王朝能,李鳳蓮,呂梅

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,北京 100192)

0 引言

蜂窩結(jié)構(gòu)起源于仿生學(xué),蜂窩夾層復(fù)合材料具備復(fù)合材料的特點(diǎn),并且其蜂窩材料及其特殊結(jié)構(gòu)形式,擴(kuò)寬了其應(yīng)用范圍。蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)、優(yōu)良比剛度/比強(qiáng)度、抗沖擊性能以及隔熱和隔音性能,在醫(yī)療設(shè)備、傳感器、防護(hù)設(shè)備、航空航海及國(guó)防工程等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景[1]。由于蜂窩結(jié)構(gòu)有較高的減重率,現(xiàn)在的航天飛機(jī)、人造衛(wèi)星、高鐵、汽車等在內(nèi)部大量采用蜂窩結(jié)構(gòu)。由于蜂窩夾層板所運(yùn)用的工況環(huán)境使其經(jīng)常面臨振動(dòng)載荷和聲壓載荷激勵(lì),故有必要深入研究其振動(dòng)和隔聲特性。

近年來(lái),大量學(xué)者對(duì)蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入研究。Gibson等[2]首次提出了二維內(nèi)凹六邊形蜂窩結(jié)構(gòu),其結(jié)構(gòu)具有負(fù)泊松比效應(yīng)。研究夾層板結(jié)構(gòu)振動(dòng)主要有Reissner理論、Hoff理論和普魯卡克夫-杜慶華理論。Hu等[3]分析了經(jīng)典層合板理論(classical laminate theory,CLT)、一階剪切變形理論(first-order shear deformation theory,FSDT)和高階剪切理論在夾層復(fù)合材料研究中的適用性和效率。Li等[4]基于雙曲切線剪切變形理論,利用Navier法和流固邊界條件研究了2種不同類型的負(fù)泊松比功能梯度蜂窩夾層板的自由振動(dòng)和隔聲性能。Oliazadeh等[5]建立了基于統(tǒng)計(jì)能量分析(statistical energy analysis,SEA)的蜂窩夾層板分析模型,利用SEA方法對(duì)蜂窩夾層板的聲透射損失進(jìn)行了理論有效性驗(yàn)證,并給出了聲透射損失的表達(dá)式。任樹偉等[6]基于Reissner理論建立了簡(jiǎn)支邊界下蜂窩夾芯板傳聲理論模型,通過(guò)與有限元分析結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了聲學(xué)理論模型的正確性。周俊杰等[7]利用代表體元(representative volume element,RVE)法對(duì)蜂窩模型進(jìn)行有限元等效建模,總結(jié)出了可靠的蜂窩夾層板的有限元等效模型。Shi等[8]采用瑞利-里茲法(Rayleigh-Ritz method)根據(jù)結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)的能量表達(dá)式對(duì)帶聲腔的雙層板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)聲特性進(jìn)行了分析研究,驗(yàn)證了理論的可靠性。

利用一階剪切變形理論,結(jié)合改進(jìn)的瑞利-里茲法[9-10],建立并求解了聲振理論模型。通過(guò)有限元分析驗(yàn)證了理論的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上,討論了參數(shù)變化對(duì)變厚度蜂窩夾層板隔聲性能的影響。采用的方法可以快速計(jì)算不同邊界條件下蜂窩夾層板的振動(dòng)及隔聲特性。

1 理論模型的建立

負(fù)泊松比的變厚度蜂窩夾層板模型如圖1所示,它由等壁厚的六邊形蜂窩核心層和上下面板組成。在直角坐標(biāo)系xyz中,x-y平面位于中間層蜂窩芯的中間平面上。板的長(zhǎng)度和寬度分別為a和b,蜂窩芯層厚度為hc,板的最大厚度為hmax,相關(guān)厚度變化函數(shù)規(guī)律如下:

(1)

圖1 變厚度蜂窩夾層板模型Fig.1 Honeycomb sandwich model with variable thickness

式中:ξ1、ξ2分別為沿x和y軸方向的厚度變化系數(shù);hmin為板的最小厚度,可由hmax、ξ1、ξ2求解得到。

蜂窩芯的單元胞如圖2所示。蜂窩的傾斜壁長(zhǎng)為l1,蜂窩的上下壁長(zhǎng)為l2,壁厚為tc,蜂窩的特征凹角為θ。隨著特征角的變化,蜂窩芯的形態(tài)也發(fā)生變化。當(dāng)θ>0°時(shí),芯層為負(fù)泊松比凹六邊形蜂窩,如圖2(a)所示;當(dāng)θ=0°和θ<0°時(shí),負(fù)泊松比的凹六邊形蜂窩將分別演化為圖2(b)所示的零泊松比的準(zhǔn)方形蜂窩和圖2(c)所示的正泊松比的凸六邊形蜂窩[11]。

圖2 等壁厚蜂窩的單元胞模型Fig.2 Unit-cell models of the honeycomb with equal wall thickness

六邊形蜂窩夾層板的面內(nèi)等效彈性參數(shù)的研究已被廣泛開展[12]?；贕ibson和Ashby提出的蜂窩等效理論及后來(lái)的修正蜂窩等效理論[13],給出了等壁厚負(fù)泊松比六邊形蜂窩夾層板等效彈性參數(shù)的計(jì)算公式:

(2)

式中:Ex、Ey、Ez為x、y、z方向上的等效彈性模量;Gxy、Gxz、Gyz為等效剪切模量;νxy、νyx為等效泊松比;ρ為等效質(zhì)量密度;蜂窩結(jié)構(gòu)關(guān)系η1=l2/l1、η3=tc/l1;Es為材料楊氏模量;Gs=Es/[2(1+vs)]為材料彎曲模量,vs為材料泊松比;ρs為材料密度。

基于一階剪切變形理論,蜂窩板位移場(chǎng)表示為

(3)

式中:u、v、w分別為變厚度負(fù)蜂窩夾層板中性面上任意一點(diǎn)的位移;φx、φy分別為夾層板的法線沿x和y軸的轉(zhuǎn)角。

根據(jù)線性變形假設(shè),其位移-應(yīng)變關(guān)系表示為

(4)

式中:εxx、εyy、γxy、γxz和γyz為應(yīng)變分量。

根據(jù)廣義胡克定律并且考慮負(fù)泊松比的蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)的正交各向異性,并結(jié)合式(2),其本構(gòu)方程表示為

(5)

(6)

利用Hamilton原理,可以推導(dǎo)出負(fù)泊松比蜂窩夾層板的動(dòng)力學(xué)方程為

(7)

式中:qz為分布在z上的外力;Nx、Ny和Nxy為應(yīng)力的合力;Mx、My和Mxy為力矩;I0、I1和I2為廣義慣性項(xiàng);Qx和Qy為橫向剪力的合力。這些變量可以表示如下:

(8)

通過(guò)改進(jìn)的雙傅立葉余弦級(jí)數(shù)和輔助多項(xiàng)式函數(shù)組合為位移場(chǎng)容許函數(shù),多項(xiàng)式函數(shù)表示如下:

(9)

不考慮邊界條件,蜂窩夾層板的每個(gè)位移和旋轉(zhuǎn)分量展開為修正傅里葉級(jí)數(shù)為

(10)

(11)

對(duì)于變厚度蜂窩夾層板,應(yīng)變能Us定義為

(12)

蜂窩板的動(dòng)能T表示為

(13)

假設(shè)外力做的功We為

(14)

蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)的邊界約束彈簧中的彈性邊界能Usp表達(dá)式為

(15)

(16)

蜂窩夾層板的拉格朗日能量函數(shù)可以表示為

L=T-Us-Usp+We

(17)

通過(guò)拉格朗日能量函數(shù)并結(jié)合Rayleigh-Ritz法,可得到系統(tǒng)自由振動(dòng)的矩陣方程:

(K-ω2M)G=0

(18)

式中:ω為入射聲波的圓頻率;Κ和M分別為板的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,它們都是對(duì)稱矩陣,可以寫成:

(19)

(20)

式中:Kuu和Muu等均為子矩陣,其維度與截?cái)鄶?shù)M和N有關(guān),例如Kuu為方程組對(duì)x方向的位移函數(shù),即式(10)中u(x,y)函數(shù)所包含的未知系數(shù)進(jìn)行二次偏導(dǎo)后對(duì)應(yīng)的項(xiàng),其他子矩陣包括質(zhì)量矩陣求解類似。

特征向量G為未知展開式系數(shù),可表示為

G=[Gu,Gv,Gw,Gφx,Gφy]T

(21)

當(dāng)平面簡(jiǎn)諧聲波P以一定的入射角入射到蜂窩夾層板的上面板,如圖1所示,其中入射方向矢量與z軸夾角為ψ1,入射方向矢量在x-y平面的投影與y軸夾角為ψ2。入射聲壓激勵(lì)pi可表示為

pi(x,y,t)=p0ei (ωt-kxx-kyy-kzz)

(22)

式中:p0為入射聲壓幅值;kx、ky、kz分別為波數(shù)在x、y、z方向上的分量,其表示為

(23)

式中:k0=ω/c0,c0為聲速。

考慮彈性邊界條件下蜂窩夾層板的聲振特性,反射聲壓pr和透射聲壓pt可以表示為

(24)

式中:wmn為式(10)中w(x,y)函數(shù);Rmn和Tmn分別為反射聲壓幅值和透射聲壓幅值。

蜂窩夾層板系統(tǒng)在入射聲壓、反射聲壓和透射聲壓激勵(lì)下的外力可以表示為

(25)

在蜂窩夾層板頂板、底板與空氣交界處,需滿足流固耦合條件,即法向速度分量相等,表示為

(26)

根據(jù)以上理論條件,將動(dòng)力學(xué)方程與流固耦合條件聯(lián)合求解,即可得到反射聲壓和透射聲壓。

假設(shè)Wi和Wt分別為入射聲功率和透射聲功率,蜂窩夾層板的傳聲損失(sound transmirrion loss,STL)或隔聲量可定義為

(27)

式中,入射聲功率和透射聲功率可表示為

(28)

式中:vi=pi/(ρ0c0)、vt=pt/(ρ0c0)表示流體質(zhì)點(diǎn)的速度;Re表示取實(shí)數(shù)結(jié)果;*表示復(fù)數(shù)共軛。

2 數(shù)值計(jì)算與仿真

為了驗(yàn)證理論模型的正確性,通過(guò)有限元軟件COMSOL對(duì)負(fù)泊松比蜂窩夾層板聲振特性進(jìn)行仿真模擬。

如圖1所示的模型,其中負(fù)泊松比蜂窩夾層板的幾何參數(shù)為:a=207.85 mm、b=170.01 mm、hmax=10 mm,上下面板最大厚度均為h1=2 mm。如圖2 (a)所示,負(fù)泊松比蜂窩芯層的相關(guān)尺寸為:hc=6 mm、l1=10 mm、l2=20 mm、tc=1 mm、θ=30°。變厚度負(fù)蜂窩夾層板均由鋁組成,其材料性能為:Es=70 GPa、vs=0.3、ρs=2 700 kg/m3。

令蜂窩夾層板厚度變化系數(shù)ξ1=0、ξ2=0,截?cái)嘞禂?shù)M=N=8,得到了等厚度蜂窩夾層板在四邊簡(jiǎn)支邊界條件下的前5階固有頻率的理論結(jié)果,如表1所示,表中也列出了文獻(xiàn)[4]和有限元方法的結(jié)果。從表中可以看到,與理論結(jié)果及文獻(xiàn)[4]的結(jié)果相比,有限元仿真得出的結(jié)果較大,其原因是建模時(shí)選擇蜂窩為等效模型,但三者誤差最大不超過(guò)3%,其誤差在允許范圍內(nèi)。而且在表2中,有限元與理論的前5階模態(tài)振型相同,由此可以看出所建立的蜂窩夾層板的理論模型是準(zhǔn)確有效的。

表1 蜂窩夾層板前5階模態(tài)固有頻率對(duì)比Table 1 Comparison of the first five orders of intrinsic frequency of honeycomb sandwich plates Hz

表2 四邊簡(jiǎn)支條件下理論與有限元計(jì)算的前5階模態(tài)振型對(duì)比Table 2 Comparisons of the first five mode shapes computed by the present theory and finite element under simply supported condition

使用有限元建模仿真,驗(yàn)證所建立的蜂窩夾層板隔聲理論模型的正確性。在計(jì)算中,聲波垂直入射,取簡(jiǎn)諧聲波入射方位角ψ1=0°、ψ2=0°,入射聲壓振幅p0=1 Pa。圖3給出了理論與有限元分析在四邊簡(jiǎn)支邊界條件下蜂窩夾層板的隔聲特性曲線,可以看出兩者吻合良好。

圖3 等厚度蜂窩夾層板隔聲曲線對(duì)比Fig.3 Comparisons of sound insulation curves for honeycomb sandwich plate with equal thickness

3 參數(shù)變化的影響

基于所建立的變厚度負(fù)泊松比蜂窩夾層板理論模型,在保證其余參數(shù)不變的情況下,通過(guò)控制變量,選取蜂窩夾層板的前5階頻率范圍1 000～7 000 Hz,研究特征角、厚度變化系數(shù)及邊界條件對(duì)隔聲特性的影響。

特征角是影響蜂窩材料特性的一個(gè)重要參數(shù),其對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)的性能有較大影響,從而影響結(jié)構(gòu)的隔聲性能。圖4為不同特征角等厚蜂窩夾層板的隔聲曲線。特征角為θ=0°和θ=-30°的蜂窩夾層板隔聲性能類似,相比較于θ=30°的負(fù)泊松比蜂窩夾層板隔聲曲線,可以看出在低頻時(shí)變化不大,高頻時(shí)變化更加明顯,其波谷略有右移,波谷頻率有所增大。

圖4 特征角對(duì)蜂窩板隔聲性能影響Fig.4 Effect of characteristic angle on sound insulation of honeycomb plates

圖5為四邊簡(jiǎn)支邊界條件下不同變厚度負(fù)泊松比蜂窩夾層板的隔聲曲線。當(dāng)ξ1=1、2,ξ2=0時(shí)為沿x軸方向單向變厚度負(fù)泊松比蜂窩夾層板,當(dāng)ξ1和ξ2分別等于0.5、1時(shí)為沿x、y軸方向雙向變厚度負(fù)泊松比蜂窩夾層板。可以看出,無(wú)論是單向還是雙向變厚度蜂窩夾層板,隔聲波谷均隨著厚度變化系數(shù)的增大而左移,高頻范圍變化幅度較大。且在單雙向系數(shù)增大時(shí),出現(xiàn)了更多的波谷,表明過(guò)薄的上下面板會(huì)導(dǎo)致蜂窩夾層板的隔聲效果降低。

圖5 厚度變化系數(shù)對(duì)負(fù)泊松比蜂窩板隔聲性能影響Fig.5 Effect of thickness variation coefficient on sound insulation of honeycomb plates with negative Poisson′s ratio

圖6給出不同邊界條件下,x軸單向變厚度負(fù)泊松比蜂窩夾層板的隔聲曲線。圖中各邊界條件分別為四邊簡(jiǎn)支(SSSS),對(duì)邊固支、另一對(duì)邊簡(jiǎn)支(CSCS),四邊固支(CCCC)?？梢钥闯?隨著邊界彈簧剛度的逐漸提高,隔聲曲線逐漸右移,其隔聲頻率范圍越大。這與其固有頻率的變化規(guī)律一致。

圖6 邊界條件對(duì)負(fù)泊松比蜂窩板隔聲性能影響Fig.6 Effect of boundary conditions on sound insulation of honeycomb plates with negative Poisson′s ratio

4 結(jié)束語(yǔ)

采用一階剪切變形理論和改進(jìn)的瑞利-里茲法,將位移場(chǎng)展開為帶輔助函數(shù)和余弦函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),結(jié)合流固邊界耦合條件,建立了蜂窩夾層板隔聲理論模型。通過(guò)有限元分析和文獻(xiàn)驗(yàn)證了理論的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上,分析了參數(shù)變化對(duì)隔聲特性的影響。結(jié)果表明,特征角對(duì)蜂窩夾層板的隔聲效果在低頻時(shí)影響不大;不同厚度變化系數(shù)對(duì)于系統(tǒng)的隔聲影響較大,過(guò)薄的蒙皮會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)新的波谷,從而導(dǎo)致隔聲效果大幅降低;而隨著彈性約束剛度的增大,即邊界條件約束增大,系統(tǒng)的隔聲效果逐漸提高,隔聲頻率范圍增大。本研究中,變厚度蜂窩結(jié)構(gòu)可進(jìn)一步運(yùn)用于水下環(huán)境,分析其流體深度、內(nèi)支架位置、厚度變化系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)和隔聲性能影響。