閆焱 鄧明立

如果要對(duì)代數(shù)學(xué)的歷史尋本挖源，它幾乎可以和人類(lèi)的文明史相媲美。著名數(shù)學(xué)大師范·德·瓦爾登（B. L. van der Waerden， 1903—1996）認(rèn)為，在美索不達(dá)米亞、埃及、中國(guó)以及印度的古代文明之前，就存在著一種文明，這種文明是大部分早期數(shù)學(xué)的源泉[1]。代數(shù)學(xué)是伴隨著早期文明的產(chǎn)生而產(chǎn)生的，它是最早的、有組織的智力活動(dòng)之一。代數(shù)學(xué)和美術(shù)、音樂(lè)以及宗教一樣，也是一項(xiàng)基本的、自然的人類(lèi)活動(dòng)。

代數(shù)化趨勢(shì)的形成

代數(shù)學(xué)的歷史可以追溯到什么時(shí)候呢？最早的代數(shù)起源于度量、計(jì)時(shí)和土地測(cè)量等實(shí)際問(wèn)題。據(jù)記載，在公元前3000年左右，埃及和巴比倫的文明中就產(chǎn)生了以實(shí)用為目的的數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)這條困難重重的道路上，古埃及人大大推動(dòng)了人類(lèi)的進(jìn)步，他們創(chuàng)造了最早的方程。古巴比倫人則在數(shù)學(xué)道路上走得更遠(yuǎn)，為了求解一些特殊形式的方程，他們創(chuàng)造了用特殊符號(hào)代表未知量的方法，這些都是代數(shù)早期的初始形態(tài)。在數(shù)學(xué)史上古希臘人是至高無(wú)上的，公元前 4世紀(jì)古希臘時(shí)期不僅誕生了真正的數(shù)學(xué)，從哲學(xué)到民主制，應(yīng)有盡有，這一時(shí)期的數(shù)學(xué)、社會(huì)及文化共榮發(fā)展。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus，約246—330）是代數(shù)學(xué)重要的創(chuàng)始人之一。在13卷巨著《算術(shù)》中，丟番圖發(fā)明了用字母表示未知數(shù)的方法，并開(kāi)始解答含有若干未知數(shù)的方程，為此還發(fā)明了能簡(jiǎn)化解題過(guò)程的運(yùn)算定律[2]。印度文明可以追溯到公元前2000年，但是據(jù)記載，他們?cè)诠?00年以前是沒(méi)有數(shù)學(xué)的。古印度代數(shù)學(xué)主要被用于天文、利息與折扣計(jì)算、合股分紅、財(cái)產(chǎn)劃分等，在代數(shù)學(xué)的表達(dá)上采用縮寫(xiě)文字和一些記號(hào)來(lái)描述運(yùn)算，但是這一時(shí)期符號(hào)的使用比丟番圖的縮寫(xiě)代數(shù)用途更加廣泛。

“代數(shù)”一詞可以追溯到公元9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家花拉子米（Al-Khwārizmī，約780—約850）的著作《還原與對(duì)消的科學(xué)》（al-jabr wal muqābala）中的“al-jabr”，該詞的本意為“還原”，即在方程中將負(fù)項(xiàng)移動(dòng)到方程的另一端“還原”為正項(xiàng)?！按鷶?shù)”這個(gè)詞并沒(méi)有被翻譯成拉丁語(yǔ)，人們直接用它來(lái)表示這個(gè)尚未命名的新數(shù)學(xué)分支，該詞后來(lái)在英語(yǔ)中的用法與代數(shù)一詞的用法相同，后被簡(jiǎn)譯為“algebra”。1859年中國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭（1811—1882）與英國(guó)漢學(xué)家偉烈亞力（A. Wylie， 1815—1887）合作翻譯了德·摩根（A. de Morgan， 1806—1871）的《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（The Elements of Algebra），首次將“algebra”譯成“代數(shù)”，由此代數(shù)作為新數(shù)學(xué)學(xué)科被引入中國(guó)，開(kāi)啟了西方代數(shù)學(xué)在中國(guó)進(jìn)行傳播的新紀(jì)元。

從5世紀(jì)到11世紀(jì)，代數(shù)學(xué)的發(fā)展在整個(gè)中世紀(jì)處于凝滯狀態(tài)。12世紀(jì)在數(shù)學(xué)史上是翻譯者的世紀(jì)，當(dāng)阿拉伯和希臘的一系列著作被陸續(xù)翻譯、傳播到歐洲以后，歐洲數(shù)學(xué)開(kāi)始復(fù)蘇。13世紀(jì)前期，歐洲各地興建了一些歷史上著名的大學(xué)，代數(shù)學(xué)在這些大學(xué)中得到了重視和發(fā)展。在14世紀(jì)的文藝復(fù)興時(shí)期，數(shù)學(xué)像美術(shù)、音樂(lè)、文化以及科學(xué)一樣在歐洲繁榮了起來(lái)，并且發(fā)生了根本性的變化，據(jù)記載這種新的數(shù)學(xué)開(kāi)始于代數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)。意大利數(shù)學(xué)家在求代數(shù)方程的精確解方面取得了重大的進(jìn)步，他們的算法已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了自美索不達(dá)米亞時(shí)代起任何解方程的算法。此外，意大利數(shù)學(xué)還出現(xiàn)了另一種趨勢(shì)，即用代數(shù)學(xué)去解決科學(xué)中的問(wèn)題。意大利科學(xué)家、數(shù)學(xué)家及發(fā)明家伽利略的工作最能說(shuō)明科學(xué)家已經(jīng)開(kāi)始注重用代數(shù)學(xué)作為表達(dá)自己思想的語(yǔ)言。伽利略的名著之一《關(guān)于兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話》（Dialogues Concerning Two New Sciences）中遍布著代數(shù)學(xué)思想[1]，但是這并不是一部代數(shù)學(xué)著作，而是一部關(guān)于科學(xué)的著作，伽利略在這部著作中利用代數(shù)函數(shù)的文字形式表述了自己的科學(xué)觀點(diǎn)。伽利略的代數(shù)學(xué)方法告別了過(guò)去，因?yàn)樵谝酝囊磺Ф嗄陙?lái)，幾何學(xué)一直都是進(jìn)行科學(xué)探索的語(yǔ)言，科學(xué)家與數(shù)學(xué)家們常常使用直尺和圓規(guī)來(lái)表達(dá)自己的思想。盡管伽利略通過(guò)代數(shù)函數(shù)描述了物體的物理性質(zhì)，遺憾的是，他沒(méi)有使用便捷的代數(shù)符號(hào)來(lái)表述這些思想。

但是16世紀(jì)代數(shù)學(xué)的重要進(jìn)展已經(jīng)成為數(shù)學(xué)最顯著的成就。以費(fèi)羅（S. D. Ferro， 1465—1526）、塔爾塔利亞（N. Tartaglia， 1499—1557）、卡爾達(dá)諾（G. Cardano， 1501—1576）、費(fèi)拉里（F. Lodovico， 1522—1565，人們習(xí)慣稱(chēng)其名）等為代表的數(shù)學(xué)家（他們都略早于伽利略）發(fā)現(xiàn)三次和四次方程的代數(shù)解為主要標(biāo)志，大大推動(dòng)了代數(shù)方程的研究和發(fā)展。16世紀(jì)末到17世紀(jì)，產(chǎn)生了近代數(shù)學(xué)的三大基礎(chǔ)學(xué)科之一的符號(hào)代數(shù)學(xué)。符號(hào)代數(shù)學(xué)（或字母代數(shù)學(xué)）的產(chǎn)生并沒(méi)有改變代數(shù)的算法本性，并由此派生了兩類(lèi)相關(guān)的新問(wèn)題[2]：計(jì)算對(duì)象以及計(jì)算法則。韋達(dá)（F. Viète， 1540—1603）是第一個(gè)系統(tǒng)地引入代數(shù)符號(hào)的數(shù)學(xué)家，依照今天的代數(shù)視角，這個(gè)符號(hào)體系不但復(fù)雜而且效果甚微。隨后，笛卡兒改進(jìn)了韋達(dá)的符號(hào)體系，比如在語(yǔ)言上笛卡兒使用的是易懂的法蘭西口語(yǔ)，在形式上去掉了許多不必要的限定條件。1628年，笛卡兒將前人的幾何分析方法同近代人的代數(shù)方法相結(jié)合，從而形成了統(tǒng)一的普遍數(shù)學(xué)（構(gòu)造出普遍方法來(lái)解決科學(xué)問(wèn)題，特別是數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)此笛卡兒稱(chēng)之為普遍數(shù)學(xué)），從而完成了符號(hào)代數(shù)學(xué)的建立，這套符號(hào)體系被廣泛用于解決各個(gè)領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題，如土木工程、軍事工程、天文學(xué)、航海學(xué)、會(huì)計(jì)學(xué)等。

古典代數(shù)學(xué)大多使用的是語(yǔ)言描述，現(xiàn)在使用的代數(shù)符號(hào)是在17世紀(jì)沿用下來(lái)的。在數(shù)學(xué)史上，17世紀(jì)是一個(gè)引人注目的富于開(kāi)創(chuàng)性的世紀(jì)，世界數(shù)學(xué)進(jìn)入了近代數(shù)學(xué)時(shí)期，這一時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的特征是代數(shù)化趨勢(shì)明顯。最為典型的就是笛卡兒把變量解釋成數(shù)量（即線段的長(zhǎng)度），使他首創(chuàng)了將代數(shù)方法作為研究幾何學(xué)的一種工具，建立了解析幾何學(xué)，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何方法的統(tǒng)一，并將此方法付諸解決科學(xué)問(wèn)題。代數(shù)學(xué)的發(fā)展史是伴隨著漫長(zhǎng)的符號(hào)化進(jìn)程的：從數(shù)字及其表示的符號(hào)化→運(yùn)算的符號(hào)化→關(guān)系的符號(hào)化→各類(lèi)量的系數(shù)符號(hào)化→更一般對(duì)象的符號(hào)化。在這種背景下，笛卡兒和萊布尼茨產(chǎn)生了邏輯符號(hào)化的思想，這種思想后來(lái)發(fā)展成符號(hào)邏輯，成為數(shù)理邏輯（重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一）的前身。事實(shí)上，符號(hào)化是使問(wèn)題代數(shù)化至關(guān)重要的一步，它使得初等幾何學(xué)問(wèn)題變得代數(shù)化、形式化，從而為程序化以及機(jī)械化證明奠定了基礎(chǔ)。在這種符號(hào)化的演變過(guò)程中，代數(shù)學(xué)作為一種符號(hào)語(yǔ)言，從字符體系的發(fā)明開(kāi)始，不僅在數(shù)學(xué)中贏得了突出的地位，也促使數(shù)學(xué)家在表述自己思想的同時(shí)，不斷持續(xù)提升對(duì)符號(hào)系統(tǒng)的思維意識(shí)。

18世紀(jì)分析學(xué)在一定程度上推動(dòng)了代數(shù)學(xué)的進(jìn)展，在方程演算不斷發(fā)展的過(guò)程中，數(shù)值計(jì)算（或近似計(jì)算）以及方程理論問(wèn)題逐漸成了代數(shù)學(xué)發(fā)展的新傾向和主流。盡管如此，符號(hào)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生并沒(méi)有改變代數(shù)的算法本性，但由此派生了兩類(lèi)相關(guān)的新問(wèn)題：計(jì)算對(duì)象以及計(jì)算法則。大約在1840年前后，代數(shù)學(xué)發(fā)展成為對(duì)任意對(duì)象進(jìn)行運(yùn)算操作的一門(mén)科學(xué)。計(jì)算對(duì)象以及計(jì)算法則又得到了新的發(fā)展，計(jì)算對(duì)象進(jìn)一步擴(kuò)大，特別是行列式、矩陣、置換、變換等均可以成為運(yùn)算的對(duì)象，只是它們的計(jì)算法則不一定服從數(shù)的運(yùn)算法則。計(jì)算法則更加系統(tǒng)，比如冪等律、德·摩根律等新規(guī)則的確立。此外，代數(shù)符號(hào)化促使了結(jié)構(gòu)形式化的發(fā)展，這使得從1840年前后到1920年前后，在抽象群理論、交換環(huán)論、交換代數(shù)理論、域論、結(jié)合代數(shù)及非結(jié)合代數(shù)理論以及李群理論的發(fā)展過(guò)程中，形式地推廣促進(jìn)了不同問(wèn)題的解法統(tǒng)一成共同的算法，這些都推動(dòng)著代數(shù)學(xué)逐漸走向了結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)研究的道路。

近世代數(shù)學(xué)——研究抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)的一門(mén)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)

19世紀(jì)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)對(duì)于五次、六次乃至次數(shù)更高的方程找不到求根公式，在這種情況下，數(shù)學(xué)家希望創(chuàng)造出另一種代數(shù)，轉(zhuǎn)向一個(gè)新領(lǐng)域。這一時(shí)期，整個(gè)代數(shù)學(xué)由于群及域的觀念而使其自身發(fā)生了根本的改變，這種遠(yuǎn)離古典代數(shù)學(xué)的異端在最初并不被世人所接受，經(jīng)過(guò)了四五十年的發(fā)展之后，人們才開(kāi)始意識(shí)到數(shù)學(xué)的對(duì)象除了“數(shù)”與“形”，還有“群”這類(lèi)抽象的對(duì)象。19世紀(jì)中后期，諸如群一樣的抽象對(duì)象層出不窮，代數(shù)學(xué)迎來(lái)了新的局面，這為代數(shù)結(jié)構(gòu)觀念在20世紀(jì)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。19世紀(jì)末，當(dāng)抽象群可以概括所有具體群的共同性質(zhì)，抽象群概念隨即誕生，并且可以很自然地把許多具體群論的結(jié)果都推廣到抽象群中。由于群概念的日趨成熟且涵蓋了當(dāng)時(shí)大部分的數(shù)學(xué)，因此一大批數(shù)學(xué)家嘗試以群的觀念來(lái)統(tǒng)一數(shù)學(xué)。另一方面，在集合論的刺激下，產(chǎn)生了探索數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)熱潮，20世紀(jì)初形成了三大“數(shù)學(xué)哲學(xué)”學(xué)派：直覺(jué)主義學(xué)派，其代表人物是布勞威爾（L. E. J. Brouwer，1881—1966）；形式主義學(xué)派，其代表人物是希爾伯特；邏輯主義學(xué)派，其代表人物是羅素。三個(gè)學(xué)派堅(jiān)持用各自的主張統(tǒng)一數(shù)學(xué)，盡管都有成就，但是均以失敗告終。

數(shù)學(xué)史上，近世代數(shù)學(xué)思想的發(fā)展經(jīng)歷了由“戴德金（J. W. R. Dedekind， 1831—1916）→希爾伯特→諾特→范·德·瓦爾登”的過(guò)程。戴德金作為庫(kù)默爾（E. E. Kummer， 1810—1893）的得意門(mén)生，他在庫(kù)默爾理想數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了理想概念（復(fù)整數(shù)的集合），建立了理想理論，實(shí)現(xiàn)了從數(shù)到集合的推廣。戴德金的代數(shù)學(xué)思想影響廣泛，希爾伯特、諾特等大批數(shù)學(xué)家都傳承了他的數(shù)學(xué)思想。特別是諾特，她曾參與編輯出版了戴德金的三卷全集[2]，這讓她對(duì)戴德金的工作有了深入的思考，并用自己的思想和邏輯體系呈現(xiàn)并凝練出了驚人的近世代數(shù)成果。諾特的抽象代數(shù)系統(tǒng)研究始于理想理論，特別是她對(duì)交換環(huán)論的工作使之成為代數(shù)學(xué)的重要研究領(lǐng)域，并且在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了強(qiáng)大的內(nèi)交叉效應(yīng)，促使了很多其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。1930—1931年，得到諾特真?zhèn)鞯姆丁さ隆ね郀柕浅霭媪恕督来鷶?shù)學(xué)》（Moderne Algebra），確定了代數(shù)結(jié)構(gòu)化的思想形成，成為數(shù)學(xué)代數(shù)化趨勢(shì)的思想源泉，標(biāo)志著抽象代數(shù)學(xué)正式誕生[3]，這部書(shū)也被世人公認(rèn)為是抽象代數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的一個(gè)里程碑。在隨后的幾十年中，這部著作為代數(shù)學(xué)的寫(xiě)法建立了一個(gè)類(lèi)似范·德·瓦爾登的范式，它以結(jié)構(gòu)為指向的“近世代數(shù)學(xué)”從根本上改變了代數(shù)學(xué)的整個(gè)面貌。1950年代第四版起改名為《代數(shù)學(xué)》（Algebra），對(duì)此范·德·瓦爾登解釋說(shuō)，在1930年還可以稱(chēng)為是近代的代數(shù)學(xué)，在今天，這就是代數(shù)學(xué)了。

19世紀(jì)群論的誕生，驅(qū)動(dòng)著代數(shù)學(xué)向抽象代數(shù)方向發(fā)展，數(shù)學(xué)對(duì)象及方法得到了大范圍的推廣。在這一時(shí)期代數(shù)學(xué)的發(fā)展方向產(chǎn)生了幾次拐點(diǎn)，比如方程數(shù)值解法和近似解法的發(fā)展、方程論及置換群論的發(fā)展、抽象群及表示論的產(chǎn)生、型論及不變式論的發(fā)展、消元法技術(shù)的產(chǎn)生、交換代數(shù)理論的產(chǎn)生、四元數(shù)及其各種推廣、非結(jié)合代數(shù)的產(chǎn)生等。

19世紀(jì)數(shù)學(xué)的多樣性在代數(shù)學(xué)的演變中得到了淋漓盡致的彰顯，伴隨著代數(shù)學(xué)的發(fā)展，抽象化為20世紀(jì)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的誕生植入了強(qiáng)大的動(dòng)力，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)理邏輯的研究中，集合的觀念、公理化方法和結(jié)構(gòu)的意識(shí)愈演愈烈。20世紀(jì)20年代末至30年代初，抽象代數(shù)逐漸成為代數(shù)學(xué)的主流，其研究的對(duì)象是滿足若干條件、具有代數(shù)運(yùn)算的集合。在這一時(shí)期，“代數(shù)”一詞有兩種含義：一是作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支；二是作為一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，如前面所提到的群、環(huán)、域，它們都是由一些公理來(lái)進(jìn)行定義的。從結(jié)構(gòu)的角度研究代數(shù)是20世紀(jì)代數(shù)學(xué)研究發(fā)展的一個(gè)趨勢(shì)，抽象代數(shù)討論代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中最基本的對(duì)象是群、環(huán)、域，其他對(duì)象都是這三個(gè)對(duì)象衍生出來(lái)的[4]。在20世紀(jì)的前幾十年里，很多數(shù)學(xué)家都在他們各自認(rèn)知的領(lǐng)域里，深入挖掘是否存在群、環(huán)、域這些結(jié)構(gòu)，以便在更抽象的結(jié)構(gòu)層次上考慮問(wèn)題。群作為最純粹的代數(shù)對(duì)象，具有應(yīng)用性廣、抽象度高的特點(diǎn)。環(huán)和域雖然具有較為復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)，但是它們擁有極為明顯的數(shù)的背景，而且它們的發(fā)展完全與數(shù)的推廣密切相關(guān)，因此在數(shù)與多項(xiàng)式的背景下，理解環(huán)和域是比較形象的。諸如環(huán)、域和模等許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都可以看成是在群的基礎(chǔ)上衍生出來(lái)的，由此可見(jiàn)在代數(shù)中群具有最基本的重要地位。

1930年代，“新數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”運(yùn)動(dòng)席卷數(shù)學(xué)界，布爾巴基學(xué)派就是在這種背景下產(chǎn)生并初顯他們所提倡的結(jié)構(gòu)主義運(yùn)動(dòng)端倪的，結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)由此應(yīng)運(yùn)而生。與經(jīng)典數(shù)學(xué)的數(shù)與形不同，結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)關(guān)注的是對(duì)象的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主要是一些對(duì)象的集合，著重考慮的是它們之間的關(guān)系，對(duì)于抽象的集合，元素和元素之間除了它們有共同隸屬于該集合這種共性之外，一旦元素之間存在一些特殊的關(guān)系，結(jié)構(gòu)也就產(chǎn)生了。定義結(jié)構(gòu)的方式一般是這樣引入的：首先，需要闡明一系列法則，然后數(shù)學(xué)家對(duì)服從這些法則的對(duì)象進(jìn)行研究，這些法則用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)叫作公理。在某一個(gè)學(xué)科體系內(nèi)建立公理具有一些顯著的好處：第一，這些法則使得研究范圍清晰化；第二，人們通過(guò)事先約定法則，可以確保在討論數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)所有人頭腦中想的是同樣的對(duì)象；第三，可以依法則為基礎(chǔ)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)，從而得出一些起初從法則本身沒(méi)有預(yù)見(jiàn)到的事實(shí)。

代數(shù)學(xué)的滲透與應(yīng)用

在集合化和公理化浪潮的作用下產(chǎn)生了很多的抽象結(jié)構(gòu)，由此引發(fā)眾多數(shù)學(xué)研究者投入到創(chuàng)建新方法、發(fā)展新理論、實(shí)踐新交叉或者新應(yīng)用的研究中。眾多數(shù)學(xué)家喜歡追求清晰的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在這一過(guò)程中經(jīng)常會(huì)流露出一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)哲學(xué)思維：拋開(kāi)多余的信息，抓住問(wèn)題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)推理的魅力常在于找到一個(gè)框架，在其中將試圖證明的結(jié)果變得幾近明顯，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造力主要在于找到這樣一個(gè)框架。正如數(shù)學(xué)史的發(fā)展長(zhǎng)河經(jīng)過(guò)上百年的洗禮，數(shù)論、代數(shù)、幾何及分析四個(gè)互不相干的數(shù)學(xué)領(lǐng)域逐步形成了一種共同的代數(shù)結(jié)構(gòu)——交換代數(shù)。代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何和不變量理論可以視為是交換代數(shù)的三大起源。反過(guò)來(lái)，交換代數(shù)也通過(guò)交叉滲透去影響這些領(lǐng)域的發(fā)展。

20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展中一個(gè)重要趨勢(shì)是不同學(xué)科互相滲透和由此發(fā)生的統(tǒng)一，其中諾特所開(kāi)創(chuàng)的抽象代數(shù)學(xué)以及她的抽象思想方法不僅奠定了代數(shù)學(xué)的未來(lái)發(fā)展，也促使了整個(gè)數(shù)學(xué)“代數(shù)化”趨勢(shì)的產(chǎn)生，特別是交換環(huán)理論的交叉應(yīng)用。代數(shù)數(shù)論的研究也從早期側(cè)重算術(shù)方面的研究，轉(zhuǎn)移到側(cè)重代數(shù)方面的研究。歷史上，代數(shù)數(shù)論中的唯一分解定理、理想、模等為交換代數(shù)提供了早期的框架。再有，作為19世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造之一的代數(shù)幾何，該理論體系中最原始的公共零點(diǎn)以希爾伯特不變式論的形式，構(gòu)建了諾特環(huán)的基礎(chǔ)理論。反過(guò)來(lái)，交換代數(shù)為代數(shù)幾何提供了有力的工具，兩者之間的界限現(xiàn)在已經(jīng)逐步消失，并融入數(shù)學(xué)的前沿領(lǐng)域中[3]。還有，19世紀(jì)的代數(shù)函數(shù)論曾是數(shù)學(xué)研究的核心地帶，許多數(shù)學(xué)家將代數(shù)函數(shù)論作為代數(shù)幾何的超越理論加以論述，這樣代數(shù)函數(shù)論很自然地被融入代數(shù)幾何并成為其中的組成部分。由此從幾何的角度，代數(shù)函數(shù)論被納入代數(shù)幾何學(xué)范疇。到了20世紀(jì)中葉，代數(shù)函數(shù)論同一般域上的代數(shù)曲線論被納入交換代數(shù)范疇，這是典型代數(shù)化的作用影響結(jié)果?；仡櫿雇@些與交換代數(shù)相融合的理論，不禁感嘆這位偉大的“抽象代數(shù)之母”——諾特，是她賦予了抽象代數(shù)這門(mén)學(xué)科旺盛的生命力，并在很多學(xué)科領(lǐng)域植入了抽象代數(shù)這顆強(qiáng)大的種子。

多學(xué)科交叉融合是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重要來(lái)源之一，在數(shù)學(xué)中很難有哪個(gè)數(shù)學(xué)分支能夠與代數(shù)學(xué)的歷史變遷同日而語(yǔ)，代數(shù)學(xué)既承載了數(shù)學(xué)發(fā)展史中的經(jīng)典厚重，又勢(shì)不可擋地展現(xiàn)了交叉融合背景下不容忽視的強(qiáng)大力量，使其思想和方法不斷滲入許多學(xué)科領(lǐng)域之中。諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者、美籍匈牙利理論物理學(xué)家維格納（E. Wigner， 1902—1995）曾在他1960年的里程碑式的論文《數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不可思議的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）中提到[1]：

“這是一種奇跡，代數(shù)學(xué)的不可思議的有效性隨處可見(jiàn)。”

20世紀(jì)以來(lái)，不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想與方法匯集碰撞、成果交流，代數(shù)學(xué)在這一過(guò)程中成了交叉融合發(fā)展理念下的有效引擎，它通過(guò)與其他學(xué)科的互通互融，算子代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、代?shù)組合等新學(xué)科如雨后春筍般破土而出。20世紀(jì)偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾在《半個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)》（A Half Century of Mathematics）中曾寫(xiě)道：

“群的概念是由年輕的法國(guó)天才伽羅瓦引進(jìn)的，現(xiàn)在已經(jīng)擴(kuò)散到整個(gè)數(shù)學(xué)中，沒(méi)有群就不能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。”

由于群結(jié)構(gòu)具有普適的一般性和外延的張力性，在派生數(shù)學(xué)新領(lǐng)域、新內(nèi)容的過(guò)程中，群方法成為極具創(chuàng)造性的思維模式，代數(shù)學(xué)成了20世紀(jì)融合發(fā)展理念下的有效引擎。代數(shù)學(xué)通過(guò)與其他學(xué)科的交叉融合，代數(shù)拓?fù)?、代?shù)組合等新學(xué)科如雨后春筍破土而出。正是在這種不同學(xué)科間的交叉融合中，現(xiàn)代數(shù)學(xué)仿佛被注射了一支活力劑，蓬勃發(fā)展，方興未艾。從群論的觀點(diǎn)來(lái)研究組合數(shù)學(xué)，這為組合數(shù)學(xué)注入了新的活力，亦為代數(shù)組合這門(mén)學(xué)科找到了適合的生長(zhǎng)點(diǎn)。國(guó)際數(shù)學(xué)界常將代數(shù)組合（algebraic combinatorics）視為“組合對(duì)象的表示理論”或“沒(méi)有群的群論”。代數(shù)組合是組合數(shù)學(xué)與抽象代數(shù)兩門(mén)學(xué)科的一個(gè)重要分支，除了可以利用代數(shù)方法或結(jié)論研究組合問(wèn)題，也可以利用組合方法或結(jié)論研究代數(shù)問(wèn)題。代數(shù)組合的特色魅力就在于通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，本質(zhì)上彰顯了在數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的趨勢(shì)下表現(xiàn)出來(lái)的代數(shù)學(xué)的滲透與應(yīng)用。

代數(shù)組合的起源可以追溯到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的不同分支，其中一個(gè)重要起源可以追溯到群論中舒爾（I. Schur， 1875—1941）在1933年關(guān)于舒爾環(huán)的工作。最初舒爾環(huán)是用來(lái)研究具有正規(guī)子群的本原置換群的，其中大部分的結(jié)論后來(lái)被發(fā)現(xiàn)也適用于具有正規(guī)群作用的本原結(jié)合方案（代數(shù)組合中的一個(gè)核心概念和重要的研究方向）。此外，代數(shù)組合這門(mén)學(xué)科的研究歷史可以與群的特征理論媲美，包括弗羅貝尼烏斯（F. G. Frobenius， 1849—1917）、舒爾和伯恩賽德（W. Burnside， 1852—1927）的研究理論。特別是20世紀(jì)30—60年代，群論專(zhuān)家維蘭德（H. Wielandt， 1910—2001）和希格曼（D. G. Higman， 1928—2006）等人關(guān)于有限置換群的工作（置換群的中心化子環(huán)）[5-7]，由此打開(kāi)了新的局面，促進(jìn)了代數(shù)組合領(lǐng)域的發(fā)展。代數(shù)組合與有限群論、編碼、圖論、組合設(shè)計(jì)有著密切的聯(lián)系，在調(diào)和分析、代數(shù)幾何、表示論和數(shù)學(xué)物理方程中發(fā)揮著積極的作用，并且在化學(xué)、信息論、計(jì)算機(jī)科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域具有重要的工具價(jià)值。自代數(shù)組合被系統(tǒng)研究以來(lái)，許多群論的概念和性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)可以推廣到結(jié)合方案上來(lái)，例如：子群、正規(guī)化子、有限群的冪零性、西羅定理等。不僅是群中的概念和性質(zhì)，類(lèi)似有限群的表示理論，結(jié)合方案的表示理論也是研究結(jié)合方案數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的有效途徑之一。這些信息都揭示出一個(gè)強(qiáng)烈的信號(hào)，在代數(shù)組合中看似沒(méi)有群的結(jié)構(gòu)，但是其學(xué)科體系中卻蘊(yùn)含著強(qiáng)大的群論思想和“沒(méi)有群的群論結(jié)構(gòu)”?！按鷶?shù)組合”一詞首先是坂內(nèi)英一（E. Bannai， 1946— ）于1979年在日本著名刊物《數(shù)學(xué)》（Sugaku）上發(fā)表的《代數(shù)組合論》（代數(shù)的組合せ論）這篇評(píng)論性文章中提出的[8]，由此宣告了這門(mén)學(xué)科的誕生。坂內(nèi)英一一貫主張以純粹數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)研究組合學(xué)，堅(jiān)持用群論的視角為組合學(xué)的研究開(kāi)創(chuàng)新的思路和方法[9]，從而建立起“代數(shù)思維”與“代數(shù)組合中思維實(shí)踐”之間的關(guān)系思考，這正是20世紀(jì)這個(gè)統(tǒng)一的時(shí)代所彰顯出來(lái)的一種特色趨勢(shì)——“代數(shù)學(xué)無(wú)處不在”。

回望歷史來(lái)路，汲取歷史智慧，代數(shù)學(xué)的能量是巨大的。代數(shù)學(xué)不僅是集合、符號(hào)和思維的語(yǔ)言，更是貫穿在科學(xué)中的工具。正如數(shù)學(xué)已經(jīng)成為科學(xué)的語(yǔ)言，代數(shù)學(xué)通過(guò)一代代數(shù)學(xué)家們的踔厲奮發(fā)，篤行不怠，儼然成為數(shù)學(xué)的流行語(yǔ)言，并實(shí)現(xiàn)了將許多種類(lèi)各異的、高度數(shù)學(xué)化的學(xué)科進(jìn)行代數(shù)化處理。在人類(lèi)思考和探索代數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，每當(dāng)所有的代數(shù)難題被攻克或者即將被完成的時(shí)候，一些全新的問(wèn)題、學(xué)科分支和新思想便會(huì)出乎意料地浮出水面，使得人們重新思考之前的知識(shí)積累并加以拓展延伸。代數(shù)學(xué)正是在這樣的歷史進(jìn)程中，逐漸彰顯出其巨大的能量，成了很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至科學(xué)與工程研究中必不可少的組成部分。

[本文相關(guān)研究得到國(guó)家自然科學(xué)基金（12171137）的資助。]

[1]塔巴克. 代數(shù)學(xué)： 集合、符號(hào)和思維的語(yǔ)言. 鄧明立， 胡俊美譯.商務(wù)印書(shū)館， 2007： 71-87.

[2]胡作玄. 近代數(shù)學(xué)史. 濟(jì)南： 山東教育出版社， 2006： 383-385， 630-631.

[3]胡作玄， 鄧明立. 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)思想. 濟(jì)南： 山東教育出版社， 1999： 106-117.

[4]鄧明立， 王濤. 歷史與結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)下的群論. 北京： 科學(xué)出版社， 2016： 92-106.

[5]Higman D G . Finite permutation groups of rank 3. Mathematische Zeitschrift， 1964， 86（2）： 145-156.

[6]Wielandt H. Finite Permutation Groups. New York： Academic Press， 1964： 39-40.

[7]Higman D G . Intersection matrices for finite permutation groups. Journal of Algebra， 1967， 6（1）： 22-42.

[8]Bannai E. Algebraic Combinatorics. Sugaku， 1979， 31： 126-143.

[9]Bannai E. Combinatorics regarded as pure mathematics： the aims of algebraic combinatorics. Sugaku， 2010， 62（4）： 433-452； 作為純粹數(shù)學(xué)的組合理論——代數(shù)組合的目標(biāo). 高鎖剛， 馬建敏， 張躍輝譯. 數(shù)學(xué)譯林， 2011， 30（4）： 312-325.

關(guān)鍵詞：代數(shù)學(xué) 抽象代數(shù) 代數(shù)組合 結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué) ■