何貴陽(yáng)，周菊玲

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017）

帕累托分布是一類經(jīng)典的，能充分反映冪律特征的分布函數(shù)，因此一直備受關(guān)注。其名稱是由意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家維弗雷多·帕累托（1848—1923）定義的，這一分布在經(jīng)濟(jì)學(xué)以外領(lǐng)域被稱為“布拉德福分布”。因帕累托分布中變量的獨(dú)特取值要求，即定義變量取值在特定數(shù)值之上，使得帕累托分布在應(yīng)用上受限。如黃娟等人討論了Pareto 分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes（EB）單邊檢驗(yàn)問(wèn)題，構(gòu)造了參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes 檢驗(yàn)函數(shù)，證明了其具有漸近最優(yōu)性，并且獲得了收斂速度［1］。李超建等人介紹了基于帕累托分布的禽畜種苗交易系統(tǒng)入侵容忍模型，每臺(tái)服務(wù)器的結(jié)構(gòu)不同，但禽畜種苗交易網(wǎng)站服務(wù)內(nèi)容相同，具有響應(yīng)結(jié)果一致性［2］。溫利民等人建立貝葉斯模型，討論帕累托索賠額分布中參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題，得到了風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)的極大似然估計(jì)、貝葉斯估計(jì)和信度估計(jì)，并證明了這些估計(jì)的強(qiáng)相合性［3］。錢小仕等人提到地震震級(jí)超過(guò)某一閾值的超出量分布可以近似為廣義帕累托分布，并介紹了基于廣義帕累托分布給出的若干地震活動(dòng)性參數(shù)的估計(jì)公式［4］。張悅基于多種復(fù)雜刪失數(shù)據(jù)研究帕累托分布的統(tǒng)計(jì)特性，構(gòu)建了逐步II 型刪失下的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，推導(dǎo)了廣義逐步II型刪失下帕累托分布的壽命績(jī)效指數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷，討論了適應(yīng)性逐步II型刪失模式下帕累托分布的競(jìng)爭(zhēng)風(fēng)險(xiǎn)模型分析，并將結(jié)論推廣到更復(fù)雜的廣義指數(shù)分布［5］。通過(guò)查閱近些年關(guān)于帕累托分布的相關(guān)研究文獻(xiàn)，可以確定帕累托分布只局限于刻畫冪律特征的分布函數(shù)中的上尾部分［1-7］。從此特性出發(fā)，考慮變量的取值，如果將帕累托分布變量的定義域取相反數(shù)，則可以求解其受限外的區(qū)域，即刻畫冪律特征的分布函數(shù)中的下尾部分。王超探討了反向帕累托分布的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，通過(guò)研究2010年我國(guó)655個(gè)城市人口規(guī)模，證明了中小型城市人口規(guī)?？梢允褂梅聪蚺晾弁蟹植歼M(jìn)行擬合［8］。簡(jiǎn)單的取值變化彌補(bǔ)了帕累托分布刻畫區(qū)域的不足，同時(shí)也完善了對(duì)滿足冪律特征區(qū)域的一種刻畫問(wèn)題。針對(duì)帕累托分布變量取相反數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合帕累托分布特點(diǎn)，提出反向帕累托分布。反向帕累托分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

其中，a和λ分別為位置參數(shù)和形狀參數(shù)，且a＞0，λ＞0，符號(hào)表示為RP(a,λ).

在處理參數(shù)估計(jì)問(wèn)題上，常見(jiàn)方法有極大似然估計(jì)、矩估計(jì)、熵估計(jì)、Bayes估計(jì)等。根本上是頻率學(xué)派與貝葉斯學(xué)派就估計(jì)方法進(jìn)行激烈討論，其中頻率學(xué)派的極大似然估計(jì)與貝葉斯學(xué)派的最大后驗(yàn)估計(jì)最具代表性。但無(wú)論是哪一學(xué)派的哪一種估計(jì)方法，都離不開(kāi)樣本信息與損失函數(shù)的選取，其中常用的損失函數(shù)有熵?fù)p失函數(shù)、平方損失函數(shù)、加權(quán)平方損失函數(shù)、Linex 損失函數(shù)、復(fù)合Linex 損失函數(shù)、Mlinex 損失函數(shù)等。值得一提的是Mlinex 損失函數(shù)，Mlinex 損失函數(shù)是一類非對(duì)稱損失函數(shù)，是由Podder 在2004 年提出的一種修正的線性指數(shù)損失函數(shù)，其具體表達(dá)式為

其中，θ是未知參數(shù)λ判別空間的一個(gè)估計(jì)。Mlinex 損失函數(shù)雖是對(duì)原有損失函數(shù)的一種修正，但一直未停止對(duì)其進(jìn)行研究。例如王琳等人基于逐步增加Ⅱ型截尾樣本，研究了Mlinex 損失下BurrⅫ部件可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)Bayes 估計(jì)［9］。丁新月等人在Mlinex 損失函數(shù)下，討論了逆伽馬分布尺度參數(shù)的Bayes 估計(jì)及其可容許性［10］。李新鵬等人利用信度理論的方法得到了Mlinex 損失函數(shù)下Bühlmann-Straub 模型具有特殊相依效應(yīng)的信度保費(fèi)，進(jìn)而推導(dǎo)出Mlinex損失函數(shù)下Bühlmann模型具有此種相依效應(yīng)的信度保費(fèi)［11］。

事先說(shuō)明Mlinex 損失函數(shù)中常數(shù)c的取值問(wèn)題。文章只研究c＞0 的情況，c＜0 的情形類似，不做充分討論。文章第一節(jié)為預(yù)備知識(shí)；第二節(jié)對(duì)頻率學(xué)派極大似然估計(jì)與貝葉斯學(xué)派最大后驗(yàn)估計(jì)進(jìn)行討論，并推導(dǎo)反向帕累托分布形狀參數(shù)在最大后驗(yàn)估計(jì)方法下的具體表達(dá)式；第三節(jié)介紹了在Mlinex 損失函數(shù)下反向帕累托分布形狀參數(shù)的經(jīng)典Bayes 估計(jì)，并推導(dǎo)出具體表達(dá)式；第四節(jié)在Mlinex 損失函數(shù)下，討論反向帕累托分布形狀參數(shù)的多層Bayes估計(jì)與E-Bayes估計(jì)；第五節(jié)通過(guò)數(shù)值模擬，驗(yàn)證所列舉估計(jì)方法的準(zhǔn)確性、穩(wěn)健性、可靠性；第六節(jié)在參數(shù)最優(yōu)環(huán)境下，利用最優(yōu)估計(jì)方法，進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，確定新疆縣市級(jí)城市的人均城市道路面積可以利用反向帕累托分布近似擬合，并結(jié)合最終數(shù)據(jù)給出相應(yīng)的數(shù)據(jù)分析。

1 預(yù)備知識(shí)

在處理待估參數(shù)是客觀存在但未知的一類估計(jì)問(wèn)題時(shí)，常用的估計(jì)方法是經(jīng)典頻率學(xué)派觀點(diǎn)下的極大似然估計(jì)（MLE）。

引理1［9］若X1,X2,…,Xn是來(lái)自RP(a,λ)分布的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中a與λ分別為位置參數(shù)與形狀參數(shù)。令X=(X1,X2,…,Xn)，并且x1,x2,…,xn是其相應(yīng)隨機(jī)樣本下的觀察值，則RP(a,λ)中位置參數(shù)a與形狀參數(shù)λ的極大似然估計(jì)分別為

在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，發(fā)現(xiàn)個(gè)別待估參數(shù)與樣本有關(guān)，針對(duì)這類情況，貝葉斯學(xué)派提出了最大后驗(yàn)估計(jì)（MAP）方法。其估計(jì)原理是考慮待估參數(shù)的先驗(yàn)信息與樣本信息有關(guān)，需選擇合適的估計(jì)量使得后驗(yàn)分布密度達(dá)到最大值［12］，同時(shí)最大后驗(yàn)估計(jì)作為Bayes估計(jì)的一種近似解，也有一定的研究?jī)r(jià)值。

2 形狀參數(shù)λ的最大后驗(yàn)估計(jì)

由于參數(shù)λ的最大后驗(yàn)估計(jì)應(yīng)使后驗(yàn)分布達(dá)到最大［12］。即選定合適的估計(jì)量使p(X|λ)π(λ)達(dá)到最大，其中π(λ)是參數(shù)λ的先驗(yàn)分布密度，p(X|λ)是樣本X1,X2,…,Xn對(duì)參數(shù)λ的條件密度。從處理參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的原理上可以看出，極大似然估計(jì)是最大后驗(yàn)估計(jì)在π(λ) ∝1的先驗(yàn)分布。接下來(lái)利用這一特點(diǎn)結(jié)合引理1給出的極大似然估計(jì)方法，推導(dǎo)出形狀參數(shù)λ的最大后驗(yàn)估計(jì)方法。

定理1若X1,X2,…,Xn是來(lái)自RP(a,λ)分布的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中a與λ分別為位置參數(shù)與形狀參數(shù)。令X=(X1,X2,…,Xn)，并且x1,x2,…,xn是其相應(yīng)隨機(jī)樣本下的觀察值，選取Γ(β,γ作為形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布π(λ)，則在位置參數(shù)a已知的情況下，形狀參數(shù)λ的最大后驗(yàn)估計(jì)為

證明選取形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布為其中參數(shù)β,γ為超參數(shù)，且β＞0,γ＞0，同時(shí)令p(X|λ)是樣本X1,X2,…,Xn對(duì)參數(shù)λ的條件密度，則有

考慮到形狀參數(shù)λ的最大后驗(yàn)估計(jì)是尋找λ的估計(jì)量，使形狀參數(shù)λ的后驗(yàn)密度函數(shù)達(dá)到最大值的情況，即找到使p(X|λ)π(λ)達(dá)到最大值。

令g(λ)=λn+β-1e-(γ-t)λ，由最大后驗(yàn)估計(jì)方法的原理可知，要對(duì)p(X|λ)π(λ)關(guān)于λ求解最大值，就是要對(duì)g(λ)關(guān)于λ求解最大值。但關(guān)于g(λ)直接求解最值問(wèn)題處理較為復(fù)雜，考慮變式，因g(λ)=exp{ln(g(λ))}=exp{ln(λn+β-1e-(γ-t)λ)}，則對(duì)g(λ)求解最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化對(duì)ln[g(λ)]求解最值問(wèn)題。

對(duì)ln[g(λ)]關(guān)于形狀參數(shù)λ取一階微分，同時(shí)令微商為0，即

3 形狀參數(shù)λ的Bayes估計(jì)

上文介紹了反向帕累托形狀參數(shù)λ的最大后驗(yàn)估計(jì)。由于最大后驗(yàn)估計(jì)是Bayes 估計(jì)解的近似值，其估計(jì)結(jié)果相比于利用Bayes 理論下的經(jīng)典估計(jì)方法得到的結(jié)果，還存在一定偏差。具體體現(xiàn)在損失函數(shù)的影響，所以下面將繼續(xù)討論在考慮損失函數(shù)情況下，反向帕累托形狀參數(shù)λ在Bayes 理論下的經(jīng)典估計(jì)方法并確定估計(jì)結(jié)果的具體表達(dá)式。

考慮位置參數(shù)a已知的情況下，形狀參數(shù)λ在Mlinex損失函數(shù)下的經(jīng)典Bayes估計(jì)問(wèn)題。

定理2設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自RP(a,λ)分布的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中a與λ分別為位置參數(shù)與形狀參數(shù)。令X=(X1,X2,…,Xn)，并且x1,x2,…,xn是相應(yīng)隨機(jī)樣本下的觀察值，在Mlinex 損失函數(shù)（1）下，對(duì)于任意的先驗(yàn)分布π(λ)，在位置參數(shù)已知的情況下，形狀參數(shù)λ的唯一Bayes估計(jì)為

其中，p(X|λ)π(λ)表示參數(shù)λ與樣本X=(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)。

由損失函數(shù)定義可知，在對(duì)特定分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，考慮到給定相應(yīng)損失函數(shù)后，需要使風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)盡可能的小，以保證參數(shù)估計(jì)時(shí)的準(zhǔn)確性。為此需使風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)中的極小化即可。

因?yàn)?/p>

將f((X))關(guān)于(X)求一階微分并令其等于零，便可解得形狀參數(shù)λ的Bayes估計(jì)為

由于f((X))是凸函數(shù)，所以(X)是f((X))的唯一最小值。同時(shí)若存在λ'使得R(X)(λ) ＜∞，對(duì)于參數(shù)λ的Bayes估計(jì)(X)是唯一存在的且是可容許的，所以可以確定形狀參數(shù)λ的唯一Bayes估計(jì)一般形式為

推論1同定理2條件。選取作為RP(a,λ)分布中形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布π(λ)，其中參數(shù)β,γ為超參數(shù)，且β＞0,γ＞0，在Mlinex 損失函數(shù)（1）下，且位置參數(shù)a已知的情況下，形狀參數(shù)λ的Bayes 估計(jì)的精確表達(dá)式為

證明因?yàn)檫x取作為形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布π(λ)，則由式（2）可得

又因?yàn)镽P(a,λ)分布的密度函數(shù)是f(x;a,λ)=λa-λxλ-1;0 ＜x≤a,λ＞0，所以樣本的似然函數(shù)由式（3）確定為

由式（5）可以看出，形狀參數(shù)λ的后驗(yàn)分布服從伽馬分布Γ(n+β,γ-t).

于是有

因此，由定理2可知，Mlinex損失函數(shù)下形狀參數(shù)λ的Bayes估計(jì)的精確表達(dá)式為

4 形狀參數(shù)λ的E-Bayes估計(jì)（EB）與多層Bayes估計(jì)（HB）

在Bayes 理論不斷進(jìn)步的同時(shí)，對(duì)特定分布參數(shù)的估計(jì)方法也一直不斷地發(fā)展與完善。這一系列的發(fā)展也使得參數(shù)估計(jì)不斷逼近于真值，使其誤差不斷地縮小，這樣的結(jié)果正是對(duì)特定分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的最終理想。所以接下來(lái)文章進(jìn)一步研究形狀參數(shù)λ在Mlinex 損失函數(shù)下，先驗(yàn)分布選定為Γ(β,γ) 的E-Bayes估計(jì)與多層Bayes 估計(jì)。根據(jù)相應(yīng)文獻(xiàn)，為了使估計(jì)的效果較好，Γ(β,γ) 中參數(shù)β和γ的取值應(yīng)使先驗(yàn)分布密度函數(shù)為形狀參數(shù)λ的減函數(shù)［13］。再考慮估計(jì)的穩(wěn)健性，最終確定0 ＜β＜γ＜m，其中m為常數(shù)［14］。

4.1 E-Bayes估計(jì)（EB）

定義1對(duì)于(a,b)∈D，若B(a,b)是連續(xù)的，則稱是參數(shù)λ的E-Bayes 估計(jì)，其中?DB(a,b)f(a,b)dadb是存在的，D是超參數(shù)a和b的取值集合，f(a,b)是a和b在集合D上的密度函數(shù)，B(a,b)為λ的Bayes估計(jì)。

從定義可以看出，參數(shù)λ的E-Bayes估計(jì)

是參數(shù)λ的Bayes估計(jì)B(a,b) 對(duì)超參數(shù)a和b的數(shù)學(xué)期望，即λ的E-Bayes估計(jì)是λ的Bayes估計(jì)對(duì)超參數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

定理3設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自RP(a,λ)分布的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中a與λ分別為位置參數(shù)與形狀參數(shù)。選取Γ(β,γ) 作為形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布π(λ)，其中參數(shù)β,γ為超參數(shù)，且β＞0,γ＞0.令X=(X1,X2,…,Xn)，并且x1,x2,…,xn是相應(yīng)隨機(jī)樣本下的觀察值，在位置參數(shù)已知時(shí)，RP(a,λ)分布中的形狀參數(shù)λ，在Mlinex損失函數(shù)下的E-Bayes估計(jì)的精確表達(dá)式為

證明首先由推論1 可知，RP(a,λ)分布的形狀參數(shù)λ，在Mlinex 損失函數(shù)下的Bayes 估計(jì)的精確表達(dá)式為

最后由定義1，RP(a,λ)分布的形狀參數(shù)λ，在Mlinex損失函數(shù)下的E-Bayes估計(jì)的精確表達(dá)式為

4.2 多層Bayes估計(jì)（HB）

定義2若λ的先驗(yàn)分布為Γ(β,γ)分布，其密度函數(shù)其中參數(shù)β,γ為超參數(shù)，且β＞0,γ＞0.假設(shè)β,γ獨(dú)立，則有β和γ的先驗(yàn)分布分別為上的均勻分布，所以得到先驗(yàn)分布密度函數(shù)f(β,γ)=，同時(shí)在β和γ獨(dú)立時(shí)，則λ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為

定理4同定理3條件。在位置參數(shù)a已知時(shí)，若形狀參數(shù)λ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)π*(λ) 由定義2給出，則在位置參數(shù)已知時(shí)，在Mlinex下形狀參數(shù)λ的多層Bayes估計(jì)為

證明設(shè)X1,X2,…,Xn為來(lái)自RP(a,λ)分布的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，在位置參數(shù)a已知時(shí)，樣本的似然函數(shù)由式（3）給定

若形狀參數(shù)λ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)由定義2給出，根據(jù)Bayes定理，形狀參數(shù)λ的多層后驗(yàn)分布密度為

5 數(shù)值模擬

文章研究了形狀參數(shù)λ的五種估計(jì)方法并給出了相應(yīng)的具體表達(dá)式。為確保估計(jì)所得結(jié)果的準(zhǔn)確性、穩(wěn)健性，接下來(lái)利用R 軟件對(duì)給出的估計(jì)方法進(jìn)行MC 數(shù)值模擬，并在模擬中運(yùn)用控制變量的原理，觀察對(duì)比偏差量Abs 的數(shù)值變化，逐步得到最優(yōu)估計(jì)的參數(shù)環(huán)境。在最優(yōu)估計(jì)參數(shù)環(huán)境下，通過(guò)對(duì)均方誤差MSE的數(shù)值變化進(jìn)行討論，最終確定Bayes理論下的最優(yōu)估計(jì)。

在RP(a,λ) 分布中，給定參數(shù)真值，即位置參數(shù)a=100 和形狀參數(shù)λ=3 時(shí)，對(duì)樣本取值為n=20、50、100、150，Mlinex 損失函數(shù)相應(yīng)參數(shù)ω=1、形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布為Γ(2,1) 均給定。采用MC 方法進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，每種情況均進(jìn)行2000次模擬計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果如表1、表2、表3所示。其中，表1為給定條件下，確定Mlinex損失函數(shù)中常數(shù)c的最優(yōu)環(huán)境；表2為給定條件下，確定形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布下參數(shù)的最優(yōu)環(huán)境；表3為在最優(yōu)環(huán)境下形狀參數(shù)λ的三種估計(jì)方法下的均方誤差MSE.

表1 確定Mlinex損失函數(shù)中常數(shù)c的最優(yōu)環(huán)境（給定條件）

表2 確定形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布中參數(shù)的最優(yōu)環(huán)境（給定條件）

表3 在最優(yōu)環(huán)境下形狀參數(shù)λ的三種估計(jì)方法下的均方誤差MSE

表4 2021年新疆20座縣市級(jí)城市人均城市道路面積數(shù)據(jù)

由表1數(shù)據(jù)可得結(jié)論如下:

（1）與近似Bayes估計(jì)方法和Bayes估計(jì)方法相比，基本估計(jì)方法中極大似然估計(jì)結(jié)果比真值大，即偏差量為正。相比于極大似然估計(jì)，最大后驗(yàn)估計(jì)結(jié)果更接近真值。這是最大后驗(yàn)估計(jì)在估計(jì)問(wèn)題上考慮了待估參數(shù)先驗(yàn)分布與樣本相關(guān)的體現(xiàn)。

（2）Mlinex 損失函數(shù)中常數(shù)c的取值變化對(duì)RP(a,λ)分布中形狀參數(shù)λ的Bayes 估計(jì)有一定的影響?？梢钥闯觯?dāng)Mlinex 損失函數(shù)常數(shù)c=1 時(shí)，其估計(jì)結(jié)果最接近真值，所以可以判斷在已給定條件下，Mlinex 損失函數(shù)參數(shù)的最優(yōu)環(huán)境為ω=1，c=1.

（3）對(duì)比三種估計(jì)方法在樣本容量逐步增大時(shí)，估計(jì)結(jié)果也逐步趨近真值，即三種估計(jì)方法均滿足大樣本性質(zhì)。同時(shí)對(duì)比偏差量可知所列舉估計(jì)方法得到的結(jié)果是準(zhǔn)確的，估計(jì)結(jié)果均滿足準(zhǔn)確性。

（4）結(jié)合數(shù)據(jù)可以判斷出，在無(wú)損失函數(shù)環(huán)境影響下，處理滿足反向帕累托分布形狀參數(shù)的大樣本數(shù)據(jù)的估計(jì)問(wèn)題上，選擇最大后驗(yàn)估計(jì)是最優(yōu)的。

由表2數(shù)據(jù)可得結(jié)論如下:

（1）在Bayes 理論下，相比于經(jīng)典Bayes 估計(jì)（B）和E-Bayes 估計(jì)（EB），多層Bayes 估計(jì)（HB）估計(jì)結(jié)果的偏差為正偏差量，其他兩個(gè)為負(fù)偏差量。

（2）形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布中參數(shù)的數(shù)值選取對(duì)Bayes 估計(jì)結(jié)果有一定的影響，可以看出當(dāng)先驗(yàn)分布中參數(shù)的數(shù)值選取m=1時(shí)，其估計(jì)結(jié)果最接近真值。所以可以判斷在已給定條件下，形狀參數(shù)λ的先驗(yàn)分布中參數(shù)的數(shù)值選取最優(yōu)環(huán)境是m=1.同時(shí)對(duì)比m取值量的變化，三種Bayes 估計(jì)方法得到結(jié)果變化的幅度都較小，即可說(shuō)明三種Bayes估計(jì)方法所得結(jié)果均滿足穩(wěn)健性，其中E-Bayes估計(jì)穩(wěn)健性最強(qiáng)。

（3）同表1結(jié)論，以上三種Bayes方法也均滿足大樣本性，估計(jì)結(jié)果均滿足準(zhǔn)確性。

（4）結(jié)合數(shù)據(jù)可以判斷出:在Mlinex 損失函數(shù)環(huán)境影響下，如需準(zhǔn)確地處理滿足反向帕累托分布形狀參數(shù)的大樣本數(shù)據(jù)估計(jì)問(wèn)題時(shí)，選擇E-Bayes估計(jì)方法是最優(yōu)的。如需處理滿足特定的正偏差逼近問(wèn)題時(shí)，可選擇多層Bayes估計(jì)方法得到較準(zhǔn)確的近似值。

由表3數(shù)據(jù)可得結(jié)論如下:

（1）在參數(shù)的最優(yōu)環(huán)境下，Bayes 理論中的三種估計(jì)方法所得結(jié)果的均方誤差MSE 數(shù)值變化較穩(wěn)定，結(jié)果能體現(xiàn)三種Bayes 估計(jì)方法的合理可靠性。同時(shí)隨著樣本數(shù)據(jù)的增加，均方誤差MSE 均控制在較小的有效值內(nèi)，即三種Bayes估計(jì)方法所得結(jié)果是準(zhǔn)確有效的。

（2）數(shù)據(jù)對(duì)比可得:三種Bayes 方法的均方誤差MSE 偏差量，在大樣本數(shù)據(jù)下均控制在0.001，即三種Bayes 估計(jì)方法所得結(jié)果較相近。同大樣本數(shù)據(jù)下，E-Bayes 估計(jì)方法中均方誤差MSE 控制較好，其可靠性較其他兩種較強(qiáng)。

6 結(jié)論

文章所給出的包括近似Bayes 與Bayes 理論下常用的三種估計(jì)方法，通過(guò)數(shù)值模擬并分析比較，得到以上五種估計(jì)方法都滿足大樣本性質(zhì)且部分估計(jì)結(jié)果具有一定的可靠性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)健性。結(jié)合樣本條件與穩(wěn)健性要求，五種估計(jì)方法中E-Bayes估計(jì)法，在處理Mlinex損失函數(shù)下反向帕累托分布形狀參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題上較為快捷、準(zhǔn)確、穩(wěn)定，即可判斷E-Bayes估計(jì)是最優(yōu)估計(jì)方法。

7 實(shí)例應(yīng)用

文章1—4 節(jié)內(nèi)容已解決了所提出的估計(jì)問(wèn)題，并最終做出總結(jié)，給出了處理相應(yīng)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的最優(yōu)方法。但理論研究不僅僅是對(duì)處理問(wèn)題的方法進(jìn)行總結(jié)，更是要解決實(shí)際問(wèn)題。在對(duì)反向帕累托分布的研究中，鮮有見(jiàn)到相關(guān)實(shí)際問(wèn)題的討論。王超探討了反向帕累托分布的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，通過(guò)2010 年我國(guó)655個(gè)城市人口規(guī)模的案例，證明了中小型城市人口規(guī)?？梢允褂梅聪蚺晾弁蟹植歼M(jìn)行擬合［8］。藍(lán)海等人基于E-Bayes 估計(jì)的定義，分別在加權(quán)平方損失函數(shù)和平方損失函數(shù)下討論了反向帕累托分布在位置參數(shù)已知時(shí)，形狀參數(shù)α的E-Bayes估計(jì)［15］。徐寶等人使用加權(quán)p，q對(duì)稱損失函數(shù)研究了反向帕累托分布的形狀參數(shù)在刻度參數(shù)給定條件下Bayes 估計(jì)的形式與性質(zhì)。得到了形狀參數(shù)Bayes 估計(jì)的一般形式以及在給定共軛先驗(yàn)下的精確形式，證明了所得Bayes 估計(jì)具有可容許性以及最小最大性［16］。文章將從文獻(xiàn)［16］提出的反向帕累托分布可以擬合中小型城市人口規(guī)模的研究出發(fā)，對(duì)新疆維吾爾自治區(qū)二十座縣市級(jí)城市的人均城市道路面積進(jìn)行擬合研究。

一座城市的發(fā)展，不僅僅依賴于經(jīng)濟(jì)水平的提升，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展與城市道路面積的擴(kuò)建也體現(xiàn)在城市常住人口數(shù)的變化，但要考慮到經(jīng)濟(jì)發(fā)展同時(shí)伴隨著人口流動(dòng)。面對(duì)近些年不斷發(fā)展的新疆，常住人口數(shù)已不能再作為衡量某座城市的發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)，所以文章引入人均城市道路面積作為城市發(fā)展的判斷依據(jù)。文章利用反向帕累托分布對(duì)新疆維吾爾自治區(qū)內(nèi)二十座縣市級(jí)城市的人均城市道路面積進(jìn)行擬合，并利用最優(yōu)估計(jì)方法判斷擬合結(jié)果是否準(zhǔn)確。以下數(shù)據(jù)來(lái)自于新疆維吾爾自治區(qū)統(tǒng)計(jì)局《2021 年新疆統(tǒng)計(jì)年鑒11-2 各城市市區(qū)設(shè)施水平》。

通過(guò)分析，設(shè)表中數(shù)據(jù)為X=(X1,X2,…,X20)的樣本，通過(guò)計(jì)算得到樣本均值與樣本方差:E(X)=32.50，Var(X)=345.50.觀察樣本數(shù)據(jù)分布情況，有較多的小樣本數(shù)據(jù)。同時(shí)結(jié)合人口分布的特點(diǎn)，數(shù)據(jù)可視為滿足冪律特征的下尾分布，即考慮利用反向帕累托分布擬合。通過(guò)反向帕累托分布期望與方差公式

結(jié)合樣本均值與樣本方差信息，求解得到參數(shù)真值a≈64.561，λ≈1.014.但由于限定0 ＜x≤a，所以上述表格中存在異常數(shù)據(jù)，從而限制了參數(shù)a的確定。對(duì)比實(shí)際人口數(shù)據(jù)判斷阿拉山口市與霍爾果斯市數(shù)據(jù)存在一定異常，主要體現(xiàn)為流動(dòng)人口數(shù)較多，常住人口數(shù)較其他地區(qū)偏少，使得在同等城市道路面積下，人均城市道路面積值偏大。

利用Excel 軟件，在理想環(huán)境下，對(duì)已知的20 組數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)的E-Bayes 估計(jì)。通過(guò)迭代擬合，修正參數(shù)a的值并對(duì)估計(jì)結(jié)果與真值進(jìn)行數(shù)值比較，在誤差可允許范圍內(nèi)找到最優(yōu)估計(jì)下參數(shù)的近似估計(jì)值，最后驗(yàn)證擬合的準(zhǔn)確性。

由表5擬合結(jié)果可以得出:

表5 通過(guò)迭代修正參數(shù)a的值并對(duì)參數(shù)λ擬合，得到近似擬合值y（理想環(huán)境）

（1）2021 年新疆城市市區(qū)設(shè)施水平中人均城市道路面積數(shù)據(jù)可以用反向帕累托分布近似擬合，擬合結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確。

（2）在處理2021年新疆城市市區(qū)設(shè)施水平中人均城市道路面積數(shù)據(jù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)在給定數(shù)據(jù)的情況下，得到的參數(shù)a的真值存在誤差，在后期數(shù)據(jù)擬合中，也驗(yàn)證了數(shù)據(jù)中阿拉山口市與霍爾果斯市數(shù)據(jù)存在異常。在數(shù)據(jù)不變的條件下，通過(guò)Excel軟件的迭代修正參數(shù)a數(shù)值，并對(duì)修正后數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。對(duì)比參數(shù)λ真值，可以判斷當(dāng)a=244 時(shí)，估計(jì)結(jié)果與真值相同，數(shù)據(jù)擬合最完美。同時(shí)確定當(dāng)a∈[136,845]時(shí)，數(shù)據(jù)均方誤差MSE ≤0.3640，即在可偏差范圍內(nèi)。

（3）在對(duì)參數(shù)a進(jìn)行修正過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，表中給定的數(shù)據(jù)中存在異常，但異常不是錯(cuò)誤。根據(jù)對(duì)資料的查詢與研究，找到阿拉山口市與霍爾果斯市數(shù)據(jù)異常原因?yàn)?該地區(qū)人口數(shù)據(jù)變化幅度較大，即流動(dòng)人口數(shù)較多，常住人口數(shù)量較少，人口流動(dòng)性較強(qiáng)。同時(shí)也說(shuō)明該地區(qū)城市公共資源開(kāi)發(fā)力度較強(qiáng)，開(kāi)發(fā)后使用程度較低等問(wèn)題。

（4）對(duì)比全國(guó)人居城市道路面積數(shù)據(jù)可以判斷，以上城市中較多數(shù)城市數(shù)據(jù)高于全國(guó)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)17.36 m2.即說(shuō)明新疆縣市級(jí)城市資源利用率較低，固定人口數(shù)較少，人口流動(dòng)性較強(qiáng)。

8 總結(jié)

文章對(duì)Mlinex 損失函數(shù)下反向帕累托分布形狀參數(shù)估計(jì)進(jìn)行充分討論，對(duì)比了頻率學(xué)派的極大似然估計(jì)與貝葉斯學(xué)派的最大后驗(yàn)估計(jì)兩大經(jīng)典估計(jì)方法，兩者的估計(jì)結(jié)果在數(shù)值上較為相似。結(jié)合兩者在處理問(wèn)題上的出發(fā)點(diǎn)不同，所以應(yīng)用也各不相同。同時(shí)文章也在Bayes 理論下，對(duì)相應(yīng)參數(shù)進(jìn)行了近似Bayes 估計(jì)與經(jīng)典Bayes 估計(jì)的對(duì)比，給定了形狀參數(shù)在估計(jì)時(shí)的參數(shù)最優(yōu)環(huán)境，并通過(guò)數(shù)值模擬得到在Bayes 理論下，處理相應(yīng)估計(jì)問(wèn)題的最優(yōu)估計(jì)，即E-Bayes估計(jì)是最優(yōu)估計(jì)方法。最后利用最優(yōu)估計(jì)方法，對(duì)《2021年新疆統(tǒng)計(jì)年鑒11-2 各城市市區(qū)設(shè)施水平》中人均城市道路面積的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)擬合，確定了新疆縣市級(jí)城市的人均城市道路面積可以利用反向帕累托分布擬合，并結(jié)合最終數(shù)據(jù)給出了相應(yīng)的數(shù)據(jù)分析。