高新宇,張士軍,孟繁勛,楊 璐

(1.山東建筑大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東 濟(jì)南 250100)(2.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,山東 泰安 271000)

隨著人類社會(huì)的進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,人們?cè)诔芗庸ぁ⒓{米技術(shù)、精密測(cè)量、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的研究越來越深入,精密定位技術(shù)在這些領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用[1]。

柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)促進(jìn)了精密定位平臺(tái)的發(fā)展,將柔性鉸鏈理論和并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特性相結(jié)合,應(yīng)用柔性鉸鏈替換法就能夠得到相應(yīng)的柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)[2]。與傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比,柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有各支鏈的運(yùn)動(dòng)副都可用柔性鉸鏈代替的特點(diǎn)[3]。壓電驅(qū)動(dòng)具有更高的靈敏度、更快的反應(yīng)速度和更大的輸出力,所以一般的微位移平臺(tái)會(huì)選擇壓電驅(qū)動(dòng)作為驅(qū)動(dòng)方式[4]。壓電陶瓷具有分辨率高、能耗較低、體積較小且沒有電磁干擾等優(yōu)點(diǎn),所以壓電陶瓷用作微位移驅(qū)動(dòng)器更適合[5]。

現(xiàn)階段,平面多自由度精密定位平臺(tái)的發(fā)展非常迅速,例如陳庭輝[6]對(duì)傳統(tǒng)的平面微位移平臺(tái)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì),并且改進(jìn)了放大機(jī)構(gòu),提高了定位精度。現(xiàn)有的研究很少在空間微位移平臺(tái)領(lǐng)域展開。本文設(shè)計(jì)的微位移運(yùn)動(dòng)平臺(tái)使用空間多自由度平臺(tái)的設(shè)計(jì)方法,采用柔性鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)副,將傳統(tǒng)的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)改進(jìn)為空間柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu),消除了傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)鉸鏈配合的摩擦與間隙,可以實(shí)現(xiàn)4種運(yùn)動(dòng)。

1 柔性鉸鏈

和傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)副相比,柔性鉸鏈具有突出的優(yōu)勢(shì),包括結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、沒有運(yùn)動(dòng)摩擦和間隙、能夠克服由于慣性引起的振動(dòng)等,柔性鉸鏈的缺點(diǎn)主要是運(yùn)動(dòng)的行程較小,所以常用于微動(dòng)領(lǐng)域以提高機(jī)構(gòu)精度。目前,柔性鉸鏈廣泛應(yīng)用于精密定位平臺(tái)等領(lǐng)域[7]。

本文選用的柔性鉸鏈有如下4種:柔性球副、柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副、柔性移動(dòng)副、柔性虎克鉸。

1)柔性球副。吳石磊[8]針對(duì)不同類型柔性球副進(jìn)行了力學(xué)建模以及理論計(jì)算和仿真。柔性球副具有3個(gè)自由度,可以在3個(gè)方向做獨(dú)立運(yùn)動(dòng),本文選用橢圓型柔性球副,如圖1所示。

圖1 柔性球副

2)柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副。張忠奎、陳航[9-10]對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角剛度進(jìn)行了研究,得出柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副的中間部分在力或力矩的作用下非常容易變形,此種變形為可逆彈性變形,可實(shí)現(xiàn)繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng),柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副具有1個(gè)自由度。本文選用圖2所示的圓弧型柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副。

3)柔性移動(dòng)副。楊春輝[11]對(duì)直梁平行板型柔性移動(dòng)副進(jìn)行了深入研究,該柔性移動(dòng)副采用對(duì)稱結(jié)構(gòu),不僅可以實(shí)現(xiàn)較大范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)且具有更高的精度。本文選用圖3所示的直梁平行板型柔性移動(dòng)副,它具有1個(gè)自由度。

圖3 柔性移動(dòng)副

4)柔性虎克鉸。孫煒等[12]在給定參數(shù)的情況下對(duì)3種柔性虎克鉸進(jìn)行了理論計(jì)算和有限元分析,對(duì)比了輸出行程和轉(zhuǎn)動(dòng)特性,為柔性虎克鉸的選擇提供了幫助。本文選用圖4所示的柔性虎克鉸,其可進(jìn)行兩個(gè)方向的相互轉(zhuǎn)動(dòng),具有2個(gè)自由度。

圖4 柔性虎克鉸

2 空間四自由度定位平臺(tái)設(shè)計(jì)

2.1 空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

本文提出一種空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),其簡(jiǎn)圖如圖5所示。圖中,動(dòng)平臺(tái)由a、b兩部分構(gòu)成,a和b之間由轉(zhuǎn)動(dòng)副11相連接。1、4、7、13、16、19為移動(dòng)副,2和5為萬向鉸,3和6為球副,8、9、10、12、14、15、17、18為轉(zhuǎn)動(dòng)副。

圖5 空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)

2.2 空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算

圖5中構(gòu)件1～6在一個(gè)平面上,構(gòu)件7～19在一個(gè)平面上,可以把機(jī)構(gòu)分為a和b兩部分來計(jì)算自由度。先計(jì)算b部分的自由度Fb:

Fb=3n-2Pl-Ph

(1)

式中:n為構(gòu)件數(shù),Pl為低副數(shù)目,Ph為高副數(shù)目。其中,n=9,Pl=12,分別是4個(gè)移動(dòng)副和8個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副,可得Fb=3×9-2×12=3,a部分一共有5個(gè)構(gòu)件,這5個(gè)構(gòu)件分別有6個(gè)自由度,移動(dòng)副1和4分別約束5個(gè)自由度,而萬向鉸2和5分別約束4個(gè)自由度,球副3和6分別約束3個(gè)自由度,可得a部分的自由度Fa等于6。由此得出該機(jī)構(gòu)的自由度F=Fa+Fb-5=4,即該空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有4個(gè)自由度。

2.3 空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺(tái)設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺(tái)由圖5所示的空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用剛體替換法得到,運(yùn)動(dòng)支鏈上用柔性鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)副。空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺(tái)如圖6所示。

圖6 空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺(tái)

3 定位平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

3.1 定位平臺(tái)位姿分析

根據(jù)機(jī)械原理的知識(shí),平臺(tái)沿X、Y軸平移以及繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和輔助平臺(tái)做同步且相同的運(yùn)動(dòng),所以這3種運(yùn)動(dòng)可以看做是在同一個(gè)平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng),故可以將這3種運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化成平面運(yùn)動(dòng)。圖7為微位移平臺(tái)沿Y軸平移的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖,由于6條支鏈運(yùn)動(dòng)是同步的,取P點(diǎn)和A點(diǎn)分析,當(dāng)P點(diǎn)和A點(diǎn)輸入相同的位移時(shí),E和F兩點(diǎn)也有相同的輸出位移。

圖7 沿Y軸平移運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

3.2 定位平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解分析

3.2.1沿X軸平移

首先建立定位平臺(tái)的幾何模型,沿X軸平移運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖8所示。

圖8 沿X軸平移運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

執(zhí)行器的輸出位移γ=[xP,yP,φP],輸入位移di=[d1,d2,d3,d4,d5,d6],XOY為靜坐標(biāo)系,靜坐標(biāo)系原點(diǎn)O位于整個(gè)平臺(tái)的中心處,X′PY′是固定在動(dòng)平臺(tái)中心的動(dòng)坐標(biāo)系,(xP,yP)為動(dòng)平臺(tái)動(dòng)坐標(biāo)系X′PY′原點(diǎn)P的坐標(biāo),φP為動(dòng)平臺(tái)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角,d1,d2,…,d6為6條運(yùn)動(dòng)支鏈對(duì)空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺(tái)的輸入量。動(dòng)平臺(tái)的頂點(diǎn)為6個(gè)鉸接點(diǎn)J1,J2,…,J6;Hi和Ji分別代表相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié);γi為每個(gè)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸出位移,與X軸正向的夾角為αi;βi為X軸正向與剛性連桿HiJi的夾角,i=1,2,…,6。

對(duì)定位平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解分析,即通過末端執(zhí)行器的輸出位移γ來求解輸入位移di?；趲缀畏椒?由四自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)閉鏈約束可得約束方程為:

lOP+lPJi=lOGi+lGiHi+lHiJi

(2)

式中:lOP為O點(diǎn)到P點(diǎn)的距離,lPJi為P點(diǎn)到Ji點(diǎn)的距離,lOGi為O點(diǎn)到Gi點(diǎn)的距離,lGiHi為Gi點(diǎn)到Hi點(diǎn)的距離,lHiJi為連桿HiJi的長(zhǎng)度。

由式(2)和圖8可得:

di)cosαi+lHiJicosβi

(3)

di)sinαi+lHiJisinβi

(4)

當(dāng)定位平臺(tái)沿X軸平移時(shí),動(dòng)坐標(biāo)系在Y方向不發(fā)生偏移且不發(fā)生旋轉(zhuǎn),得出φP=0,yP=0,而壓電陶瓷輸出位移是豎直方向,即αi=0。簡(jiǎn)化式(3)、(4)得:

(5)

(6)

整理式(5)、(6),消去中間變量βi得:

(7)

3.2.2繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)

對(duì)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行分析時(shí),方法同繞X軸平移。先建立該運(yùn)動(dòng)下定位平臺(tái)的幾何模型,運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖9所示。

圖9 沿Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

基于幾何方法,由式(2)和圖9可得式(3)、(4),當(dāng)定位平臺(tái)繞Z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),動(dòng)坐標(biāo)系在Y方向不發(fā)生偏移,得出yP=0,壓電陶瓷輸出位移依舊是豎直方向,即αi=0,簡(jiǎn)化式(3)、(4)得:

(8)

(9)

整理式(8)、(9),消去中間變量βi得:

(10)

3.2.3繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)

首先,建立定位平臺(tái)的幾何模型,繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖10所示。

圖10 繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

分析方式同3.2.1和3.2.2,此時(shí)只有運(yùn)動(dòng)支鏈1和2運(yùn)動(dòng),其余支鏈不動(dòng)。末端執(zhí)行器的輸出位移η=[xP,yP,φP],輸入位移di=[d1,d2]。動(dòng)平臺(tái)的頂點(diǎn)為2個(gè)鉸接點(diǎn)J1和J2;ηi為每個(gè)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸出位移。

基于幾何方法可得:

(11)

由四自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)閉鏈約束可得約束方程為:

lOP+lPJi=lOGi+lGiHi+lHiJi

(12)

由式(12)和圖10得:

(13)

(14)

當(dāng)定位平臺(tái)繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),壓電陶瓷輸出位移是豎直方向,即αi=0,將式(11)代入并簡(jiǎn)化式(13)、(14)得:

(15)

(16)

整理式(15)、(16),消去中間變量βi得:

(17)

4 定位平臺(tái)有限元仿真分析

由前文可知,本文設(shè)計(jì)的空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺(tái)有4個(gè)自由度,能夠?qū)崿F(xiàn)4種不同的運(yùn)動(dòng),即2種轉(zhuǎn)動(dòng)和2種移動(dòng)。利用SolidWorks軟件建立空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺(tái)模型,將其導(dǎo)入ANSYS Workbench軟件中進(jìn)行有限元分析,從而得出4種不同情況下的位移,即該定位平臺(tái)所能實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)[13]。其中,壓電陶瓷pst150/5/100 vs10的行程為0～0.01 mm,定位平臺(tái)材料選用65Mn彈簧鋼,密度ρ=7.81 g/cm3,彈性模量E=2.1×1011Pa,泊松比μ=0.288。

4.1 沿Y軸平移

當(dāng)6條運(yùn)動(dòng)支鏈處輸入端的輸入位移均為10 μm時(shí),根據(jù)機(jī)械原理分析該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可知,動(dòng)平臺(tái)輸出位移應(yīng)為10 μm,圖11為有限元分析結(jié)果,理論計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果的最大誤差為0.15%。

圖11 沿Y軸平移位移云圖

4.2 沿X軸平移

當(dāng)6條運(yùn)動(dòng)支鏈處輸入端的輸入位移分別為10.000、-10.000、4.142、-4.142、-4.142、4.142 μm時(shí),由式(7)得動(dòng)平臺(tái)輸出位移為11.071 μm,有限元分析的結(jié)果如圖12所示,理論計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果的最大誤差為10.112%。

圖12 沿X軸平移位移云圖

4.3 繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)

由圖13及式(10)得,當(dāng)6條運(yùn)動(dòng)支鏈處輸入端的輸出位移分別為4.013、-4.013、10.000、-10.000、6.265、-6.265 μm時(shí),φP范圍為0～0.053 74°。

圖13 繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)位移云圖

4.4 繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)

由圖14和式(17)得,當(dāng)6條運(yùn)動(dòng)支鏈處輸入端的輸出位移分別為10、-10、0、0、0、0 μm時(shí),φP范圍為0～0.042 32°。

圖14 繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)位移云圖

5 結(jié)果分析

由前文可知,沿Y軸平移和沿X軸平移時(shí)最大相對(duì)誤差為0.150%和10.112%,繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)和繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)最大相對(duì)誤差為5.040%和9.580%,計(jì)算可得,誤差均在合理范圍內(nèi),驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型理論分析的合理性。

6 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)了一種空間四自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)。使用SolidWorks軟件建立了空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺(tái)的模型,首先了進(jìn)行理論計(jì)算,然后用ANSYS Workbench軟件進(jìn)行了有限元分析,得到位移云圖。經(jīng)分析可知,驅(qū)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)其位移分布較合理,誤差也在合理范圍內(nèi)?？臻g四自由度柔順并聯(lián)定位平臺(tái)定位精度可達(dá)微米級(jí)。