摘 要：【目的】鎢銅合金是航空航天和軍工領(lǐng)域用關(guān)鍵材料，但鎢銅合金流動應(yīng)力應(yīng)變的研究采用的本構(gòu)方程的準(zhǔn)確性較差，需要對其加以研究。【方法】采用真空拉伸試驗機對鎢銅合金進行了不同溫度、不同應(yīng)變速率下的高溫拉伸實驗，研究其熱變形行為，并建立了鎢銅合金的本構(gòu)方程?！窘Y(jié)果】結(jié)果表明，鎢銅合金存在著明顯的溫度軟化效應(yīng)和加工硬化效應(yīng)，其流變應(yīng)力隨溫度升高和應(yīng)變速率降低而降低。利用相關(guān)系數(shù)和絕對平均誤差可衡量本構(gòu)方程的準(zhǔn)確性?！窘Y(jié)論】應(yīng)變補償程可大幅提高鎢銅合金本構(gòu)的準(zhǔn)確度。

關(guān)鍵詞：鎢銅合金；熱變形行為；本構(gòu)方程

中圖分類號：TG146.1" " "文獻標(biāo)志碼：A" " 文章編號：1003-5168（2024）24-0069-10

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.24.014

Thermal Deformation Behavior and Constitutive Equation of Tungsten-Copper Alloy

Abstract： [Purposes] Tungsten-copper alloy is a key material used in the aerospace and military fields. However， the accuracy of the constitutive equations adopted in the research on the flow stress and strain of tungsten-copper alloy is rather poor， which needs to be further studied. [Methods] High-temperature tensile experiments on tungsten-copper alloys were carried out under different temperatures and strain rates using a vacuum tensile testing machine to study the thermal deformation behavior， and the constitutive equation of the tungsten-copper alloy was established. [Findings] The results show that the tungsten-copper alloy has obvious temperature softening effect and work hardening effect， and its flow stress decreases with the increase of temperature and the decrease of strain rate. The accuracy of the constitutive equation can be measured by using the correlation coefficient and the absolute average error. [Conclusions] Strain compensation can significantly improve the accuracy of the constitutive equation of tungsten-copper alloy.

Keywords： tungsten-copper alloy; thermal deformation behavior; constitutive equation

0 引言

鎢銅合金是由互不相容的金屬鎢和銅組成的，其既具有鎢的高強度、高導(dǎo)熱性能，又具有銅的高塑性、高導(dǎo)電性等優(yōu)異性能，被廣泛應(yīng)用于航空航天、軍工、電工電子等領(lǐng)域［1］。鎢銅合金多采用粉末冶金的方法制備，存在致密度低、內(nèi)部孔隙等缺陷，一般采用變形強化的方法消除這些缺陷［2］。采用試驗的方法對鎢銅合金在不同變形條件下的變形行為進行研究，既耗材又耗費時間，因此，科研人員多采用ABAQUS、DEFORM等商業(yè)有限元軟件對塑性成形過程進行仿真分析［3］。對于有限元仿真來說，建立合適的材料模型無疑是重要的一步［4］。一般來說，可以通過構(gòu)建材料的本構(gòu)模型來描述材料在不同溫度和應(yīng)變速率下的流動應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)［5］。用于預(yù)測不同溫度和應(yīng)變速率下的流變應(yīng)力的本構(gòu)方程主要有基于現(xiàn)象學(xué)的本構(gòu)模型、物理學(xué)本構(gòu)模型等［6］?；诂F(xiàn)象學(xué)的本構(gòu)模型是基于材料的宏觀變形建立的，主要基于經(jīng)驗觀察和數(shù)學(xué)函數(shù)模型，不需要考慮熱變形中的物理意義，在很多材料上得到了應(yīng)用。常見的現(xiàn)象學(xué)的本構(gòu)模型有：Johnson-Cook模型（JC模型）［7］、修正后的Johnson-Cook模型［8］、和Arrhenius模型［9］。物理學(xué)本構(gòu)模型考慮了材料熱變形過程中的實際物理意義，能夠有效模擬宏觀變形與微觀組織變化之間的聯(lián)系。常見的物理學(xué)本構(gòu)模型有Zerilli-Armstrong模型［10］（ZA模型）、PB模型［11］和MTS模型［12］等。這些本構(gòu)模型都可以通過試驗和數(shù)據(jù)分析求得相關(guān)參數(shù)，進而得到完整的本構(gòu)模型。

目前，鎢銅合金高溫下的流動應(yīng)力應(yīng)變研究較多。趙艷平等［13］采用熱壓縮試驗探究了溫度和應(yīng)變速率對鎢銅合金變形的影響，結(jié)果表明：抗拉強度隨應(yīng)變速率的減小或溫度的增加而減小。劉勇等［14］進一步研究了不同鎢含量的鎢銅合金熱變形行為，發(fā)現(xiàn)在所有鎢含量下鎢銅合金均對溫度和應(yīng)變速率敏感，并結(jié)合應(yīng)力應(yīng)變曲線，建立了Arrhennius本構(gòu)方程。王凌浩等［15］對鎢銅合金進行熱模擬壓縮試驗，指出W-20Cu、W-35Cu的熱加工溫度在700～900 ℃比較合適。并建立了W-35Cu的Johnson-Cook本構(gòu)方程及W-20Cu的Arrhennius本構(gòu)方程，并采用了四次多項式擬合了Arrhennius本構(gòu)方程中參數(shù)與應(yīng)變的關(guān)系，對Arrhennius本構(gòu)方程進行修正。彭付申等［16］對溶滲法制備的W-20Cu進行熱壓縮試驗，建立了Arrhennius本構(gòu)方程，并采用了五次多項式擬合了材料參數(shù)與應(yīng)變的關(guān)系，對Arrhennius本構(gòu)進行修正。Lin［17］等通過高溫下的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系，確定了W-10%Cu合金的熱變形方程（Arrhenius本構(gòu)方程），其中應(yīng)變速率與靜態(tài)應(yīng)力、變形溫度和激活能有關(guān)。劉輝明等［18］通過對W-40Cu和W-50Cu的動態(tài)壓縮試驗，探究了應(yīng)變速率和溫度對鎢銅合金屈服強度的影響，并建立了JC本構(gòu)方程。馬竇琴［19］通過熱模擬機測定了W-25wt %Cu燒結(jié)坯的應(yīng)力應(yīng)變曲線，建立了基于現(xiàn)象學(xué)的Arrhenius本構(gòu)方程，并對鎢銅合金包套擠壓過程進行了仿真模擬。

上述鎢銅合金流動應(yīng)力應(yīng)變的研究所采用的W含量一般在80 wt%以下且一般構(gòu)建Arrhennius本構(gòu)方程，其準(zhǔn)確性有待定量計算。基于此，本研究對鎢銅合金開展了不同溫度和不同速率的高溫拉伸試驗，以此建立鎢銅合金的不同本構(gòu)方程，并對其準(zhǔn)確性進行定量計算。

1 試驗材料與方法

本研究采用浙江五洲新春提供的鎢銅合金。拉伸試樣的尺寸如圖1所示。采用高溫電子真空拉伸試驗機（UZDL50，中機設(shè)備裝備股份有限公司，中國，長春）進行拉伸試驗。拉伸試驗按照《GB/T 228.2—2015，金屬材料" 拉伸試驗" 第2部分：高溫試驗方法》［20］。對鎢銅合金進行不同溫度及不同應(yīng)變速率的高溫拉伸試驗時，先將制取的試樣利用砂紙打磨至2 000目，確保表面光滑，無缺陷等引起的應(yīng)力集中。在進行高溫拉伸試驗時，在真空中進行，升溫速率選擇8 ℃/min，升溫至指定溫度后保溫20 min，隨后進行高溫拉伸試驗。

2 試驗結(jié)果

2.1 高溫拉伸行為

鎢銅合金高溫拉伸測試在高溫電子真空拉伸試驗機UZDL50上進行，高溫拉伸試驗溫度分別為400 ℃、500 ℃、600 ℃、800 ℃，應(yīng)變速率為0.006 7 s-1、0.067 s-1、0.67 s-1，共10組試驗。

鎢銅合金在不同溫度及應(yīng)變速率下的高溫拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖2所示。由圖2（a）可以看出，在應(yīng)變速率保持不變時，峰值應(yīng)力隨試驗溫度的降低而增大。在試驗溫度保持不變時，峰值應(yīng)力隨應(yīng)變速率的減小而減小。這是由于在相同應(yīng)變速率下，試驗溫度越高，軟化速率越快，應(yīng)力值越小。此外，在試驗溫度不變時，應(yīng)變速率引起的加工硬化隨著應(yīng)變速率的提高不斷增大，從而引起峰值應(yīng)力的提高。這也可能與變形過程中銅的動態(tài)回復(fù)和動態(tài)再結(jié)晶存在一定的關(guān)聯(lián)。相關(guān)研究顯示銅在熱變形過程中的動態(tài)再結(jié)晶現(xiàn)象對銅的軟化作用不可忽視［21］。而試驗溫度和應(yīng)變速率的提高會導(dǎo)致銅相的動態(tài)再結(jié)晶增多，從而導(dǎo)致鎢銅合金在熱變形過程中軟化速率增大。

鎢銅合金的屈服強度、抗拉強度在高溫條件下對溫度較為敏感，在整體上是隨著溫度升高而降低，并且在400～600 ℃的溫度區(qū)間內(nèi)下降最快，表明材料有溫度軟化效應(yīng)。在400 ℃時，較高應(yīng)變速率下鎢銅合金出現(xiàn)了明顯的屈服階段，表明材料擁有很高的應(yīng)變速率強化效應(yīng)，如圖2（b）和圖2（c）所示。隨著鎢銅合金的應(yīng)變增加，出現(xiàn)加工硬化，應(yīng)力先是快速增大，這個階段鎢銅合金積累了大量的位錯，從而導(dǎo)致位錯運動受到較大的阻力，鎢銅合金此時應(yīng)變的增加需要更大的應(yīng)力。而當(dāng)應(yīng)變到達一定的程度時，加工硬化導(dǎo)致鎢銅合金的能量不斷增加而進入一種不穩(wěn)定的狀態(tài)，為位錯的運動提供了一定的驅(qū)動力，鎢銅合金產(chǎn)生軟化變形所需的應(yīng)力也趨于穩(wěn)定，此時應(yīng)力的增加較為緩慢，直至斷裂［19］。

2.2 Johnson-Cook本構(gòu)

Johnson-Cook本構(gòu)模型參數(shù)相對較少且表達方式比較簡單，是目前應(yīng)用最廣泛的高溫本構(gòu)模型之一。Johnson-Cook本構(gòu)模型在1983年被首次提出，主要用于材料在高溫及不同應(yīng)變速率下的流動行為，其考慮了應(yīng)變硬化、應(yīng)變速率強化和熱軟化的影響，在許多材料及仿真軟件中都得到了實現(xiàn)。Johnson-Cook本構(gòu)的表達式為式（1）。

下文中若無特殊說明，符號及計量單位均與式（1）中相同。

本部分以溫度為400 ℃為參考溫度計算Johnson-Cook本構(gòu)，其參數(shù)求解過程如下：

①求解A、B、n。

在溫度為400 ℃，應(yīng)變速率為0.006 7 s-1時，此時式（1）簡化為式（2）。

[σ=A+Bεn] （2）

即忽略應(yīng)變速率強化和熱軟化效應(yīng)。整理式（2）并將兩邊取自然對數(shù)可得式（3）。

[lnσ?A=lnB+nlnε] （3）

式中：A為此溫度及應(yīng)變速率下的鎢銅合金的屈服強度，由圖2可知A為250.63 MPa。將應(yīng)變速率為0.006 7 s-1、溫度為400 ℃的試驗數(shù)據(jù)及A的值代入式（3），并對其進行擬合，擬合曲線如圖3所示。n的值即是擬合曲線的斜率，B的值可以由擬合曲線的截距獲得，擬合曲線的截距即為lnB。求得A為250.63，n為0.907，B為1 152.858。

②求解C。

參考溫度為400 ℃時，式（1）可以整理變形為式（4）。

在3種不同應(yīng)變速率（0.006 7 s-1、0.067 s-1和0.67 s-1）下，自0.03至斷裂時的應(yīng)變，間隔0.01取應(yīng)變值和應(yīng)力值，將這些數(shù)據(jù)代入式（4），并進行線性擬合，得到直線的斜率就是所求的C。求得C為0.075 75。

③求解m。

當(dāng)應(yīng)變速率為0.006 7 s-1，式（1）變形為式（5）。

[σ=（A+Bεn）（1?T?m）] （5）

對上式進行整理，并兩邊取對數(shù)可得式（6）。

將在此應(yīng)變速率下的500 ℃、600 ℃、800 ℃的試驗數(shù)據(jù)按照求解C的取值方法，取得應(yīng)力值和應(yīng)變值，并將其帶入式（6），進行線性并置擬合，直線的斜率即為所求的m值，求得m值為0.798。

最終求得的鎢銅合金的Johnson-Cook本構(gòu)方程的參數(shù)值見表1。

根據(jù)Johnson-Cook模型，建立應(yīng)力、應(yīng)變、變形速率與變形溫度之間的關(guān)系為式（7）。

Johnson-Cook模型流動應(yīng)力試驗值與仿真值的對比如圖4所示。由圖4可知，除了在參考變形條件下或接近參考變形條件下的仿真值可以接受外，其余仿真值與試驗值偏差較大.隨著應(yīng)變速率或溫度的增加，這種偏差會變大。造成這種現(xiàn)象的原因是應(yīng)變速率和溫度對應(yīng)力的影響可能是相互關(guān)聯(lián)的。隨著溫度或應(yīng)變速率的升高，這種相關(guān)性將變得更加顯著。Johnson-Cook模型假設(shè)應(yīng)變速率和溫度對應(yīng)力的影響是沒有關(guān)聯(lián)的，因此Johnson-Cook本構(gòu)模型在高溫或高應(yīng)變速率下并不適用。

Johnson-Cook模型雖然形式簡單，物理解釋明顯，但很難對流動應(yīng)力進行精確預(yù)測。這是因為Johnson-Cook模型假設(shè)應(yīng)變硬化、應(yīng)變速率硬化和熱軟化是3個互不相關(guān)的效應(yīng)，忽略了變形溫度、應(yīng)變速率和應(yīng)變對材料流動行為的耦合效應(yīng)，而變形溫度、應(yīng)變速率和應(yīng)變可能同時影響動態(tài)再結(jié)晶過程［22］，這是本應(yīng)考慮的。因此，相關(guān)學(xué)者嘗試對Johnson-Cook模型進行改進，改進的Johnson-Cook模型一般引入新的指標(biāo)變量，可以更加準(zhǔn)確地對流動應(yīng)力進行預(yù)測。王偉等［23］在熱壓燒結(jié)Zr-6Al-0.1B合金Johnson-Cook本構(gòu)模型的建立中引入了變形溫度敏感系數(shù)D，此時的Johnson-Cook本構(gòu)效率如式（8）。

此Johnson-Cook本構(gòu)效率中其他參數(shù)的求法不變，在求解熱軟化指數(shù)m時，可將式（8）轉(zhuǎn)化為式（9）。

將求解m的試驗數(shù)據(jù)帶入式9，并進行線性并置擬合，可得D=0.60。此時的JC本構(gòu)方程為式（10）所示。

加入變形溫度敏感系數(shù)的Johnson-Cook模型流動應(yīng)力試驗值與仿真值的對比如圖5所示。此時的應(yīng)變速率為0.006 7 s-1，由圖5可以看出，相較于圖4（a），在不同溫度下的仿真值更接近試驗值，在高溫下誤差也更小。

2.3 基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius本構(gòu)

Arrhenius方程是描述金屬熱變形的最通用的本構(gòu)方程。在Arrhenius模型中，固定應(yīng)變或峰值應(yīng)力下應(yīng)變率與應(yīng)力的關(guān)系可由下式確定，其通用的表達形式為式（11）。

當(dāng)流動應(yīng)力較低時（aslt;0.8），式（11）可以簡化為式（12）。

當(dāng)流動應(yīng)力較高時（asgt;1.2），式（11）可以簡化為式（13）。

以上式中：a、A、n、A1、A2、n1、n2為材料常數(shù)；Q 為材料的熱變形激活能/J·mol-1；R為氣體常數(shù)；取值為8.314 J·mol-1·K-1；

Zener等［24］指出應(yīng)變速率與試驗溫度對材料的流動應(yīng)力的耦合影響可以由溫度補償變形速率因子表示，即Z參數(shù)計算公式為式（14）。

對式（11）至式（13）分別兩端取對數(shù)，可以得到式（15）至式（17）。

在確定的溫度下，由式（15）至式（17）得出n1、n2和n的值可由式（18）至式（20）得到。

選取參考應(yīng)變?yōu)閑=0.11，將應(yīng)變?yōu)?.11時的數(shù)據(jù)代入式（18）至式（20），然后對[ln?ln.]、[?ln.]、[ln[sinh（）]?ln]分別繪制散點圖并進行線性擬合，結(jié)果如圖6（a）至圖6（c）所示。由式（18）至式（20）可知，材料常數(shù)n1、n2及n分別為圖6（a）、6（b）和6（c）中擬合曲線斜率的倒數(shù)。求得的n1、n2及n的值列于表2中，由此得出n1、n2及n分別為：21.699 82、0.055 90、16.397 92，由[α=]n2/n1可以得出a的值為0.002 576。

在確定的應(yīng)變速率下，式（15）可以轉(zhuǎn)化為式（21）。

熱變形激活能Q是能夠反映材料在某些確定的變形條件下塑性變形難易程度的參數(shù)，對式（21）求偏導(dǎo)可得式（22）。

將求得的n與a的數(shù)值代入上式（22），對[ln[sinh （）]?1 000/T]進行擬合，擬合結(jié)果如圖6（d）所示?？汕蟮肣的值，Q=155 877.4 J·mol-1。

將所得Q的值代入式（14）并對兩邊取對數(shù)可得式（23）。

假設(shè)溫度和速率均恒定，由式（14）與式（23）可得式（24）。

[lnZ=lnA+nlnsin?ασ] （24）

由式（24）可知[ln[sinh（）]?lnZ]呈線性關(guān)系。以[ln[sin?（）]?lnZ]繪制散點圖，并進行線性擬合，如圖7所示。lnA為擬合曲線的截距，由此可得出lnA=17.648 23，則A= 4.618 8×107。

結(jié)合式（14）、（15），根據(jù)雙曲正弦函數(shù)的定義，可將流變應(yīng)力σ定義為含Z參數(shù)的函數(shù)，具體表達式為式（25）。

為得到各應(yīng)變下的本構(gòu)方程，計算了各應(yīng)變（0.09-0.14）下的參數(shù)a、n、A、Q與e的關(guān)系。

本文根據(jù)實際的數(shù)據(jù)情況采用不同的多項式擬合各應(yīng)變下的參數(shù)與應(yīng)變的關(guān)系。擬合所用的多項式如式（26）至式（29）所示，擬合得到的曲線如圖8所示，最終得到的多項式的系數(shù)見表3。

[α=C1ε+C2ε2+C3]" （26）

[n=D1ε+D2ε2?D3ε3+D4ε4+D5] （27）

[Q=E1ε+E2ε2?E3ε3+E4]" （28）

[lnA=F1ε+F2ε2?F3ε3+F4]" （29）

綜上所述，建立的基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius本構(gòu)模型為：

其中：

基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius模型流動應(yīng)力試驗值與預(yù)測值的對比如圖9所示。由圖4可知，在不同溫度及應(yīng)變速率下，基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius模型均具有很好的擬合準(zhǔn)確度，這是因為基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius模型綜合考慮了溫度及應(yīng)變速率和應(yīng)變的耦合效應(yīng)。

2.4 本構(gòu)模型精度評估分析

本研究分別建立了鎢銅合金的Johnson-Cook本構(gòu)模型、基于應(yīng)變補償修正的Arrhenius模型，并通過對比試驗及仿真的流變應(yīng)力曲線，分析本構(gòu)方程對鎢銅合金變形時的應(yīng)力應(yīng)變預(yù)測能力的差異。為進一步了解不同本構(gòu)方程的預(yù)測準(zhǔn)確性，可以采取定量計算的方法，即計算不同本構(gòu)方程的平均絕對誤差（AARE）和相關(guān)系數(shù)（R）來衡量準(zhǔn)確性［25］。平均相對誤差和相關(guān)系數(shù)的計算公式分別如式（36）及式（37）。

經(jīng)過計算和擬合，本構(gòu)方程相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差見表4，本構(gòu)方程仿真值與試驗值的相關(guān)性如圖10所示。由表4可知，相關(guān)系數(shù)最低的為JC本構(gòu)，其值為0.939 14，最高為Arrhenius本構(gòu)模型，其值為0.971 2。這表明兩種本構(gòu)均能夠?qū)︽u銅合金的熱應(yīng)變行為進行預(yù)測。但是Johnson-Cook本構(gòu)模型的平均絕對誤差較大，為15.682 5，這是因為在高溫及高應(yīng)變速率下，Johnson-Cook本構(gòu)模型的仿真值與試驗值相差較大。加入溫度敏感系數(shù)可有效提高Johnson-Cook本構(gòu)模型仿真值的準(zhǔn)確性。

從表4中本構(gòu)的平均絕對誤差和相關(guān)系數(shù)的比較可知，基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius本構(gòu)模型的相關(guān)系數(shù)最大，平均絕對誤差更小，擁有更好的精度。如前所述，基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius本構(gòu)模型綜合考慮了溫度、應(yīng)變速率和應(yīng)變對流變應(yīng)力的影響。而Johnson-Cook本構(gòu)模型認為3者之間的影響是獨立的，因此對于仿真參考溫度及應(yīng)變速率差異較大的部分，難以有效預(yù)測。

3 結(jié)論

本研究對鎢銅合金的熱變形行為進行了研究，通過應(yīng)力應(yīng)變曲線分析探討了鎢銅合金的高溫變形機制，建立了 Johnson-Cook本構(gòu)模型、基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius本構(gòu)模型。最后通過仿真值和試驗值的對比及定量計算分析了各種模型的準(zhǔn)確性。具體結(jié)論如下。

①鎢銅合金在高溫拉伸時有明顯的溫度軟化效應(yīng)和應(yīng)變速率強化效應(yīng)。當(dāng)應(yīng)變速率恒定時，隨著變形溫度的降低，流變應(yīng)力逐漸增大，相對應(yīng)的抗拉強度、屈服強度也逐漸增大。當(dāng)變形溫度恒定時，隨著應(yīng)變速率的降低，鎢銅合金的流變應(yīng)力逐漸降低。

②建立的塑性本構(gòu)方程模型均可對鎢銅合金的高溫塑性變形行為進行預(yù)測。 Johnson-Cook本構(gòu)模型未考慮溫度和應(yīng)變速率的耦合效應(yīng)，在高溫及高變形速率下，仿真精度降低，相關(guān)系數(shù)為0.939 14，而平均相對誤差為15.682 5。加入溫度敏感系數(shù)，可顯著提高精確度，相關(guān)系數(shù)提高為0.942 6，平均誤差降低至11.563 6。

③ 基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius模型的本構(gòu)方程平均絕對誤差（AARE）和相關(guān)系數(shù)（R）最小，這是因為在擬合時，考慮了溫度、應(yīng)變及應(yīng)變速率的耦合效應(yīng)，得到的結(jié)果更加接近實際值。進行仿真計算時，可以采用基于應(yīng)變補償?shù)腁rrhenius模型的本構(gòu)方程。

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