邵文東，趙尚超，李強，裴憲軍，馬巧艷，李向偉

(1.北京交通大學,機械與電子控制工程學院,北京,100044；2.中車齊齊哈爾車輛有限公司,齊齊哈爾,161002；3.東南大學,機械工程學院,南京,211189)

0 序言

焊接結構疲勞評估的主S-N曲線法自提出以來，取得了很好的應用效果，該方法采用與外載荷平衡的結構應力作為參數(shù)，解決了焊接結構高周疲勞壽命預測時S-N曲線的選取困難和有限元計算時的網(wǎng)格敏感性問題[1-4].2007年針對低周疲勞問題，在ASME BPVC VIII-2標準中給出了偽彈性算法，即將疲勞試驗獲得的加載—位移曲線外推插值，深入的研究表明該算法是有局限性的，為解決該局限性提出了結構應變法，并推導了彎曲為主和膜應力為主的理想彈塑性材料的結構應變理論解[5].產(chǎn)品設計時要求應力低于屈服強度，故而很少存在低周疲勞問題，導致結構應變方法的應用較少[6-9].

2019年，高一迪等人[10]在國內(nèi)率先在開展了等效結構應變法在低周疲勞范圍的適用性研究，結果表明作為結構應力法的延伸，結構應變法可以應用到低周疲勞范圍.近年來，有些鐵路貨車產(chǎn)品出現(xiàn)了低周疲勞故障問題，線路測試時發(fā)現(xiàn)，原來認為彈性狀態(tài)的構件，在運用過程中確實存在高于屈服的應力響應.在設計前端，隨著輕量化設計要求的提出，一方面結構要減重，另一方面更要充分發(fā)揮構件的潛力，所以設計也開始考慮低周疲勞設計[11].因此詳細梳理結構應變法理論，建立分析流程，開展工程領域的適用性研究是目前亟待開展的研究工作.

鑒于此，在前期成果的基礎上，推導理想彈塑性模型下結構應變計算公式，并基于理論算法開展程序的設計和驗證.基于平面應變的有限元模型和結構應變理論解進行理論的適用性分析，提出結構應變法的適用范圍，實現(xiàn)低周疲勞的結構應變法在鐵路貨車上的應用，為該方法在工程領域的推廣應用奠定基礎.

1 結構應變法理論

結構應變法的理論假設為：對于完全彈塑性各向同性材料，通過彈性和塑性變形后，假定沿著厚度方向上的變形仍然維持在1個平面上；其次，結構應變法理論是以平面應變狀態(tài)進行考慮，焊接接頭模型如圖1所示，采用六面體單元進行網(wǎng)格劃分，平板承受拉伸載荷，則焊接接頭中部為平面應變狀態(tài)，兩側為平面應力狀態(tài)，故可將三維問題簡化為平面問題，如按最危險部位考核的話，實際疲勞評估應考慮為平面應變狀態(tài).

圖1 具有平面應變效應的焊接接頭Fig.1 Welded joints with plane strain effect

1.1 結構應變的計算方法

將焊接接頭的承載情況分為兩種形式：(a)彎曲載荷較大情況，彎曲應力導致板上、下面都發(fā)生屈服；(b)膜力載荷較大情況，膜應力導致上表面發(fā)生屈服.

1.1.1 上下表面都發(fā)生屈服

對于貫穿厚度的1個截面，首先使用彈性狀態(tài)的結構應力計算的方式，得到膜應力 σm和彎曲應力σb，兩者求和后顯然已經(jīng)超過了屈服強度SY，如圖2所示.

圖2 上下表面均發(fā)生屈服Fig.2 Yield occurs on both the upper and lower surfaces

由于塑性變形原因，彈性軸發(fā)生偏移，偏移距離為e，彈性芯變?yōu)?2c，內(nèi)、外表面的應變分別為ε0和εi，內(nèi)外表面應變對應的結構應力分別為和根據(jù)彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)下的力和彎矩等效，列出

式中：σm和σb為彈性狀態(tài)下計算的膜應力和彎曲應力；SY為 材料的屈服強度；P為拉伸載荷，M為彎曲載荷；t為 板厚；e為彈性軸偏離中性層的距離；c為發(fā)生塑性變形后的中性層與塑性區(qū)距離；εi和 ε0為內(nèi)、外表面的應變；為產(chǎn)生內(nèi)、外表面 εi和 ε0時的彈性結構應力.求解后可獲得式(2)中的彈性軸偏移距離和彈性芯

上述計算適用于線性硬化材料或冪硬化材料，彈性芯參數(shù) 2c是產(chǎn)生塑性變形后留下的彈性芯大小，中性軸移軸參數(shù)e是產(chǎn)生塑性變形以后中性軸的偏移量.在彈性芯參數(shù) 2c和中性軸移軸公式e的計算公式中包含的到σm和σb，兩者需要通過數(shù)值分析計算得到.假設彈性核的存在占主導地位，根據(jù)材料力學的幾何關系，彎曲變形的曲率為

式中：R為 彎曲的曲率半徑；Z為彈性模量；I為慣性矩.

發(fā)生塑性變性后，中性軸偏移后曲率半徑也跟著變化，如圖3所示.

圖3 變形關系Fig.3 The relation of deformation

根據(jù)圖3中的變形關系，可以計算出最外層的應變ε0和最內(nèi)層的應變εi，即

再根據(jù)最外層應變和最內(nèi)層應變計算膜應變和彎曲應變，即

式中：εm為膜應變；εb為彎曲應變.

獲得膜應變 εm和彎曲應變 εb后，將兩者求和獲得結構應變εs，同等效結構應力計算方法一樣，在循環(huán)載荷作用下，等效結構應變的參數(shù)為

式中：ΔEs等 效結構應變的變化范圍；Δεs為結構應變的變化范圍；m為應力強度因子的冪指數(shù)，取值為3.6；r為彎曲應變 εb與結構應變εs的比值；I(r)1n為載荷比r的無量綱函數(shù)[3].

等效結構應變計算后，結合主E-N曲線，如表1所示，進行壽命N計算，即

表1 主E-N曲線Table 1 Main E-N curve

式中：C和h為 試驗常數(shù)；N為壽命.

1.1.2 上表面發(fā)生屈服

當膜應力較大時，彎曲應力和膜應力只能使板的一側發(fā)生屈服.對于貫穿厚度的一個截面，使用彈性計算的方式，將得到 σm和 σb，兩者求和后只有外表面超過了屈服強度SY，如圖4所示.

圖4 上表面發(fā)生屈服示意圖Fig.4 Schematic diagram of yield on the upper surface relation of deformation

根據(jù)彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)下的力和彎矩等效，得出

經(jīng)計算后，獲得中性軸和彈性核，即

根據(jù)材料力學的幾何關系，彎曲變形的曲率為

根據(jù)曲率公式，計算外表面和內(nèi)表面的應變?yōu)?/p>

膜應變和彎曲應變、等效結構應變計算公式與式(5)、式(6)一致，壽命計算如式(7)所示.用有效的屈服應力替換上述公式中材料的屈服強度SY為

式中：ν為泊松比.

式(12)將上述公式擴展到平面應變問題.如果使用馮米塞斯準則，可用下式的E′替 換E.

1.1.3 結構應變法的計算實施流程

在彎曲為主的加載式(1)中，將彎矩等效整理后為

如圖2所示，當c=0時，整個截面均達到塑性，求解式(14)，得

如圖4所示，當c=0.5t-e時，僅截面一側發(fā)生塑性變形，求解式(14)，得

根據(jù)以上計算結果，以彈性計算獲得結構應力σs=σm+σb后，整個截面存在以上幾種狀態(tài)：(1)當σs≤SY時，截面沒有發(fā)生屈服；(2)當 σb≤σbmin，且σs＞SY時，外表面都發(fā)生屈服；(3)當σbmin≤σb≤σbmax，且 σs＞SY時，內(nèi)、外表面都發(fā)生屈服；(4)當σb＞＞σbmax時，截面發(fā)生塑性失效.基于上述原理程序流程如圖5所示.

圖5 焊接結構高、低周疲勞實施流程Fig.5 Calculation process of high and low cycle fatigue of welded structures

2 試驗驗證及分析

2.1 試驗驗證

以Q450NQR1材料的搭接接頭試樣為研究對象，焊接接頭尺寸示意圖如圖6所示，為保證試驗的準確性，使用能夠?qū)崿F(xiàn)塑性應變測量的測試膠水進行應變片粘貼.應變片布置如圖7所示，在距離焊趾C截面2 mm、17 mm的B截面、A截面位置的上下表面布置應變片.

圖6 焊接接頭寬板試樣示意圖(mm)Fig.6 Schematic diagram of wide plate specimen of welded joint

圖7 應變片布置位置(mm)Fig.7 Strain gauge arrangement position

值得注意的是由于搭接接頭產(chǎn)生了附加彎矩，搭接接頭長度為300 mm，兩端夾具的夾持長度分別為80 mm，在仿真模型上一定要考慮夾持長度.另外，由于板的寬度和應變片尺寸限制，導致布置的測點并不在1條直線上，但由于是小試樣，不會產(chǎn)生較大影響.彈性加載下的應變測試結果如表2所示，由于構件焊接過程中存在焊接變形，首次加載后，構件會發(fā)生1次變形調(diào)整，卸載后再重新加載，測試結果穩(wěn)定，如圖8所示.根據(jù)表2中的應變測試結果，采用結構應力的方法進行應力集中系數(shù)計算.第1次拉伸時，試驗存在變形微校正，選擇拉伸第2次的數(shù)據(jù)計算應力集中系數(shù)為

表2 彈性加載下的應變測試Table 2 strain test under elastic loading

圖8 焊接接頭應變片布置及應變測試Fig.8 Strain gauge arrangement and strain testing of welded joints

圖9 實測的應變曲線Fig.9 Measured strain curves

按實測的應力集中系數(shù)1.73，380 MPa載荷下彎矩引起的最大應力為273.6 MPa.根據(jù)上表面屈服的結構應變的式(8)～ 式(11)可得：上表面焊趾的微應變?yōu)? 910，焊趾下表面為460.膜應變和彎曲應變分別為1 685和1 225.彈性模量E為206 000，m為 3.6，板厚t為5 mm.則彎曲比r，載荷控制下和等效結構應變ΔEs分別為

根據(jù)式(7)計算了該試樣在不同統(tǒng)計值下的壽命，并與疲勞試驗結果進行了對比，結果如表3所示.可見，中值下的低周疲勞壽命計算結果與試驗值吻合.

2.2 適用性分析

建立的平面應變有限元模型如圖10所示，模型一端施加對稱約束，另一端施加膜應力和彎曲應力載荷，在靠近對稱約束位置，建立路徑，路徑的起點和終點如圖10所示.

圖10 平面應變模型Fig.10 Plane strain finite element model

理論算法和平面應變的有限元模型對比如圖11所示.固定端的膜應力載荷σm取為250 MPa，300 MPa，350 MPa和380 MPa，通過改變端部彎曲應力載荷，計算不同彎曲應力載荷下平面應變模型和結構應變理論解對比如圖11(a)～ 圖11(d)所示.

圖11 理論算法和平面應變的有限元模型對比Fig.11 Comparison between theoretical algorithm and plane strain finite element model.(a) the membrane stress is 250 MPa;(b) the membrane stress is 300 MPa;(c) the membrane stress is 350 MPa;(d) the membrane stress is 380 MPa;(e) the bending stress is 250 MPa;(f) the bending stress is 325 MPa

固定端的彎曲應力載荷 σb取250 MPa、325 MPa，通過改變端部膜應力載荷，計算不同膜應力載荷.平面應變模型和結構應變理論解對比如圖11(e)、圖11(f)所示.計算結果表明：當材料的屈服為550 MPa，當彎曲載荷與膜應力載荷合載荷為700 MPa時，平面應變模型和結構應變理論解結果完全一致，高于700 MPa后，隨著載荷的增加，誤差也隨著增加.

3 應用實例

以貨車車體為研究對象，采用板殼單元建模，單元長度為30 mm，將車體考慮為柔性體，采用固定交界面法完成柔性體計算[12-13].為了能夠施加與實際狀態(tài)更為吻合的載荷，以試驗臺模型作為車體仿真的邊界條件[14].貨車虛擬試驗模型如圖12所示.在虛擬試驗臺的車鉤加載端，施加制動等效壓縮載荷，載荷達到峰值后的車體的最大主應力云圖如圖13所示，主應力最大的位置集中在車體底盤，在車鉤和兩側過度位置主應力集中較為嚴重.一般來講，主應力與結構正應力往往有正相關的關系，因此我們根據(jù)車體最大主應力云圖對關心焊縫進行篩選.提取了如圖13所示的A1和B1位置的正應力，發(fā)現(xiàn)A1位置明顯超過Q450NQR1鋼的屈服極限，B1位置與屈服極限接近，如圖14所示.通過計算的節(jié)點力先計算結構應力，再根據(jù)2.1節(jié)中的計算流程計算出結構應變，對比了結構應力法和結構應變的損傷對比結果，如圖15所示.

圖12 貨車虛擬試驗模型Fig.12 Virtual test model of fast freight car

圖13 變形及最大主應力云圖Fig.13 Cloud map of deformation and maximum principal stress.(a) first side of car body;(b) second side of car body

圖14 正應力曲線Fig.14 Normal stress curves

圖15 基于結構應力和結構應變所得損傷對比Fig.15 Comparison of damage based on structural stress and structural strain.(a) The position of A1;(b) The position of B1

A1位置～ A4位置由于結構正應力超出材料比例極限較多，因此塑性變形比較明顯，這導致了基于結構應變計算的車體疲勞損傷超過基于結構應力計算的車體疲勞損傷，以A1位置為例，基于結構應變計算的車體疲勞損傷比基于結構應力計算的車體疲勞損傷高2倍.而在車鉤附近的B1位置～B4位置，由于結構正應力超出材料屈服強度不多，因此基于結構應變計算得到疲勞損傷僅僅略大于基于結構應力計算得到的疲勞損傷.雖然近幾年針對低周疲勞問題，針對更為精確的材料應力應變性能曲線，提出了更為準確的計算方法，但由于理想彈塑性材料不需要材料的力學性能曲線，所以開展的結構應變法在工程具有很大的應用價值.

4 結論

(1)為了解決鐵路貨車的低周疲勞評估問題，詳細梳理低周疲勞的結構應變法理論，完成了程序設計和方法的適用性驗證.

(2)平面應變有限元模型和結構應變法理論解的對比結果表明，基于理想彈性性模型的結構應變方法及程序計算的Q450NQR1材料，當結構應力高出屈服強度150 MPa以內(nèi)時，平面應變模型和結構應變理論解結果完全一致，超過該范圍后，隨著載荷的增加，誤差也增加.

(3)低周疲勞的結構應變法現(xiàn)階段能夠滿足鐵路貨車的設計需求，研究為該方法的工程推廣應用提供了良好的技術支撐.