■江蘇省鹽城市時(shí)楊中學(xué) 劉長(zhǎng)柏

結(jié)構(gòu)不良性問(wèn)題的命制對(duì)發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科高考的選拔功能具有重要作用,其給予同學(xué)們充分的選擇空間,充分考查同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,引導(dǎo)大家在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)中重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),克服“機(jī)械刷題”現(xiàn)象?！敖Y(jié)構(gòu)不良性”問(wèn)題比開(kāi)放性問(wèn)題的范疇更廣,對(duì)考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)探究能力是積極和深刻的。

一、結(jié)構(gòu)不良性問(wèn)題的概念理解及解題策略

所謂“結(jié)構(gòu)不良”,即指構(gòu)成問(wèn)題的目標(biāo)、條件和解決問(wèn)題的方法三者存在某種不確定性,主要表現(xiàn)在具體情境缺乏足夠的資源,材料不全或參數(shù)不完整,問(wèn)題目標(biāo)界定不明確,解決問(wèn)題相應(yīng)的知識(shí)準(zhǔn)備不充分,解決方法多樣,所涉及的概念和原理不確定等,因而沒(méi)有唯一、標(biāo)準(zhǔn)的答案,并且問(wèn)題的解答要與多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域相聯(lián)系。

結(jié)構(gòu)不良性問(wèn)題的一般解題流程可概括為:

通讀整個(gè)題目,理解題意;選擇適合自己解題突破的條件;把條件代入題目將結(jié)構(gòu)補(bǔ)充完整;根據(jù)有關(guān)概念性質(zhì)和公式解題。

二、結(jié)構(gòu)不良性問(wèn)題的解題突破

突破(1) 先定后動(dòng)

此類(lèi)問(wèn)題,一般先利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)“定”(確定的條件)進(jìn)行分析推斷,得出一部分結(jié)論;再觀(guān)察分析“動(dòng)”(給定選項(xiàng)的條件),最后結(jié)合題干要求選出最優(yōu)條件(最熟悉,能發(fā)揮自己優(yōu)勢(shì),容易拿分)進(jìn)行解答。

例1在①a1=20,n∈N*),②Sn=n2-2n+3(n∈N*),Sn為{an}的前n項(xiàng)和,這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并解答下列問(wèn)題。

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足____。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

(2)對(duì)大于1的正整數(shù)n,是否存在正整數(shù)m,使得a1,an,am成等比數(shù)列? 若存在,求m的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分。

解析:(1)選擇條件①。

因?yàn)閍n>0,所以

選擇條件②。

由Sn=n2-2n+3,可得當(dāng)n≥2 時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-3。

當(dāng)n=1時(shí),a1=2不滿(mǎn)足上式。

(2)選擇條件①。

假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)m,使得a1,an,am成等比數(shù)列,則a2n=a1am,即3n+

因?yàn)閚∈N*且n>1,m∈N*,所以當(dāng)n=3時(shí),mmin=8。

故存在正整數(shù)m,使得a1,an,am成等比數(shù)列,m的最小值為8。

選擇條件②。

假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)m,使得a1,an,am成等比數(shù)列,則a2n=a1am。

當(dāng)m=1時(shí),有a2n=4,即(2n-3)2=4,此時(shí)n無(wú)正整數(shù)解。

當(dāng)m≥2 時(shí),(2n-3)2=2(2m-3),即

因?yàn)閚∈N*,所以不可能為正整數(shù)。

故不存在正整數(shù)m,使得a1,an,am成等比數(shù)列。

點(diǎn)評(píng):本題是初始狀態(tài)的呈現(xiàn)不確定性的結(jié)構(gòu)不良性問(wèn)題,試題設(shè)計(jì)了兩個(gè)開(kāi)放性的可選擇的條件,選擇不同的條件解題的難度是有所不同的。這啟示同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要選擇一個(gè)適合自己的條件來(lái)解決。

突破(2) 先動(dòng)后定

此類(lèi)問(wèn)題,一般利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)“定”(確定的條件)進(jìn)行分析推斷,不容易得到明確的結(jié)論,必須先觀(guān)察分析“動(dòng)”(給定選項(xiàng)的條件),經(jīng)過(guò)分析推理得到有利于解題的結(jié)論,再結(jié)合“定”的條件進(jìn)行解答。

例2設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,S5=15。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,使得數(shù)列{bn}唯一確定,求{bn}的通項(xiàng)公式。

條件①:Tn+1=Tn+an;條件②:Tn=;條件③:Tn=2an-1。

解析:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d。

由a5=a1+4d=1+4d=5,得d=1。

因此,an=a1+(n-1)d=1+n-1=n。

(2)若選條件①。

由Tn+1=Tn+an=Tn+n,得Tn+1-Tn=n。

當(dāng)n=1時(shí),T2-T1=b2=1;當(dāng)n=2時(shí),T3-T2=b3=2。

Tn+1-Tn=bn+1=n,但b1值未知,故滿(mǎn)足條件①的數(shù)列{bn}不唯一。

若選條件②。

Tn=2bn-=2bn-1 ,當(dāng)n=1 時(shí),b1=2b1-1,解得b1=1。

當(dāng)n≥2 時(shí),由Tn=2bn-1,得Tn-1=2bn-1-1,兩式相減可得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1。

所以{bn}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,bn=2n-1。

因此,選條件②使得數(shù)列{bn}唯一確定,且bn=2n-1。

若選條件③。

Tn=2an-1=2n-1 ,當(dāng)n=1 時(shí),b1=T1=1。

當(dāng)n≥2 時(shí),bn=Tn-Tn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1。當(dāng)n=1時(shí),也滿(mǎn)足此式。

因此,選條件③使得數(shù)列{bn}唯一確定,且bn=2n-1。

點(diǎn)評(píng):若直接從“定”的條件出發(fā),則無(wú)法直接選出本題的有利條件,所以本題從“動(dòng)”的條件出發(fā),通過(guò)分析推導(dǎo)出有利的條件,再結(jié)合“定”的條件,從而解出題目。

突破(3) 先猜后證

高考試題在命制時(shí),問(wèn)題的初始狀態(tài)雖然以同學(xué)們熟悉的內(nèi)容為基礎(chǔ),但是常立足于知識(shí)交匯,體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新。當(dāng)知識(shí)的結(jié)合和解題模式超出同學(xué)們已有的經(jīng)驗(yàn)時(shí),解決問(wèn)題的操作模式就會(huì)變得模糊和不確定,需要大家創(chuàng)造性地構(gòu)建解題路徑,探尋解題的方法。

例3甲、乙兩名同學(xué)在學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)他們?cè)?jīng)做過(guò)的一道數(shù)列題目因紙張被破壞,導(dǎo)致一個(gè)條件看不清楚,具體如下:等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知____。

(1)判斷S1,S2,S3的關(guān)系并給出證明。

(2)若a1-a3=3,設(shè)的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明

甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng)a1的值,乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值,并且他倆都記得第一問(wèn)的答案是S1,S3,S2成等差數(shù)列。

如果甲、乙兩名同學(xué)記得的答案是正確的,請(qǐng)通過(guò)推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題。

解析:(1)補(bǔ)充的條件為

S1,S2,S3的關(guān)系為S1,S3,S2成等差數(shù)列。

證明如下。

以上兩式相減,可得:

點(diǎn)評(píng):此類(lèi)問(wèn)題是命制問(wèn)題目標(biāo)界定不明確的結(jié)構(gòu)不良性問(wèn)題。它以結(jié)論為條件,將目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,尋求缺失條件,既合乎常規(guī),又有新突破,具有很強(qiáng)的開(kāi)放性和濃厚的創(chuàng)新性。它注重思維的靈活性及策略選擇,對(duì)數(shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)探究能力有較高的要求,體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,對(duì)同學(xué)們的理性思維和數(shù)學(xué)探索能力也提出了較高要求。