江蘇省高郵市三垛中學(xué) (225631) 楊葉飛

涉及函數(shù)零點的綜合問題,一直是高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的一類基本題型.此類綜合問題,設(shè)問新穎創(chuàng)新,形式變化多端,可以合理融入函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程思想、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等內(nèi)容,交匯于函數(shù)模塊、導(dǎo)數(shù)模塊、不等式模塊等的基礎(chǔ)知識,能全面有效考查學(xué)生的“四基”與數(shù)學(xué)能力,以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等,具有較好的選拔性與區(qū)分度,倍受各方關(guān)注.

1.問題呈現(xiàn)

本題是一道含參函數(shù)的零點綜合問題,零點問題可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的解或者兩個函數(shù)圖象交點的問題,所以我們可以先考慮函數(shù)的性質(zhì);而本題還和絕對值、根式等知識巧妙聯(lián)系在一起,分類討論和平方處理也是比較常用的解決方法.

2.問題破解

解后反思：將函數(shù)的零點巧妙轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的根問題,進而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題,利用函數(shù)f(x)在自變量取值范圍內(nèi)的單調(diào)性以及取值情況,利用函數(shù)的性質(zhì)加以巧妙的分類討論是解決問題的關(guān)鍵所在.挖掘問題的本質(zhì),結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)的內(nèi)涵,兩者巧妙融合與轉(zhuǎn)化才能產(chǎn)生有用的效應(yīng).

解后反思：根據(jù)函數(shù)奇偶性的基本性質(zhì),是解決問題的關(guān)鍵所在.這里主要是借助具有奇偶性的函數(shù)有奇數(shù)個零點,利用函數(shù)的對稱性可知x=0必為該函數(shù)的一個零點.涉及絕對值、根式等相關(guān)的方程求解,要注意分類討論思想的應(yīng)用.

解法3:(函數(shù)圖象法)依題函數(shù)g(x)=f(x)-b恰有三個不同的零點,則知方程f(x)=b恰有三個不同的解.下面考慮函數(shù)y=f(x)的圖象:

圖1

解后反思：涉及函數(shù)的零點綜合問題經(jīng)常可以轉(zhuǎn)化為一條曲線與一條直線(或另一條曲線)的交點,由此可以根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性等)畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象,然后根據(jù)圖象直觀分析得到有用信息,數(shù)形結(jié)合,直觀處理.數(shù)形直觀更加方便解題時作出正確的分析與判斷.

3.變式拓展

合理巧妙構(gòu)造函數(shù)的解析式,由原來具有奇偶性的函數(shù)特征進行平移變換,改變成函數(shù)圖象關(guān)于對應(yīng)直線對稱的問題,得以相應(yīng)的變式與應(yīng)用.

4.教學(xué)啟示

當(dāng)然,其中涉及這三者關(guān)系的遞推過程有時可以逆向轉(zhuǎn)化,具體根據(jù)問題的實際情況,合理加以綜合與應(yīng)用.