張志剛

(山東省寧陽縣復圣中學,山東 泰安 271400)

本題設計簡潔清新,構思別具匠心,考查二元方程約束條件下的二元函數(shù)取值范圍問題,突出考查數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).此類問題因解法靈動多變,飽含數(shù)學思想,備受命題專家的青睞,成為歷年高考考查的重點,近年也逐漸成為數(shù)學競賽、高校強基計劃等命題的熱點.與普通高考試題相比,本題涉及知識點較多,思維跨度更大,呈現(xiàn)出更強的綜合性與選拔性.

1 試題解答

首先通過去絕對值符號簡化(*)式,以便于考查方程對應的曲線特征.

顯然x,y不可能同時為負數(shù),

因此,(*)式表示的曲線如圖1所示.

圖1 的圖象

思路1轉化為二次方程有解問題.

思路2運用不等式放縮求解最值.

柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(當且僅當ad=bc時取等號)也是解決最值問題常用的理論根據(jù).其形式特點為:平方和的乘積大于等于乘積之和的平方.在具體使用過程中,要通過仔細觀察,利用已知條件構造出柯西不等式的形式.

評注利用柯西不等式求最值要注意驗證等號成立的條件.

思路3通過減元轉化為單變量函數(shù).

在高中階段,由于解決一元函數(shù)最值問題方案較為完善,我們常常通過減元將二元函數(shù)轉化為一元函數(shù),進而求出其最值.

點評為減少未知數(shù)的個數(shù)用參數(shù)方程設點,將距離轉化為關于θ的三角函數(shù)的最值,最后利用正弦函數(shù)的有界性求出最值.

思路4 轉化為橢圓的切線問題.

點評利用橢圓的切點弦方程和平行線間的斜率關系求出切點坐標,進而結合圖形求出最值.但規(guī)避了解法4中運算較復雜、容易出錯的復合函數(shù)求導運算,可視為解法4的進一步優(yōu)化.

2 命制背景

解出x,y,則點(x,y)即是函數(shù)z=f(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點[1].若這樣的點只有一個,可確定此點即為所求的點.其幾何意義是:設給定目標函數(shù)為f(x,y),約束條件φ(x,y)=0.如圖2示,曲線L為約束條件φ(x,y)=0,目標函數(shù)為f(x,y)=C的等值線族.在f(x,y),φ(x,y)的偏導數(shù)都連續(xù)的條件下,目標函數(shù)f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下的可能極值點M(x0,y0)必是目標函數(shù)等值線族中與約束條件曲線的切點.

圖2 曲線L(x,y)示意圖

拉格朗日乘數(shù)法的優(yōu)點有二:一是把目標函數(shù)和約束條件統(tǒng)一到一個拉格朗日函數(shù)中,二是將條件極值問題轉化為無條件極值問題,即通過引入拉格朗日乘數(shù),將含有n個變量和k個約束條件的約束優(yōu)化問題轉化為含有n+k個變量的無約束優(yōu)化問題. 另外,L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中φ(x,y)=0,求z=f(x,y)的極值點就是求L(x,y)的極值點,二者的極值是等價的,且與λ無關.

應用拉格朗日乘數(shù)法本題解答如下:

由以上討論可知,我們只需研究當“x≥0,y≥0”時的情形.

3 結束語

以拉格朗日乘數(shù)法為背景的二元方程條件下的二元最值問題意蘊豐富,解答時要認真剖析題設條件和結論的結構特征,從多個視角尋求解題突破口.此外,我們需要仔細體會函數(shù)與方程、轉化與化歸、數(shù)形結合、以直代曲、消元(減元)、分類討論等數(shù)學思想方法在解題中的應用. 在解題教學過程中,教師要引導學生認真剖析題設條件和結論的結構特征,具體問題具體分析,通過觀察、比較、聯(lián)想、實驗、概括、推理、證明等多種思維活動,選擇合理經(jīng)濟的解題路徑,避免死記硬背、生搬硬套“結論”的盲目機械訓練.