李天竹 嚴(yán)維軍 陳昊 肖業(yè)亮

摘?要：線性變換是線性空間到其自身的線性映射.當(dāng)在線性空間中取定一組基以后，在線性變換與矩陣之間就建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，這樣就可以使用矩陣運算來解決線性變換問題.盡管線性變換較為抽象，但在教學(xué)中可運用幾何直觀法將其顯性化、可視化，從而降低教學(xué)難度，提高教學(xué)實效.為了挖掘教學(xué)深度，強化并優(yōu)化概念教學(xué)，本文運用矩陣的特征值與特征向量等知識，從理論上對單位向量x經(jīng)二階矩陣A作用后所得到的新向量Ax的軌跡進(jìn)行了分析，根據(jù)矩陣A的奇異性等特性給出了Ax軌跡的生成條件，并通過仿真實驗對結(jié)果進(jìn)行了驗證.

關(guān)鍵詞：線性變換；單位向量；軌跡；理論分析

一、概述

線性變換是線性代數(shù)的一個重要的基本概念和研究對象，有著豐富的理論內(nèi)容.常用的線性變換有旋轉(zhuǎn)變換、伸縮變換以及投影變換等［1］?.迄今，線性變換在機器學(xué)習(xí)、圖像處理、語音識別、壓縮感知等眾多領(lǐng)域都得到了應(yīng)用［23］?.正因為如此，熟練掌握線性變換知識對于學(xué)生更深入的學(xué)習(xí)是非常重要的.為了便于學(xué)生從幾何上理解線性變換這一抽象的概念，引入恰當(dāng)?shù)膭赢嬆Ｐ瓦M(jìn)行可視化教學(xué)就顯得十分必要.為此，作用在單位向量上的線性變換模型就以其典型、直觀等特性在教學(xué)中被廣為采用［46］?.為了使該模型在教學(xué)中更好地發(fā)揮作用，本文基于A取一般的二階矩陣的情形，從理論上對向量Ax軌跡的類型及生成條件進(jìn)行了深入細(xì)致的研究.

二、預(yù)備知識

令二階方陣A=abcd（a，b，c，d∈R，且a2?+b2?+c2?+d2?>0），單位向量x=（cosθ，sinθ）?T（0SymbolcB@

θ<2π）.做線性變換ξ=Ax=（X，Y）T?，則有

X=acosθ+bsinθ，

Y=ccosθ+dsinθ.（1）

于是

cX-aY=-（ad-bc）sinθ，

dX-bY=（ad-bc）cosθ.（2）

從而

（c2?+d2?）X2?-2（ac+bd）XY+（a2?+b2?）Y2?=（ad-bc）?2?.（3）

下面我們根據(jù)矩陣A的奇異性等特征，研究向量Ax隨著x變化的軌跡.

三、A為非奇異矩陣

此時，有

A=ad-bc≠0，（4）

進(jìn)而推出

a2?+b2?>0，?c2?+d2?>0.（5）

（一）當(dāng)ac+bd=0時

此時，方程（3）等號左端不含交叉項（即XY項）.結(jié)合（5）式，不妨假設(shè)d≠0.令ad=k，則有

a=kd，

b=-kc，（k≠0，k∈R）.（6）

從而（ad-bc）?2?=k2?（c2?+d2&nbsp;）?2?=（a2?+b2?）（c2?+d2?）.

于是，（3）式變?yōu)?/p>

（c2?+d2?）X2?+（a2?+b2?）Y2?=（a2?+b2?）（c2?+d2?）.（7）

以下分兩種情形進(jìn)行討論.

情形一：當(dāng)a2?+b2?=c2?+d2?時

結(jié)合（5）、（6）式，得：k=±1.代回（6）式，有

a=d，

b=-c，或?a=-d，

b=c.（8）

利用（5）、（7）式，得

X2?+Y2?=a2?+b2?.（9）

易知Ax的軌跡為圓，其圓心為原點，半徑長為a2?+b2?.圖1給出了此類的一個仿真示例，圖2～圖5的含義與圖1相仿.

情形二：當(dāng)a2?+b2?≠c2?+d2?時

根據(jù)（5）、（7）式，得

X2?a2?+b2?+Y2?c2?+d2?=1.（10）

當(dāng)a2?+b2?>c2?+d2?>0時，Ax的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上、短軸在y軸上的橢圓，其半長軸長為a2?+b2?，半短軸長為c2?+d2?；而當(dāng)c2?+d2?>a2?+b2?>0時，Ax的軌跡為中心在原點、長軸在y軸上、短軸在x軸上的橢圓，其半長軸長為c2?+d2?，半短軸長為a2?+b2?.

（二）當(dāng)ac+bd≠0時

此時，方程（3）等號左端含交叉項.記

（c2?+d2?）X2?-2（ac+bd）XY+（a2?+b2?）Y2?=ξT?Bξ，（11）

其中，B=c2?+d2?-ac-bd

-ac-bda2?+b2?.

B的特征多項式為

B-λE=λ2?-（a2?+b2?+c2?+d2?）λ+（ad-bc）?2?，（12）

特征值為

λ1?=α-Δ2=2（ad-bc）?2?α+Δ，?λ2?=α+Δ2，（13）

其中，

α=a2?+b2?+c2?+d2?，（14）

Δ=α2?-4（ad-bc）?2?=［（a-d）?2?+（b+c）?2?］［（a+d）?2?+（b-c）?2?］.（15）

根據(jù)題設(shè)及反證法，易知

α>0，?Δ>0.（16）

利用（13）、（16）式，得

λ2?>λ1?>0.（17）

由（B-λE）U=0，求得實對稱方陣B的互異特征值λ1?，λ2?所對應(yīng)的單位特征向量分別為

η1?=1τ1?（2γ，-β+Δ）T?，（18）

η2?=sgn（γ）τ2?（-2γ，β+Δ）T?，（19）

其中，

γ=ac+bd，（20）

β=a2?+b2&nbsp;-c2?-d2?，（21）

τi?=4γ2?+β+（-1）?i?Δ?2?（i=1，2）.（22）

因向量η1?與η2?正交，于是η1?·η2?=0，從而

（-β+Δ）（β+Δ）=4γ2?>0，（23）

結(jié)合（16）式，有

-β+Δ>0，?β+Δ>0.（24）

由（18）、（19）、（20）、（24）式知，向量ηi?（i=1，2）的各個分量均不為零，這說明向量η1?與η2?都不在原坐標(biāo)系OXY的坐標(biāo)軸上.具體地，當(dāng)γ>0時，向量η1?、η2?分別在第Ⅰ、第Ⅱ象限；而當(dāng)γ<0時，向量η1?、η2?分別在第Ⅱ、第Ⅲ象限.

令P=（η1?，η2?），根據(jù)主軸定理［7］?，得

PT?BP=P-1?BP=diag（λ1?，λ2?）.（25）

做正交變換

ξ=Pξ′，（26）

其中，ξ′=（X′，Y′）T?.分別以η1?、η2?為X′軸、Y′軸正方向上的單位向量建立平面右手直角坐標(biāo)系.由（3）、（11）、（25）、（26）式得曲線（3）在新坐標(biāo)系OX′Y′下的方程為

λ1?X′2?+λ2?Y′2?=（ad-bc）?2?.（27）

根據(jù)（17）、（27）式知，Ax的軌跡為中心在原點、對稱軸不在原坐標(biāo)系OXY的坐標(biāo)軸上的橢圓，其長軸在X′軸上，短軸在Y′軸上，半長軸長為ad-bcλ1?，半短軸長為ad-bcλ2?.

四、A為奇異矩陣

此時，有

A=ad-bc=0.（28）

根據(jù)（1）式及CauchySchwarz不等式，得

XSymbolcB@

a2?+b2?，YSymbolcB@

c2?+d2?.（29）

（一）當(dāng)a2?+c2?>0時

仿（6）式，利用（28）式，得

b=ka，

d=kc，（k∈R）.（30）

由（2）、（28）—（30）式，得Ax的軌跡方程為

cX-aY=0，XSymbolcB@

a2?+b2?，YSymbolcB@

c2?+d2?.（31）

（二）當(dāng)a=c=0，b2?+d2?>0時

結(jié)合（2）、（29）式，得Ax的軌跡方程為

dX-bY=0，XSymbolcB@

a2?+b2?，YSymbolcB@

c2?+d2?.（32）

綜上可知，當(dāng)A為奇異矩陣時，Ax的軌跡為兩端點關(guān)于原點對稱的直線段.眾所周知，行列式是線性變換下圖形面積（或體積）的伸縮因子［1］?.結(jié)合行列式的這一幾何意義，上述結(jié)果就非常容易理解了.

結(jié)語

本文對單位向量x經(jīng)二階矩陣A作用后所得到的新向量Ax的軌跡進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析.結(jié)果表明，當(dāng)A是非奇異矩陣時，Ax的軌跡為圓或橢圓；而當(dāng)A是奇異矩陣時，Ax的軌跡退化為兩端點關(guān)于原點對稱的直線段.本文不僅可以使學(xué)生加深對線性變換、矩陣的行列式以及矩陣的特征值和特征向量等相關(guān)知識的理解和掌握，同時對教師的教學(xué)工作也具有一定的參考價值.為了方便應(yīng)用，我們將所得到的結(jié)果進(jìn)行了整理，具體可見下表.

線性變換Ax的軌跡表

矩陣A=［a??b；c??d］滿足的條件

Ax的軌跡方程

曲線的類型

A為非奇異矩陣

a=d，

b=-c，或a=-d，

b=c.

X2?+Y2?=a2?+b2?.

圓

ac+bd=0，

a2?+b2?≠c2?+d2?.

X2?a2?+b2?+Y2?c2?+d2?=1.

長軸與短軸分別在坐標(biāo)軸上的橢圓

ac+bd≠0.

λ1?X′2?+λ2?Y′2?=（ad-bc）?2?，

其中，λi?=α+（-1）?i?Δ2（i=1，2），

α=a2?+b2?+c2?+d2?，?Δ=α2?-4（ad-bc）?2?.

長軸與短軸均不在坐標(biāo)軸上的橢圓

A為奇異矩陣

a2?+c2?>0.

cX-aY=0，

X∈-a2?+b2?，a2?+b2?，

Y∈-a2?+b2?，a2?+b2?.

關(guān)于原點對稱的直線段

a=c=0，

b2?+d2?>0.

dX-bY=0，

X∈-a2?+b2?，a2?+b2?，

Y∈-a2?+b2?，a2?+b2?.

關(guān)于原點對稱的直線段

參考文獻(xiàn)：

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［7］樊惲，劉宏偉.線性代數(shù)與解析幾何教程（下冊）［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

資金資助：遼寧省教育科學(xué)規(guī)劃“十四五”項目——高校創(chuàng)新型教學(xué)團隊建設(shè)研究與實踐（編號：JG22DB047）；遼寧省教育科學(xué)規(guī)劃“十四五”項目——新時代應(yīng)用型本科公共基礎(chǔ)課混合式教學(xué)研究（編號：JG22DB055）

作者簡介：李天竹（1989—?），女，遼寧大連人，碩士，研究方向：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。