顧亦寧 艾 青 袁 勇

(1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院, 200240, 上海; 2.同濟(jì)大學(xué)地下建筑與工程系, 200092, 上海)

地鐵隧道由于自身建設(shè)歷史、地理位置和結(jié)構(gòu)型式各異,其維護(hù)工作具體細(xì)節(jié)可能不同,但總體上可歸納為檢查、服役性能評(píng)估和維修等幾項(xiàng)主要任務(wù)。以上海軌道交通為例,隧道維護(hù)采用定期檢查模式,以服役性能評(píng)估結(jié)論為依據(jù),從結(jié)構(gòu)安全角度判斷是否需要進(jìn)行預(yù)防性維修。上海軌道交通隧道維護(hù)工作實(shí)踐取得了良好效果,近年來未發(fā)生過較大的結(jié)構(gòu)安全問題。然而,由于我國(guó)大部分城市的地鐵運(yùn)行時(shí)間尚短、服役狀態(tài)尚好,定期檢查模式和經(jīng)驗(yàn)性預(yù)防性維修存在的問題還未暴露。由發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)驗(yàn)可知,基礎(chǔ)設(shè)施在服役后期將發(fā)生大規(guī)模退化,維護(hù)資源短缺問題難以避免,管理部門將面臨嚴(yán)峻的工作量和資金預(yù)算壓力。因此,為了提升地鐵隧道維護(hù)的科學(xué)性,有必要進(jìn)行維護(hù)策略優(yōu)化,在保障地鐵隧道高水平服役運(yùn)行的前提下降低全壽命期維護(hù)成本。

本文采用隧道結(jié)構(gòu)狀態(tài)導(dǎo)向維護(hù)方法[1]中的非周期性檢查模式和控制-極限維修規(guī)則,探究通過對(duì)檢查維修方案中的變量取值進(jìn)行組合,達(dá)到對(duì)地鐵隧道維護(hù)過程和全壽命期維護(hù)成本進(jìn)行優(yōu)化管控的目的。

1 地鐵隧道維護(hù)策略優(yōu)化模型

1.1 地鐵隧道服役性能退化過程

地鐵隧道服役性能退化過程可用Gamma過程表示[1-2]。Gamma過程是單調(diào)遞增的隨機(jī)過程模型,非常適合描述以累積損傷為特征的地鐵隧道退化過程,其概率密度函數(shù)gX(t)(x)為:

(1)

式中:

X(t)——t時(shí)刻的地鐵隧道服役性能退化指標(biāo);

α——Gamma過程的形狀參數(shù);

β——Gamma過程的尺度參數(shù);

Ga(x|αt,β)——形狀參數(shù)為αt,尺度參數(shù)為β的Gamma分布;

Γ(x)——Gamma函數(shù)。

地鐵隧道服役性能退化并不嚴(yán)格遵循上述穩(wěn)態(tài)增長(zhǎng)的Gamma過程,由于不同的退化機(jī)制,可能會(huì)出現(xiàn)加速或減速的現(xiàn)象[3]。因此,使用時(shí)間轉(zhuǎn)換方法建立非穩(wěn)態(tài)Gamma過程,即在穩(wěn)態(tài)Gamma過程中使時(shí)刻t與t+Δt之間的增量Δt滿足式(2)—式(4):

X(0)=0

(2)

X(t+Δt)-X(t)～Ga(v(t+Δt)-v(t),β),

Δt>0

(3)

v(t)=ctq

(4)

式中:

v(t)——時(shí)間轉(zhuǎn)換方程;

c——時(shí)間轉(zhuǎn)換方程中的擬合常數(shù);

q——時(shí)間轉(zhuǎn)換方程中的擬合冪指數(shù)。

1.2 檢查計(jì)劃函數(shù)

一般認(rèn)為,隨著地鐵隧道服役性能退化程度上升,需要減小檢查時(shí)間間隔。因此,結(jié)合以往非周期性檢查研究結(jié)論[3-4],采用的檢查計(jì)劃函數(shù)為遞減凸函數(shù),即:

Tinsp(X(t))=

(5)

式中:

Tinsp(X(t))——檢查時(shí)間間隔;

a——初始檢查時(shí)間間隔;

b——地鐵隧道服役性能退化臨界指標(biāo),表示地鐵隧道已接近失效,超過該指標(biāo)后需每年進(jìn)行一次檢查。

1.3 維修措施效果

令A(yù)(t)表示地鐵隧道維修措施效果,X′(t)表示執(zhí)行維修措施后地鐵隧道的服役性能退化指標(biāo)。由于地鐵隧道維修措施大多數(shù)為隱蔽措施,其效果不確定性較強(qiáng),因此,假設(shè)A(t)為隨著隧道退化指標(biāo)上升而下降的隨機(jī)數(shù),則:

(6)

式中:

s——預(yù)防性維修閾值,當(dāng)X(t)大于該數(shù)值時(shí)進(jìn)行預(yù)防性維修;

f——失效閾值,當(dāng)X(t)大于該數(shù)值時(shí)進(jìn)行重建;

R——預(yù)防性維修效果的基礎(chǔ)值,服從下限值l至上限值u之間的均勻分布,即R～U(l,u)。

1.4 全壽命期維護(hù)成本

地鐵隧道全壽命期維護(hù)成本等于所有檢查、預(yù)防性維修和重建的總成本。由于隧道的退化過程和維護(hù)措施效果都存在隨機(jī)性,因此可通過N次蒙特卡洛模擬求全壽命期維護(hù)成本的期望值E(Clife),其計(jì)算公式如下:

E(Clife)=CinspE(Qinsp)+CprE(Qpr)+

CfE(Qf)

(7)

式中:

Cinsp、Cpr、Cf——地鐵隧道單次檢查成本、單次預(yù)防性維修成本和重建成本;

Qinsp、Qpr、Qf——檢查次數(shù)、維修次數(shù)和重建次數(shù);

E(·)——數(shù)學(xué)期望操作符。

1.5 參數(shù)取值和決策變量

1) 退化過程。以地鐵隧道中常見的管片銹蝕引起隧道收斂變形增大為典型退化機(jī)制,可認(rèn)為地鐵隧道服役性能退化過程服從加速退化模式[3]。Gamma過程的參數(shù)取值為:c=0.006,q=2,β=0.5。

2) 檢查計(jì)劃函數(shù)。為方便執(zhí)行檢查計(jì)劃,Tinsp(X(t))、a應(yīng)為整數(shù)。在初始狀態(tài),隧道服役性能未產(chǎn)生退化,此時(shí)Tinsp(0)=a,即最長(zhǎng)檢查時(shí)間間隔為a。在工程實(shí)踐中,地鐵隧道檢查時(shí)間間隔不宜過長(zhǎng),假設(shè)a的取值范圍為[1年,20年]。當(dāng)X(t)接近b時(shí),Tinsp(X(t))≈1年,需要每年對(duì)地鐵隧道進(jìn)行檢查以降低失效風(fēng)險(xiǎn)。一般認(rèn)為b≤f。根據(jù)相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果,地鐵隧道收斂變形在大于140 mm(即X(t)>140 mm)后會(huì)快速增長(zhǎng),因此可以取f=140 mm[5]。為提供一定安全儲(chǔ)備,b略小于f,可以取b=130 mm。

3) 維修措施效果。假設(shè)維修措施效果的基礎(chǔ)值服從-30至-20的均勻分布,即R～U(-30,-20)。s的工程單位為mm,取整數(shù)值。

4) 維護(hù)成本。假設(shè)不同維護(hù)措施的成本取值為:Cinsp=0.01萬元,Cpr=500萬元,Cf=500 000萬元。需要說明的是,維護(hù)措施成本因受不同地區(qū)經(jīng)濟(jì)水平和技術(shù)發(fā)展變化影響會(huì)存在一定差異,本案例主要關(guān)注各類成本之間的比值關(guān)系。

5) 決策變量。本優(yōu)化問題的決策變量包括a和s。

為了反映地鐵隧道真實(shí)退化過程和維修措施效果,本模型引入了大量不確定性,因此其優(yōu)化問題難以通過規(guī)劃模型或網(wǎng)絡(luò)模型等方法求解,為避免參數(shù)組合疊加蒙特卡洛模擬帶來的大量計(jì)算需求,需要提出高效的優(yōu)化求解算法。

2 維護(hù)策略優(yōu)化的改進(jìn)粒子群算法

2.1 模型的隨機(jī)性分析

首先,在s和a取值不同的情況下進(jìn)行幾次試驗(yàn),大致探索參數(shù)s和a對(duì)目標(biāo)函數(shù)E(Clife)的影響及模型的收斂規(guī)律。結(jié)果表明,當(dāng)s取值較小(s<100 mm)時(shí),大量的預(yù)防性維修會(huì)導(dǎo)致E(Clife)很高。此時(shí),當(dāng)模擬次數(shù)N較大(N≥1×106次)時(shí),計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定,但是計(jì)算非常耗時(shí);而減小N(N≈2×104次),計(jì)算時(shí)長(zhǎng)可以接受,但是計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定。當(dāng)s取值較大(約s>125 mm)時(shí),在E(Clife)中預(yù)防性維修占比較低,重建成本占比很高。因此,當(dāng)蒙特卡洛模擬次數(shù)N較小時(shí),可能會(huì)造成E(Clife)出現(xiàn)異常高值或異常低值的現(xiàn)象,這種偶然出現(xiàn)的異常低值稱為偽最優(yōu)解。

粒子群算法是一種較高效的啟發(fā)式優(yōu)化算法,可用于求解帶有隨機(jī)性的優(yōu)化問題[6]。在傳統(tǒng)粒子群算法中,若N設(shè)為較大的值,所得結(jié)果相對(duì)可靠,但計(jì)算效率很低;若N設(shè)為較小的值,一旦偽最優(yōu)解在某次迭代中出現(xiàn),則全局最優(yōu)解容易陷于這個(gè)異常解中,從而給出錯(cuò)誤的解。為保證計(jì)算效率和結(jié)果可靠性,本文提出了一種改進(jìn)粒子群算法來求解上述優(yōu)化問題。

2.2 改進(jìn)粒子群算法

基于傳統(tǒng)粒子群算法,首先采用較小的模擬次數(shù)Ns=2×104次在每次迭代中粗略但快速地求解。若在此過程中出現(xiàn)了新的個(gè)體最優(yōu)解,則在較大的模擬次數(shù)Nm=2×105次下對(duì)該個(gè)體最優(yōu)解再進(jìn)行3次計(jì)算,以判斷該個(gè)體最優(yōu)解是否為偽最優(yōu)解。本研究提出的改進(jìn)粒子群算法的偽代碼如圖1所示。

圖1 改進(jìn)粒子群算法截圖

若Ns下求得的解與Nm下求得的解相比誤差小于15%,則認(rèn)為該個(gè)體最優(yōu)解是真實(shí)解。若此個(gè)體最優(yōu)解小于當(dāng)前的全局最優(yōu)解,則更新全局最優(yōu)解為3次Nm下求得的解的均值。

若Ns下求得的解與Nm下求得的解相比誤差大于15%,則認(rèn)為該個(gè)體最優(yōu)解是偽最優(yōu)解,將其更正為3次Nm下求得的解的均值。

在偽最優(yōu)解出現(xiàn)的情形中,為保證全局最優(yōu)解仍能得到更新,算法將尋找次小個(gè)體最優(yōu)解并將其與全局最優(yōu)解進(jìn)行比較。在Nm下對(duì)次小個(gè)體最優(yōu)解進(jìn)行3次計(jì)算并取均值。若該個(gè)體最優(yōu)解小于全局最優(yōu)解,則更新全局最優(yōu)解為該個(gè)體最優(yōu)解。

改進(jìn)粒子群算法的參數(shù)設(shè)置為:粒子數(shù)為20個(gè),最大迭代次數(shù)為50次,個(gè)體和全局學(xué)習(xí)率均為2,慣性權(quán)重隨著迭代次數(shù)線性下降,最大和最小慣性權(quán)重分別為0.8和0.4,以保證算法在早期擁有較強(qiáng)的全局搜索能力,而在后期擁有較強(qiáng)的局部搜索能力使算法收斂。

2.3 求解過程分析

根據(jù)2.1節(jié)的分析結(jié)果,將s的搜索范圍劃定為[100 mm,125 mm],a的搜索范圍劃定為[1年,20年]。采用改進(jìn)粒子群算法在50次迭代后得到最優(yōu)成本期望值E(Clife)=215.24萬元,對(duì)應(yīng)的s=122 mm,a=11年。E(Clife)隨著迭代次數(shù)的下降過程如圖2所示。由圖2可見E(Clife)最終收斂至穩(wěn)定值,即所提出的改進(jìn)粒子群算法適用于求解本優(yōu)化問題。

圖2 目標(biāo)函數(shù)迭代收斂過程

3 算法驗(yàn)證與分析

3.1 改進(jìn)粒子群算法驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)粒子群算法的準(zhǔn)確性,將其計(jì)算的最優(yōu)解與網(wǎng)格枚舉法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。構(gòu)建參數(shù)組合,s分別取值為101、104、107、110、113、116、 119、122和125 mm,a分別取值為1、 5、 9、 13、 17和20年,在N=1×106的條件下共進(jìn)行54次蒙特卡洛試驗(yàn)。E(Clife)較小的3個(gè)值分別為226.97、 227.40和231.04萬元,對(duì)應(yīng)的s均為122 mm,a分別為9、20、5年,與2.3節(jié)中的改進(jìn)粒子群算法結(jié)果十分接近。

根據(jù)網(wǎng)格枚舉法計(jì)算結(jié)果,繪制s和a組合下E(Clife)的等值線圖,如圖3所示。由圖3可見,E(Clife)對(duì)a不敏感,對(duì)s更敏感。另外,改進(jìn)粒子群算法解(圖中圓點(diǎn))恰好落在等值線圖的中心。

圖3 不同s和a取值下的E(Clife)等值線圖

進(jìn)一步研究不同s和a對(duì)E(Clife)的影響,在最優(yōu)解附近進(jìn)行多次(N=1×106次)的蒙特卡洛試驗(yàn),進(jìn)一步分析參數(shù)敏感性和最優(yōu)解準(zhǔn)確值。

圖4為當(dāng)a固定取最優(yōu)值(a=11年)時(shí)不同預(yù)防性維修閾值s下的E(Clife),以及由改進(jìn)粒子群算法得到的最優(yōu)解。

圖4 a取最優(yōu)值時(shí)不同s下的E(Clife)

當(dāng)s小于121 mm時(shí),E(Clife)隨著s的增大而減小;當(dāng)s大于122 mm時(shí),E(Clife)隨著s的增大而增大。產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因是,當(dāng)s過大時(shí),地鐵隧道的失效概率增加,而Cf很高,這將會(huì)極大地增加E(Clife)。

在N=1×106次的試驗(yàn)結(jié)果中,E(Clife)次小值出現(xiàn)在s=122 mm和a=11年組合,與改進(jìn)粒子群算法的結(jié)果一致。E(Clife)次小值為230.59萬元,與E(Clife)最小值僅相差0.32%,與改進(jìn)粒子群算法結(jié)果相差6.67%。

圖5為當(dāng)s固定取最優(yōu)值(s=122 mm)時(shí)不同a下的E(Clife),以及由改進(jìn)粒子群算法得到的最優(yōu)解。

圖5 s取最優(yōu)值時(shí)不同a下的E(Clife)

圖5結(jié)果與圖3結(jié)果基本一致,E(Clife)對(duì)a的變化較不敏感。在N=1×106次的試驗(yàn)結(jié)果中,E(Clife)較小的3個(gè)值分別為228.68、229.75和230.89萬元,分別對(duì)應(yīng)a為12、10和11年。三者之間非常相近,相互之間僅相差0.47%和0.96%。改進(jìn)粒子群算法結(jié)果與第三小的解都位于a=11年處,二者E(Clife)之間相差6.78%。

結(jié)合圖3—圖5計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析:由于本優(yōu)化問題假設(shè)大多數(shù)參數(shù)取值均為整數(shù),因此該優(yōu)化問題可能存在多解的情況;考慮到改進(jìn)粒子群算法的最優(yōu)E(Clife)更低以及等值線圖指示的最優(yōu)解所在區(qū)域,可認(rèn)為改進(jìn)粒子群算法可以較高效、準(zhǔn)確地求解本優(yōu)化問題。

3.2 改進(jìn)粒子群算法的評(píng)價(jià)與討論

1) 計(jì)算成本。本文所提出的改進(jìn)粒子群算法在每次迭代中需要對(duì)20個(gè)粒子分別進(jìn)行2×104次計(jì)算,并且對(duì)2個(gè)粒子分別進(jìn)行至多3×2×105次計(jì)算,在50次迭代中,總共最多進(jìn)行8×107次計(jì)算。網(wǎng)格化枚舉可以保證得到最優(yōu)解,但是需要巨大的計(jì)算成本。雖然已將決策變量約定為整數(shù),已極大地降低了計(jì)算代價(jià),但s和a分別有26和20種取值,共有520種組合,對(duì)于每種組合需要進(jìn)行1×106次計(jì)算以保證結(jié)果收斂,總共需要進(jìn)行5.2×108次計(jì)算,是改進(jìn)粒子群算法的6.5倍?？梢?在計(jì)算成本上,改進(jìn)粒子群算法具有明顯優(yōu)勢(shì)。

2) 求解精度。對(duì)于所提出的隨機(jī)優(yōu)化問題,改進(jìn)粒子群算法雖然難以保證給出嚴(yán)格的最優(yōu)解,但是可以給出與最優(yōu)解非常接近的滿意解,對(duì)于本問題,其求解精度已滿足工程需求。此外,適當(dāng)增加改進(jìn)粒子群算法的蒙特卡洛模擬次數(shù),預(yù)期可以得到更為準(zhǔn)確的最優(yōu)解。

3) 適用情景。改進(jìn)粒子群算法更適用于決策變量多、組合復(fù)雜的優(yōu)化問題。對(duì)于一些不太復(fù)雜的優(yōu)化情景,可以設(shè)計(jì)層次化、精細(xì)程度不同的網(wǎng)格枚舉方法,從而降低枚舉法的總成本,在這種情形下枚舉法可能更為高效、可靠。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種對(duì)地鐵隧道維護(hù)策略進(jìn)行優(yōu)化的改進(jìn)粒子群算法,分析了不同決策變量對(duì)全壽命期維護(hù)成本的影響,并對(duì)改進(jìn)粒子群算法的應(yīng)用效果進(jìn)行了評(píng)估。主要結(jié)論如下:

1) 本文所提出的改進(jìn)粒子群算法極大地提升了隨機(jī)優(yōu)化問題的計(jì)算效率,可以得到與最優(yōu)解非常接近的滿意解。對(duì)于本問題其求解精度滿足工程需求。相比于網(wǎng)格枚舉法,所提出的改進(jìn)粒子群算法更適用于決策變量多、組合復(fù)雜的優(yōu)化問題。

2) 通過維護(hù)策略優(yōu)化可以降低地鐵隧道全壽命期維護(hù)成本。在決策變量中,預(yù)防性維修閾值比初始檢查時(shí)間間隔更為敏感。因此,建議在工程實(shí)踐中合理設(shè)定預(yù)防性維修閾值,在保證安全的前提下盡可能減少維修次數(shù),降低地鐵隧道的全壽命期維護(hù)成本。