楊正全, 付程

(中國民航大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院, 天津 300300)

近年來,隨著無人機(jī)技術(shù)的日趨完善,無人機(jī)被廣泛應(yīng)用于電塔巡檢[1],地震勘測[2]等各個(gè)領(lǐng)域,隨著無人機(jī)應(yīng)用的不斷深入,單個(gè)無人機(jī)已不能滿足逐漸復(fù)雜的任務(wù)要求,多無人機(jī)協(xié)同完成任務(wù)已成為無人機(jī)任務(wù)的主要表現(xiàn)形式,為提升任務(wù)的實(shí)現(xiàn)效果,多個(gè)無人機(jī)共同執(zhí)行任務(wù)時(shí)通常要從不同的初始地點(diǎn)起飛,向某一目標(biāo)地區(qū)進(jìn)行集結(jié)。而無人機(jī)集結(jié)位置是否最優(yōu),集結(jié)時(shí)間的長短作為無人集結(jié)的關(guān)鍵指標(biāo),影響著多無人機(jī)的集結(jié)效果,進(jìn)而影響著整個(gè)任務(wù)的完成效果。

對(duì)于多無人機(jī)的控制,主要分為集中式控制和分布式控制[3],集中式控制控制算法需要一個(gè)統(tǒng)一的控制中心來與多無人機(jī)系統(tǒng)中的無人機(jī)進(jìn)行信息傳遞來指揮無人機(jī)的飛行,而無人機(jī)之間基本不需要信息交互,因此對(duì)這個(gè)控制中心有著較高的計(jì)算要求和通信要求,并且一旦控制中心遭到干擾或者被破壞,那么整個(gè)無人機(jī)編隊(duì)可能會(huì)陷入癱瘓狀態(tài),相比于集中式控制方式,分布式控制方式中的無人機(jī)依靠無人機(jī)自身的控制器通過獲取鄰居無人機(jī)信息來調(diào)整自身姿態(tài)地與其他無人機(jī)進(jìn)行協(xié)作來完成集結(jié)任務(wù),并且在分布式控制下,倘若某架無人機(jī)出現(xiàn)故障對(duì)整個(gè)多無人機(jī)系統(tǒng)的影響也較小,因此,分布式控制方式更有利于多無人機(jī)完成集結(jié)任務(wù)。

近年來,類似多無人機(jī)集結(jié)任務(wù)的多智能體分布式最優(yōu)問題得到中外大量學(xué)者的關(guān)注,有關(guān)分布式最優(yōu)算法的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)主要分為無向圖、權(quán)重平衡的有向圖,以及權(quán)重不平衡的有向圖,對(duì)于無向圖的分布式算法方面,文獻(xiàn)[4]提出有關(guān)無人機(jī)集結(jié)的分布式算法,使無人機(jī)能夠在給定時(shí)間內(nèi)完成集結(jié)。Li[5]研究了每個(gè)智能體為單積分動(dòng)力學(xué)的分布式資源優(yōu)化問題,提出了在達(dá)到最優(yōu)性前提下結(jié)構(gòu)簡單,計(jì)算負(fù)擔(dān)小的分布式投影算法,并采用增量無源性理論分析了算法的收斂性。Zou等[6]研究了非線性歐拉-拉格朗日系統(tǒng)的分布式優(yōu)化問題,并且在分布式優(yōu)化算中引入集合約束。Li等[7]研究了包含局部可行集約束和耦合不等式約束的連續(xù)時(shí)間網(wǎng)絡(luò)的分布式優(yōu)化問題。Xu等[8]研究了帶有集合約束,等式約束和不等式約束的分布式優(yōu)化問題,并采用比例積分策略的方法來傳遞狀態(tài)信息。文獻(xiàn)[9]考慮到多智能體在任務(wù)期間外部擾動(dòng)的情況,提出了抗干擾的分布式優(yōu)化算法,算法能夠控制多智能體系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)收斂到最優(yōu)解。文獻(xiàn)[10]考慮了帶有集合約束的固定時(shí)間分布式優(yōu)化問題,

設(shè)計(jì)的分布式優(yōu)化算法能夠滿足多智能體在固定時(shí)間收斂到滿足集合約束內(nèi)的最優(yōu)值。權(quán)重平衡有向圖方面,Xu等[11]利用動(dòng)態(tài)平均一致性,提出基于有向圖的增廣梯度式分布算法(Aug-DGM)。Yang等[12]研究了帶有等式和不等式約束分布式優(yōu)化問題,并且局部目標(biāo)函數(shù)是非二次和非光滑的。

前人針對(duì)無向圖和權(quán)重平衡的有向圖的分布式優(yōu)化算法開展了一系列研究,但是對(duì)于多無人機(jī)集結(jié)任務(wù)來說,受到外部信號(hào)干擾和無人機(jī)自身通信設(shè)備的影響,通訊情況為無向圖和權(quán)重平衡的有向圖顯然是集結(jié)時(shí)的理想情況,因此研究權(quán)重不平衡的有向圖的分布式優(yōu)化算法對(duì)于多無人機(jī)集結(jié)十分重要。Zhu等[13]研究了權(quán)重平衡有向圖下的分布式優(yōu)化問題,并且算法擺脫了對(duì)于零特征值左特征向量的依賴。文獻(xiàn)[14]提出了基于梯度跟蹤和比例積分策略的固定步長的分布式優(yōu)化算法。Li等[15]研究了基于比例積分(PI)控制率和事件觸發(fā)通信機(jī)制的多智能體系統(tǒng)分布式優(yōu)化算法,該算法可以在減少多智能體之間通信開銷的同時(shí),使算法達(dá)到指數(shù)收斂。

前人針對(duì)權(quán)重不平衡有向圖的分布式優(yōu)化算法進(jìn)行更深入的研究,克服了權(quán)重不平衡有向圖的不平衡性,但是上述研究在進(jìn)行分布式優(yōu)化時(shí),對(duì)于優(yōu)化時(shí)間考量較少。文獻(xiàn)[9-10]提出固定時(shí)間的優(yōu)化算法,但是對(duì)于收斂的固定時(shí)間依賴于算法的參數(shù)的設(shè)定,并不能做到在人為給定時(shí)間內(nèi)達(dá)到最優(yōu)。文獻(xiàn)[4]提出了給定時(shí)間內(nèi)的分布式最優(yōu)算法,但是分布式算法的通訊圖為無向圖,因此設(shè)計(jì)基于權(quán)重不平衡有向圖下給定時(shí)間的分步式優(yōu)化算法不僅能夠滿足多無人機(jī)給定時(shí)間最優(yōu)集結(jié)的要求,還可以豐富分布式優(yōu)化理論,具有很要的現(xiàn)實(shí)意義。

鑒于此,采用通信網(wǎng)絡(luò)拉普拉斯矩陣零特征值對(duì)應(yīng)的左特征向量來消除權(quán)重不平衡有向通信網(wǎng)絡(luò)的不平衡性,采用時(shí)域映射的方法解決無人機(jī)在給定時(shí)間內(nèi)的集結(jié)問題,并將二者與分布式優(yōu)化的控制思想結(jié)合起來,提出一種新的多無人機(jī)集結(jié)控制算法,在算法的可行性分析方面,結(jié)合凸分析理論和李雅普諾夫穩(wěn)定性論,從理論的角度驗(yàn)證了算法能夠控制無人機(jī)收斂到全局最優(yōu)的位置,并通過MATLAB仿真進(jìn)一步驗(yàn)證算法的可行性。以期充分考慮無人機(jī)集結(jié)時(shí)通信網(wǎng)絡(luò)的不平衡性與集結(jié)時(shí)間的限制,更符合無人機(jī)真實(shí)的任務(wù)環(huán)境,使算法更具有現(xiàn)實(shí)意義,同時(shí)也豐富分布式優(yōu)化理論的研究。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)說明

R為實(shí)數(shù)集;Rn為n維歐式空間;Rm×n為m×n的實(shí)矩陣;In為n維單位矩陣;給定n個(gè)列向量y1,y2,…,yn,col(y1,y2,…,yn)為堆疊向量yi(i=1,2,…,n);diag(·)表示對(duì)角矩陣;設(shè)矩陣F∈Rm×n;FT為矩陣F的轉(zhuǎn)置矩陣;‖F(xiàn)‖為矩陣F的歐式范數(shù);‖y‖為向量y的歐式范數(shù),F?G為矩陣F和矩陣G的克羅內(nèi)克積。

1.2 圖論

引理1若圖G為強(qiáng)連通的,LN為圖G的拉普拉斯矩陣,則有以下內(nèi)容成立。

(1)對(duì)于LN零特征值λ1(LN),存在正的左特征向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξN)T并且左特征向量ξ有以下性質(zhì)。

1.3 凸分析

對(duì)于連續(xù)可微函數(shù)f:Rn→R,▽f為f梯度;f為強(qiáng)凸函數(shù),當(dāng)且存在m∈R>0,滿足式(1)。

(x-y)T[▽f(x)-▽f(y)]≥m‖x-y‖2,

?x,y∈R,x≠y

(1)

函數(shù)f是C-lipchitz連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)

‖f(x)-f(y)‖≤C‖x-y‖2, ?x,y∈R

(2)

式(2)中:常數(shù)C>0。

2 問題描述

在分布式通信情況下,假設(shè)N(N>2)架無人機(jī)需要集結(jié)到同一個(gè)任務(wù)區(qū)域,無人機(jī)的出發(fā)點(diǎn)任意選取,在進(jìn)行集結(jié)時(shí),要求N架無人機(jī)的集結(jié)點(diǎn)選取為全局最優(yōu),并且為了保證后續(xù)任務(wù)能夠正常進(jìn)行,要求N架無人機(jī)在給定時(shí)間T內(nèi)全部集結(jié)完畢,綜上所述,將以上文字問題改寫為分布式問題,可表示為

(3)

式(3)中:xi為每架無人機(jī)的位置;fi(xi):Rn→R為無人機(jī)的局部決策函數(shù);f(x)為全局決策函數(shù);x為無人機(jī)在滿足全局最優(yōu)情況下的位置。

為了解決上述無人機(jī)最優(yōu)集結(jié)問題,需要滿足以下假設(shè)。

假設(shè)1多無人機(jī)間通信關(guān)系圖G是強(qiáng)連通的。

假設(shè)2局部目標(biāo)函數(shù)fi是連續(xù)可微的并且是mi-強(qiáng)凸函數(shù),其中常數(shù)mi>0。

假設(shè)3對(duì)于梯度▽fi是C-lipchitz的,其中C>0。

假設(shè)D∈Rn×m,vec(D)為堆疊D每列的向量從而獲得一個(gè)n×m的列向量,在這個(gè)基礎(chǔ)上有兩個(gè)關(guān)鍵引理成立,具體如下。

引理2A∈Rv×j,B∈Rj×v,則有tr(AB)=tr(BA)=[vec(AT)]Tvec(B)。

引理3A∈Rv×j,B∈Rj×p,C∈Rp×l,則有vec(ABC)=(CT?A)vec(B)。

3 算法設(shè)計(jì)以及收斂性分析

3.1 算法設(shè)計(jì)

為了解決式(3)表示的問題,提出基于連續(xù)時(shí)間的分布式優(yōu)化算法,其中多無人機(jī)間的通信網(wǎng)絡(luò)是權(quán)重不平衡的,這表示各個(gè)無人機(jī)間的通信不是暢通無阻的,而是受到權(quán)重不平衡有向網(wǎng)絡(luò)限制的,算法的目標(biāo)是使多無人機(jī)在給定時(shí)間內(nèi)集結(jié)到全局最優(yōu)的位置。

對(duì)多無人機(jī)實(shí)施以下算法。

(4)

借鑒文獻(xiàn)[4]的時(shí)域轉(zhuǎn)換的方法,將上述給定時(shí)間的優(yōu)化算法轉(zhuǎn)化為無限時(shí)域的分布式優(yōu)化問題。上述算法中,多無人機(jī)的集結(jié)時(shí)間上界為T,當(dāng)t∈[0,T)時(shí),采用以下時(shí)域坐標(biāo)映射將有限時(shí)域t變換為無限時(shí)域τ,可表示為

(5)

逆變換記為

(6)

將式(6)左右兩邊對(duì)τ進(jìn)行求導(dǎo)可得

(7)

因此,根據(jù)以上建立的有限時(shí)域和無限時(shí)域的關(guān)系,得出以下基于無限時(shí)域τ內(nèi)的表達(dá)式為

(8)

令x=col(x1,x2,…,xn),y=col(y1,y2,…,yn),Z=diag(z11,z22,…,zNN),z=col(z1,z2,…,zn),▽f=col[▽f1(x1),▽f2(x2),…,▽fN(xN)]。

可將上述算法重寫為

(9)

3.2 最優(yōu)性分析

接下來證明式(9)的有效性,第一步是證明平衡點(diǎn)與最優(yōu)解的關(guān)系

col(x*,y*)是式(9)的平衡點(diǎn),因此有

(10)

式(10)中:a為常數(shù)。

將式(10)的兩個(gè)等式左乘ξT?In,結(jié)合上面的結(jié)果,可以推出

(11)

因此,證明了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)既是最優(yōu)點(diǎn),引理6成立

3.3 收斂性分析

在假設(shè)2～假設(shè)4成立并滿足式(12)成立。

(12)

(13)

式(13)中:

(14)

(15)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù),可表示為

V1(X,Y)=XT(E?In)X

(16)

V1(X,Y)關(guān)于式(17)的導(dǎo)數(shù)為

(17)

定義H=(X1,X2,…,XN)∈Rn×N,D=(d1,d2,…,dN),其中,di=col(di1,di2,…,din)∈Rn,J=(1N,η2,η3,…,ηN)∈RN×N,因此coli(HT)=d1i1N+d2iη2+…+dNiηN,HT=JDT,H=DJT,通過引理3,X=vec(H)=vec(DJT)=(IN?D)vec(JT),定義P=(Y1,Y2,…,YN),并結(jié)合引理4可得

XT(E?In)Y=[(IN?D)vec(JT)]T(E?In)vec(P)

=vec(JT)Tvec(PDTE)

=tr(JPDTE)

(18)

XT(E?In)Y=tr(PEB)
=vec(BT)Tvec(PE)

(19)

對(duì)于任意ζ>0,根據(jù)YOUNG不等式,可得

(20)

因此有

(21)

=λ2‖κ‖2

(22)

綜上,

(23)

定義:

V2(X,Y)=XT(E?In)Y

(24)

V2(X,Y)關(guān)于式(24)的導(dǎo)數(shù)為

(25)

因?yàn)镋=diag(ξ1,ξ2,…,ξN),所以可以得到Y(jié)T(E?In)Y≥ξmin‖Y‖2根據(jù)假設(shè)3,g(X)≤M‖X‖,根據(jù)YOUNG不等式有

(26)

因此有

(27)

定義:

V3(X,Y)=YT(E?In)Y

(28)

V3(X,Y)關(guān)于式(28)的導(dǎo)數(shù)為

(29)

綜上定義:

(30)

(31)

為問題(1)的最優(yōu)解。接下來考慮系統(tǒng)的擾動(dòng)系統(tǒng)g(τ,ω)+u(τ),根據(jù)文獻(xiàn)[16],存在一些正常數(shù)δ、?使得

4 仿真驗(yàn)證

考慮10架無人機(jī)從隨機(jī)位置出發(fā),10架無人機(jī)構(gòu)成權(quán)重不平衡有向通信網(wǎng)絡(luò),假設(shè)通信網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的鄰接矩陣為

(32)

10架無人機(jī)的局部目標(biāo)函數(shù)如式(33)所示,其中fi(x)∈R2。

(33)

圖1 10架無人機(jī)的初始位置Fig.1 Initial position of 10 drones

圖3 無人機(jī)狀態(tài)軌跡xi2Fig.3 Drone state trajectory xi2

5 結(jié)論

研究無人機(jī)集結(jié)問題,設(shè)計(jì)控制無人機(jī)集結(jié)的算法,使無人機(jī)在集結(jié)過程中依靠權(quán)重不平衡的通信網(wǎng)絡(luò)下收集的有限的鄰機(jī)信息來進(jìn)行不斷地自我位置調(diào)整,最終實(shí)現(xiàn)在全局最優(yōu)集結(jié)位置進(jìn)行集結(jié),集結(jié)時(shí)考慮集結(jié)時(shí)間這一無人機(jī)任務(wù)的關(guān)鍵因素,使整個(gè)無人機(jī)機(jī)隊(duì)能夠在給定時(shí)間內(nèi)達(dá)到集結(jié)位置,在算法收斂性證明時(shí),將有限時(shí)間的分布式優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無限時(shí)間的分布式優(yōu)化問題,降低了證明的復(fù)雜性,通過理論證明了算法能夠漸進(jìn)收斂到全局最優(yōu)的位置,最后通過MATLAB仿真進(jìn)一步驗(yàn)證了算法的可行性。未來將研究帶有約束的給定世間最優(yōu)集結(jié)問題以及帶有約束的基于權(quán)重不平衡有向網(wǎng)絡(luò)的多無人機(jī)最優(yōu)集結(jié)問。