黃 勇,趙 騰,王秀芳

(西南交通大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川 成都 610000)

在微波電路中,不同傳輸線、不同元件以及各種天線與饋線之間的連接都存在阻抗匹配問(wèn)題.若直接連接兩特性阻抗不同的微波元件或傳輸線,則會(huì)產(chǎn)生反射,影響系統(tǒng)的信號(hào)傳輸.而當(dāng)在兩微波元件之間連接一段或多段特定阻抗、特定長(zhǎng)度的匹配網(wǎng)絡(luò)后,可使其阻抗匹配,則接入的匹配網(wǎng)絡(luò)就稱之為阻抗變換器.

阻抗變換器是一種兩端口微波元件,在微波系統(tǒng)中引入阻抗變換器,可消除系統(tǒng)因特性阻抗不匹配而產(chǎn)生的反射. 為了適應(yīng)不同的應(yīng)用場(chǎng)合,研究者設(shè)計(jì)研究了不同類型的阻抗變換器.如文獻(xiàn)[1-3]設(shè)計(jì)研究了T形、∏形和P型雙波段阻抗變換器,主要應(yīng)用在多波段工作系統(tǒng)中. 根據(jù)微波電路中的寬帶要求,官伯然等人[4]設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了一款超短波寬帶阻抗變換器.另外,如非常規(guī)變比阻抗變換器[5]、低頻天線阻抗變換器[6]和復(fù)數(shù)負(fù)載阻抗變換器[7]也相繼出現(xiàn),為進(jìn)一步滿足了特定場(chǎng)景對(duì)阻抗變換器的需求提供了一定的研究基礎(chǔ).

目前應(yīng)用較多的阻抗匹配元件有以下3種:四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器、二項(xiàng)式阻抗變換器和切比雪夫阻抗變換器.李艷芳等人[8]分析了四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器的原理,但是四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器工作頻帶很窄;當(dāng)工作頻率偏離中心頻點(diǎn)時(shí),匹配性能急劇下降. 切比雪夫阻抗變換器[9,10]也得到廣泛關(guān)注,如周越等人[9]對(duì)切比雪夫阻抗變換器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究,討論了2種不同策略方法的設(shè)計(jì)步驟.通過(guò)上述文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn),研究者針對(duì)單一阻抗變換器研究較多,而同時(shí)對(duì)2種或2種以上的阻抗變換器的研究較少.但是,在實(shí)際的工程問(wèn)題上,針對(duì)給定的元件間的阻抗匹配,應(yīng)該選用什么樣的匹配元件是一個(gè)重要的課題.

針對(duì)上述問(wèn)題,本文以一個(gè)待匹配的端口為BJ70接口,其尺寸為窄邊b0=15.799 mm,寬邊a0=34.849 mm;另一待匹配端口為已調(diào)試好的5.8 GHz矩形波導(dǎo)定向耦合器的接口,其尺寸為窄邊b2=16.28 mm,寬邊a2=38.19 mm為例,研究了上述3種匹配元件的適用情況.定向耦合器S參數(shù)[11]的數(shù)值如圖1所示.圖中S11表示輸入反射系數(shù);S31的負(fù)值數(shù)值上等于耦合度C;差值(S31-S41)數(shù)值上等于方向性系數(shù)D.

圖1 波導(dǎo)各端口S參數(shù)與頻率關(guān)系曲線

本文將首先介紹3種阻抗變換器的工作原理及設(shè)計(jì)方法,這3種阻抗變換器分別為四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器、二項(xiàng)式阻抗變換器和切比雪夫阻抗變換器;接下來(lái),我們將在本文所提到的設(shè)計(jì)指標(biāo)下,對(duì)三者進(jìn)行仿真設(shè)計(jì);最后進(jìn)行對(duì)比分析.

1 三種階梯式阻抗變換器設(shè)計(jì)原理

1.1 四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器

四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器是最簡(jiǎn)單的單段式阻抗匹配器.值得指出的是這里提到的“波長(zhǎng)”指的是波導(dǎo)波長(zhǎng)λg,而匹配段的長(zhǎng)度即為l=λg/4. 若設(shè)a表示波導(dǎo)寬邊長(zhǎng)度,而b表示波導(dǎo)窄邊長(zhǎng)度,則波導(dǎo)波長(zhǎng)λg與工作波長(zhǎng)λ之間的關(guān)系為

(1)

(2)

其中μ、ε分別為真空磁導(dǎo)率與真空介電常數(shù). 三段特性阻抗之間的關(guān)系[13]:

(3)

其中Z1為阻抗變換器等效阻抗,Z0為BJ70端口阻抗,Z2為定向耦合器等效阻抗. 不妨令阻抗變換器窄邊b1與另外兩段窄邊有如下關(guān)系:

(4)

通過(guò)聯(lián)立式(2)—(4)可得阻抗變換器長(zhǎng)邊a1.

1.2 二項(xiàng)式阻抗變換器

二項(xiàng)式阻抗匹配器與下面會(huì)提到的切比雪夫阻抗變換器都是多段阻抗變換器.區(qū)別在于它們每一段阻抗的大小排布不同[14].

(5)

總反射系數(shù)為

(6)

其中,定義電長(zhǎng)度

(7)

而2(i-1)為電磁波從某端口進(jìn)入,再?gòu)拇硕丝诜瓷涑鰰r(shí)經(jīng)歷的匹配段總段數(shù). 若將任意反射系數(shù)寫(xiě)為

Γi=kiΓ1

(8)

則式(6)可改寫(xiě)為

(9)

由于

(10)

|Γ|=Γ1|cosnθ|

(11)

Γ1|cosnθ|函數(shù)的特點(diǎn)如圖2所示,在某Γm下,隨著n的增大,曲線愈加平緩,所以二項(xiàng)式響應(yīng)又叫“最平坦響應(yīng)”.

圖2 |Γ|在不同n值下隨θ變化關(guān)系

(12)

(13)

進(jìn)而得

(14)

又由式(8)和(12)聯(lián)立有

(15)

只要n已知,就可以將式(14)、(15)聯(lián)立即可求得各段特性阻抗.

下面將求解n. 設(shè)Γm是設(shè)計(jì)允許的最大反射系數(shù),λ1、λ2是Γm對(duì)應(yīng)的兩波長(zhǎng),其間的頻率范圍即為帶寬,其對(duì)應(yīng)的電長(zhǎng)度為θ1、θ2. 由式(11)得

Γm=Γ1|cosnθ1|=Γ1|cosnθ2|

(16)

求解式(16)方程即可求得n.

1.3 切比雪夫阻抗變換器

設(shè)反射系數(shù)Γ1=Γn+1,Γ2=Γn,使之左右對(duì)稱. 緊接著1.2節(jié)中式(6),得

e-j2(n-1)θ+Γn+1e-j2nθ=e-jnθ(Γ1ejnθ+Γ2ej(n-2)θ+…+Γne-j(n-2)θ+Γn+1e-jnθ)

(17a)

(17b)

這里的每一項(xiàng)cosnθ項(xiàng)均可展開(kāi)為關(guān)于cosθ的多項(xiàng)式,如

cosθ=cosθ,cos 2θ=2 cos2θ-1,

cos 3θ=4cos3θ-3cosθ,

cos 4θ=8cos4θ-8cos2θ+1

(18)

令x=cosθ,Tn(x)=cosnθ=cos (narccosx),代入上式得

T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2-1,…

(19)

Tn(x)是為切比雪夫多項(xiàng)式. 其遞推公式為

Tn+1(x) = 2xTn(x)-Tn-1(x)

(20)

(21)

其圖像如圖3所示,可以觀察得到,在|x|≤1時(shí)其圖像為一系列最大值不大于1的波紋;當(dāng)|x|>1時(shí)圖像急劇上升.

圖3 在不同n值下切比雪夫多項(xiàng)式|Tn(x)|

(22)

其圖像如圖4所示.

圖4 |Γ|在不同n值下隨θ變化關(guān)系

可以看到|Γ|在θ1、θ2范圍內(nèi)始終不超過(guò)Γm.因此為保證|Γ|有如上所述的分布,我們只需要將式(17)取模后根據(jù)式(18)展開(kāi)成關(guān)于cosθ的多項(xiàng)式,整理后讓各項(xiàng)系數(shù)與式(22)的各項(xiàng)系數(shù)一一對(duì)應(yīng)相等即可求出各Γi的值,又由式(8)得到各ki的值,代入到式(14)和(15)即可求得各段特性阻抗的值.

2 三種阻抗變換器的仿真設(shè)計(jì)

綜合上述分析,根據(jù)多段二項(xiàng)式阻抗匹配段的最平坦特性,我們基本可以從理論上得出多段二項(xiàng)式阻抗變換段設(shè)計(jì)的S11參數(shù)會(huì)比四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器更低的結(jié)論.同時(shí),又由于兩待匹配段的尺寸很接近,還可以從理論上得出切比雪夫阻抗變換器S11參數(shù)的特征會(huì)一定程度上趨于二項(xiàng)式阻抗匹配段S11參數(shù)特征的結(jié)論,而此分析會(huì)在本文3.1節(jié)的第二個(gè)問(wèn)題中做具體討論.為驗(yàn)證上述理論分析結(jié)果,同時(shí)觀察其它S參數(shù)的情況,本文采用有限元方法仿真設(shè)計(jì)了三種阻抗變換器.

2.1 四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器的仿真設(shè)計(jì)

由式(2)—(4)可求得

經(jīng)仿真并進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化后各S參數(shù)如圖5所示.

圖5 匹配阻抗變換器的定向耦合器各端口S參數(shù)

中心頻率處各參數(shù)指標(biāo)如上表1所示,均滿足設(shè)計(jì)要求.

表1 中心頻率處阻抗變換器仿真結(jié)果

2.2 二項(xiàng)式阻抗變換器的仿真設(shè)計(jì)

由于2.1節(jié)中,四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器S11參數(shù)已經(jīng)滿足了設(shè)計(jì)指標(biāo)要求.因此為了體現(xiàn)明顯區(qū)別,我們不妨直接設(shè)計(jì)一個(gè)n=3的二項(xiàng)式阻抗變換器.

(23)

經(jīng)仿真并進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化后各S參數(shù)如圖6所示. 中心頻率處各參數(shù)指標(biāo)如表2所示,均滿足設(shè)計(jì)要求,且S11大大降低.

表2 中心頻率處二項(xiàng)式阻抗變換器仿真結(jié)果

圖6 匹配二項(xiàng)式阻抗變換器的定向耦合器各端口S參數(shù)

2.3 切比雪夫阻抗變換器的仿真設(shè)計(jì)

為與2.2節(jié)中的二項(xiàng)式阻抗變換器做一個(gè)對(duì)比,我們同樣令n=3,代入1.3節(jié)計(jì)算得

k1:k2:k3:k4=1:3(1-cos2θ1):3(1-cos2θ1):1

k1:k2:k3:k4=1: 2.055: 2.055: 1,

(24)

經(jīng)仿真并進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化后各S參數(shù)如圖7. 中心頻率處各參數(shù)指標(biāo)如表3所示,其S11雖然有一定的改善,但方向性下降,頻帶寬也完全不滿足設(shè)計(jì)要求.

表3 中心頻率處切比雪夫阻抗變換器仿真結(jié)果

圖7 匹配切比雪夫阻抗變換器的定向耦合器各端口S參數(shù)

3 仿真結(jié)果的討論

3.1 問(wèn)題討論

首先,討論第1個(gè)問(wèn)題:為什么2.1節(jié)中圖6的S11似乎并沒(méi)體現(xiàn)出二項(xiàng)式阻抗變換器的最平坦分布?這是因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)阻抗匹配段時(shí),只考慮了某一端口Z0到Zn+1的一系列阻抗匹配,并沒(méi)有考慮定向耦合器內(nèi)部如小孔和其他端口的反射系數(shù).如果去掉小孔和其他端口進(jìn)行仿真,其S11圖像如圖8所示. 在±0.4 GHz范圍內(nèi)是很符合最平坦特征的.切比雪夫也同理,如圖9,其基本符合圖4中n=3時(shí)中間有一個(gè)峰值,兩邊有兩個(gè)極小值的分布特點(diǎn).

圖8 去掉小孔和其他端口后的S11與頻率關(guān)系曲線

圖9 去掉小孔和其他端口后的S11與頻率關(guān)系曲線

第2個(gè)問(wèn)題: 為什么本次仿真的切比雪夫阻抗變換器有一定的二項(xiàng)式阻抗變換器的特征?如圖9所示,其S11接近“U”型的分布與圖2中二項(xiàng)式阻抗變換器反射系數(shù)的分布有一定程度的相似.這是因?yàn)锽J70接口與我們需要匹配的定向耦合器的接口特性阻抗相差不大.這就造成了式(23)和(24)中計(jì)算出的二項(xiàng)式和切比雪夫各阻抗匹配段特性阻抗相差很小,進(jìn)而也就造成了這種相似性.

表4 取不同n值時(shí)兩種設(shè)計(jì)方法各ki比值情況

3.2 三種設(shè)計(jì)的綜合比較

中心頻率處三種設(shè)計(jì)的各S參數(shù)如表5所示. 綜合比較表5數(shù)據(jù),可以得到如下一些結(jié)論:

表5 三種設(shè)計(jì)方案中心頻率處仿真結(jié)果對(duì)比

2) 若要追求最小的駐波比,則推薦采用三階二項(xiàng)式設(shè)計(jì). 通過(guò)文獻(xiàn)[16]也可說(shuō)明采用二項(xiàng)式所設(shè)計(jì)的阻抗變換器,其駐波比最小.

3) 綜合評(píng)估我們所要設(shè)計(jì)定向耦合器的各項(xiàng)指標(biāo)要求及應(yīng)用場(chǎng)合,不建議采用切比雪夫設(shè)計(jì),首先其方向性的變差導(dǎo)致其頻帶寬變得很窄;且又因?yàn)锽J70波阻抗與需要匹配的端口波阻抗過(guò)于接近,我們從理論上就已能得出切比雪夫設(shè)計(jì)的特點(diǎn)無(wú)法很好體現(xiàn),而在進(jìn)一步參數(shù)優(yōu)化過(guò)程中,各項(xiàng)參數(shù)也會(huì)趨于三階二項(xiàng)式設(shè)計(jì)的參數(shù),導(dǎo)致退變?yōu)槎?xiàng)式阻抗變換器.

4) 為了驗(yàn)證本文的仿真設(shè)計(jì)的有效性,對(duì)已有文獻(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比,如表6所示. 可發(fā)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的阻抗變換器其反射系數(shù)較優(yōu)于其他文獻(xiàn).

表6 其他文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

本文介紹了3種階梯式阻抗變換器的相關(guān)計(jì)算推導(dǎo),并設(shè)計(jì)了針對(duì)BJ70接口的三種阻抗變換器,最后對(duì)其進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.通過(guò)比較計(jì)算分析和仿真驗(yàn)證后的結(jié)果,我們不建議采用切比雪夫的設(shè)計(jì);而若在設(shè)計(jì)指標(biāo)之下還要要求更好的駐波比,則推薦采用二項(xiàng)式的設(shè)計(jì);不過(guò)綜合而言,我們更推薦四分之一波長(zhǎng)阻抗變換器的設(shè)計(jì),因?yàn)槠湔宫F(xiàn)出更好的帶寬和方向性,以及盡量小的波導(dǎo)尺寸.此外對(duì)計(jì)算和仿真結(jié)果的進(jìn)一步分析,我們也發(fā)現(xiàn),在兩待匹配端口阻抗相接近和設(shè)計(jì)指標(biāo)要求的頻帶寬較時(shí),都不推薦采用切比雪夫阻抗變換器設(shè)計(jì).