肖 嵐，溫麗麗，趙 靜，喻顯茂

（1.國(guó)網(wǎng)四川省電力公司信息通信公司，四川 成都 610041；2.國(guó)網(wǎng)四川省電力公司，四川 成都 610041）

1 引言

計(jì)及經(jīng)濟(jì)、環(huán)境因素的發(fā)電調(diào)度問題（EED）是當(dāng)前電力系統(tǒng)中重要的優(yōu)化問題［1］，其目的是通過合理調(diào)度機(jī)組出力，達(dá)到發(fā)電成本、污染氣體排放量等指標(biāo)綜合最優(yōu)［2］，因此，EED問題可以歸結(jié)為具有多個(gè)約束條件的多目標(biāo)非線性優(yōu)化問題［3，4］。

近年來，由于群智能啟發(fā)式計(jì)算技術(shù)在不連續(xù)、非凸、不可導(dǎo)非線性領(lǐng)域具有較好的優(yōu)化性能，粒子群算法（PSO）、蛙跳算（SFLA）等智能算法被逐漸應(yīng)用于EED 問題，文獻(xiàn)［1］采用混沌粒子群算法對(duì)多目標(biāo)發(fā)電調(diào)度進(jìn)行研究；文獻(xiàn)［5］利用人工蜂算法求解多區(qū)域發(fā)電調(diào)度問題；文獻(xiàn)［6］將混沌蝙蝠算法應(yīng)用于電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度領(lǐng)域；文獻(xiàn)［7］采用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法求解閥點(diǎn)加載效應(yīng)經(jīng)濟(jì)負(fù)載調(diào)度問題；文獻(xiàn)［8］利用免疫遺傳算法實(shí)現(xiàn)虛擬電廠源-荷協(xié)調(diào)調(diào)度。上述研究工作取得了具有一定推廣應(yīng)用價(jià)值的成果，但是如何進(jìn)一步提升智能優(yōu)化算法全局收斂性能，是值得進(jìn)一步研究的問題。研究表明，智能優(yōu)化算法存在局部深度搜索能力不強(qiáng)，容易陷入局部極值［3］；對(duì)初始解較為敏感，個(gè)體進(jìn)化學(xué)習(xí)對(duì)象選取缺乏理論支撐［9］；尋優(yōu)精度精度不高，尋優(yōu)能力不穩(wěn)定等缺陷。

針對(duì)上述問題，這里構(gòu)建基于發(fā)電燃料成本、污染氣體排放量和節(jié)點(diǎn)電壓偏移量的多目標(biāo)EED模型，采用改進(jìn)的多目標(biāo)灰狼算法對(duì)EED問題進(jìn)行求解，通過設(shè)計(jì)多度量自適應(yīng)FCM算法對(duì)GWA 種群多樣性進(jìn)行聚類分析，根據(jù)聚類結(jié)果重新定義狼群層級(jí)結(jié)構(gòu)和反向?qū)W習(xí)、變異進(jìn)化策略，并證明改進(jìn)后的GWA能夠保持較好的種群多樣性。對(duì)標(biāo)準(zhǔn)算例進(jìn)行測(cè)試，仿真結(jié)果表明該算法具有優(yōu)秀全局尋優(yōu)能力，能夠得到更好的Pareto前沿和折中解。

2 發(fā)電調(diào)度數(shù)學(xué)模型

2.1 EED多目標(biāo)函數(shù)

設(shè)定電力系統(tǒng)含有N個(gè)發(fā)電機(jī)、M個(gè)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)，以發(fā)電燃料成本、污染氣體排放量和節(jié)點(diǎn)電壓偏移量等指標(biāo)的建立多目標(biāo)EED模型。

發(fā)電燃料成本 定義發(fā)電燃料成本函數(shù)f1(PG)為：

式中：PG=[P1…PN]，Pi—第i發(fā)電機(jī)臺(tái)有功處理；

ai、bi、ci—發(fā)電機(jī)成本系數(shù)。

污染氣體排放量 定義污染氣體排放量函數(shù)f2(PG)為：

式中：αi、βi、χi、εi、λi—發(fā)電機(jī)污染氣體排放相關(guān)系數(shù)。

節(jié)點(diǎn)電壓偏移量 定義節(jié)點(diǎn)電壓偏移量函數(shù)f3(U)為：

式中：U=[U1…UM]，Ui—PQ節(jié)點(diǎn)電壓幅值；

—節(jié)點(diǎn)額定電壓幅值。

約束條件 為保證電力系統(tǒng)安全運(yùn)行，需滿足功率平衡和運(yùn)行約束條件，即：

式中：Q=[Q1…QN]，Qi—發(fā)電機(jī)無功出力；P'i、Q'i—節(jié)點(diǎn)有功、無功負(fù)荷；θ=[θ1…θM]，θi—節(jié)點(diǎn)電壓相角；θij—節(jié)點(diǎn)i、j之間電壓相角差值；Gij、Bij—電導(dǎo)和電納；Sfi、Sti—系統(tǒng)電路始端和末端視在功率；L—系統(tǒng)電路數(shù)。

綜上，EED多目標(biāo)函數(shù)可以描述為：

式中：X=[θ U P Q]—函數(shù)變量；

g(X)、h(X)—等式約束和不等式約束。

由于EED問題屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題，求解式（6）得到結(jié)果為Pareto最優(yōu)解集，決策者根據(jù)實(shí)際需求得到折中解即決策方案。

2.2 Pareto前沿和折中解

對(duì)于EED目標(biāo)函數(shù)F(X)的解Xi、Xj，若：

稱Xj被Xi支配，記為Xi?Xj。對(duì)于解X*，若：

稱X*為Pareto最優(yōu)解，所有Pareto最優(yōu)解組成的集合為Pa‐reto最優(yōu)解集（前沿）?(F(X))，記為：

采用權(quán)重決策方法［8］從?(F(X))中選取折中最優(yōu)解：

（1）對(duì)?(F(X))進(jìn)行規(guī)范化處理，得到規(guī)范化矩陣S=[sij]N×M（M、N分別為?(F(X))規(guī)模和目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)）。

（2）分別采用層次分析法和熵權(quán)法確定N個(gè)目標(biāo)函數(shù)的主觀權(quán)重集合ν=[ν1，…，νN]T和客觀權(quán)重集合τ=[τ1，…，τN]T。

（3）在ν=[ν1，…，νN]T和τ=[τ1，…，τN]T的基礎(chǔ)上，采用最小二乘法確定N個(gè)目標(biāo)函數(shù)綜合權(quán)重ω=[ω1，…，ωN]T：

（4）根據(jù)ω=[ω1，…，ωN]T得到Pareto最優(yōu)解Xi*對(duì)應(yīng)的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)集合ρ=[ρ1，…，ρi，…，ρM（]i=1，…，M）：

選取ρ中最小值對(duì)應(yīng)的解為折中最優(yōu)解XCO*。

3 改進(jìn)的多目標(biāo)灰狼算法

GWA［10］將狼群分為3級(jí)層次結(jié)構(gòu)，通過模擬狼群進(jìn)食行為，實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化求解（GWA 基本原理參考相關(guān)文獻(xiàn)，不再贅述）。狼群個(gè)體在進(jìn)化過程中，選取目標(biāo)函數(shù)值最好的狼作為學(xué)習(xí)對(duì)象，一定程度上提升了算法收斂速度，但是，這種基于目標(biāo)函數(shù)值選取進(jìn)化對(duì)象的操作忽略了種群個(gè)體空間信息，具有很大的盲目性。特別的，當(dāng)種群最優(yōu)解在局部極值附近時(shí)，算法很容易產(chǎn)生“早熟”現(xiàn)象，導(dǎo)致算法收斂精度不高。以圖1為例，X2與X3目標(biāo)函數(shù)值相同，但是空間位置不同，即X2、X3對(duì)進(jìn)化個(gè)體X1的影響是不同的，因此，合理選取進(jìn)化學(xué)習(xí)對(duì)象，對(duì)提升全局收斂能力具有重要意義，為此，這里設(shè)計(jì)多度量自適應(yīng)FCM算法對(duì)種群空間特性進(jìn)行聚類分析。

圖1 種群空間信息對(duì)算法進(jìn)化影響Fig.1 Effect of Population Spatial Information on Algorithm Evolution

3.1 多度量自適應(yīng)FCM種群多樣性分析

FCM 作為應(yīng)用廣泛的聚類算法之一，其實(shí)質(zhì)是通過歐式距離‖xk-vi‖2度量數(shù)據(jù)樣本xk與聚類中心vi的距離D(xk，vi)，并通過迭代計(jì)算聚類函數(shù)D實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分類。

式中：C—分類個(gè)數(shù)；n—數(shù)據(jù)規(guī)模；{xi}—隸屬度矩陣；V={v1，…，vC}—聚類中心。

研究表明，對(duì)于孤點(diǎn)多、高維度負(fù)責(zé)聚類問題，可以利用高維映射函數(shù)Φ(x)替代歐式距離度量［11］，即D(xk，vi)=‖Φ(xk)-vi‖2。借鑒這個(gè)思路，這里選取H個(gè)高維映射函數(shù)(Φ1(x)，…，ΦH(x))對(duì)D(xk，vi)進(jìn)行加權(quán)度量，即：

定義加權(quán)度量矩陣Ψ=[A1，…AH]T：

將式（13）、式（14）代入D，令?J/?μik=0，?J/?vi=0，有：

自適應(yīng)分類 對(duì)于狼群種群，事先并不知道具體的分類個(gè)數(shù)，為此，提出自適應(yīng)分類數(shù)確定策略：設(shè)置分類數(shù)C在[Cmin，Cmax]范圍內(nèi)依次執(zhí)行多度量FCM操作，選取D取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的C即為最佳分類數(shù)Cbest。

多度量自適應(yīng)FCM實(shí)現(xiàn)過程可以描述為：

算法.多度量自適應(yīng)FCM算法

輸入：Cmax、Cmin、Tmax、Ψ、m、n

輸出：Cbest、Ubest、Vbest

（1）對(duì)隸屬度矩陣{xi}進(jìn)行初始化。

（2）forC=CmintoCmax

（3）While（終止條件不滿足）do

（4）｛

（5）根據(jù)式（15）計(jì)算V={v1，…，vC}，根據(jù)式（13）計(jì)算聚類目標(biāo)函數(shù)J(U，V)，根據(jù)式（16）、式（17）計(jì)算新的隸屬度矩陣U；

（6）｝

（7）更新最佳聚類目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)值集合{J(U，V)}C=1，…，C；

（8）C←C+1

（9）end for

（10）輸出結(jié)果，{J(U，V)}C=1，…，Cmax中最小值對(duì)應(yīng)的C即為最佳分類數(shù)Cbest。

（11）returnCbest、Ubest、Vbest

3.2 改進(jìn)多目標(biāo)灰狼算法實(shí)現(xiàn)

提出改進(jìn)多目標(biāo)灰狼算法（Improved Multi-objective GWA，IMGWA），利用多核自適應(yīng)FCM算法進(jìn)行種群多樣性分析，重新定義狼群層級(jí)結(jié)構(gòu)，并定義反向?qū)W習(xí)和變異進(jìn)化策略。t時(shí)刻，狼群種群Ζ(t)={Xi}有Q頭狼，采用多度量自適應(yīng)FCM對(duì)狼群進(jìn)行聚類分析，得到Ct個(gè)分類(W1(t)，…，WCt(t))：

Wi(t)={Xj(t)}，i=1，…，Ct，∑‖Wi(t)‖=Q，‖Wi(t)‖≥0（18）式中：‖Wi(t)‖—分類Wi(t)中狼的個(gè)數(shù)。

依次對(duì)‖Wi(t)‖≠0的分類進(jìn)行Pareto最優(yōu)解判定操作，得到Wi(t)對(duì)應(yīng)的Pareto最優(yōu)解集?(Wi(t))和折中解(t)。狼群層級(jí)結(jié)構(gòu) 將狼群重新定義為領(lǐng)頭狼層級(jí)Y1(t)、管理狼層級(jí)Y2(t)和跟隨狼層級(jí)Y3(t)三個(gè)層級(jí)：

從式（19）、式（20）看出，領(lǐng)頭狼層級(jí)由Ct個(gè)分類對(duì)應(yīng)的折中解組成，管理狼層級(jí)由Ct個(gè)分類對(duì)應(yīng)的Pareto最優(yōu)解集除去折中解組成，剩余狼組成跟隨狼層級(jí)。在追捕獵物跟新操作中，跟隨狼層級(jí)中的(t)選取Y1(t)中的3 頭狼進(jìn)行更新：

反向?qū)W習(xí) 對(duì)Y1(t)、Y2(t)內(nèi)個(gè)體執(zhí)行反向?qū)W習(xí)操作，以=(x1，…，xi，…，xn)為例，根據(jù)式（24）逐維進(jìn)行反向?qū)W習(xí)更新：

算法.IMGWA

輸入：Q、Tmaxn、ω1、ω2、ω3

輸出：Y1(t)

（1）算法初始化，1 →t；

（2）While（t≤Tmax）do

（3）｛

（4）利用多度量自適應(yīng)FCM對(duì)種群進(jìn)行聚類分析，對(duì)每個(gè)分類進(jìn)行Pareto最優(yōu)解判定；

（5）根據(jù)式（19）、式（20）對(duì)種群進(jìn)行層級(jí)劃分，分別根據(jù)式（21）、式（23）～式（25）、式（26）對(duì)不同層級(jí)狼進(jìn)行更新操作，對(duì)違反約束條件的個(gè)體進(jìn)行修正；

（6）更新種群信息。t←t+1

（7）｝

（8）returnY1(t)

3.3 IMGWA計(jì)算復(fù)雜度和種群多樣性

IMGWA在每次迭代過程中，都需要執(zhí)行一次多度量自適應(yīng)FCM，其計(jì)算復(fù)雜度為T(Cmax-Cmin)HO(nQ)（T為最大迭代次數(shù)）；IMGWA種群初始化復(fù)雜度為O(nQ)；每次個(gè)體更新復(fù)雜度為O(nQ)，因此，IMGWA計(jì)算復(fù)雜度為：

由此可見，引入多度量自適應(yīng)FCM很大程度的增加了算法計(jì)算復(fù)雜度。

為了證明IMGWA能夠保持更好的種群多樣性，定義多樣性評(píng)價(jià)指標(biāo)Θ(Ζ(t))：

式中：Xi=(xi1，…xin)—狼群Ζ(t)內(nèi)的個(gè)體。

命題IMGWA具有良好的種群多樣性。

顯然，IMGWA群體多樣性的期望值與(t)有關(guān)，由于引用多度量自適應(yīng)FCM對(duì)種群聚類分析，狼群個(gè)體在進(jìn)化時(shí)選擇空間差異性更大的個(gè)體進(jìn)行更新，使得IMGWA能夠保持更好的種群多樣性。

4 IMGWA優(yōu)化EED模型實(shí)現(xiàn)

采用IMGWA 對(duì)EED 模型進(jìn)行求解，每頭狼Xi代一個(gè)可行解。IMGWA目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為EED多目標(biāo)函數(shù)，Xi設(shè)置為EED函數(shù)變量，即：

Pareto最優(yōu)解集規(guī)?？刂艻MGWA每次迭代后，對(duì)Y1(t)內(nèi)個(gè)體進(jìn)行Pareto最優(yōu)解判定，得到t時(shí)刻Pareto最優(yōu)解?(t)，將?(t)與外部Pareto最優(yōu)解?(F(X))進(jìn)行Pareto最優(yōu)解判定，并更新外部Pareto最優(yōu)解。隨著進(jìn)化次數(shù)增加，?(F(X))規(guī)模不斷擴(kuò)大，設(shè)置Pareto最優(yōu)解集規(guī)?？刂崎y值‖ ? ‖max，當(dāng)超過‖ ? ‖max，利用公式（34）逐個(gè)計(jì)算?(F(X))內(nèi)每個(gè)Pareto最優(yōu)解的懲罰目標(biāo)函數(shù)值F'(X)，并依次剔除懲罰目標(biāo)函數(shù)值差的個(gè)體，直到滿足‖ ? ‖max為止。

式中：λ1、λ2、λ3、λ4、λ5—懲罰系數(shù)。IMGWA 優(yōu)化EED 模型實(shí)現(xiàn)示意圖，如圖2所示。

圖2 IMGWA優(yōu)化EED模型實(shí)現(xiàn)示意圖Fig.2 Implementation Diagram of IMGWA Optimized EED Model

5 實(shí)驗(yàn)仿真

為進(jìn)一步對(duì)比分析這里提出的改進(jìn)多目標(biāo)灰狼算法優(yōu)化性能，分別采用經(jīng)典單目標(biāo)函數(shù)來驗(yàn)證該算法全局收斂能力，采用EED優(yōu)化問題驗(yàn)證多目標(biāo)實(shí)際優(yōu)化問題求解效果。

5.1 經(jīng)典測(cè)試函數(shù)仿真

單目標(biāo)函數(shù)可以看作是多目標(biāo)函數(shù)的特例，參考文獻(xiàn)［12］，選取f1：Sphere 函數(shù)、f2：Ackley 函數(shù)、f3：Griewank 函數(shù)、f4：Rastrigrin函數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)仿真。IMGWA參數(shù)設(shè)置如下Q=350、Tmax=400、Cmin=5、Cmax=50、H=8、ω1=0.35、ω2=0.45、ω3=0.20。

多度量自適應(yīng)FCM 性能驗(yàn)證 采用文獻(xiàn)［13］提出的自聚類FCM 算法和文獻(xiàn)［14］隨機(jī)模糊聚類算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，選取不同迭代次數(shù)的IMGWA種群進(jìn)行聚類分析，評(píng)價(jià)指標(biāo)設(shè)置為聚類有效性指數(shù)VD［15］、聚類精度Ω：

式中：Mj—與xj異類數(shù)據(jù)集合；Ej—與xj同類數(shù)據(jù)集合。

VD值越小聚類結(jié)果越優(yōu)。不同聚類算法性能對(duì)比，如表1所示。

從表1可以看出，對(duì)于高維復(fù)雜函數(shù)f2、病態(tài)復(fù)雜函數(shù)f4，無論是聚類有效性指數(shù)VD還是聚類精度Ω，這里聚類算法都要好于其它2種算法，特別的，對(duì)于病態(tài)復(fù)雜函數(shù)f4，這里算法聚類精度都在95%左右，比其它2種算法提高了約（11.9～56.4）%；VD降低了約（54.1～63.2）%。這表明，多度量高維映射函數(shù)的引入，有效提高了聚類算法對(duì)復(fù)雜數(shù)據(jù)的聚類能力，聚類效果更優(yōu)。

不同智能優(yōu)化算法對(duì)比實(shí)驗(yàn) 選取改進(jìn)的布谷鳥優(yōu)化算法（ICS）［9］、改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法（IPSO）［16］進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。評(píng)價(jià)指標(biāo)設(shè)置為最大值Ymax、最小值Ymin、均值-Y和運(yùn)算時(shí)間YT。函數(shù)收斂曲線，如圖3所示。評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比結(jié)果，如表2所示。

表2 評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比Tab.2 Comparison of Evaluation Indexes

圖3 函數(shù)收斂曲線Fig.3 Function Convergence Curve

從圖3、表2可以看出，收斂精度上，對(duì)于IMGWA、IPSO算法，兩種算法都能夠在收斂精度范圍為找到3個(gè)函數(shù)的最優(yōu)解，但是IMGWA收斂精度明顯好于IPSO；對(duì)于ICS算法，能夠得到f1、f2和f3全局最優(yōu)解，但是無法得到f4全局最優(yōu)解，并且收斂精度要差于其它兩種算法。運(yùn)算時(shí)間上，由于IMGWA迭代執(zhí)行聚類分析操作，因此收斂時(shí)間要長(zhǎng)于其它兩種算法。不同智能優(yōu)化算法對(duì)比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，通過引入多度量自適應(yīng)FCM、重新定義狼群層級(jí)結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)反向?qū)W習(xí)、變異進(jìn)化策略，有效提升了算法全局收斂精度，尋優(yōu)結(jié)果更優(yōu)。

5.2 EED算例仿真實(shí)驗(yàn)

選取IEEE30節(jié)點(diǎn)、6個(gè)發(fā)電機(jī)組的經(jīng)典測(cè)試系統(tǒng)［1］來測(cè)試這里所提發(fā)電調(diào)度規(guī)劃方案有效性。測(cè)試系統(tǒng)的總負(fù)荷為2.834pu，發(fā)電機(jī)組參數(shù)，如表3 所示。IMGWA 算法獲取的EED模型Pareto前沿，如圖4所示。

表3 發(fā)電機(jī)組參數(shù)Tab.3 Parameters of Generator Set

圖4 IMGWA獲取EED模型Pareto前沿Fig.4 IMGWA Obtains the Pareto Front of EED Model

從圖4可以看出，IMGWA 算法獲取的EED 問題Pareto 前沿延展性和均勻性都比較好，表明該算法能夠很好地的優(yōu)化EED問題，最終得到折中解(617.12，0.2012，0.017)。

為進(jìn)一步對(duì)比分析IMGWA性能，采取NSGA-II多目標(biāo)優(yōu)化算法［17］和改進(jìn)多目標(biāo)布谷鳥搜索算法（IMCS）［18］對(duì)IEEE30節(jié)點(diǎn)和IEEE2736節(jié)點(diǎn)（系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置參考文獻(xiàn)［1］）進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，折中解對(duì)比結(jié)果，如表4所示。同等發(fā)電燃料成本下污染物排放量對(duì)比結(jié)果，如圖5所示。

表4 折中解對(duì)比Tab.4 Comparison of Compromise Solutions

圖5 同等發(fā)電燃料成本下污染物排放量對(duì)比Fig.5 Comparison of Pollutant Emissions Under the Same Power Generation Fuel Cost

從圖5可以看出，在同等發(fā)電燃料成本下，對(duì)于不同測(cè)試算例，這里算法得到污染物排放量要好于其他兩種算法。特別的，當(dāng)發(fā)電燃料成本615-630（$/h）和1.25-1.305×10（6$/h）范圍變動(dòng)時(shí)，這里算法得到污染物排放量更有實(shí)際決策價(jià)值。從表4可以看出，對(duì)于不同測(cè)試算例，這里算法得到的折中解都能夠支配其他兩種算法得到的折中解，表明這里算法得到的Pareto前沿和折中解更具可行性和優(yōu)越性。

6 結(jié)束語

對(duì)電力系統(tǒng)調(diào)度規(guī)劃問題進(jìn)行了研究，提出一種采用改進(jìn)多目標(biāo)灰狼算法的發(fā)電調(diào)度規(guī)劃方案。通過引入多度量自適應(yīng)FCM技術(shù)、改進(jìn)灰狼智能優(yōu)化算法和Pareto前沿規(guī)?？刂撇呗裕沟玫玫降碾娏ο到y(tǒng)調(diào)度決策方案更具有效性。下一步將重點(diǎn)圍繞提高算法運(yùn)行效率方面進(jìn)行研究。