杜鵬，崔琦，2，王思翔，董有恒，李暉

（1.西安電子科技大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與信息安全學(xué)院，陜西 西安 710126；2.國(guó)家市場(chǎng)監(jiān)督管理總局信息中心，北京 100820；3.中國(guó)農(nóng)業(yè)發(fā)展銀行信息科技部，北京 100045；4.北京電子科技學(xué)院密碼科學(xué)與技術(shù)系，北京 100070）

0 引言

隨著通信技術(shù)的發(fā)展，圖像由于其直觀性和信息的豐富性越來(lái)越成為信息傳輸中的重要載體，特別是在社交網(wǎng)絡(luò)和互聯(lián)網(wǎng)中，圖像不僅加快了信息傳播的速度，也易于使人理解和識(shí)別。然而，隨著傳輸圖片的增多，很多存有隱私信息的圖像也漸漸出現(xiàn)在互聯(lián)網(wǎng)中，如個(gè)人的肖像照、證件照以及一些存有重要信息的報(bào)告圖片等。不法分子很容易從中獲取個(gè)人信息，甚至用于破解人臉識(shí)別系統(tǒng)等［1］，因此在存儲(chǔ)或傳輸時(shí)對(duì)于隱私圖像進(jìn)行加密處理顯得尤為必要。現(xiàn)有的傳統(tǒng)加密算法，如AES 等分組密碼算法，主要是針對(duì)文件進(jìn)行加密，由于圖像中信息存在大量冗余，加解密時(shí)還需分組然后重構(gòu)圖像，影響加密效率，這大大限制了這類(lèi)算法在圖像加密的應(yīng)用［2］，傳統(tǒng)序列密碼算法RC4 已經(jīng)被證明不太安全［3］，因此也不適用于進(jìn)行隱私圖像加密，故亟需設(shè)計(jì)一類(lèi)新型圖像加密算法，該類(lèi)算法應(yīng)該高效且安全。

混沌系統(tǒng)是一類(lèi)具有初值敏感性、遍歷性以及長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性的確定非線性系統(tǒng)［4］。這類(lèi)系統(tǒng)和加密算法中擴(kuò)散性和隨機(jī)性的要求十分吻合，因此大量基于混沌的圖像加密算法被提出。文獻(xiàn)［5］基于細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)超混沌系統(tǒng)和Logistic 映射提出一種高效率的視頻圖像加密算法，文獻(xiàn)［6］利用新型三維離散混沌映射實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖像的擴(kuò)散和混淆，文獻(xiàn)［7］結(jié)合混沌映射和基因編碼技術(shù)實(shí)現(xiàn)了對(duì)醫(yī)療圖像的加密。然而，上述加密算法用到的混沌映射均是基于單一混沌系統(tǒng)，該類(lèi)系統(tǒng)每次迭代僅能輸出一個(gè)元素，輸出密鑰流的效率較慢，同時(shí)混沌系統(tǒng)在數(shù)字系統(tǒng)中運(yùn)行時(shí)存在動(dòng)力學(xué)特性退化的問(wèn)題，因此并不能很好地適用于隱私圖像加密。

耦合映像格（CML）的出現(xiàn)，大幅改善了上述問(wèn)題［8］?；贑ML 的時(shí)空混沌系統(tǒng)，利用格子之間的耦合關(guān)系相互擾動(dòng)，有效地削弱了動(dòng)力學(xué)退化的問(wèn)題，同時(shí)CML 中的各個(gè)格子同步迭代并行運(yùn)行，可以在短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生大量的混沌序列，因此相比于單一混沌系統(tǒng)，基于CML 的時(shí)空混沌系統(tǒng)擁有更強(qiáng)的混沌特性，同時(shí)提高了生成序列的效率，也更適合進(jìn)行隱私圖像加密［9］。基于時(shí)空混沌系統(tǒng)的圖像加密算法逐漸成為混沌圖像加密的研究熱點(diǎn)，其中包括基于交叉耦合映像格的時(shí)空混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)出的圖像加密算法［10］、基于非線性耦合映像格［11］以及基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的耦合映像格［12］等。然而，根據(jù)相關(guān)的對(duì)比分析［4，13］，上述所設(shè)計(jì)的時(shí)空混沌系統(tǒng)往往存在弱混沌的現(xiàn)象，比如系統(tǒng)分岔圖存在周期窗口或遍歷性不好的問(wèn)題，同時(shí)輸出分布不均，易受到相空間重構(gòu)或者回歸映射分析攻擊等針對(duì)混沌加密算法的攻擊。同時(shí)，某些密鑰固定的基于時(shí)空混沌的加密算法極易被選擇明/密文破解，文獻(xiàn)［14］提出一種針對(duì)置換-替換網(wǎng)絡(luò)的混沌圖像加密破解方法，解決了該類(lèi)的12 種加密算法。

本文設(shè)計(jì)一種新型時(shí)空混沌系統(tǒng)，該混沌系統(tǒng)可解決單一混沌映射輸出數(shù)據(jù)有限的問(wèn)題，削弱動(dòng)力學(xué)退化的影響，在控制參數(shù)可取范圍內(nèi)系統(tǒng)的輸出不存在周期窗口，擁有較好的遍歷性和隨機(jī)性，輸出序列可覆蓋整個(gè)值域。基于該新型時(shí)空混沌系統(tǒng)提出隱私圖像加密算法，以解決混沌圖像加密圖像密鑰固定而無(wú)法抵抗選擇明/密文攻擊的問(wèn)題，同時(shí)添加動(dòng)態(tài)替換盒和兩次異或來(lái)提高算法的安全性。

基于上述研究以及存在的問(wèn)題，本文的主要貢獻(xiàn)和創(chuàng)新點(diǎn)如下：

1）基于Henon 映射和CML 設(shè)計(jì)了一種新型時(shí)空混沌系統(tǒng)，即基于Henon 映射的置亂耦合映像格系統(tǒng)（PRSCML-Henon）。該混沌系統(tǒng)相比于單一的Henon 映射以及傳統(tǒng)的CML 系統(tǒng)擁有更強(qiáng)的混沌特性。此外，PRSCML-Henon 在本文提到的近兩年的新型時(shí)空混沌系統(tǒng)中，混沌特性較強(qiáng)，可生成隨機(jī)性更好的混沌序列，適合應(yīng)用于隱私圖像加密算法。

2）基于PRSCML-Henon 系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種有效且可靠的隱私圖像加密算法。該加密算法有如下特點(diǎn)：種子密鑰與明文相關(guān)，在每次加密不同的明文圖像時(shí)，生成的種子密鑰和密鑰流不同，因此可有效抵抗選擇明/密文攻擊；添加了非線性的替換操作，利用密鑰流來(lái)生成替換盒，該替換盒會(huì)隨著種子密鑰的變化而發(fā)生變化，因此在每次加密不同明文時(shí)生成的替換盒也是不同的，可提高算法的安全性。

3）進(jìn)行了兩次與明文圖像等長(zhǎng)的異或操作，有效隱藏明文圖像和密鑰流本身的統(tǒng)計(jì)特性。

1 預(yù)備知識(shí)與設(shè)計(jì)原理

1.1 Henon 映射

Henon 映射是由法國(guó)數(shù)學(xué)家HENON 于1976 年提出，作為洛倫茨模型的龐加萊截面的簡(jiǎn)化模型［15-16］。該映射為離散的二維映射，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中：t代表時(shí)間維度，即迭代次數(shù)；x和y代表Henon映射的輸出；a和b代表映射的控制參數(shù)，當(dāng)a=1.4、b=0.3 時(shí)，映射處于混沌狀態(tài)，輸出的序列具有較好的隨機(jī)性和長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性。

1.2 基于耦合映像格的時(shí)空混沌系統(tǒng)

傳統(tǒng)的耦合映像格是由一個(gè)個(gè)格子構(gòu)成的，每個(gè)格子中包含一個(gè)映射進(jìn)行迭代，通常稱(chēng)之為底層映射，相鄰格子之間通過(guò)耦合聯(lián)系在一起。當(dāng)?shù)讓佑成錇榛煦缬成鋾r(shí)，便構(gòu)成了時(shí)間和空間上都可處于混沌狀態(tài)的時(shí)空混沌系統(tǒng)［17］?；隈詈嫌诚窀竦臅r(shí)空混沌系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中：i(i=1，2，…，L)代表格子索引；t代表迭代次數(shù)；L為系統(tǒng)總的格子數(shù)；代表第i個(gè)格子在t次迭代時(shí)的當(dāng)前值，需要注意的是，耦合映像格的邊界一般默認(rèn)為是周期的，即最左側(cè)格子和最右側(cè)格子看作是相鄰的；ε(ε∈(0，1))為耦合強(qiáng)度；函 數(shù)f代表底層映射。傳統(tǒng)的基于CML 的時(shí)空混沌系統(tǒng)，底層映射一般為簡(jiǎn)單的Logistic 映射，表達(dá)式如下：

其中：μ(μ∈(3，4))為控制參數(shù)，當(dāng)μ＞3.67 時(shí)該映射處于混沌狀態(tài)，但當(dāng)控制參數(shù)在3.84 附近時(shí)存在部分周期窗口，即弱混沌現(xiàn)象。

1.3 初等元胞自動(dòng)機(jī)

元胞自動(dòng)機(jī)（CA）最初是由文獻(xiàn)［18］提出的，用來(lái)模擬自然界中的自我復(fù)制現(xiàn)象，是一個(gè)在空間和時(shí)間上都離散的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。一個(gè)典型的CA 由元胞、元胞空間、元胞鄰居、迭代規(guī)則等構(gòu)成。初等元胞自動(dòng)機(jī)（ECA）是其中最為簡(jiǎn)單的一類(lèi)元胞自動(dòng)機(jī)［19］。ECA 的元胞空間是一維的，元胞鄰居僅包括與該元胞相鄰的兩個(gè)元胞，同時(shí)每個(gè)元胞的狀態(tài)僅有兩種，可以表示為“0”或“1”。某一元胞下一時(shí)刻的狀態(tài)由其本身和其元胞鄰居當(dāng)前的狀態(tài)以及迭代規(guī)則所共同決定，ECA 與CML 類(lèi)似，其邊界亦是周期的，ECA 的迭代過(guò)程可表示為布爾函數(shù)：

其中：i和t分別代表空間維度和時(shí)間維度；代表第i個(gè)元胞在第t次迭代時(shí)的狀態(tài)值；r為迭代規(guī)則；布爾函數(shù)fr的迭代結(jié)果是由迭代規(guī)則r所決定的。例如，當(dāng)r=90 時(shí)，該布爾函數(shù)的迭代結(jié)果可表示為真值表，如表1 所示。

表1 布爾函數(shù)f90的迭代結(jié)果 Table 1 Iterative results of Boolean function f90

顯然，由表1 可知，f90的迭代結(jié)果即表格中的最后一列就是數(shù)字“90”的二進(jìn)制表達(dá)方式。故對(duì)于ECA 來(lái)說(shuō)，其共有256 種迭代規(guī)則，根據(jù)每種迭代規(guī)則所表現(xiàn)的不同動(dòng)力學(xué)行為，可分為5 類(lèi)：無(wú)效規(guī)則，固定點(diǎn)規(guī)則，周期規(guī)則，局部混沌規(guī)則和全局混沌規(guī)則。其中，全局混沌規(guī)則控制下的ECA，其迭代結(jié)果呈現(xiàn)出長(zhǎng)周期和混沌特性，根據(jù)文獻(xiàn)［20］，共有34 種全局混沌規(guī)則，如圖1 所示。

圖1 全局混沌規(guī)則 Fig.1 Global chaotic rules

由于ECA 是一類(lèi)在時(shí)間和空間上均離散的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，并不存在動(dòng)力學(xué)退化的問(wèn)題，因此全局混沌規(guī)則控制下的ECA 其輸出的序列可以作為混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)擾動(dòng)來(lái)削弱動(dòng)力學(xué)退化的問(wèn)題，以提高系統(tǒng)的混沌特性。

2 新型時(shí)空混沌系統(tǒng)及其特性

2.1 系統(tǒng)描述

本文所提出的新型時(shí)空混沌系統(tǒng)是基于Henon映射及CML 設(shè)計(jì)的。Henon 映射作為底層映射，其中一維作為輸出，另一維作為置亂耦合的控制信號(hào)，此外ECA 的輸出作為擾動(dòng)以提高系統(tǒng)的混沌特性。該新型時(shí)空混沌系統(tǒng)，本文稱(chēng)為基于Henon 映射的偽隨機(jī)置亂耦合映像格系統(tǒng)（PRSCML-Henon），該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（5）～式（7）所示：

其中：i和t分別代表空間維度和時(shí)間維度；函數(shù)f代表Henon 映射，該映射的控制參數(shù)為常數(shù)a=1.4、b=0.3，使該映射處于混沌狀態(tài)；x*和y*為各個(gè)格子經(jīng)過(guò)Henon 映射迭代一次的中間值。

其中：函數(shù)sort（y＊）是對(duì)向量y＊進(jìn)行升序排列；Iy是升序排列后，原始元素的索引在升序排列后的亂序結(jié)果；x＊?jiǎng)t通過(guò)向量Iy實(shí)現(xiàn)了偽隨機(jī)置亂。

其中：ε為耦合強(qiáng)度，則將置亂后的中間值x**和y**進(jìn)行耦合運(yùn)算；mod 1 運(yùn)算的目的是保留運(yùn)算結(jié)果的小數(shù)部分；擾動(dòng)p(i，Ct)由ECA 第t次迭代結(jié)果得到。

p(i，Ct)計(jì)算過(guò)程如下：

其中：Ct代表ECA 第t次迭代的結(jié)果，即各個(gè)元胞的狀態(tài)值構(gòu)成的向量；i與式（7）中相等，此處代表元胞索引；函數(shù)bin 2dec 的目的是將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；m為格子的中間位置索引；L為格子總數(shù)。因此，式（8）就是將ECA 迭代結(jié)果的中間32 bit 轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，并量化到（0，1）區(qū)間上得到擾動(dòng)的絕對(duì)值；乘Ct(i)-0.5 的目的是使得每個(gè)格子雖然每次迭代時(shí)添加的擾動(dòng)絕對(duì)值相同，但正負(fù)符號(hào)不同，且該擾動(dòng)的符號(hào)是隨ECA 迭代偽隨機(jī)變化的。

PRSCML-Henon 系統(tǒng)利用Henon 映射的其中一維控制格子實(shí)現(xiàn)置亂，以加快能量傳遞速度，提高系統(tǒng)的混沌特性。同時(shí)，引入ECA 的輸出作為偽隨機(jī)擾動(dòng)，進(jìn)一步削弱了動(dòng)力學(xué)退化的影響。需要注意的是，該新型時(shí)空混沌系統(tǒng)的輸出有兩維，其中，輸出x作為最終的輸出，而y作為中間參數(shù)不輸出。

2.2 混沌特性分析

為了凸顯本文提出的新型時(shí)空混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)的有效性，本節(jié)引入傳統(tǒng)的基于鄰近耦合的時(shí)空混沌系統(tǒng)CML 和單一Henon 映射進(jìn)行對(duì)比分析。

2.2.1 分岔圖

分岔圖可以直觀地判斷混沌系統(tǒng)的非周期性、遍歷性等混沌特性。單一Henon 映射、傳統(tǒng)CML 系統(tǒng)以及PRSCML-Henon 系統(tǒng)的分岔圖如圖2 所示。

圖2 分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram

圖2（a）～圖2（d）為單一Henon 映射不同控制參數(shù)下不同輸出對(duì)應(yīng)的分岔圖。其中，圖2（a）和圖2（b）是控制參數(shù)b固定的條件下輸出隨a變化的分岔圖，顯然無(wú)論是輸出x還是y，當(dāng)控制參數(shù)a＜1.2 時(shí)，Henon 映射存在明顯的固定點(diǎn)和周期點(diǎn)，只有接近1.4 時(shí)，映射的非周期性和遍歷性才較好。與之對(duì)應(yīng)，在圖2（c）和圖2（d）中，當(dāng)控制參數(shù)a固定時(shí)，輸出隨b的變化也呈現(xiàn)同樣的趨勢(shì)，在b接近0.3 時(shí)，輸出所占據(jù)的值域范圍才較大，擁有較好的遍歷性。同時(shí)，由圖2（e）可知傳統(tǒng)的CML 由于底層映射為簡(jiǎn)單的Logistic 映射，因此分岔圖在控制參數(shù)小于3.67 時(shí)存在明顯的周期窗口，只有在其接近于4 時(shí)才具備良好的遍歷性，即輸出可以充滿整個(gè)區(qū)間。

與上述情況不同，本文提出的新型時(shí)空混沌系統(tǒng)PRSCML-Henon，對(duì)于輸出x，無(wú)論控制參數(shù)a和b如何變化，在整個(gè)區(qū)間上都不存在固定點(diǎn)或者周期點(diǎn)，且輸出可以覆蓋整個(gè)值域［0，1］，如圖2（f）和圖2（h）所示，而輸出y由于進(jìn)行了排序運(yùn)算，因此在控制參數(shù)較小時(shí)存在部分值無(wú)法取到，但y并不作為系統(tǒng)的輸出，而作為中間值使用，對(duì)后續(xù)生成序列的隨機(jī)性影響不大，因此出現(xiàn)這種情況是可接受的。

2.2.2 K 熵分析

Kolmogorov-Sinai 熵（簡(jiǎn)稱(chēng)K 熵）是用來(lái)衡量時(shí)空混沌特性強(qiáng)弱的重要參數(shù)［21］，K 熵與系統(tǒng)中各個(gè)格子混沌映射的李雅普諾夫指數(shù)密切相關(guān)。K 熵分為K 熵密度和K 熵闊度，兩者的計(jì)算過(guò)程如下：

其中：λ+(i)代表由第i個(gè)格子生成序列所求得的正的李雅普諾夫指數(shù)，本文采用Wolf 法［22］求取，若λ+(i)為負(fù)值，則令其為0；L為系統(tǒng)的格子總數(shù)；h代表K 熵密度，能夠反映系統(tǒng)整體的混沌特性強(qiáng)度，h越大代表混沌特性越強(qiáng)；hhu代表K 熵闊度，即處于混沌狀態(tài)的格子數(shù)占比，其理想值為“1”。

為凸顯PRSCML-Henon 系統(tǒng)的優(yōu)越性，引入除傳統(tǒng)CML 系統(tǒng)外新近（均為2022 年）提出的時(shí)空混沌系統(tǒng)作為對(duì)比，它們分別為：基于動(dòng)態(tài)耦合強(qiáng)度和交叉耦合的改進(jìn)型Tent-動(dòng)態(tài)交叉耦合映像格系統(tǒng)（TDCCML）［23］，基于雙參數(shù)分形排列向量和耦合映像格的時(shí)空混沌系統(tǒng)（DPFSV-CML）［24］。

上述4 類(lèi)系統(tǒng)的K 熵密度和K 熵闊度分別如圖3 和圖4 所示。

圖3 K 熵密度Fig.3 K entropy density

圖4 K 熵闊度Fig.4 K entropy breadth

由圖3（a）可知，傳統(tǒng)CML 系統(tǒng)僅在控制參數(shù)大于3.67 時(shí)才存在正的K 熵密度，而與之對(duì)應(yīng)的圖3（b）中，本文所設(shè)計(jì)的PRSCML-Henon 系統(tǒng)在整個(gè)控制參數(shù)區(qū)間上，其K 熵密度均大于0，而在圖3（c）和圖3（d）中，K 熵也只有在控制參數(shù)大于3.67 時(shí)才存在正值，這說(shuō)明要使得系統(tǒng)TDCCML 和DPFSV-CML 處于混沌狀態(tài)，控制參數(shù)的可取范圍是有限的，同時(shí)由 圖3（d）可知，DPFSV-CML 系統(tǒng)的K 熵密度對(duì)耦合強(qiáng)度也十分敏感，耦合強(qiáng)度在0.5 附近時(shí)，K 熵較大，而在接近0 或1 時(shí)K 熵密度較小，對(duì)于TDCCML 和PRSCML-Henon 系統(tǒng)則不存在這種問(wèn)題，兩種系統(tǒng)對(duì)耦合強(qiáng)度不敏感，在整個(gè)耦合強(qiáng)度區(qū)間上其K 熵密度的變化基本是一致的。進(jìn)一步地，由 圖4（a）～圖4（d）可 知，傳 統(tǒng)CML 系 統(tǒng)、TDCCML 系統(tǒng)及DPFSV-CML 系統(tǒng)僅在控制參數(shù)大于3.67 時(shí)才存在理想值“1”，而PRSCML-Henon 系統(tǒng)的K 熵闊度在整個(gè)控制參數(shù)區(qū)間上均接近于“1”，也就是說(shuō)大部分格子在任意控制參數(shù)下均處于混沌狀態(tài)。綜上所述，所提新型時(shí)空混沌系統(tǒng)PRSCMLHenon 的混沌特性不僅強(qiáng)于傳統(tǒng)CML 系統(tǒng)，而且還強(qiáng)于新提出的TDCCML 和DPFSV-CML 系統(tǒng)，可見(jiàn)置亂耦合和擾動(dòng)的存在大幅增強(qiáng)了新型時(shí)空混沌系統(tǒng)的混沌特性，這為后續(xù)該系統(tǒng)作為密鑰流產(chǎn)生器提供了良好性能基礎(chǔ)。

3 隱私圖像加密算法

鑒于PRSCML-Henon 系統(tǒng)所具備的良好混沌特性，如非周期性和遍歷性以及混沌系統(tǒng)本身的初值敏感性，本文進(jìn)一步基于該系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種隱私圖像加密算法。

該加密算法由4 個(gè)部分構(gòu)成：種子密鑰生成，混沌系統(tǒng)初始化，密鑰流生成與量化以及圖像加解密。

1）種子密鑰生成

首先利用SHA-256 計(jì)算明文的哈希值，然后將該哈希值與用戶設(shè)置的256 bit 秘密密鑰相異或，得到了256 bit 的種子密鑰：

其中：HASH 函數(shù)代表SHA-256 算法，該算法保證了計(jì)算的單向性，使得敵手無(wú)法通過(guò)HASH 值得到明文的有效信息，同時(shí)該過(guò)程使得種子密鑰與明文相關(guān)，使得選擇明/密文攻擊無(wú)效，提高了算法的安全性。此外，SHA-256 算法可以有效地將明文的微小變化反映出來(lái)，有效提高了算法的擴(kuò)散性，K作為種子密鑰在加解密端通過(guò)秘密信道進(jìn)行傳輸。

2）混沌系統(tǒng)初始化

PRSCML-Henon 系統(tǒng)需要初始化的值包括ECA的初值和迭代規(guī)則、置亂耦合映像格的初值、系統(tǒng)的初始迭代次數(shù)等。為了保證系統(tǒng)具備良好的混沌特性，令控制參數(shù)為固定值a=1.4、b=0.3，同時(shí)系統(tǒng)中格子總數(shù)和元胞總數(shù)均為256，與種子密鑰長(zhǎng)度一致。

ECA 中各元胞的初值即為256 bit 的種子密鑰K，其迭代規(guī)則由K的Hamming 重量決定，計(jì)算過(guò)程如下：

其中：r代表全局混沌規(guī)則在圖1 中的索引，由于共有34 個(gè)不同的規(guī)則，此處進(jìn)行模34 的運(yùn)算，并加“1”，使r為1～34 的整數(shù)。

接著將K分為8 個(gè)32 bit 二進(jìn)制數(shù)，并進(jìn)行如下的量化：

其中：xi和yi代表各個(gè)格子的初值構(gòu)成的向量；K（1：32）代表種子密鑰的第1～32位，以此類(lèi)推，函數(shù)bin 2dec將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)。初始化上述4 個(gè)格子（第1、65、129、193 個(gè)格子）后，再由Henon 映射迭代初始化完成余下的格子，初始化過(guò)程如圖5所示。

圖5 各格子初始化過(guò)程Fig.5 Initialization process of each lattice

耦合強(qiáng)度ε由K的中間32 bit 決定，計(jì)算過(guò)程如下：

其中：函數(shù)bin 2dec 與式（15）中的作用相同。此外，算法還設(shè)置了初始迭代次數(shù)n0，它的值由K的中間10 bit 決定，計(jì)算過(guò)程如下：

顯然n0為區(qū)間［10，1 033］中的整數(shù)。系統(tǒng)在生成密鑰流前，會(huì)預(yù)先迭代n0次，并不輸出，以此來(lái)隱藏初始值，提高系統(tǒng)的安全性。

3）密鑰流生成與量化

系統(tǒng)初始化完成后，便迭代生成密鑰流，生成密鑰流的長(zhǎng)度由明文圖像的大小所決定，一般圖像的存儲(chǔ)單元為無(wú)符號(hào)的8 bit 二進(jìn)制數(shù)，假設(shè)明文圖像的存儲(chǔ)單元共有N個(gè)，則需要由PRSCML-Henon 系統(tǒng)迭代生成長(zhǎng)度為3×N+256 的密鑰流。密鑰流共分為4 個(gè)部分，如圖6 所示。

圖6 密鑰流的構(gòu)成Fig.6 Constitute of key stream

在圖6 中，初始異或和最終異或部分的密鑰流需要量化為無(wú)符號(hào)的8 bit 二進(jìn)制數(shù)，量化過(guò)程如下：

其中：函數(shù)floor 的目的是向下取整；X為時(shí)空混沌直接輸出的在區(qū)間（0，1）上的序列；Y為量化后的用于異或的密鑰流。

4）隱私圖像加解密

與生成密鑰流的4 個(gè)部分相對(duì)應(yīng)，對(duì)于隱私圖像的加密共分為4 個(gè)步驟：初始異或，替換，置換與最終異或，該流程如圖7 所示。

圖7 加解密流程Fig.7 Procedure of encryption and decryption

在圖7 中，初始異或和最終異或就是利用與明文圖像等長(zhǎng)，且經(jīng)過(guò)量化后得到的密鑰流進(jìn)行簡(jiǎn)單的按位異或運(yùn)算。初始異或是利用密鑰流與明文圖像進(jìn)行異或，而最終異或是將置亂后得到的中間值與密鑰流進(jìn)行異或。

替換則是由密鑰流的替換部分生成替換盒，也叫S 盒，然后由該S 盒進(jìn)行非線性的替換過(guò)程。S 盒的生成過(guò)程如下：

其中：KSSbox為密鑰流中的替換盒部分；sort 函數(shù)是對(duì)KSSbox進(jìn)行升序排列，并得到其中元素升序排列后的亂序索引Ik，利用該索引向量減1 便能夠生成只含有0～255 整數(shù)的替換盒SSbox。該替換盒的輸入為初始異或后得到的無(wú)符號(hào)的8 bit 二進(jìn)制數(shù)，該數(shù)加1 作為索引，輸出該索引對(duì)應(yīng)下的替換盒中的元素，完成替換操作。

置換過(guò)程與置亂耦合過(guò)程與式（6）類(lèi)似，利用密鑰流的置亂盒部分對(duì)其進(jìn)行升序排列，得到亂序后的索引，利用該亂序索引實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像存儲(chǔ)單元的亂序。

由于種子密鑰相同，加解密過(guò)程生成的密鑰流是完全相同的，因此解密過(guò)程與加密過(guò)程相對(duì)稱(chēng)，此處不再贅述，需要注意的是，解密過(guò)程中使用的替換盒為式（19）生成的S 盒的逆。

4 加密結(jié)果與分析

為驗(yàn)證該算法在隱私圖像加密中的有效性，使用示例體檢單和示例身份證圖像作為傳輸對(duì)象進(jìn)行加解密，加解密的結(jié)果如圖8 和圖9 所示（彩色效果見(jiàn)《計(jì)算機(jī)工程》官網(wǎng)HTML 版，下同）。

圖8 體檢單加解密結(jié)果（灰度圖）Fig.8 The encryption and decryption of medical examination report（gray map）

圖9 身份證加解密結(jié)果（彩圖）Fig.9 Encryption and decryption results of identity card（color map）

由圖8 和圖9 可知，無(wú)論加密對(duì)象是體檢單類(lèi)型的灰度圖，還是證件照類(lèi)型的彩圖，利用本文算法均可以有效隱藏原始隱私圖像的信息，且加解密過(guò)程是無(wú)失真的。

為進(jìn)一步驗(yàn)證該加密算法的安全性和可靠性，本文將引入統(tǒng)計(jì)分析、安全性分析以及魯棒性分析。

4.1 統(tǒng)計(jì)分析

4.1.1 直方圖

直方圖可以直觀地判斷加密結(jié)果的有效性，密文的像素直方圖分布越均勻平滑，則說(shuō)明加密質(zhì)量越好。上述體檢單和身份證加密結(jié)果的直方圖如圖10 所示，其中，圖10（a）左圖為明文（體檢單），右圖為密文（體檢單），圖10（b）上為明文（身份證），下為密文（身份證）。

圖10 直方圖加密結(jié)果分析Fig.10 Analysis of histogram encryption results

圖10 中各個(gè)直方圖的橫坐標(biāo)代表像素值，縱坐標(biāo)代表當(dāng)前像素值下的總像素?cái)?shù)。其中對(duì)于彩圖，分別對(duì)紅綠藍(lán)三色通道進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。由圖10 可知，無(wú)論加密的隱私圖像是灰度圖還是彩圖，密文的直方圖分布總是均勻的，說(shuō)明了該加密算法生成的密文圖像接近于真隨機(jī)圖像。

4.1.2 相關(guān)性分析

由于圖像的信息冗余較大，明文圖像中相鄰像素的相關(guān)性較強(qiáng)，為了更好地隱藏原始圖像的信息，密文圖像中相鄰像素之間的相關(guān)性應(yīng)較弱，甚至無(wú)關(guān)。圖11 和圖12 所示為明文和密文圖像相鄰像素的相關(guān)性對(duì)比，其中，在圖11（a）、圖11（b）中，從左到右分別為水平、垂直、對(duì)角線方向，在圖12（a）、圖12（b）中，第1～3 行分別為水平、垂直、對(duì)角線方向。

圖11 體檢單明文與密文的相關(guān)性分析（灰度圖）Fig.11 Correlation analysis of plaintext and ciphertext of medical examination report（gray map）

圖12 身份證明文與密文的相關(guān)性分析（彩圖）Fig.12 The correlation analysis of plaintext and ciphertext of identity card（color map）

由圖11（a）和12（a）可知，明文圖像中任意方向相鄰的像素，像素值都是相近的，因此其分布基本在圖中的對(duì)角線上。由圖11（b）和圖12（b）可知，在密文圖像中，相鄰像素之間幾乎是無(wú)關(guān)的，其分布接近于噪點(diǎn)。進(jìn)一步地，計(jì)算上述圖像中相鄰像素的相關(guān)性，如表2 和表3 所示，其中，R 代表紅色，G 代表綠色，B 代表藍(lán)色。

表2 體檢單（灰度圖）相關(guān)性分析 Table 2 The correlation analysis of medical examination report（gray map）

表3 身份證（彩圖）相關(guān)性分析 Table 3 The correlation analysis of identity card（color map）

由表2 和表3 可知，在明文圖像中，相鄰像素的相關(guān)性均大于0.5，甚至接近于0.9，具有強(qiáng)相關(guān)性，但經(jīng)過(guò)本文加密算法加密后，密文圖像中相鄰像素的相關(guān)性始終小于0.1，具有極弱的相關(guān)性。

進(jìn)一步地，對(duì)Lena 圖像進(jìn)行加密，并與其他方案進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)比結(jié)果如表4 所示。

表4 Lena 圖像（灰度圖）的相關(guān)性分析 Table 4 Correlation analysis of Lena image（gray map）

由表4 可知，經(jīng)本文方案加密后，密文圖像相鄰像素之間的相關(guān)性顯著降低，并且低于其他方案。綜上所述，相比其他方案，本文所提出的加密方案能夠更好地降低相鄰像素之間的相關(guān)性，有效隱藏明文信息。

4.1.3 信息熵分析

對(duì)于存儲(chǔ)單位為無(wú)符號(hào)8 bit 二進(jìn)制數(shù)的圖像，其信息熵越接近8，則說(shuō)明隨機(jī)性越好，所含的有用信息越少。為了使本文加密算法的有效性更加可靠，不僅對(duì)上文兩張隱私圖片進(jìn)行信息熵分析，另外還對(duì)以南加州大學(xué)信號(hào)與圖像處理研究所標(biāo)準(zhǔn)圖像數(shù)據(jù)庫(kù)中的一些圖片（見(jiàn)圖像編號(hào)）也進(jìn)行了分析，結(jié)果如表5 所示。

表5 信息熵分析結(jié)果 Table 5 Analysis results of information entropy

由表5 可知，原始明文的信息熵都遠(yuǎn)離8，這是由于其中含有有用信息較多，而經(jīng)過(guò)加密后，密文圖像的信息熵都大于7.999，且十分接近于8，因此密文圖像具有較好的和真隨機(jī)圖像類(lèi)似的隨機(jī)性，有效地隱藏了原始圖像的有用信息。進(jìn)一步地，加密Lena 圖像，與其他圖像加密方案的對(duì)比結(jié)果如表6所示。

表6 Lena 圖像（灰度圖）的信息熵對(duì)比分析 Table 6 Comparative analysis of information entropy in Lena image（gray map）

從表6 可以看出，本文方案與文獻(xiàn)［25］的加密結(jié)果信息熵最接近8。因此，相比其他方案，本文方案加密后獲取的Lena 密文圖像更接近于真隨機(jī)圖像。

4.2 安全性分析

4.2.1 密鑰空間

本文所提算法的秘密密鑰和傳輸?shù)姆N子密鑰均是256 bit 的二進(jìn)制數(shù)，其密鑰空間遠(yuǎn)大于2128，敵手想要通過(guò)暴力破解的方法去猜測(cè)密鑰，所需要的時(shí)間在實(shí)際中是不可接受的，因此可以抵抗窮舉攻擊。

4.2.2 密鑰流隨機(jī)性測(cè)試

本文引入隨機(jī)性測(cè)試套件NIST SP800-22 對(duì)PRSCML-Henon 系統(tǒng)生成的密鑰流進(jìn)行隨機(jī)性測(cè)試，該測(cè)試套件包含15 項(xiàng)子測(cè)試，每項(xiàng)測(cè)試的p值用于判斷其是否通過(guò)該項(xiàng)測(cè)試，p值越大越好，當(dāng)p值大于0.01 時(shí)，則認(rèn)為通過(guò)該項(xiàng)測(cè)試，且置信度為0.01［30］。令PRSCML-Henon 系統(tǒng)中格子數(shù)為256，迭代生成256 組序列，采用式（18）對(duì)序列進(jìn)行量化，每組序列的長(zhǎng)度為106bit，根據(jù)NIST 官方文件，對(duì)于256 組序列只有通過(guò)率達(dá)到或超過(guò)248/256，測(cè)試序列則被判定為具備良好的隨機(jī)性且無(wú)法與真隨機(jī)數(shù)區(qū)分。PRSCML-Henon 系統(tǒng)輸出序列的測(cè)試結(jié)果如表7 所示，其中，標(biāo)記有*的子測(cè)試表示該子測(cè)試下含多個(gè)小測(cè)試，因此通過(guò)率那一列以“—”表示，數(shù)字為通過(guò)該項(xiàng)測(cè)試的最少樣本數(shù)/測(cè)試樣本總數(shù)，此時(shí)p值給出的是這些小測(cè)試中的均值，“通過(guò)”代表序列在這些小測(cè)試下的通過(guò)率均能夠達(dá)到要求，即序列的隨機(jī)性能夠通過(guò)這些小測(cè)試。

表7 NIST 測(cè)試結(jié)果 Table 7 Test results of NIST

由表7 可知，本文所設(shè)計(jì)系統(tǒng)PRSCML-Henon生成的序列經(jīng)過(guò)量化后得到的密鑰流能夠通過(guò)NIST 的隨機(jī)性測(cè)試，包括全部的15 項(xiàng)子測(cè)試。NIST 隨機(jī)性測(cè)試是極為嚴(yán)格且權(quán)威的，通過(guò)此測(cè)試說(shuō)明密鑰流的隨機(jī)性是滿足安全性要求的。

4.2.3 密鑰敏感性

一個(gè)安全可靠的密碼算法對(duì)密鑰應(yīng)具備良好的敏感性，即發(fā)生微小改變的密鑰無(wú)法正確解出或部分解出密文。本文改變密鑰中的某一位（包括第1 位、中間位以及末位），或改變整個(gè)密鑰，使其取反。利用改變后的密鑰解出的結(jié)果如圖13 和14 所示。在圖13 和14 中，KEY1、KEYmid、KEYend、KEY～分別代表種子密鑰改變第1 位、中間位、末尾以及全部取反的值，圖片為密文解密后的結(jié)果?？梢钥闯觯瑹o(wú)論是灰度圖還是彩圖，在密鑰發(fā)生微小改變后密文均不能正確解出或部分解出，說(shuō)明該算法具備良好的密鑰敏感性。

圖13 體檢單（灰度圖）密鑰敏感性測(cè)試Fig.13 Key sensitivity test of medical examination report（gray map）

圖14 身份證（彩圖）敏感性測(cè)試Fig.14 Key sensitivity test of identity card（color map）

4.2.4 擴(kuò)散性

理想的圖像加密算法是當(dāng)明文發(fā)生微小變化時(shí)，密文也應(yīng)地相應(yīng)發(fā)生巨大的變化，這就要求加密算法具有良好的擴(kuò)散性，即雪崩效應(yīng)。這里引入歸一化像素變化率（NPCR）和統(tǒng)一平均變化強(qiáng)度（UACI）來(lái)衡量明文圖像發(fā)生一位變化時(shí)，密文圖像發(fā)生的變化。NPCR 和UACI 的計(jì)算過(guò)程如下：

其中：C1和C2分別代表不同明文生成的密文圖像；C1（i，j）代表圖像中第i行、第j列的像素值；M×N代表圖像的尺寸；F為圖像中支持的最大像素值，即255。

任意改變明文圖像中的某一像素值，得到的密文圖像和原圖像之間的NPCR 和UACI 如表8 和表9所示。同樣地，為了使結(jié)果更具普適性，此處引入數(shù)據(jù)庫(kù)中的標(biāo)準(zhǔn)圖片進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如表8 所示。根據(jù)文獻(xiàn)［13，31］，不同尺寸下的圖像其N(xiāo)PCR 和UACI 是有臨界值的，如表9 所示。

表8 擴(kuò)散性分析 Table 8 Diffusion analysis

表9 NPCR 和UACI 的臨界值 Table 9 Critical values of NPCR and UACI

只有當(dāng)NPCR 的值大于臨界值、小于100%、UACI 的值處于區(qū)間［UACI-，UACI+］時(shí)，表明兩張圖像C1和C2近似于隨機(jī)生成，且相互無(wú)關(guān)。顯然表8中標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)中的圖像，其原始圖像得到的密文和改變?nèi)我庀袼刂岛蟮玫降拿芪闹g的NPCR 和UACI 均處于臨界值內(nèi)，說(shuō)明本文所提出加密算法具有良好的擴(kuò)散性。

4.2.5 抗選擇明/密文攻擊

只有當(dāng)密鑰為固定值時(shí)，利用不同的明/密文對(duì)才能夠?qū)崿F(xiàn)選擇明/密文攻擊，破解出密鑰。然而本文所提算法種子密鑰與明文HASH 值相關(guān)，當(dāng)明文發(fā)生變化時(shí)，種子密鑰必然發(fā)生變化，所生成的密鑰流由于算法良好的擴(kuò)散性，也會(huì)發(fā)生巨大的變化。這就導(dǎo)致當(dāng)敵手試圖進(jìn)行選擇明/密文攻擊及所選明密文對(duì)發(fā)生變化時(shí)，種子密鑰也會(huì)隨之發(fā)生變化，不再固定，因此選擇明/密文失效。綜上所述，該隱私圖像加密算法能夠抵抗選擇明/密文攻擊。

4.3 魯棒性分析

密文在公共信道傳輸時(shí)，難免會(huì)受到噪聲的影響，或者敵手的阻塞攻擊。因此，加密算法應(yīng)具備較好的魯棒性，即使密文發(fā)生了一些篡改或阻塞，依舊能夠正確解出明文。為驗(yàn)證本文所提算法的魯棒性，向密文圖像中添加不同強(qiáng)度的椒鹽噪聲，并阻塞不同大小的部分密文，使用正確種子密鑰解出的結(jié)果如圖15～圖17 所示。

圖15 噪聲魯棒性分析Fig.15 Robust analysis about noise

圖16 體檢單阻塞攻擊后的解密結(jié)果Fig.16 Decryption results after medical examination report blocking attack

圖17 身份證阻塞攻擊后的解密結(jié)果Fig.17 Decryption results after identity card blocking attack

由圖15～圖17 可知，當(dāng)傳輸?shù)拿芪奶砑拥慕符}噪聲強(qiáng)度為0.1 時(shí)，依舊可以較為清晰地解出明文。而當(dāng)遭受阻塞攻擊時(shí)，即當(dāng)丟失信息低于圖片大小的1/2 時(shí)，解密結(jié)果中依舊能夠依稀看到明文圖像中的信息。綜上所述，本文提出的隱私圖像加密算法能夠有效抵抗信道中的噪聲和阻塞攻擊，具有較好的魯棒性。

4.4 效率分析

RSCML-Henon 系統(tǒng)中各個(gè)格子是并行運(yùn)行的，因此密鑰流生成與量化的過(guò)程相比其他混沌加密算法要更快，效率更高。同時(shí)，本文提出方案的加密過(guò)程又相對(duì)簡(jiǎn)單，因此整個(gè)加密方案的運(yùn)行速度很快。不同方案在處理器固定主頻下加密512×512 像素灰度圖的平均時(shí)間消耗如表10所示。顯然，在加密相同大小的圖像條件下，盡管處理器主頻只有2.20 GHz，但本文方案為所有方案中最快的，僅耗時(shí)0.127 s，效率較高。

表10 效率分析 Table 10 Efficiency analysis

5 結(jié)束語(yǔ)

基于Henon 二維混沌映射和耦合映像格，本文提出一種新型的時(shí)空混沌系統(tǒng)，即偽隨機(jī)置亂耦合映像格系統(tǒng)PRSCML-Henon。相比于單一Henon 映射、傳統(tǒng)CML 系統(tǒng)以及其他新型時(shí)空混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)均具有更好的非周期性、遍歷性和強(qiáng)混沌特性，輸出的密鑰流隨機(jī)性也更好，更適合于進(jìn)行隱私圖像加密。在PRSCML-Henon 系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，本文提出一種隱私圖像加密算法，安全性分析結(jié)果表明，該算法相比其他混沌圖像加密算法具有更好的隨機(jī)性、擴(kuò)散性及可靠的安全性，同時(shí)擁有較好的魯棒性和較快的加密速度。