嚴(yán)志權(quán)，張 忠，華立夫，王天航，趙 俊

（1、廣州地鐵集團(tuán)有限公司 廣州 510320；2、中鐵十九局集團(tuán)第六工程有限公司 江蘇無錫 214111；3、安徽建筑大學(xué) 合肥 230601）

0 引言

作為城市公交的骨干，城市軌道交通具有節(jié)能、省地、大容量、全天候、無（或少）污染、安全等優(yōu)點(diǎn)，是一種綠色環(huán)保的交通系統(tǒng)，尤其適用于大中城市。但是，在列車行駛過程中由于列車與鐵軌的耦合作用，會(huì)引起軌道周邊環(huán)境及地上建筑的二次結(jié)構(gòu)噪聲，從而對(duì)建筑自身及周邊人群的人身安全造成長遠(yuǎn)的不利影響［1］。所以，在城市軌道交通蓬勃發(fā)展的同時(shí)，列車行駛所引起的噪聲與環(huán)境振動(dòng)也引起了人們廣泛的關(guān)注［2］。因此，對(duì)移動(dòng)載荷作用下軌道梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與力學(xué)特征進(jìn)行研究也變得越來越有意義。

目前，關(guān)于移動(dòng)荷載作用下梁的動(dòng)力響應(yīng)研究可以分為勻速移動(dòng)荷載與變速荷載兩類。在勻速移動(dòng)荷載方面，ACHENBACH 等人［3］分析了無限長的均勻梁的解析解，得到了其在隨載荷移動(dòng)的坐標(biāo)系中保持不變的結(jié)論；LEE［4］得到了Timoshenko 梁在Winkler 地基上的動(dòng)力響應(yīng)，并分析了其在忽略質(zhì)量慣性效應(yīng)的情況下承受等效移動(dòng)力的相應(yīng)行為；SUN［5］在21 世紀(jì)初提出了梁型結(jié)構(gòu)對(duì)線荷載的閉式位移響應(yīng)，進(jìn)一步的，SUN［6］利用Fourier 變換結(jié)合Green 函數(shù)得到了梁在移動(dòng)荷載作用下粘彈性路基上的閉式解；BASU 等人［7］計(jì)算了移動(dòng)荷載作用下粘彈性地基上的Euler-Bernoulli 梁的解析式，并考慮了土壤中壓縮應(yīng)變引起的土壤阻力和剪切應(yīng)變引起的阻力；HUANG 等人［8］采用雙傅里葉變換和輪廓積分技術(shù)，得到了放置在Kerr 基礎(chǔ)上并承受移動(dòng)諧波荷載的均勻梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的閉式解；ANSARI 等人［9］使用Galerkin 方法結(jié)合多尺度法（multiple scales method）得到了移動(dòng)力作用下Euler 梁的頻響曲線；胡偉鵬等人［10］利用了多辛算法的理論基礎(chǔ)，針對(duì)移動(dòng)荷載下梁振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程提出了廣義多辛算法理論；Mehmood 等人［11-13］則應(yīng)用有限元方法數(shù)值地分析了移動(dòng)荷載下梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。然而，上述研究并未考慮荷載變速的情況。在變速移動(dòng)荷載方面，王少欽等人［14］利用模態(tài)疊加原理，結(jié)合廣義坐標(biāo)變換的方法建立了變速移動(dòng)載荷通過簡支梁橋時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程并編寫了分析程序；鐘陽等人［15］基于Fourier變換，得到了彈性地基上無限長梁動(dòng)態(tài)撓度和彎矩解析表達(dá)式；陳上有等人［16］建立了兩種變速移動(dòng)荷載下歐拉梁的動(dòng)力分析模型，分別為車輪加彈簧-阻尼器-簧上質(zhì)量和均布質(zhì)量，推導(dǎo)了其振動(dòng)控制方程；SUZUKI［17］利用菲涅耳積分研究了有限梁在加速載荷作用下的動(dòng)態(tài)行為；LEE［18］基于拉格朗日方法分析了移動(dòng)集中質(zhì)量作用下Euler 梁的動(dòng)力學(xué)行為，分析了質(zhì)量與梁分離的可能性。

上述研究進(jìn)展表明，關(guān)于軌道的動(dòng)力響應(yīng)研究已經(jīng)取得不少成果，然而在變速移動(dòng)荷載方面，參數(shù)討論還不夠豐富，內(nèi)容還不夠系統(tǒng)，亟待進(jìn)一步地研討?；诖?，本文建立了變速移動(dòng)荷載下城市軌道交通連續(xù)支承軌道梁模型，通過理論計(jì)算和數(shù)值分析對(duì)其振動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了研究，結(jié)合廣州軌道交通的具體項(xiàng)目討論荷載參數(shù)（荷載移動(dòng)初速度、加速度）以及軌道參數(shù)（軌道長度、彎曲剛度、支承剛度、支承阻尼）對(duì)軌道梁動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1 運(yùn)動(dòng)控制方程及其求解

如圖1 所示，簡化軌道梁為連續(xù)支承Euler-Bernoulli簡支梁，在其表面存在一個(gè)以速度v（t）沿著梁長方向移動(dòng)的荷載F（x，t）。l為梁的長度（m）；EJ為抗彎剛度（N·m2）；m為單位長度質(zhì)量（kg·m-1）；c為系統(tǒng)支承阻尼（kN·s·m-1）；κ為系統(tǒng)支承剛度（kN·mm-1）；ω（x，t）為梁的撓度（m）。于是由振動(dòng)力學(xué)理可建立如下的運(yùn)動(dòng)控制方程：

圖1 城市軌道交通連續(xù)支承軌道梁Fig.1 Continuously Supported Railway Beams for Urban Rail Transit

式中：F0為荷載恒值（kN）；δ（x）為Dirac 函數(shù)；xp（t）為荷載移動(dòng)位置（m），xp（t）=v0t+at2/2，其中v0為荷載初速度（km·h-1）；a為加速度（km·h-1·s-1）。

根據(jù)振型疊加法，梁撓度ω（x，t）離散化為其振型函數(shù)yi（x）與廣義坐標(biāo)η i（t）的耦合，即

將式⑶代入式⑴中得

求解⑾式，可得求廣義坐標(biāo)η i（t），再代回式⑶最終可求出梁在移動(dòng)荷載作用下的豎向振動(dòng)位移ω（x，t）。

2 動(dòng)力響應(yīng)

為了更好地探究軌道梁的力學(xué)特性，本文基于廣州軌道交通某項(xiàng)目，對(duì)不同基本參數(shù)引起梁的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究，軌道、荷載的基本參數(shù)及其數(shù)值或取值范圍如表1 所示。結(jié)合上文理論公式，利用Matlab 軟件對(duì)移動(dòng)荷載作用下城市軌道交通連續(xù)支承軌道梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析與研究。

表1 軌道荷載基本參數(shù)Tab.1 Basic Parameters of Track Load

2.1 抗彎剛度的影響

不同抗彎剛度EJ下軌道梁撓度隨時(shí)間的變化曲線如圖2 所示，此時(shí)軌道梁長度l為50 m，移動(dòng)荷載初速度v0=160 km/h，加速度a=3.6 km/（h·s），系統(tǒng)支承剛度κ=150 kN/m-1，系統(tǒng)支承阻尼c=100 kN·s/m。圖2中從高至低3 條曲線的抗彎剛度分別為3.07×106N·m2、4.20×106N·m2、6.63×106N·m2，且曲線先增后減存在一個(gè)幅值。不同抗彎剛度對(duì)梁撓度幅值的影響如圖3所示。曲線呈遞減趨勢(shì)，且由數(shù)值計(jì)算表明，當(dāng)抗彎剛度從2×106N·m2增加到10×106N·m2時(shí)，梁的最大撓度約減少29%。即抗彎剛度的增加會(huì)減小梁的撓度，且效果明顯。

圖2 不同抗彎剛度時(shí)梁撓度隨時(shí)間的變化Fig.2 Changes of Beam Deflection with Time under Different Flexural Rigidity

圖3 不同抗彎剛度對(duì)梁撓度幅值的影響Fig.3 Influence of Different Flexural Stiffness on Deflection Amplitude of Beam

2.2 支承剛度的影響

不同支承剛度κ下軌道梁撓度隨時(shí)間的變化曲線如圖4 所示，此時(shí)軌道梁長度l為50 m，移動(dòng)荷載初速度v0=160 km/h，加速度a=3.6 km/（h·s），系統(tǒng)支承阻尼c=100 kN·s/m。圖4 中從上往下3 條曲線的支承剛度分別為100 kN/mm、150 kN/mm、200 kN/mm，即隨著支承剛度的增加梁的撓度逐漸減小。梁撓度幅值隨著剛度變化的曲線如圖5所示，當(dāng)剛度從50 kN/mm 增加到100 kN/mm 時(shí)，軌道梁撓度幅值約下降了約57%；當(dāng)剛度從100 kN/mm 增加到200 kN/mm 時(shí)，軌道梁撓度幅值下降了約19%，可見剛度對(duì)抑制振動(dòng)起到了十分重要的作用。綜上，梁撓度幅值與剛度呈負(fù)相關(guān)，且曲線斜率逐漸減小即剛度越大撓度幅值減小得越慢。

圖4 不同支撐剛度時(shí)梁撓度隨時(shí)間的變化Fig.4 Changes of Beam Deflection with Time under Different Support Stiffness

圖5 不同支撐剛度對(duì)梁撓度幅值的影響Fig.5 Influence of Different Support Stiffness on Beam Deflection Amplitude

2.3 支承阻尼的影響

不同支承阻尼c下軌道梁撓度隨時(shí)間的變化曲線如圖6 所示，此時(shí)軌道梁長度l為50 m，移動(dòng)荷載初速度v0=160 km/h，加速度a=3.6 km/（h·s），系統(tǒng)支承剛度κ=150 kN/m-1。圖6 中從上至下3 條曲線的阻尼分別為100 kN·s/m、300 kN·s/m、400 kN·s/m，即梁的撓度隨著阻尼的增加而遞減，但值得注意的是這種遞減很緩慢。梁撓度幅值隨著阻尼變化曲線如圖7所示，可以看到當(dāng)阻尼從0 遞增到400 kN·s/m 時(shí)，軌道梁撓度幅值僅減少了約4.8%。因此在實(shí)際應(yīng)用中，阻尼的增加可以減少振動(dòng)但效果有限。

圖6 不同阻尼時(shí)梁撓度隨時(shí)間的變化Fig.6 Changes of Beam Deflection with Time under Different Damping

圖7 不同阻尼對(duì)梁撓度幅值的影響Fig.7 Influence of Different Damping on Beam Deflection Amplitude

2.4 速度的影響

不同速度的移動(dòng)載荷下軌道梁撓度隨時(shí)間的變化曲線如圖8所示，此時(shí)軌道梁長度l為50 m，移動(dòng)荷載加速度v0=36 km/（h·s），系統(tǒng)支承剛度κ=150 kN/m-1，支承阻尼c=100 kN·s/m。圖8 中從左至右3 條曲線分別代表荷載移動(dòng)速度為120 km/h、72 km/h、36 km/h，當(dāng)速度為36 km/h 時(shí)，撓曲線振幅最大且曲線突變的區(qū)域最廣。圖9研究了不同速度下軌道梁撓度最大值的變化規(guī)律，數(shù)值結(jié)果表明梁撓度最大值會(huì)隨著速度遞減，當(dāng)速度從0增長到360 km/h時(shí)，撓度最大值增長率約為-0.15%。

2.5 加速度的影響

在支承剛度κ=150 kN/m-1，支承阻尼c=100 kN·s/m，移動(dòng)荷載初速度v0=72 km/h 時(shí)，不同加速度下連續(xù)彈性支承有限長軌道梁撓度的變化曲線如圖10 所示。圖10 中從左至右曲線依次變寬即曲線突變的區(qū)域隨著加速度的減小而變大。不同加速度下軌道梁撓度幅值的變化規(guī)律如圖11所示，由圖11可知，撓度幅值與加速度約成線性關(guān)系，且隨著加速度遞減。數(shù)值結(jié)果表明，當(dāng)加速度從0 增長到360 km/（h·s）時(shí)，撓度幅值的增長率約為-0.08%。

圖10 不同加速度時(shí)梁撓度隨時(shí)間的變化Fig.10 Changes of Beam Deflection with Time at Different Accelerations

圖11 不同加速度對(duì)梁撓度幅值的影響Fig.11 Influence of Different Accelerations on Beam Deflection Amplitude

3 結(jié)論

本文建立了移動(dòng)荷載作用下連續(xù)支承軌道梁的理論模型，利用振型疊加法進(jìn)行了理論推導(dǎo)得到了其運(yùn)動(dòng)方程的解析解，評(píng)估了各種參數(shù)對(duì)軌道梁動(dòng)力響應(yīng)的影響，得到了以下幾個(gè)結(jié)論：

⑴連續(xù)支承有限長梁撓度隨時(shí)間呈現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)，且存在著一個(gè)撓度最大值。

⑵軌道梁的抗彎剛度、支承剛度、支承阻尼的增加會(huì)使梁的撓度變小。其中抗彎剛度、支承剛度增加時(shí)梁撓度最大值減小的較快，即其對(duì)梁豎向振動(dòng)的抑制效果最為明顯。

⑶移動(dòng)載荷初速度與加速度增加會(huì)減小梁的撓度，且值得注意的是，初速度和加速度會(huì)影響撓曲線突變區(qū)域的大小。即曲線會(huì)隨著二者的增加而變窄，說明軌道梁對(duì)移動(dòng)載荷的動(dòng)力響應(yīng)會(huì)變快。

綜上所述，本文通過研究移動(dòng)荷載作用下城市軌道交通連續(xù)支承軌道梁的振動(dòng)響應(yīng)，為車軌振動(dòng)控制和城市軌道交通的抗振減振提供了參考，有一定的指導(dǎo)意義。