趙世鵬

(武夷山市第二中學,福建 武夷山 354300)

數(shù)形結合思想是數(shù)學語言和直觀圖形的有機結合,能夠在解題中通過圖形性質來說明數(shù)的事實,或者用數(shù)的精準性來闡明圖的某些特征.驅使學生把抽象思維和直觀思想整合起來,從不同視角分析和思考問題,使其形成新的解題思想,拓展他們的解題思路.高中數(shù)學教師在平常的解題訓練中應指導學生準確應用數(shù)形結合思想,把數(shù)和形巧妙結合到一起靈活運用,使其把抽象化、復雜化的數(shù)學試題變得具體化、簡單化,有效提高他們的解題效率[1].

1 由數(shù)到形的轉換途徑

在高考數(shù)學解題訓練中,要想更好地應用數(shù)形結合思想,教師首先需指導學生學會從數(shù)到形進行轉化,能夠解決以下三個方面的數(shù)學試題.

(1)處理方程或者不等式問題時,應用數(shù)形結合思想能夠將問題轉化成兩個圖象的交點位置關系問題,然后結合函數(shù)的圖象和性質展開解答.通過由數(shù)到形的轉化,把文字性內容變得直觀化,學生可以直接觀察函數(shù)圖象同坐標軸的交點情況,或者根據(jù)方程對應的函數(shù)圖象找出不等式、不等式組,他們再結合這方面的知識展開解題,最終快速、準確地求得結果[2].

A.b<0,c>0 B.b>0,c<0

C.b<0,c=0 D.b≥0,c=0

解析結合題干中提供的已知信息可以畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖1所示.通過對圖象的觀察和分析可知,由于關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0存在7個不同的實數(shù)解,所以當f(x)=0時需要有3個解,f(x)≠0時需要有4個解,由此能夠確定當b<0,c=0時滿足題設條件,故選C.

圖1 例2題圖

圖1 例1解析圖

(2)集合作為學生步入高中階段以后接觸到的第一個數(shù)學知識點,雖然難度一般,卻是學習函數(shù)知識的前奏與基礎,也是高考數(shù)學中的必考知識點之一.在處理集合類試題時,有時無需計算,可以直接使用韋恩圖的方式,也就是對數(shù)形結合思想的應用,通常用圓來表示集合,利用兩個圓是否相交來判斷這兩個集合是否存在公共元素,從而省略掉繁雜的計算步驟[3].

例2 如圖2所示,I是全集,M,P,S為I的三個子集,那么陰影部分所表示的集合為____.

解析通過對圖象的觀察、分析和研究能夠發(fā)現(xiàn),M∩P的子集與IS的子集均是陰影部分,所以陰影部分集合為(M∩P)∩IS.

(3)解析幾何作為高中課程體系中難度相對較大的一類知識,涉及的題目難度也較大,在高考數(shù)學試卷中還通常同其他知識聯(lián)系到一起成為綜合題,對學生的解題能力有著較高要求,他們極易陷入困境之中.

例3 已知點P為直線l:3x+4y+8=0上的一個動點,PA與PB為圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A,B兩點是切點,C為圓心,那么四邊形PACB的面積最小值是多少?

圖3 例3解析圖

2 由形到數(shù)的轉換途徑

在高考數(shù)學解題教學中,針對數(shù)形結合思想的應用,除從數(shù)到形這種情形以外,還有一種由形到數(shù)的轉換,能夠解決以下兩類試題.

(1)解析法.在高考數(shù)學解題教學中,部分題目給出的圖形較為簡單,通過直接觀察很難看出規(guī)律所在.這時,教師可以指引學生應用數(shù)形結合思想,適當?shù)亟o圖形賦值,像角度和邊長等,或者根據(jù)題意構建直角坐標系,使其利用坐標之間的代數(shù)關系把幾何圖形表示出來,有助于他們形成明朗、清晰的解題思路.

(2)向量法.由形到數(shù)的另外一種表現(xiàn)形式即為向量,利用向量來表示幾何圖形,結合向量知識解答幾何圖形中有關夾角與距離等問題,可以達到把抽象幾何圖形轉換成代數(shù)計算的效果.

例5 已知平面向量α,β(α≠0,β≠0)滿足|β|=1,且α與α-β的夾角是120°,那么|α|的取值范圍是什么?

3 數(shù)形之間的相互轉換

對于高考數(shù)學解題教學而言,要想更好地應用數(shù)形結合思想,不僅可以采用上述兩種途徑,實現(xiàn)單向轉換,還能夠進行數(shù)與形之間的雙向轉換.即在同一道題目中對數(shù)形結合思想進行多次使用,將學生的思路變得更為開闊,讓他們找到簡便的解題思路與方法,使其體會到數(shù)形結合思想的妙用.

由裂項相消求和得到S100<3,故選A.

4 結束語

總的來說,在高考數(shù)學解題教學活動中,數(shù)形結合思想有著極為廣闊的應用空間.但教師需意識到數(shù)學思想的培養(yǎng)并非一蹴而就,要練習大量的試題,指引學生從以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互換三個方面切入,驅使他們靈活轉變解題思路,快速找到解題的切入點,能夠自覺、準確地應用數(shù)形結合思想,使其找到解答數(shù)學試題的竅門,為高考做好準備.