劉佳寧,牛安東,苗 碩,李英善

(1.南開大學(xué) 電子信息與光學(xué)工程學(xué)院,天津 300350;2.天津市光電傳感器與傳感網(wǎng)絡(luò)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300350)

0 引 言

多載波波形一直在根本上影響著無(wú)線通信的發(fā)展,現(xiàn)如今,循環(huán)前綴正交頻分復(fù)用(Cyclic Prefix-Orthogonal Frequency Division Multiplexing,CP-OFDM)技術(shù)被高級(jí)長(zhǎng)期演進(jìn)技術(shù)(Long Term Evolution-Advanced,LTE-A)中物理層廣泛采用。然而,CP-OFDM技術(shù)難以滿足下一代通信的目標(biāo),因此許多新型多載波技術(shù)被提出[1]。其中廣義頻分復(fù)用技術(shù)(Generalized Frequency Division Multiplexing,GFDM)作為5G候選波形在2009年被提出[2]。GFDM將多個(gè)OFDM符號(hào)組成一個(gè)塊,與OFDM不同的是,GFDM在每一個(gè)塊結(jié)構(gòu)后加一個(gè)CP,并采用咬尾技術(shù)進(jìn)一步縮短CP,有效降低了部分開銷并提升了頻譜效率。除此之外,GFDM可以通過(guò)設(shè)置不同的原型濾波器使其相較OFDM具有更低的帶外輻射和更高的頻譜效率。GFDM是一種有前景的靈活的多載波調(diào)制方案,它在不嚴(yán)重干擾現(xiàn)有的服務(wù)或其他用戶的前提下,使得碎片化頻譜和動(dòng)態(tài)頻譜變得可行[3]。

在信號(hào)的傳輸過(guò)程中,由于多徑傳播、信道衰落、噪聲等等原因,信號(hào)在接收端會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的符號(hào)間干擾(Inter-symbol Interference,ISI),為了解決這個(gè)問(wèn)題,通常需要在接收端使用均衡技術(shù)進(jìn)行補(bǔ)償,來(lái)消除ISI[4]。在OFDM技術(shù)中,通常引入CP來(lái)解決ISI問(wèn)題,然而均衡器必須具有大量的抽頭,這意味著每次迭代的計(jì)算量很大,需要很長(zhǎng)的訓(xùn)練序列。降低復(fù)雜度的方法就是開發(fā)稀疏均衡算法。

均衡技術(shù)可以分為線性均衡和非線性均衡。在線性信道中,線性均衡就已經(jīng)可以達(dá)到很好的效果,然而實(shí)際上所要面臨的信道要復(fù)雜許多,線性均衡已經(jīng)很難滿足用戶的需求,因此需要采用非線性均衡技術(shù)。Volterra模型是一種經(jīng)典的非線性模型[5],一類有效的Volterra非線性均衡訓(xùn)練方法在2022年被提出[6]。然而該模型的項(xiàng)數(shù)數(shù)量隨著記憶深度和非線性階數(shù)的增加呈指數(shù)型增長(zhǎng),求解復(fù)雜度隨之增大。其實(shí)基于Volterra模型,學(xué)者已經(jīng)提出了很多簡(jiǎn)化模型,其中包括人們熟知的多項(xiàng)式(Memory Polynomial,MP)模型[7]以及廣義記憶多項(xiàng)式(Generalized Memory Polynomial,GMP)模型[8]。其中MP模型沒(méi)有交叉項(xiàng),丟失了部分信息,因此GMP模型更廣泛地適用于非線性系統(tǒng)的建模,文章在研究過(guò)程中使用GMP模型構(gòu)造非線性均衡器。

GMP模型雖然對(duì)項(xiàng)數(shù)數(shù)量進(jìn)行了修剪,但還是包括了大量的系數(shù),在系數(shù)估算上有很大的計(jì)算量,為了對(duì)系數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的修剪,一類壓縮感知的算法進(jìn)入大眾的視野,極具應(yīng)用價(jià)值[9]。實(shí)際上,在通信系統(tǒng)中,信道通常呈現(xiàn)出稀疏特性,因此本文利用壓縮感知的算法研究GFDM系統(tǒng)中的稀疏自適應(yīng)均衡問(wèn)題。其中正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法在其中最具有代表性[10]。在2018年,雙正交匹配追蹤(Doubly Orthogonal Matching Pursuit,DOMP)算法被提出,對(duì)OMP做了改進(jìn),使得錯(cuò)誤率更低[11]。然而這一類追蹤算法在每次迭代過(guò)程中都進(jìn)行了復(fù)雜的矩陣求逆的操作,導(dǎo)致運(yùn)算速度很低。此外在仿真中發(fā)現(xiàn),一組均衡器系數(shù)并不能適應(yīng)迅速變化的信道。

因此,本文采用分組數(shù)據(jù)的模式適應(yīng)復(fù)雜的信道,使得均衡效果得到了改善。此外,利用分塊矩陣求逆的原理,對(duì)壓縮感知追蹤算法進(jìn)行了改進(jìn),提升了均衡的速度。

1 系統(tǒng)模型

1.1 GFDM系統(tǒng)

具有均衡器的GFDM系統(tǒng)框圖如圖1所示。GFDM基于塊傳輸,將時(shí)隙等間隔地劃分為M個(gè)子時(shí)隙,又把每個(gè)時(shí)隙等間隔地劃分為K個(gè)子信道,分別稱為子符號(hào)和子載波。dm,k為第m個(gè)子符號(hào)上第k個(gè)子載波的信號(hào),信號(hào)源在發(fā)射機(jī)端,產(chǎn)生二進(jìn)制數(shù)據(jù)向量b,之后采用QPSK、QAM等調(diào)制方式得到數(shù)據(jù)塊D。

圖1 GFDM系統(tǒng)框圖

(1)

1.2 萊斯信道

瑞利衰落信道被用于無(wú)線電信號(hào)傳播環(huán)境的建模,但是瑞利信道不包含視線傳輸(Line of Sight,LoS),相對(duì)于瑞利衰落信道,萊斯信道包含LoS和散射成分,適用范圍更廣[13],本文采用萊斯信道模型對(duì)信道進(jìn)行建模。

以下給出移動(dòng)環(huán)境下萊斯信道的模型描述:

z(t)=KLoS·x(t)e-j2πfd·t+

(2)

1.3 Volterra非線性均衡器模型

本文采用的非線性均衡器模型如圖2所示,經(jīng)過(guò)GFDM調(diào)制后的信號(hào)進(jìn)入信道后加入高斯白噪聲得到z(n),將z(n)進(jìn)行非線性建模得到A。非線性建模采用Volterra的變化形式GMP方式建模。

圖2 非線性自適應(yīng)均衡器模型

GMP模型的表達(dá)式如下[8]:

(3)

式中:第一項(xiàng)為同步包絡(luò)項(xiàng);第二項(xiàng)為滯后包絡(luò)項(xiàng);最后一項(xiàng)為超前包絡(luò)項(xiàng);M和L分別是記憶深度和非線性階數(shù);P和Q分別為滯后深度及超前深度?？紤]通信系統(tǒng)的特性以及對(duì)系數(shù)數(shù)量的進(jìn)一步簡(jiǎn)化,在仿真時(shí)令Q為0,即僅保留同步包絡(luò)項(xiàng)及滯后包絡(luò)項(xiàng)。

改寫成矩陣形式可得到下式[15]:

yGMP=AGMP·θ

(4)

式中:θ為待估測(cè)系數(shù)向量;AGMP包含同步包絡(luò)項(xiàng)及滯后包絡(luò)項(xiàng),其第n行可表示為

(5)

式中:

(6)

(7)

由z(n)構(gòu)造出AGMP后送入均衡器,將AGMP記為A。均衡器系數(shù)θ通過(guò)壓縮感知均衡算法進(jìn)行估算:

(8)

2 壓縮感知算法

2.1 OMP算法

在1.3節(jié)中,介紹了利用GMP模型構(gòu)造的非線性均衡器模型,由于無(wú)線信道經(jīng)常呈現(xiàn)稀疏特性,為了進(jìn)一步修剪系數(shù),本文采用壓縮感知算法來(lái)解決式(8)的問(wèn)題。

OMP算法是一種典型的壓縮感知算法。該算法基于貪婪算法的思想,首先選擇與目標(biāo)結(jié)果最匹配的待挑選向量,求出對(duì)應(yīng)的待估測(cè)系數(shù)以及殘差,之后選擇與該殘差最匹配的向量,將該過(guò)程反復(fù)迭代,最后殘差在一個(gè)可忽略的范圍內(nèi),則目標(biāo)結(jié)果就可以表示成之前所有被選擇向量的線性和。需要說(shuō)明的是,在迭代的每一步都對(duì)全部選擇的向量進(jìn)行正交化處理。OMP算法流程如下[10]:

輸入:x,A,K

1 初始化:殘差向量r=x,Λ0=φ,P0=φ,t=1

2 循環(huán)部分

2.1 求得目標(biāo)索引λ,滿足

2.2

Λt=Λt-1∪{λt}

Pt=Pt-1∪{A(:,λt)}

2.5t=t+1,如果t≤K,跳到2.1,循環(huán)繼續(xù);反之,退出循環(huán)

算法中A∈m×n為非線性建模的感知矩陣,x∈m×1是輸入信號(hào)向量,n×1為待估計(jì)的稀疏向量,K為系數(shù)的稀疏度。用該算法解決式(8)所提出的問(wèn)題。

2.2 DOMP算法

DOMP算法強(qiáng)化了在模型的稀疏參數(shù)識(shí)別中系數(shù)的選擇,在OMP算法的過(guò)程中增加了一步施密特正交化的操作,進(jìn)一步將選擇的回歸變量和待挑選的回歸變量解相關(guān),使選擇的基集與殘差正交的同時(shí),與沒(méi)有被選擇的回歸變量也正交,實(shí)現(xiàn)了雙重正交。

3 低計(jì)算量分組稀疏均衡方案

為了解決引言中提到的信道變化復(fù)雜的問(wèn)題,本文提出使用分組數(shù)據(jù)模式進(jìn)行均衡。此外,為了降低壓縮感知追蹤算法的復(fù)雜度,本文利用分塊矩陣求逆的原理,對(duì)追蹤算法進(jìn)行了改進(jìn),減少了算法的計(jì)算量。

3.1 分組數(shù)據(jù)模式

在復(fù)雜信道中,一組均衡器的系數(shù)估計(jì)不能很好地適應(yīng)信道的快速變化。因此采用分組數(shù)據(jù)的模式,將數(shù)據(jù)分組分別經(jīng)過(guò)壓縮感知均衡算法,對(duì)每組數(shù)據(jù)估算出不同的均衡器系數(shù)。將時(shí)域中串行的信號(hào)按照每組長(zhǎng)度為Bl分組后分別進(jìn)入均衡器,再將經(jīng)過(guò)均衡器的信號(hào)串在一起進(jìn)行后續(xù)的解調(diào)等一系列操作。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證,均衡效果得到了有效提升。

3.2 較低計(jì)算量的追蹤算法

OMP算法及DOMP算法都是壓縮感知中效果很好的追蹤算法,然而如2.1節(jié)中算法所示,OMP算法循環(huán)部分的2.3節(jié)中,對(duì)向量的估計(jì)所使用的最小二乘求解的方法,在每一次循環(huán)中都需要進(jìn)行矩陣PtHPt求逆的操作,復(fù)雜度非常大。為了降低算法的計(jì)算量,本文提出一種基于分塊矩陣求逆求解(PtHPt)-1)的方法。為了說(shuō)明方便,記(PtHPt)-1=St。

t=1時(shí),

P1∈m×1

(9)

t=i時(shí),

Pi∈m×i

Pi=[Pi-1A(:,λt)]

(10)

記A(:,λt)為A{λt},則有

Pi=[Pi-1A{λt}]

(11)

(12)

分塊矩陣求逆的公式由式(13)給出[16]:

(13)

使用式(13)需要滿足的條件是A可逆,D可逆,且|D-CA-1B|≠0

(14)

其對(duì)應(yīng)的

(15)

顯然,滿足使用式(13)的條件,繼而推出

(16)

因此得到

(17)

式中:

(18)

可以看出,追蹤算法中只需要保留上一次循環(huán)所求逆的結(jié)果,就可以在新一次求逆的過(guò)程中避免復(fù)雜的求逆過(guò)程,得到新的數(shù)值。

綜上,將追蹤算法的2.3步進(jìn)行如下改進(jìn)可降低算法的計(jì)算量:

F=Pt-1HA{λt}

(19)

(20)

(21)

(22)

綜上所述,將每次循環(huán)中求解St的步驟做了改進(jìn),避免了矩陣求逆的運(yùn)算,在第t次循環(huán)中,改進(jìn)前后求解St計(jì)算復(fù)雜度分別為O(m·t2+t3)和O(m·t+t2),m代表輸入向量x的長(zhǎng)度。本文提出的方法在每一次循環(huán)中都降低了計(jì)算復(fù)雜度,進(jìn)而達(dá)到減小算法整體復(fù)雜度的目的。

對(duì)于OMP算法及DOMP算法,當(dāng)使用快速變換后,正交化的步驟中矩陣求逆通常成為算法的瓶頸。在本文提出的低復(fù)雜度的算法中,摒棄了復(fù)雜的求逆運(yùn)算,只需要在每步的循環(huán)中,使用矩陣乘法進(jìn)行迭代計(jì)算。實(shí)際上使用快速變換后,矩陣乘法的運(yùn)算速度能夠得到進(jìn)一步地提升,因此本文提出的低復(fù)雜度的方式具有相當(dāng)明顯的優(yōu)勢(shì)。

3.3 改進(jìn)的稀疏均衡方案

本文提出了一種基于壓縮感知追蹤算法和分組數(shù)據(jù)模式的低計(jì)算量分組稀疏均衡方案。將進(jìn)入信道前的時(shí)域信號(hào)x進(jìn)行分組,每組數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為Bl,分別進(jìn)入均衡器,將每組的輸出串行在一起得到與x長(zhǎng)度相同的y,y再進(jìn)入GFDM解調(diào)器。在1.3節(jié)中敘述了本文采用的非線性均衡器模型,為了解決式(8)所提出的問(wèn)題,可采用3.2節(jié)中提出的低計(jì)算量的改進(jìn)OMP算法或低計(jì)算量的改進(jìn)DOMP算法,其中輸入的x為經(jīng)過(guò)分組的時(shí)域信號(hào),A為經(jīng)過(guò)分組的信號(hào)進(jìn)行1.3節(jié)所述GMP方式建模之后的測(cè)量矩陣。

低計(jì)算量的改進(jìn)OMP算法流程如下:

輸入:xBl×1,ABl×n,K

1 初始化:r=x,Λ0=φ,P0=φ,t=1

2 循環(huán)部分

2.1

2.2

Λt=Λt-1∪{λt}

Pt=Pt-1∪{A(:,λt)}

F=Pt-1HA{λt}

2.5t=t+1,如果t≤K,跳到2.1,循環(huán)繼續(xù);反之,退出循環(huán)

低計(jì)算量的改進(jìn)DOMP算法流程如下:

輸入:xBl×1,ABl×n,K

1 初始化

1.1r=x,Λ=φ,P=φ,t=1,Z=A

2 循環(huán)部分

2.1

2.2

Λ=Λ∪{λ}

P=P∪{Z(:,λ)}

施密特正交化:

U=Z(:,λ)Hr

Z=Z-U?Z(:,λ)

式中:?代表克羅內(nèi)克乘積,也叫張量乘積。

F=Pt-1HA{λt}

2.5t=t+1,如果t≤K,跳到循環(huán)部分的2.1,循環(huán)繼續(xù);反之,退出循環(huán)

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 仿真參數(shù)

為了驗(yàn)證本文所提出的基于壓縮感知追蹤算法和分組數(shù)據(jù)模式的稀疏分組均衡器方案在GFDM系統(tǒng)中的效果,在Matlab R2019a中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。GFDM系統(tǒng)的參數(shù)見表1,其中有效信息載波位置表示前端的6個(gè)載波和末尾的5個(gè)載波。

表1 GFDM系統(tǒng)參數(shù)

本文主要參考鄉(xiāng)村視距(Rural Line of Sight,RLoS)無(wú)線傳輸信道模擬信道環(huán)境,對(duì)萊斯信道的仿真參數(shù)說(shuō)明如下:散射路徑數(shù)目L=2,最大多普勒頻移fd=100 Hz,直射路徑的歸一化功率為 0 dB,萊斯因子Kr=10,散射路徑的時(shí)延為τl=[83 ms,183 ms],散射路徑的歸一化功率為Pl=[-14 dB,-10 dB],散射路徑多普勒頻偏fdl=[61.5 Hz,-36.9 Hz]。

非線性均衡器采用節(jié)1.3中所述的GMP模型建模,令記憶深度M=6,非線性階數(shù)L=3,滯后深度P=5,系數(shù)總數(shù)為78個(gè)。綜合考慮計(jì)算量及信道的稀疏特性,在使用追蹤算法時(shí),令稀疏度K=30。

4.2 信號(hào)分組長(zhǎng)度對(duì)均衡效果的影響

將數(shù)據(jù)分成多組,每組的信號(hào)長(zhǎng)度記為Bl,圖3給出了Bl分別等于48,66,88,726,1 452,5 808時(shí),在RLoS信道下,使用低計(jì)算量的OMP算法,誤碼率性能隨信噪比變化的曲線,圖4給出了在信噪比為15 dB時(shí)接收信號(hào)的星座圖。

圖3 RLOS信道中OMP均衡算法下不同Bl的誤碼率曲線對(duì)比

圖4 RLOS信道中OMP均衡算法下不同Bl對(duì)應(yīng)的接收信號(hào)星座圖

通過(guò)比較可以看出,均衡器不同程度地消除了信道帶來(lái)的ISI,Bl越小,均衡效果越好。若信號(hào)不進(jìn)行分組,或Bl選擇過(guò)大,誤碼率會(huì)很大。

4.3 改進(jìn)的低計(jì)算量算法對(duì)均衡的作用

固定每組信號(hào)長(zhǎng)度Bl=48,在RLOS信道中進(jìn)行仿真分析。圖5給出了使用OMP算法、DOMP算法、改進(jìn)OMP算法、改進(jìn)DOMP算法、不進(jìn)行分組的OMP算法,以及無(wú)均衡器時(shí),誤碼率性能隨信噪比變化的曲線。為了分析計(jì)算復(fù)雜度及運(yùn)行時(shí)間,本文在同一臺(tái)電腦上將幾個(gè)算法依據(jù)不同信噪比仿真2 000次所用的運(yùn)行時(shí)間做了平均處理,并進(jìn)行了比較分析,具體結(jié)果如表2所示。

圖5 不同算法的誤碼率性能比較

通過(guò)圖5可以看出,不進(jìn)行分組的OMP算法的均衡效果不太理想,分組后的OMP算法與改進(jìn)OMP算法誤碼率性能幾乎相同,DOMP算法與其改進(jìn)算法誤碼率性能也幾乎相同,整體好于OMP算法及其改進(jìn)OMP算法,即提出的新的低計(jì)算量的算法的誤碼率性能跟改進(jìn)前的算法維持在幾乎相同的水平。但是,如表2所示,DOMP算法2 000次的運(yùn)行時(shí)間比OMP算法耗費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)約300 s,改進(jìn)的OMP算法比OMP節(jié)省了約500 s的時(shí)間,改進(jìn)的DOMP算法比DOMP算法節(jié)省了約400 s的時(shí)間。由此可知,DOMP算法精度的提高是以提升復(fù)雜度為代價(jià)的,然而本文所提出的算法僅增加了O(1)量級(jí)的空間復(fù)雜度,卻使得仿真所需的時(shí)間縮短了接近一半,同時(shí)將78個(gè)均衡器系數(shù)修剪為30個(gè),使均衡器的實(shí)現(xiàn)變得更加高效,減小了自適應(yīng)均衡的計(jì)算復(fù)雜度,縮短了均衡所需時(shí)間。

5 結(jié) 論

GFDM系統(tǒng)作為5G候選波形之一具有頻譜利用率高、復(fù)雜度低、帶外泄露小等諸多優(yōu)點(diǎn),但在多徑傳播信道環(huán)境中同樣會(huì)存在嚴(yán)重的符號(hào)間干擾問(wèn)題,而合適的均衡方案可以解決此問(wèn)題。為了提升對(duì)復(fù)雜信道的均衡效果,利用多徑信道的稀疏特性,本文提出了一種基于壓縮感知追蹤算法和分組數(shù)據(jù)模式的低計(jì)算量稀疏分組均衡方案。為了應(yīng)對(duì)復(fù)雜的稀疏信道模型,本文先使用GMP模型對(duì)均衡器的輸入信號(hào)進(jìn)行了非線性建模,且均衡過(guò)程中采用了分組數(shù)據(jù)模式,其次利用分塊矩陣求逆的原理,摒棄了復(fù)雜的矩陣求逆運(yùn)算,在每步的循環(huán)中使用矩陣乘法進(jìn)行了迭代計(jì)算,改進(jìn)了原先的OMP算法及DOMP算法。

Matlab仿真實(shí)驗(yàn)表明,該方案不但將78個(gè)均衡器系數(shù)修剪為30個(gè),降低了均衡器復(fù)雜度,而且將矩陣求逆運(yùn)算轉(zhuǎn)換為迭代計(jì)算矩陣乘法,明顯地降低了計(jì)算量,縮短了仿真所需的時(shí)間,并且有效地消除了ISI,提升了誤碼率性能。分組均衡中,每組信號(hào)的長(zhǎng)度越小,均衡效果越好。但是,應(yīng)對(duì)簡(jiǎn)單的信道,分組長(zhǎng)度不需要很小就已經(jīng)可以得到很好的誤碼率性能,因此,應(yīng)適當(dāng)選取參數(shù),避免造成資源浪費(fèi)。