高德寶，張 楨，邱嘉仁

長時(shí)間低頭玩手機(jī)的群體稱之為“低頭族”［1］“.低頭族”亦稱為手機(jī)成癮（或手機(jī)控）群體，該群體無論何時(shí)何地都低頭看屏幕，想通過盯住屏幕的方式，把零碎的時(shí)間填滿.長時(shí)間低頭玩手機(jī)主要有兩方面隱患：一是安全隱患，低頭玩手機(jī)就會(huì)忽視周圍的環(huán)境情況，容易導(dǎo)致危險(xiǎn)的發(fā)生.二是健康隱患，長期低頭看手機(jī)，容易導(dǎo)致頸椎關(guān)節(jié)發(fā)生錯(cuò)位和視力快速下降.手機(jī)成癮與酗酒［2?3］和吸煙成癮［4?5］有相似之處，而且比酗酒和吸煙成癮更具有普遍性.

手機(jī)成癮問題日益嚴(yán)重，引起了人們的廣泛關(guān)注.手機(jī)成癮不僅能夠?qū)е乱恍┘膊〉陌l(fā)生，還會(huì)增加許多安全隱患.一些學(xué)者從生物數(shù)學(xué)［6?7］角度，應(yīng)用微分動(dòng)力學(xué)［8?10］研 究酗酒模型［11?12］和吸煙模型［13?14］的構(gòu)建和穩(wěn)定性.本文也考慮應(yīng)用微分動(dòng)力學(xué)的知識(shí)對(duì)手機(jī)成癮群體進(jìn)行模型構(gòu)建和定性分析.

1 手機(jī)成癮模型的構(gòu)建與分析

1.1 手機(jī)成癮模型的構(gòu)建

考慮到手機(jī)成癮群體中有主動(dòng)或被動(dòng)戒除手機(jī)癮的用戶，可將手機(jī)用戶分為四個(gè)群體.用P(t)，C(t)，G(t)，S(t) 分別表示t時(shí)刻的潛在手機(jī)成癮群體人數(shù)、手機(jī)成癮群體人數(shù)、戒癮群體人數(shù)和正常手機(jī)用戶群體人數(shù).若令N(t)表示t時(shí)刻手機(jī)用戶的總?cè)藬?shù)，則

為書寫方便，記P=P（t），C=C（t），G=G(t)，S=S(t).

根據(jù)四個(gè)群體之間的人員轉(zhuǎn)移規(guī)律繪制的關(guān)系圖如圖1 所示.

圖1 手機(jī)用戶不同群體之間的人員轉(zhuǎn)移關(guān)系圖

其中：γ為手機(jī)用戶的常數(shù)增加率，將新加入的手機(jī)用戶看作潛在的手機(jī)成癮用戶.由于手機(jī)成癮用戶對(duì)潛在的手機(jī)成癮用戶具有一定的“傳染性”，所以α1表示手機(jī)成癮群體對(duì)潛在手機(jī)成癮群體的有效傳染率，α2表示手機(jī)成癮群體中主動(dòng)或被動(dòng)向戒癮群體的轉(zhuǎn)移率，α3表示戒癮群體向正常手機(jī)用戶群體的轉(zhuǎn)移率，β1表示潛在手機(jī)成癮群體向正常手機(jī)用戶群體的轉(zhuǎn)移率.在戒癮群體中，由于一部分人的自控能力不強(qiáng)，會(huì)重新轉(zhuǎn)移到手機(jī)成癮群體或潛在手機(jī)成癮群體中，β2、β3分別表示戒癮群體向手機(jī)成癮群體和潛在手機(jī)成癮群體的轉(zhuǎn)移率，μ表示各個(gè)群體的自然退出率.圖1 中的所有系數(shù)均為正數(shù).

根據(jù)各變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，圖1 所對(duì)應(yīng)的微分方程系統(tǒng)為：

基于系統(tǒng)（1）的實(shí)際意義，本文將在其最大正向不變集，即

內(nèi)進(jìn)行研究.

1.2 平衡點(diǎn)的存在性

系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)滿足如下的代數(shù)方程組.

易知，系統(tǒng)（1）始終存在無手機(jī)成癮的非負(fù)平衡點(diǎn)

根據(jù)文獻(xiàn)［15］中的算法，系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)為：

在式（2）中，由第3 個(gè)方程可得

將式（3）代入式（2）的第2 個(gè)方程可得

將式（3）和式（4）代入式（2）的第1 個(gè)方程可得

定理1 系統(tǒng)（1）始終存在無手機(jī)成癮的非負(fù)平衡點(diǎn)E0(P0，C0，G0，S0).當(dāng)R0>1 時(shí)，系統(tǒng)（1）存在唯一的正平衡點(diǎn)E*(P*，C*，G*，S*).

注：非負(fù)平衡點(diǎn)E0是所有手機(jī)用戶中不存在手機(jī)成癮用戶的臨界狀態(tài).當(dāng)R0>1 時(shí)，手機(jī)成癮用戶會(huì)增加，正平衡點(diǎn)E*表示手機(jī)成癮用戶增加的上限狀態(tài).

1.3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2 當(dāng)R0<1 時(shí)，系統(tǒng)（1）的無手機(jī)成癮非負(fù)平衡點(diǎn)E0(P0，C0，G0，S0)是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)R0≥1 時(shí)，E0是不穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)（1）在E0點(diǎn)的Jacobi 矩陣為：

則特征方程|J(P0，C0，G0，S0)?λE|=0 的具體表達(dá)式為：

所以特征方程的前兩個(gè)根為：

若令λ3，λ4為特征方程的后兩個(gè)根，有

當(dāng)R0<1 時(shí)，K<0，所以λ3?λ4>0.因此λ3，λ4為一對(duì)共軛復(fù)根或一對(duì)同號(hào)非零實(shí)根.

當(dāng)K<0 時(shí)，有

所以λ3+λ4<0，從而λ3和λ4的實(shí)部為負(fù)數(shù).

綜上所述，當(dāng)R0<1 時(shí)，λi(i=1，2，3，4)的實(shí)部均為負(fù)數(shù).因此，系統(tǒng)（1）的無手機(jī)成癮非負(fù)平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)R0≥1 時(shí)，K≥1，從而λ3?λ4≤0.因此λ3和λ4中有一個(gè)非負(fù)實(shí)根.所以，當(dāng)R0≥1時(shí)，系統(tǒng)（1）的無手機(jī)成癮非負(fù)平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

定理3 當(dāng)R0>1 時(shí)，系統(tǒng)（1）的唯一正平衡點(diǎn)E*(P*，C*，G*，S*)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)（1）在E*點(diǎn)的Jacobi 矩陣為：

則特征方程|J(P*，C*，G*，S*)?λE|=0 的具體表達(dá)式為：

因此λ1=?μ<0，而其余的三個(gè)特征值滿足如下方程：

根據(jù)Hurwitz 準(zhǔn)則［15］可知，方程（6）的所有根具有負(fù)實(shí)部.

綜上所述，方程（5）的所有根具有負(fù)實(shí)部.因此，當(dāng)R0>1 時(shí)，系統(tǒng)（1）在唯一的正平衡點(diǎn)E*(P*，C*，G*，S*)處是局部漸近穩(wěn)定的.

定理4 當(dāng)R0<1 時(shí)，系統(tǒng)（1）的無手機(jī)成癮非負(fù)平衡點(diǎn)E0(P0，C0，G0，S0)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 考慮系統(tǒng)（1）的第1 個(gè)方程和第2個(gè)方程構(gòu)成的子系統(tǒng)：

所以該系統(tǒng)在其可行域中無閉軌，結(jié)合無手機(jī)成癮非負(fù)平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，由Bendixon?Dulac 判別法可知，系統(tǒng)（1）的無手機(jī)成癮非負(fù)平衡點(diǎn)E0(P0，C0，G0，S0)在D上是全局漸近穩(wěn)定的.

同理可知下面的定理5 成立.

定理5 當(dāng)R0>1 時(shí)，系統(tǒng)（1）的唯一正平衡點(diǎn)E*(P*，C*，G*，S*)是全局漸近穩(wěn)定的.

根據(jù)定理4 可知，當(dāng)R0<1 時(shí)，手機(jī)成癮用戶會(huì)逐漸減少，直至達(dá)到滅絕點(diǎn)E0.根據(jù)定理5 可知，當(dāng)R0>1 時(shí)，手機(jī)成癮用戶會(huì)逐漸增加，直至達(dá)到平衡點(diǎn)E*.

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證系統(tǒng)（1）的理論結(jié)果，給出此系統(tǒng)的數(shù)值模擬.

取γ=0.06，μ=0.07，α1=0.15，α2=0.03，α3=0.04，β1=0.1，β2=0.05，β3=0.06，則系統(tǒng)（1）的非負(fù)平衡點(diǎn)與基本再生數(shù)分別為E0=(0.353，0，0，0.504)，R0=0.568.

再取初值P(0)=5，C(0)=30，G(0)=40，S(0)=60，利用Matlab 軟件對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行數(shù)值模擬，所得結(jié)果如圖2 所示.

圖2 系統(tǒng)（1）非負(fù)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

從圖2 可以看出，當(dāng)R0<1 時(shí)，隨著時(shí)間的流逝，手機(jī)成癮群體會(huì)消失.

取γ=0.7，μ=0.08，α1=0.15，α2=0.03，α3=0.06，β1=0.25，β2=0.36，β3=0.07，則系統(tǒng)（1）的唯一正平衡點(diǎn)與基本再生數(shù)分別為E*=(0.607，5.719，0.301，2.123)，R0=3.495.

再取初值P(0)=10，C(0)=20，G(0)=40，S(0)=70，利用Matlab 軟件對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行數(shù)值模擬，所得結(jié)果如圖3 所示.

圖3 系統(tǒng)（1）唯一正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

從圖3 可以看出，當(dāng)R0>1 時(shí)，系統(tǒng)（1）的解最終趨向于一個(gè)正的非零常數(shù)，表明手機(jī)成癮群體將會(huì)持續(xù)存在，且E*是全局漸近穩(wěn)定的.

3 結(jié)語

本文構(gòu)建了手機(jī)成癮群體人數(shù)動(dòng)態(tài)變化的動(dòng)力學(xué)模型，得到其基本再生數(shù).若基本再生數(shù)大于1，則手機(jī)成癮群體人數(shù)會(huì)動(dòng)態(tài)變化并趨向于一個(gè)常數(shù).若基本再生數(shù)小于1，則手機(jī)成癮群體會(huì)逐漸消失，這兩個(gè)結(jié)論在數(shù)值算例部分得到了驗(yàn)證.