李春林

(甘肅省天水市第九中學,甘肅 天水 741020)

(河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內(nèi)蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西)

第Ⅰ卷(選擇題)

一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)

2.設(shè)集合A={x|x≤a},B={x|x≥2},(RB)∪A=A,則a的取值范圍為( ).

A.a>2 B.a<2 C.a≥2 D.a≤2

A.10 B.40 C.30 D.20

4.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,Sn為{an}的前n項和,且S3=1,S6=3,則a10+a11+a12=( ).

A.8 B.5 C.6 D.7

7.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如40=3+37.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是( ).

8.如圖1,該幾何體為兩個底面半徑為1,高為1的相同的圓錐形成的組合體,設(shè)它的體積為V1,它的內(nèi)切球的體積為V2,則V1∶V2=( ).

圖1 第8題圖

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.)

10.如圖2,△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°,則( ).

圖2 第10題圖

A.異面直線AD與BC所成角的大小為60°

C.直線AD與平面BCD所成角的大小為45°

D.直線AD與平面BCD所成角的大小為60°

11.在平面直角坐標系xOy中,圓C:x2+y2=1,點P為直線l:x-y-2=0上的動點,則( ).

C.過點P作圓C的一條切線,切點為Q,∠OPQ可以為60°

12.定義n-1階導數(shù)的導數(shù)叫做n階導數(shù)(n∈N*,n≥2),即f(n)(x)=[f(n-1)(x)]′,分別記作f″(x),f?(x),f(4)(x),…,f(n)(x).設(shè)函數(shù)f(x)=axex,不等式f(2023)(x)>x2+2023x對任意x∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值可能為( ).

第Ⅱ卷(非選擇題)

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)

14.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖(如圖3):

圖3 第14題圖

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性,此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),則函數(shù)f(c)在區(qū)間[95,105]取得最小值時c=____.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項和,a3=1,S9=45.

(1)求{an}的通項公式;

(2)記bn=an·2n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

18.如圖4,在四棱錐P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,側(cè)面PCD是等邊三角形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=2CD=2BC,M在棱AB上,且滿足AB=4BM.

圖4 第18題圖

(1)求證:PM⊥CD;

(2)求二面角P-CM-A的余弦值.

19.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對應的邊分別是a,b,c,且bcosC+ccosB=3acosA.

(1)求cosA;

(1)求橢圓C的標準方程;

21.紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一,能對柚子樹造成嚴重傷害,每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y(個)和平均溫度x(℃)有關(guān),現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù),得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值(如圖5).

圖5 第21題圖

(1)根據(jù)散點圖判斷,y=bx+a與y=cedx(其中e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y(個)關(guān)于平均溫度x(℃)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)

(2)由(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸方程.(計算結(jié)果精確到0.1)

參考數(shù)據(jù)(z=lny)∑7i=1x2i∑7i=1xiyi∑7i=1xizix-y-z-5215177137142781.33.6

(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計,得到以下數(shù)據(jù):平均氣溫在22 ℃以下的年數(shù)占60%,對柚子產(chǎn)量影響不大,不需要采取防蟲措施;平均氣溫在22 ℃至28 ℃的年數(shù)占30%,柚子產(chǎn)量會下降20%;平均氣溫在28 ℃以上的年數(shù)占10%,柚子產(chǎn)量會下降50%.為了更好地防治紅蜘蛛蟲害,農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.

在每年價格不變,無蟲害的情況下,某果園年產(chǎn)值為200萬元,根據(jù)以上數(shù)據(jù),以得到最高收益(收益=產(chǎn)值-防害費用)為目標,請為果農(nóng)從以下幾個方案中推薦最佳防害方案,并說明理由.

方案1:選擇防害措施A,可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn),費用是18萬;

方案2:選擇防害措施B,可以防治22 ℃至28 ℃的蜘蛛蟲害,但無法防治28 ℃以上的紅蜘蛛蟲害,費用是10萬;

方案3:不采取防蟲害措施.

22.已知函數(shù)f(x)=2lnx+ax(a∈R).

(1)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范圍:

(2)設(shè)g(x)=x3-f(x),x1,x2為函數(shù)g(x)的兩個零點,證明:x1x2<1.

參考答案

1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B

8.D 9.BCD 10.BC 11.ABD 12.BD

17.(1)據(jù)題意,數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則S9=9a5=45,所以a5=5.故2d=a5-a3=4.

所以d=2,則an=a3+(n-3)d=2n-5.

(2)bn=an·2n=(2n-5)·2n,

則Tn=(-3)×21+(-1)×22+…+(2n-5)

×2n,

①

2Tn=(-3)×22+(-1)×23+…+(2n-5)

×2n+1.

②

由①-②,得

-Tn=(-3)×21+2×22+…+2×2n-(2n-5)×2n+1

=-14+(7-2n)×2n+1.

則Tn=14+(2n-7)×2n+1.

18.(1)取CD中點N,連接MN,PN,

因為∠ABC=∠BCD=90°,所以AB∥CD.

又因為AB=2CD,AB=4BM,

所以CN=BM.

所以四邊形BMNC是平行四邊形.

而∠ABC=∠BCD=90°,

所以CD⊥MN.

又因為△PCD為等邊三角形且N為CD中點,

所以PN⊥CD.

PN,NM?平面PNM,PN∩NM=N,

所以CD⊥面PMN,PM?面PMN.

所以CD⊥PM.

(2)因為平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD=CD,PN⊥CD,PN?平面PCD,

所以PN⊥平面ABCD,MN,ND?平面ABCD.

所以NM,ND,NP兩兩垂直.

圖6 第18題第(2)問答案示意圖

平面ABCD的一個法向量可取為m=(0,0,1),

設(shè)平面PCM的法向量為n=(x,y,z),

設(shè)二面角P-CM-A的平面角為α,

19.(1)由bcosC+ccosB=3acosA,可得到

sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosA.

即sin(B+C)=3sinAcosA.

因為B+C=π-A,所以sin(B+C)=sinA≠0.

則bc=3.

由余弦定理,得

20.(1)因為C△PF1B=|PF1|+|PF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,所以4a=8,a=2.

圖7 第20題第(2)問答案示意圖

(3m2+4)y2-6my-9=0.

21.(1)由散點圖可以判斷,y=cedx更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.

(2)將y=cedx兩邊同時取自然對數(shù),可得

lny=lnc+dx.

由題中的數(shù)據(jù)可得,

所以z關(guān)于x的線性回歸方程為z=0.3x-4.5.

故y關(guān)于x的回歸方程為y=e0.3x-4.5.

(3)用X1,X2和X3分別表示選擇三種方案的收益.

采用第1種方案,無論氣溫如何,產(chǎn)值不受影響,收益為200-18=182萬,即X1=182.

采用第2種方案,不發(fā)生28 ℃以上的紅蜘蛛蟲害,收益為200-10=190萬,如果發(fā)生,則收益為100-10=90萬,即

同樣,采用第3種方案,有

所以E(X1)=182,

E(X2)=190×P(X2=190)+90×P(X2=90)=190×0.9+90×0.1=171+9=180,

E(X3)=200×P(X3=200)+160×P(X3=160)+100×P(X3=100)

=200×0.6+160×0.3+100×0.1=178.

顯然,E(X1)最大,所以選擇方案1最佳.

所以當0

當x>e時,u′(x)>0,

所以u(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增.

所以r(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又r(1)=0,所以當0

所以h′(x)<0.

當x>1時,r(x)>0,所以h′(x)>0.

所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

因為h(x1)=h(x2)=0,

所以φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.