊形厚板模型的擴(kuò)展Fig.3 Extension of regular quadrilateral thick plate model

正四邊形厚板擴(kuò)展模型可用于三明治結(jié)構(gòu)。目前，三明治結(jié)構(gòu)常用的夾芯層形狀主要有幾字形、梯形、蜂窩形和拱形等，如圖4所示。

圖4 常用的夾芯層形狀Fig.4 Common shapes of sandwich layer

三明治結(jié)構(gòu)作為支撐結(jié)構(gòu)應(yīng)用時(shí)須具備較高的剛度，因此對(duì)其進(jìn)行靜剛度分析是至關(guān)重要的。將4 種常用的三明治結(jié)構(gòu)與夾芯層采用θ=60°，90°和120°（銳角、直角和鈍角狀態(tài)下各取一種）的正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比分析。各夾芯層均采用相同的材料和結(jié)構(gòu)尺寸，密度、楊氏彈性模量和泊松比分別取7.58×103kg/m3，2.6×106MPa 和0.3，高度、長(zhǎng)度和寬度分別為35，530，115 mm。夾芯層為正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)的面板設(shè)計(jì)參數(shù)如表1 所示。4 種常用三明治結(jié)構(gòu)的面板參數(shù)與采用θ=90°的正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)相同。在ANSYS Workbench 軟件中建立7 種三明治結(jié)構(gòu)的有限元分析模型，在其頂部面板上施加50 N 的均布載荷（方向垂直向下）并進(jìn)行靜力學(xué)分析，結(jié)果如圖5所示。

表1 3種新三明治結(jié)構(gòu)的面板設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 Panel design parameters for three new sandwich structures 單位：mm

圖5 7種三明治結(jié)構(gòu)的變形云圖Fig.5 Deformation nephogram of seven sandwich structures

7 種三明治結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力、最大變形量和夾芯層質(zhì)量如表2所示。由表2可知，在承受相同載荷的條件下，夾芯層采用正四邊形厚板擴(kuò)展模型時(shí)，三明治結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小且其應(yīng)力、變形量較小；在夾芯層同為正四邊形厚板擴(kuò)展模型時(shí)，在3種波紋形狀中，θ=60°時(shí)的應(yīng)力、變形量最小，θ=120°時(shí)的應(yīng)力、變形量最大。

表2 7種三明治結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力、最大變形量和夾芯層質(zhì)量Table 2 Maximum stress, maximum deformation and sandwich layer mass of seven sandwich structures

2 具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的剪叉式折展機(jī)構(gòu)

2.1 正n邊形厚板模型的等效機(jī)構(gòu)模型

通過(guò)上文分析可知，夾芯層為正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)具有很好的支撐效果，故對(duì)其進(jìn)行深入研究。分別取4個(gè)θ=60°和4個(gè)θ=120°的厚板模型組成正四邊形支撐結(jié)構(gòu)，在其模型上表面施加50 N 的均布載荷（方向垂直上表面向下），對(duì)其進(jìn)行靜力學(xué)分析，結(jié)果如圖6 所示。由圖6 可以看出，當(dāng)θ=60°時(shí)，正四邊形支撐結(jié)構(gòu)在X和Y方向上均呈“壓縮”趨勢(shì)，即具有負(fù)泊松比效應(yīng)；當(dāng)θ=120°時(shí)，該結(jié)構(gòu)在X和Y方向上均呈“壓脹”趨勢(shì)，即具有正泊松比效應(yīng)。由此可知，通過(guò)改變正四邊形支撐結(jié)構(gòu)中θ的大小，即可實(shí)現(xiàn)其正負(fù)泊松比的改變，即變泊松比特性。

圖6 夾角θ對(duì)正四邊形支撐結(jié)構(gòu)泊松比效應(yīng)的影響Fig.6 Ⅰnfluence of included angle θ on Poisson's ratio effect of regular quadrilateral support structure

將2個(gè)正n邊形厚板模型按圖7所示的方式構(gòu)造正n邊形剪叉式厚板模型，并在此基礎(chǔ)上將其進(jìn)一步等效為桿件模型，其對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)命名為具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的剪叉式折展機(jī)構(gòu)。

圖7 正n邊形厚板模型的等效機(jī)構(gòu)模型Fig.7 Equivalent mechanism model of regular n-sided thick panel model

2.2 正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)有限元仿真

鑒于圖7所示正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)在縱向上的構(gòu)造相同，選取正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)為例，對(duì)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)特性進(jìn)行有限元仿真分析。在折展機(jī)構(gòu)模型上表面的4個(gè)桿件上分別施加12.5 N的均布載荷（方向垂直向下），對(duì)下表面的4個(gè)桿件施加固定約束，仿真分析結(jié)果如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可以看出，正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)與圖6所示的正四邊形支撐結(jié)構(gòu)具有相同的變泊松比效應(yīng)，即當(dāng)θ=60°時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在X和Y方向上均呈壓縮趨勢(shì)，即具有負(fù)泊松比效應(yīng)；當(dāng)θ=120°時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在X和Y方向上均呈壓脹趨勢(shì)，即具有正泊松比效應(yīng)。

圖8 θ=60°時(shí)正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)示意Fig.8 Schematic of ngative Poisson' ratio effect of regular quadrilateral scissor deployable mechanism with θ=60°

圖9 θ=120°時(shí)正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的正泊松比效應(yīng)示意Fig.9 Schematic of positive Poisson' ratio effect of regular quadrilateral scissor deployable mechanism with θ=120°

圖10所示為θ不同時(shí)正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)在軸向壓縮載荷作用下的橫向應(yīng)變。由圖10可以看出，該折展機(jī)構(gòu)沿X和Y方向的應(yīng)變分布幾乎一致，且當(dāng)θ∈(0°, 90°)時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在對(duì)應(yīng)位姿下的橫向應(yīng)變均小于0，呈壓縮趨勢(shì)，即具有負(fù)泊松比效應(yīng)；當(dāng)θ∈(90°, 180°)時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在對(duì)應(yīng)位姿下的橫向應(yīng)變均大于0，呈壓脹趨勢(shì)，即具有正泊松比效應(yīng)；當(dāng)θ=90°時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在對(duì)應(yīng)位姿下的橫向應(yīng)變等于0，即具有零泊松比效應(yīng)。由此可知，通過(guò)改變正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中θ的大小，即可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)泊松比的調(diào)節(jié)。

圖10 正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)橫向應(yīng)變的變化曲線Fig.10 Variation curve of transverse strain of regular quadrilateral scissor deployable mechanism

3 剪叉式折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

3.1 機(jī)構(gòu)自由度分析

為了分析正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的自由度，建立其空間笛卡爾坐標(biāo)系O11X11Y11Z11，如圖11 所示（以正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)為例）。其中：X11軸、Y11軸與底部正四邊形的2條鄰邊重合，其交點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)O11，Z11軸由右手定則確定。A1i～E1i（i∈[1,n]）為轉(zhuǎn)動(dòng)副，桿件A11D11與X11軸的夾角為θ，桿件O1iB1i和桿件A1iO1i+1的長(zhǎng)度為a，桿件A1iD1i和桿件B1iC1i的長(zhǎng)度為b，桿件A1iE1i、B1iE1i、C1iE1i、D1iE1i的長(zhǎng)度為c，其中b=2c。

基于圖論和螺旋理論，用圓圈表示桿件，線條表示運(yùn)動(dòng)副，帶數(shù)字的運(yùn)動(dòng)旋量表示不同關(guān)節(jié)處的運(yùn)動(dòng)，如用$1表示連接桿件A11D11與B11C11的轉(zhuǎn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)，即可得到具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的旋量約束拓?fù)鋱D，如圖12所示。

圖12 正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的旋量約束拓?fù)鋱DFig.12 Screw constraint topology graph of regular quadrilateral scissor deployable mechanism

根據(jù)連接桿件A11D11與桿件B11C11的轉(zhuǎn)動(dòng)副1 的空間位置坐標(biāo)，可得：

式中：r1為轉(zhuǎn)動(dòng)副1的空間位置矩陣。

則轉(zhuǎn)動(dòng)副1的轉(zhuǎn)軸所在軸線的方向矢量為：

根據(jù)螺旋理論，可得轉(zhuǎn)動(dòng)副1的運(yùn)動(dòng)螺旋，其單位螺旋的表達(dá)式為：

同理，可得圖12中其他運(yùn)動(dòng)螺旋的表達(dá)式。定義ωk表示相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)副的角速度，針對(duì)圖12中的閉環(huán)Ⅰ～Ⅳ，建立相應(yīng)的旋量約束方程，則可得正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的旋量約束方程：

式中：0為六維零向量。

將式(4)寫(xiě)成矩陣的形式，可得：

其中：

由此可知，旋量約束矩陣M為24×20矩陣。正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的自由度對(duì)應(yīng)旋量約束矩陣的零空間維數(shù)，通過(guò)MATLAB軟件計(jì)算可得：

旋量約束矩陣M的列數(shù)為20，其零空間維數(shù)為列數(shù)減去秩，因此可得正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的自由度為1。

3.2 機(jī)構(gòu)模塊化擴(kuò)展

將一系列折展機(jī)構(gòu)單元模塊按一定的機(jī)構(gòu)學(xué)原理連接在一起，即可構(gòu)成大尺度折展機(jī)構(gòu)。對(duì)于包含m(m≥3)層模塊的剪叉式折展機(jī)構(gòu)，(m-2)層中間模塊通過(guò)共用桿件的方式上下正反交替地安裝在頂部模塊與底部模塊之間，如圖13所示。通過(guò)模塊化疊加，即可實(shí)現(xiàn)整個(gè)折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)行程的比例放大。

圖13 m層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)Fig.13 Regular quadrilateral scissor deployable mechanism with m-layer

與傳統(tǒng)可展機(jī)構(gòu)相比，上述剪叉式折展機(jī)構(gòu)具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）僅含轉(zhuǎn)動(dòng)副，不易出現(xiàn)卡死現(xiàn)象，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性高。

2）可模塊化擴(kuò)展，通過(guò)改變中間模塊的數(shù)量即可改變整體伸縮量。

3）機(jī)構(gòu)為單驅(qū)動(dòng)輸入，便于操作和控制。

4）機(jī)構(gòu)具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性，其展開(kāi)時(shí)面積大，收縮時(shí)面積小。

3.3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中，1個(gè)剪叉桿件和4個(gè)L形桿件構(gòu)成一個(gè)側(cè)面單元。令第1層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中的第1個(gè)側(cè)面單元的體坐標(biāo)系O11X11Y11Z11為基坐標(biāo)系，如圖11所示，該側(cè)面單元上的點(diǎn)表示為P11；按照逆時(shí)針?lè)较?，坐?biāo)系O12X12Y12Z12為第1 層中第2 個(gè)側(cè)面單元的體坐標(biāo)系，該側(cè)面單元上的點(diǎn)表示為P12，以此類(lèi)推可得P13、P14、…、P1n；同理，第h(1＜h≤m)層中n個(gè)側(cè)面單元上的點(diǎn)表示為Ph1、Ph2、…、Phn。在第h層剪叉式折展機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程中，坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi到Oh(i+1)Xh(i+1)Yh(i+1)Zh(i+1)的變換過(guò)程可看作：坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi從點(diǎn)Ohi平移到Oh(i+1)，再繞Zhi軸的正方向旋轉(zhuǎn)φ。在m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中，點(diǎn)Oh(i+1)在坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi中的位置矩陣hiOh(i+1)可表示為：

因此，從坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi到Oh(i+1)Xh(i+1)Yh(i+1)Zh(i+1)的變換矩陣hiTh(i+1)為：

坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi到O(h+1)iX(h+1)iY(h+1)iZ(h+1)i的變換可看作坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi從點(diǎn)Ohi平移到O(h+1)i。O(h+1)i在坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi中的位置矩陣hiO(h+1)i可表示為：

則從坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi到O(h+1)iX(h+1)iY(h+1)iZ(h+1)i的變換矩陣hiQ(h+1)i為：

根據(jù)式(8)和式(10)，可得到各單元與各層之間的變換矩陣。再將式(8)與式(10)相乘，可得從基坐標(biāo)系O11X11Y11Z11到動(dòng)坐標(biāo)系OgjXgjYgjZgj(j=2～n,g=1～m)的變換矩陣11Tgj：

在m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中，動(dòng)坐標(biāo)系OgjXgjYgjZgj中任意一點(diǎn)Pgj在基坐標(biāo)系中的位置矩陣Pgj可表示為：

分別對(duì)式(12)求關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，可得相應(yīng)的速度方程和加速度方程：

對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系OgjXgjYgjZgj中的點(diǎn)Pgj，用vXgj、vYgj和vZgj表示其速度分量，用aXgj、aYgj和aZgj表示其加速度分量，設(shè)點(diǎn)P11在基坐標(biāo)系中的位置矩陣P11=［XP110ZP11］T，根據(jù)式(13)和式(14)，可得:

設(shè)定a=200 mm、b=130 mm，建立3層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的三維虛擬樣機(jī)模型，通過(guò)仿真分析其運(yùn)動(dòng)過(guò)程，如圖14所示。其中，桿件A11D11為驅(qū)動(dòng)桿，在θ∈(0°, 180°)范圍內(nèi)以3 (°)/s的角速度作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)式(12)至式(16)，對(duì)該剪叉式折展機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和編程計(jì)算，可得其轉(zhuǎn)動(dòng)副D32處的位移、速度和加速度曲線，如圖15所示。

圖14 3層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程Fig.14 Motion process of regular quadrilateral scissor deployable mechanism with three-layer

圖15 3 層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中轉(zhuǎn)動(dòng)副D32處的運(yùn)動(dòng)規(guī)律Fig.15 Motion law at the revolute D32 of three-layer regular quadrilateral scissor deployable mechanism

由圖15可以看出，在3層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其轉(zhuǎn)動(dòng)副D32沿X方向的位移隨著θ的增大而增大，沿Z方向的位移先增大后減小，即當(dāng)θ∈(0°, 90°)時(shí)，機(jī)構(gòu)處于拉脹運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)θ∈(90°, 180°)時(shí)，機(jī)構(gòu)處于壓脹運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。此外，虛擬仿真結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致，驗(yàn)證了所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性和有效性。

3.4 泊松運(yùn)動(dòng)特性分析

結(jié)合材料力學(xué)中關(guān)于泊松比的定義[30]，對(duì)于m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)，令θ=90°時(shí)為機(jī)構(gòu)的初始位形，此時(shí)機(jī)構(gòu)的外接圓直徑mw0和高度mH0為：

當(dāng)θ從90°減小到0°時(shí)，機(jī)構(gòu)處于壓縮運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)θ從90°增大到180°時(shí)，機(jī)構(gòu)處于壓脹運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。2 種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下機(jī)構(gòu)的外接圓直徑mw和高度mH為：

根據(jù)式(17)至式(20)，可得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中外接圓直徑和高度的變化：

根據(jù)泊松比的定義[30]，機(jī)構(gòu)泊松運(yùn)動(dòng)特性的系數(shù)νP為：

同樣設(shè)a=200 mm、b=130 mm，利用式(23)求得m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的泊松運(yùn)動(dòng)特性系數(shù)，如圖16所示。由圖16可以看出，當(dāng)θ∈(0°, 90°)時(shí)，折展機(jī)構(gòu)處于“負(fù)泊松”運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)θ∈(90°, 180°)時(shí)，折展機(jī)構(gòu)處于“正泊松”運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且折展機(jī)構(gòu)的泊松運(yùn)動(dòng)特性系數(shù)與其層數(shù)和多邊形邊數(shù)無(wú)關(guān)，只與L 形桿件的幾何參數(shù)a以及剪叉桿件的幾何參數(shù)b有關(guān)。此外，當(dāng)θ趨近于90°時(shí)，折展機(jī)構(gòu)的泊松運(yùn)動(dòng)特性系數(shù)趨近于無(wú)窮大，即在θ=90°的δ鄰域(90°-δ, 90°+δ)內(nèi)，折展機(jī)構(gòu)很小的高度變化即可引起較大的橫截面尺寸變化。

圖16 正n 邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)泊松運(yùn)動(dòng)特性系數(shù)的變化曲線Fig.16 Variation curve of Poisson motion characteristic coefficient of regular n-sided scissor deployable mechanism

綜上所述，隨著θ的變化，正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)泊松運(yùn)動(dòng)特性的變化。由2.1和2.2節(jié)可知，機(jī)構(gòu)在任意角度處鎖定時(shí)，可形成對(duì)應(yīng)的剪叉式折展支撐結(jié)構(gòu)，θ∈(0°, 90°)時(shí)的支撐結(jié)構(gòu)具有負(fù)泊松比特性，θ∈(90°, 180°)時(shí)的支撐結(jié)構(gòu)具有正泊松比特性。因此，正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)可以通過(guò)變泊松運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)支撐結(jié)構(gòu)的變泊松比特性?；?D打印技術(shù)搭建了正四邊形支撐結(jié)構(gòu)與正四邊形剪叉式折展支撐結(jié)構(gòu)的實(shí)物樣機(jī)，分別如圖17 和圖18所示。

圖17 正四邊形支撐結(jié)構(gòu)樣機(jī)研制Fig.17 Development of regular quadrilateral support structure prototype

圖18 正四邊形剪叉式折展支撐結(jié)構(gòu)樣機(jī)研制Fig.18 Development of regular quadrilateral scissor deployable support structure prototype

4 結(jié) 論

1）根據(jù)三明治結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，提出一種正n邊形分布的單閉環(huán)折紙模型，將折紙模型轉(zhuǎn)化為厚板模型，通過(guò)共用板件的方法進(jìn)行模塊化擴(kuò)展。運(yùn)用ANSYS Workbench軟件對(duì)7種三明治結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，得到夾芯層為正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)的支撐剛度較大且質(zhì)量最小。

2）運(yùn)用圖論和螺旋理論，計(jì)算得到正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的自由度為1；基于機(jī)構(gòu)模塊化組成原理，闡述了機(jī)構(gòu)模塊化縱向擴(kuò)展的過(guò)程，并構(gòu)造了具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)。

3）運(yùn)用變換矩陣法建立了剪叉式折展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，提出了描述機(jī)構(gòu)泊松運(yùn)動(dòng)特性的系數(shù)，并以3層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)為例，基于數(shù)值計(jì)算和虛擬仿真技術(shù)驗(yàn)證了所構(gòu)建的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

4）提出了一種可實(shí)現(xiàn)支撐結(jié)構(gòu)變泊松比特性的方法，并運(yùn)用3D打印技術(shù)搭建了正四邊形支撐結(jié)構(gòu)與正四邊形剪叉式折展支撐結(jié)構(gòu)的實(shí)物樣機(jī)，驗(yàn)證了所提出方法的可行性，這可為后續(xù)的研究提供理論基礎(chǔ)。